新高考一輪復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案第83講 變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例（原卷版）

第83講變量間的相關(guān)關(guān)系、統(tǒng)計案例1.變量間的相關(guān)關(guān)系(1)常見的兩變量之間的關(guān)系有兩類：一類是函數(shù)關(guān)系，另一類是相關(guān)關(guān)系；與函數(shù)關(guān)系不同，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．eq\x(體現(xiàn)的不一定是因果關(guān)系.)(2)從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為正相關(guān)；點散布在左上角到右下角的區(qū)域內(nèi)，兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系為負(fù)相關(guān)．2.兩個變量的線性相關(guān)(1)從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在通過散點圖中心的一條直線附近，稱兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線．(2)回歸方程為y^＝b^x＋a^_，其中其中a^，b^是待定參數(shù)(3)相關(guān)系數(shù)：當(dāng)r＞0時，表明兩個變量正相關(guān)；當(dāng)r＜0時，表明兩個變量負(fù)相關(guān)．r的絕對值越接近于1，表明兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)．r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常|r|大于0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性．3.獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表設(shè)X，Y為兩個變量，它們的取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)如下：y1y2總計x1aba＋bx2cdc＋d總計a＋cb＋da＋b＋c＋d(2)獨立性檢驗利用隨機(jī)變量K2(也可表示為χ2)的觀測值k＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)(其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量)來判斷“兩個變量有關(guān)系”的方法稱為獨立性檢驗．常用結(jié)論(1)求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)a^，b^，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(x－，y－)．(2)根據(jù)K2的值可以判斷兩個分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大．(3)根據(jù)回歸方程計算的b^值，僅是一個預(yù)報值，不是真實發(fā)生的值．1、調(diào)查某種花萼長度和花瓣長度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0，下列說法正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．花瓣長度和花萼長度沒有相關(guān)性 B．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān) C．花瓣長度和花萼長度呈現(xiàn)正相關(guān) D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是0.82452、根據(jù)所示的散點圖，下列說法正確的是SKIPIF1<0SKIPIF1<0A．身高越大，體重越大 B．身高越大，體重越小 C．身高和體重成正相關(guān) D．身高和體重成負(fù)相關(guān)3、為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：SOPM[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估計事件“該市一天空氣中濃度不超過SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0濃度不超過SKIPIF1<0”的概率；（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的SKIPIF1<0列聯(lián)表：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0PM(75,115]（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO附：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.8284、為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測部門對某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO2濃度（單位：SOPM[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710（1）估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：SOPM[0,150](150,475][0,75](75,115]（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO附：K2P(0.0500.0100.001k3.8416.63510.8281、為研究變量x，y的相關(guān)關(guān)系，收集得到下面五個樣本點(x，y)：x56.5788.5y98643若由最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為SKIPIF1<0＝－1.8x＋SKIPIF1<0，則據(jù)此計算殘差為0的樣本點是()A.(5，9)B.(6.5，8)C.(7，6)D.(8，4)2、根據(jù)分類變量x與y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到χ2＝6.147.依據(jù)α＝0.01的獨立性檢驗(P(χ2)≥6.635＝0.01)，結(jié)論為()A.變量x與y不獨立B.變量x與y不獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.01C.變量x與y獨立D.變量x與y獨立，這個結(jié)論犯錯誤的概率不超過0.013、某種產(chǎn)品的廣告費支出x與銷售額y(單位：萬元)之間的關(guān)系如表：x24568y3040605070y與x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5，當(dāng)廣告支出6萬元時，隨機(jī)誤差的殘差為()A．－5B．－5.5C．－6D．－6.54、為了判斷高中三年級學(xué)生是否選修文科與性別的關(guān)系，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：理科文科男1310女720已知P（K2≥3.841）≈0.05，P（K2≥5.024）≈0.025.根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到K2的觀測值k＝eq\f(50×（13×20－10×7）2,23×27×20×30)≈4.844，則認(rèn)為選修文科與性別有關(guān)系出錯的可能性為考向一相關(guān)關(guān)系的判斷例1、兩個變量的相關(guān)關(guān)系有①正相關(guān)；②負(fù)相關(guān)；③不相關(guān)，則下列散點圖從左到右分別反映的變量間的相關(guān)關(guān)系是()A.①②③B.②③①C.②①③D.①③②變式1、(1)已知變量x和y滿足關(guān)系y＝－0.1x＋1，變量y與z正相關(guān)，則下列結(jié)論中正確的是()A.x與y正相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)B.x與y正相關(guān)，x與z正相關(guān)C.x與y負(fù)相關(guān)，x與z負(fù)相關(guān)D.x與y負(fù)相關(guān)，x與z正相關(guān)(2)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是()①②③④A.r2<r4<0<r3<r1B.r4<r2<0<r1<r3C.r4<r2<0<r3<r1D.r2<r4<0<r1<r3方法總結(jié)：(1)根據(jù)散點圖確定．(2)用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)性的強(qiáng)弱;用殘差平方和與相關(guān)指數(shù)判斷擬合效果方法總結(jié)：(1)根據(jù)散點圖確定．(2)用相關(guān)系數(shù)判斷線性相關(guān)性的強(qiáng)弱;用殘差平方和與相關(guān)指數(shù)判斷擬合效果考向二線性回歸方程例2、某地隨著經(jīng)濟(jì)的發(fā)展，居民收入逐年增長，下表是該地某銀行連續(xù)五年的儲蓄存款(年底余額)，如下表1：表1年份x20132014201520162017儲蓄存款y(千億元)567810為了研究計算的方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，t＝x－2012，z＝y(tǒng)－5得到下表2：表2時間代號t12345z01235(1)求z關(guān)于t的線性回歸方程；(2)通過(1)中的方程，求出y關(guān)于x的回歸方程；(3)用所求回歸方程預(yù)測到2023年年底，該地儲蓄存款額可達(dá)多少？附：對于線性回歸方程SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0x＋SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0＝，SKIPIF1<0＝eq\x\to(y)－SKIPIF1<0eq\x\to(x).變式1、某公司在市場調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)某產(chǎn)品的單位定價(單位：萬元/噸)對月銷售量(單位：噸)有影響.對不同定價和月銷售量數(shù)據(jù)作了初步處理，0.244390.164820683956表中.經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)可以用來擬合與的關(guān)系.（1）求關(guān)于的回歸方程；（2）若生產(chǎn)噸產(chǎn)品的成本為萬元，那么預(yù)計價格定位多少時，該產(chǎn)品的月利潤取最大值，求此時的月利潤.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線線的的斜率和截距的最小二乘估計分別為：，.變式2、大學(xué)生趙敏利用寒假參加社會實踐，對機(jī)械銷售公司7月份至12月份銷售某種機(jī)械配件的銷售量及銷售單價進(jìn)行了調(diào)查，銷售單價x和銷售量y之間的一組數(shù)據(jù)如表所示：月份i789101112銷售單價xi（元）99.51010.5118銷售量yi（件）111086514（1）根據(jù)7至11月份的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的回歸直線方程；（2）若由回歸直線方程得到的估計數(shù)據(jù)與剩下的檢驗數(shù)據(jù)的誤差不超過0.5元，則認(rèn)為所得到的回歸直線方程是理想的，試問（1）中所得到的回歸直線方程是否理想？（3）預(yù)計在今后的銷售中，銷售量與銷售單價仍然服從（1）中的關(guān)系，若該種機(jī)器配件的成本是2.5元/件，那么該配件的銷售單價應(yīng)定為多少元才能獲得最大利潤？（注：利潤=銷售收入-成本）．參考公式：回歸直線方程SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0．方法總結(jié)：數(shù)據(jù)處理，要求結(jié)合散點圖，初步建立線性回歸的直觀感知；(1)依托數(shù)據(jù)，結(jié)合公式準(zhǔn)確計算線性回歸方程的相關(guān)系數(shù)值；(2)根據(jù)線性回歸方程，正確使用回歸方程進(jìn)行估計．考向三獨立性檢驗例3、在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，根據(jù)數(shù)據(jù)建立如下的SKIPIF1<0列聯(lián)表：看書運動合計男82028女161228合計243256根據(jù)表中數(shù)據(jù)，得到SKIPIF1<0，所以我們至少有（）的把握判定休閑方式與性別有關(guān)系.（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．99% B．95% C．1% D．5%變式1、某研究性學(xué)習(xí)小組調(diào)查研究學(xué)生使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)的影響，部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表（參考公式：SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0.）附表：SKIPIF1<00.150.100.050.0250.0100.0050.001SKIPIF1<02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828則下列選項正確的是（）A.有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響B(tài).有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響C.有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)有影響D.有SKIPIF1<0的把握認(rèn)為使用智能手機(jī)對學(xué)習(xí)無影響在200人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們1年中的感冒記錄與另外200名未用血清的人的感冒記錄進(jìn)行比較，結(jié)果如下表所示．問：是否有90%的把握認(rèn)為該種血清對預(yù)防感冒有作用？未感冒感冒使用血清13070未使用血清11090附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<00.100.0100.001k2.7066.63510.828方法總結(jié)：(1)根據(jù)題意完善2×2列聯(lián)表，再計算觀測值K2，對照臨界值表即可得出結(jié)論；(2)理解K2的運算過程以及在實際問題中的統(tǒng)計學(xué)意義．考向四統(tǒng)計案例與線性回歸分析的綜合例4、為了了解一個智力游戲是否與性別有關(guān)，從某地區(qū)抽取男女游戲玩家各SKIPIF1<0名，其中游戲水平分為高級和非高級兩種．（1）根據(jù)題意完善下列SKIPIF1<0列聯(lián)表，依據(jù)小概率值α=0.01的獨立性檢驗，能否認(rèn)為智力游戲水平高低與性別有關(guān)聯(lián)SKIPIF1<0高級非高級合計女SKIPIF1<0男SKIPIF1<0合計（2）按照性別用分層抽樣的方法從這些人中抽取SKIPIF1<0人，從這SKIPIF1<0人中抽取SKIPIF1<0人作為游戲參賽選手；(ⅰ)若甲入選了SKIPIF1<0人名單，求甲成為參賽選手的概率；(ⅱ)設(shè)抽取的SKIPIF1<0名選手中女生的人數(shù)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和期望．附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.100.050.0100.0050.001SKIPIF1<02.7063.84166357.87910.828變式1、2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國家境內(nèi)舉行、也是第二次在亞洲舉行的世界杯足球賽．卡塔爾世界杯后，某校為了激發(fā)學(xué)生對足球的興趣，組建了足球社團(tuán)．足球社團(tuán)為了解學(xué)生喜歡足球是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了男、女同學(xué)各100名進(jìn)行調(diào)查，統(tǒng)計得出的數(shù)據(jù)如下表：喜歡足球不喜歡足球合計男生50女生25合計(1)根據(jù)所給數(shù)據(jù)完成上表，試根據(jù)小概率值SKIPIF1<0的獨立性檢驗，分析該校學(xué)生喜歡足球與性別是否有關(guān)．(2)社團(tuán)指導(dǎo)老師從喜歡足球的學(xué)生中抽取了2名男生和1名女生示范點球，已知男生進(jìn)球的概率為SKIPIF1<0，女生進(jìn)球的概率為SKIPIF1<0，每人踢球一次，假設(shè)各人踢球相互獨立，求3人進(jìn)球總次數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．SKIPIF1<00.0500.0100.001SKIPIF1<03.8416.63510.828變式2、強(qiáng)基計劃主要選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)或基礎(chǔ)學(xué)科拔尖的學(xué)生，聚焦高端芯片與軟件、智能科技、新材料、先進(jìn)制造和國家安全等關(guān)鍵領(lǐng)域，由有關(guān)高校結(jié)合自身辦學(xué)特色，合理安排招生．強(qiáng)基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，校考過程中通過筆試才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié)．(1)某研究機(jī)構(gòu)為了更好地服務(wù)于高三學(xué)生，隨機(jī)抽取了某校5名高三學(xué)生，對其記憶力測試指標(biāo)SKIPIF1<0和分析判斷力測試指標(biāo)SKIPIF1<0進(jìn)行統(tǒng)計分析，得到下表數(shù)據(jù)：SKIPIF1<079101113SKIPIF1<034567請用線性相關(guān)系數(shù)判斷該組數(shù)據(jù)中SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系是否可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（精確到SKIPIF1<0）(2)現(xiàn)有甲、乙兩所高校的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目，某考生參加每門科目考試是否通過相互獨立．若該考生報考甲高校，每門筆試科目通過的概率均為SKIPIF1<0；該考生報考乙高校，每門筆試科目通過的概率依次為SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0．若該考生只能報考甲、乙兩所高校中的一所，以筆試中通過的科目數(shù)的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)作出決策，得知該考生更有希望通過乙大學(xué)的筆試，求SKIPIF1<0的取值范圍．參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；參考公式：線性相關(guān)系數(shù)：SKIPIF1<0．一般地，SKIPIF1<0時，認(rèn)為兩個變量之間存在較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．方法總結(jié)：統(tǒng)計案例與線性回歸分析的綜合往往涉及到直方圖、概率等綜合性問題，對于此類問題可以從以下兩個方面入手：1、理解直方圖具體時間頻率與概率的對應(yīng)關(guān)系，獨立事件的概率計算過程；理解列聯(lián)表的數(shù)據(jù)生成，以及使用公式進(jìn)行基本運算，學(xué)會利用運算結(jié)果進(jìn)行簡單的數(shù)據(jù)分析；2、數(shù)學(xué)期望是離散型隨機(jī)變量中重要的數(shù)學(xué)概念，反映隨機(jī)變量取值的平均水平．求解離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望時，首先要分清事件的構(gòu)成與性質(zhì)，確定離散型隨機(jī)變量的所有取值，然后根據(jù)概率類型選擇公式，計算每個變量取每個值的概率，列出對應(yīng)的分布列，最后求出數(shù)學(xué)期望．正態(tài)分布是一種重要的分布，之前考過一次，尤其是正態(tài)分布的3σ原則．1、蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率SKIPIF1<0（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫SKIPIF1<0（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù)，建立了SKIPIF1<0關(guān)于SKIPIF1<0的線性回歸方程SKIPIF1<0，則下列說法不正確的是（）SKIPIF1<0（次數(shù)/分鐘）2030405060SKIPIF1<0（℃）2527.52932.536A.SKIPIF1<0的值是20B.變量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0呈正相關(guān)關(guān)系C.若SKIPIF1<0的值增加1，則SKIPIF1<0的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時，該地當(dāng)時的氣溫預(yù)報值為33.5℃2、（多選題）盡管2022年上半年新能源汽車產(chǎn)銷受疫情影響，但各企業(yè)高度重視新能源汽車產(chǎn)品，供應(yīng)鏈資源優(yōu)先向新能源汽車集中，從目前態(tài)勢來看，整體產(chǎn)銷量完成情況超出預(yù)期.下表是2022年我國某地新能源汽車前SKIPIF1<0個月的銷量SKIPIF1<0和月份SKIPIF1<0的統(tǒng)計表，根據(jù)表中的數(shù)據(jù)可得經(jīng)驗回歸方程為SKIPIF1<0，則（）月份SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0銷量SKIPIF1<0（萬輛）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0A.變量SKIPIF1<0與SKIPIF1<0正相關(guān)B.SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的樣本相關(guān)系數(shù)SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0D.2022年SKIPIF1<0月該地新能源汽車的銷量一定是SKIPIF1<0萬輛3、（多選題）研究變量SKIPIF1<0得到一組樣本數(shù)據(jù)，進(jìn)行回歸分析，以下說法正確的是（）A.殘差平方和越大的模型，擬合的效果越好B.用決定系數(shù)SKIPIF1<0來刻畫回歸效果，SKIPIF1<0越大說明擬合效果越好C.在經(jīng)驗回歸方程SKIPIF1<0中，當(dāng)解釋變量SKIPIF1<0每增加1個單位時，相應(yīng)觀測值SKIPIF1<0增加0.2個單位D.經(jīng)驗回歸直線一定經(jīng)過樣本中心點SKIPIF1<04、在200人身上試驗?zāi)撤N血清預(yù)防感冒的作用，把他們1年中的感冒記錄與另外200名未用血清的人的感冒記錄進(jìn)行比較，結(jié)果如下表所示．問：是否有90%的把握認(rèn)為該種血清對預(yù)防感冒有作用？未感冒感冒使用血清13070未使用血清1109