中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)過(guò)關(guān)練習(xí)專題26 尺規(guī)作圖的核心知識(shí)點(diǎn)精講（講義）（含解析）

專題26尺規(guī)作圖的核心知識(shí)點(diǎn)精講1.了解基本作圖的概念．2.掌握五種基本作圖的方法，并會(huì)按要求作出圖形．3.會(huì)寫已知、求作和作法，掌握準(zhǔn)確的作圖語(yǔ)言．4.能運(yùn)用尺規(guī)基本作圖解決有關(guān)的作圖簡(jiǎn)單應(yīng)用考點(diǎn)1：尺規(guī)作圖1．定義：只用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖叫做尺規(guī)作圖．2．步驟：(1)根據(jù)給出的條件和求作的圖形，寫出已知和求作部分；(2)分析作圖的方法和過(guò)程；(3)用直尺和圓規(guī)進(jìn)行作圖；(4)寫出作法步驟，即作法．考點(diǎn)2：五種基本作圖考點(diǎn)3：基本作圖的應(yīng)用1．利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形．2．與圓有關(guān)的尺規(guī)作圖(1)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓(即三角形的外接圓)．(2)作三角形的內(nèi)切圓．【題型1：根據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡、步驟判斷結(jié)論及計(jì)算】【典例1】（2023?山西）如圖，在?ABCD中，∠D＝60°．以點(diǎn)B為圓心，以BA的長(zhǎng)為半徑作弧交邊BC于點(diǎn)E，連接AE．分別以點(diǎn)A，E為圓心，以大于AE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)P，作射線BP交AE于點(diǎn)O，交邊AD于點(diǎn)F，則的值為．【答案】．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∠D＝∠ABC＝60°，∴∠BAD＝180°﹣60°＝120°，∵BA＝BE，∴△ABE是等邊三角形，∴∠BAE＝60°，∵BF平分∠ABE，∴AO＝OE，BO⊥AE，∵∠OAF＝∠BAD﹣∠BAE＝120°﹣60°＝60°，∴tan∠OAF＝＝，∴＝，故答案為：．【變式1-1】（2023?德州）如圖，在∠AOB中，以點(diǎn)O為圓心，5為半徑作弧，分別交射線OA，OB于點(diǎn)C，D，再分別以C，D為圓心，CO的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)部交于點(diǎn)E，作射線OE，若OE＝8，則C，D兩點(diǎn)之間的距離為（）A．5 B．6 C． D．8【答案】B【解答】解：連接CE，DE，CD，設(shè)CD與OE交于點(diǎn)F，由作圖可知，OC＝OD＝CE＝DE＝5，∴四邊形OCED為菱形，∴CD⊥OE，OF＝EF＝OE＝4，CF＝DF，由勾股定理得，CF＝＝3，∴CD＝2CF＝6，即C，D兩點(diǎn)之間的距離為6．故選：B．【變式1-2】（2023?長(zhǎng)春）如圖，用直尺和圓規(guī)作∠MAN的角平分線，根據(jù)作圖痕跡，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．AD＝AE B．AD＝DF C．DF＝EF D．AF⊥DE【答案】B【解答】解：角平分線的作法如下：①以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AM、AN于點(diǎn)D、E；②分別以點(diǎn)D、E為圓心，DF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠MAN內(nèi)相交于點(diǎn)F；③作射線AF，AF即為∠MAN的平分線．根據(jù)角平分線的作法可知，AD＝AE，DF＝EF，根據(jù)等腰三角形的三線合一可知AF⊥DE，故選：B．【變式1-3】（2023?貴州）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝5，CD＝3．按下列步驟作圖：①以點(diǎn)D為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交DA，DC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P；③連接DP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G．則BG的長(zhǎng)是（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：由題可得，DG是∠ADC的平分線．∴∠ADG＝∠CDG，∵AD∥BC，∴∠ADG＝∠CGD，∴∠CDG＝∠CGD，∴CG＝CD＝3，∴BG＝CB﹣CG＝5﹣3＝2．故選：A．【變式1-4】（2023?新疆）如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)E，分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠BAC的內(nèi)部交于點(diǎn)G，作射線AG交BC于點(diǎn)D．若AC＝3，BC＝4，則CD的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．2【答案】C【解答】解：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD與Rt△AHD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝AB﹣AH＝2，∵BH2+DH2＝BD2，∴22+CD2＝（4﹣CD）2，∴CD＝．方法二：∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，∠CAD＝∠HAD，在Rt△ACD與Rt△AHD中，，∴Rt△ACD≌Rt△AHD（HL），∴AH＝AC＝3，∴BH＝AB﹣AH＝2，在Rt△BDH中，tanB＝，在Rt△ABC中，∵，∴，∴，∴，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，過(guò)D作DH⊥AB于H，∵AD平分∠CAB，∴CD＝DH，S△ABC＝＝S△ACD+S△ABD＝，∴AC?BC＝AC?CD+AB?DH，設(shè)CD＝DH＝x，∴3×4＝3x+5x，∴，故選：C．【題型2：尺規(guī)作圖及相關(guān)證明與計(jì)算】【典例2】（2023?無(wú)錫）如圖，已知∠APB，點(diǎn)M是PB上的一個(gè)定點(diǎn)．（1）尺規(guī)作圖：請(qǐng)?jiān)趫D1中作⊙O，使得⊙O與射線PB相切于點(diǎn)M，同時(shí)與PA相切，切點(diǎn)記為N；（2）在（1）的條件下，若∠APB＝60°，PM＝3，則所作的⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積是3﹣π．【答案】（1）見解答；（2）3﹣π．【解答】解：（1）如圖，⊙O為所作；（2）∵PM和PN為⊙O的切線，∴OM⊥PB，ON⊥PN，∠MPO＝∠NPO＝∠APB＝30°，∴∠OMP＝∠ONP＝90°，∴∠MON＝180°﹣∠APB＝120°，在Rt△POM中，∵∠MPO＝30°，∴OM＝PM＝×3＝，∴⊙O的劣弧與PM、PN所圍成圖形的面積＝S四邊形PMON﹣S扇形MON＝2××3×﹣＝3﹣π．故答案為：3﹣π．【變式2-1】（2023?鹽城）如圖，AB＝AE，BC＝ED，∠B＝∠E．（1）求證：AC＝AD．（2）用直尺和圓規(guī)作圖：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD，垂足為F．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】（1）證明過(guò)程見解答；（2）圖形見解答．【解答】（1）證明：在△ABC和△AED中，，∴△ABC≌△AED（SAS），∴AC＝AD；（2）解：如圖AF即為所求．【變式2-2】（2023?陜西）如圖，已知四邊形ABCD，AD∥BC．請(qǐng)用尺規(guī)作圖法，在邊AD上求作一點(diǎn)E，在邊BC上求作一點(diǎn)F，使四邊形BFDE為菱形．（保留作圖痕跡，不寫作法）【答案】見解答．【解答】解：如圖所示：E、F即為所求．【變式2-3】（2023?河南）如圖，△ABC中，點(diǎn)D在邊AC上，且AD＝AB．（1）請(qǐng)用無(wú)刻度的直尺和圓規(guī)作出∠A的平分線（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若（1）中所作的角平分線與邊BC交于點(diǎn)E，連接DE．求證：DE＝BE．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【解答】（1）解：如圖所示，即為所求，（2）證明：∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠DAE，∵AB＝AD，AE＝AE，∴△BAE≌△DAE（SAS），∴DE＝BE．【變式2-4】（2023?濟(jì)寧）如圖，BD是矩形ABCD的對(duì)角線．（1）作線段BD的垂直平分線（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫作法和證明）；（2）設(shè)BD的垂直平分線交AD于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接BE，DF．①判斷四邊形BEDF的形狀，并說(shuō)明理由；②若AB＝5，BC＝10，求四邊形BEDF的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解答；（2）①四邊形BEDF是菱形，理由見解答；②25．【解答】解：（1）如圖，直線MN就是線段BD的垂直平分線，（2）①四邊形BEDF是菱形，理由如下：∵EF垂直平分BD，∴BE＝DE，∠DEF＝∠BEF，∵AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∵∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF，∴BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四邊形BEDF是菱形；②∵四邊形ABCD是矩形，BC＝10，∴∠A＝90°，AD＝BC＝10，由①可設(shè)BE＝ED＝x，則AE＝10﹣x，∵AB＝5，∴AB2+AE2＝BE2，即25+（10﹣x）2＝x2，解得x＝6.25，∴四邊形BEDF的周長(zhǎng)為：6.25×4＝25．一．選擇題（共8小題）1．如圖，用直尺和圓規(guī)作∠AOB的平分線OC，則△DOC≌△EOC的依據(jù)是（）A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS【答案】A【解答】解：由作圖痕跡可知，OD＝OE，CD＝CE，∵OC＝OC，∴△DOC≌△EOC（SSS）．∴△DOC≌△EOC的依據(jù)是SSS．故選：A．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，CA長(zhǎng)為半徑作弧交AB于點(diǎn)D，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)D為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作直線CE交AB于點(diǎn)F．若∠B＝55°，則∠ACF的大小是（）A．10° B．15° C．20° D．25°【答案】C【解答】解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠B＝55°，∴∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠B＝180°﹣55°﹣55°＝70°，由作法得CF⊥AB，∴∠AFC＝90°，∴∠ACF＝90°﹣∠A＝90°﹣70°＝20°．故選：C．3．如圖，△ABC中，AB＜AC＜BC，如果要用尺規(guī)作圖的方法在BC上確定一點(diǎn)P，使PA+PB＝BC，那么符合要求的作圖痕跡是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：∵PA+PB＝BC，而PC+PB＝BC，∴PA＝PC，∴點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，即點(diǎn)P為AC的垂直平分線與BC的交點(diǎn)．故選：D．4．如圖，在Rt△ABC中，分別以B，C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，Q，作直線PQ，分別交BC，AC于點(diǎn)D，E，連接BE．若∠EBD＝32°，則∠A的度數(shù)為（）A．50° B．58° C．60° D．64°【答案】B【解答】解：根據(jù)作圖可得PQ是BC的垂直平分線，∴EB＝EC，∴∠C＝∠EBD＝32°，∵∠ABC＝90°，∴∠A＝90°﹣∠C＝90°﹣32°＝58°，故選：B．5．如圖是一個(gè)鈍角△ABC，利用一個(gè)直角三角板作邊AC上的高，下列作法正確的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：如圖選項(xiàng)A中，線段BD是△ABC的高．故選：A．6．如圖，已知在△ABC中，邊BC的垂直平分線DF交AC于點(diǎn)E，再以點(diǎn)B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫弧交BA，BC于點(diǎn)M，N，再分別以M，N為圓心，大于MN長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)P，作射線BP恰好交AC于點(diǎn)E．若AB＝8，BC＝12，△BDE的面積為9，則△ABC的面積為（）A．9 B．12 C．30 D．27【答案】C【解答】解：過(guò)點(diǎn)E作EG⊥AB于點(diǎn)G，由作圖可知，射線BP為∠ABC的平分線，∵直線DF為線段BC的垂直平分線，∴∠BDF＝90°，BD＝CD＝＝6，∴DE＝EG，∵△BDE的面積為9，∴S△BCE＝2S△BDE＝18，＝，∴DE＝3，∴EG＝3，∴＝12，∴S△ABC＝S△ABE+S△BCE＝12+18＝30．故選：C．7．如圖，在長(zhǎng)方形ABCD中，連接AC，以A為圓心適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AD，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，分別以E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠DAC內(nèi)交于點(diǎn)H，畫射線AH交DC于點(diǎn)M．若∠ACB＝72°，則∠DMA的大小為（）A．72° B．54° C．36° D．22°【答案】B【解答】解：在長(zhǎng)方形ABCD中，∵AB∥CD，∠ACB＝72°，∴∠CAD＝∠ACB＝72°，由作法得：AH平分∠CAD，∴∠DAM＝CAD＝36°，∵∠D＝90°，∴∠DMA＝90°﹣36°＝54°，故選：B．8．如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N，直線MN與AC、BC分別相交于E和D，連接AD，若AE＝3cm，△ABC的周長(zhǎng)為13cm，則△ABD的周長(zhǎng)是（）A．7cm B．10cm C．16cm D．19cm【答案】A【解答】解：由作法得MN垂直平分AC，∴AE＝CE＝3，DA＝DC，∵△ABC的周長(zhǎng)為13cm，即AB+BC+AC＝13，∴AB+BD+DA+6＝13，即AB+BD+DA＝7，∴△ABD的周長(zhǎng)為7cm．故選：A．二．填空題（共2小題）9．如圖，已知線段AB＝8cm，分別以點(diǎn)A，B為圓心，以5cm為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)C，D，連接AC，BC，AD，BD，則四邊形ACBD的面積為48cm2．【答案】48cm2．【解答】解：由作法AC＝BC＝AD＝BD＝5cm，∴四邊形ACBD為菱形，∴AB⊥CD，OA＝OB＝AB＝4cm，OC＝OD，連接CD交AB于點(diǎn)O，如圖，在Rt△AOC中，OC＝＝3（cm），∴CD＝2OC＝6cm，∴四邊形ACBD的面積＝8×6＝48（cm2）．故答案為：48cm2．10．如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA，OB，使OA＝OB；分別以點(diǎn)A，B為圓心，OA長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接AC，BC，AB，OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2．則OC的長(zhǎng)為4cm．【答案】4．【解答】解：根據(jù)作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為4cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝4，解得OC＝4．故答案為：4．三．解答題（共6小題）11．如圖，已知線段a和線段AB．（1）尺規(guī)作圖：延長(zhǎng)線段AB到點(diǎn)C，使BC＝a（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）在（1）的條件下，若AB＝5，BC＝3，求線段AC的長(zhǎng)．【答案】（1）作圖見解答過(guò)程；（2）8．【解答】（1）根據(jù)線段的定義即可延長(zhǎng)線段AB到C，使BC＝a；（2）AC＝AB+BC＝5+3＝8．12．如圖，在△ABC中，BC＞AB，△ABC的周長(zhǎng)為27cm．（1）尺規(guī)作圖：作AC的垂直平分線DE，分別交BC、AC于點(diǎn)D、E，連接AD；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）（2）若AE＝3cm，求△ABD的周長(zhǎng)．【答案】（1）見解析；（2）21cm．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）由作圖可知AE＝EC＝3cm，DA＝DC，∴AC＝6cm，∵△ABC的周長(zhǎng)為27cm，∴AB+BC＝27﹣6＝21（cm），∵△ABD的周長(zhǎng)＝AB+AD+BD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝21cm．13．如圖，已知銳角∠AOC，按照下面給出的畫法補(bǔ)全圖形，并回答問題．（1）畫法：①畫∠AOC的角平分線OP，在射線OP上任意取一點(diǎn)E；②過(guò)點(diǎn)E畫EM∥OA，交射線OC于點(diǎn)G．（2）問題：請(qǐng)通過(guò)觀察、度量，判斷你畫出的圖形中與∠AOP相等的角．直接寫出兩個(gè)即可．（∠AOP除外）【答案】（1）見解答．（2）∠COP，∠MEP，∠OEG（任意寫出兩個(gè)即可）．【解答】解：（1）如圖所示．（2）圖中與∠AOP相等的角有：∠COP，∠MEP，∠OEG（任意寫出兩個(gè)即可）．14．已知：如圖，△ABC中，AB＝AC，AB＞BC．（1）利用尺規(guī)作圖，作△ABC中AC邊上的高BD（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）求證：．【答案】（1）見解析；（2）見解析．【解答】（1）解：如圖，線段BD即為所求；（2）證明：過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F．∵BD⊥AC，∴∠OFB＝∠ODA＝90°，∵∠BOF＝∠AOD，∴∠CBD＝∠CAF，∵AB＝AC，AF⊥BC，∴∠BAF＝∠CAF，∴∠CBD＝∠BAC．15．如圖，在銳角三角形ABC中，D為BC邊上一點(diǎn)，∠B＝∠BAD＝∠CAD，在AD上求作一點(diǎn)P，使得∠APC＝∠ADB．（1）通過(guò)尺規(guī)作圖確定點(diǎn)P的位置（保留作圖痕跡）；（2）證明滿足此作圖的點(diǎn)P即為所求．【答案】（1）（2）見解析．【解答】解：（1）如圖，點(diǎn)P即為所求；（2）理由：∵點(diǎn)P在AC的垂直平分線上，∴PA＝PC，∴∠PAC＝∠PCA，∴∠CPD＝∠PAC+∠PCA＝2∠PAC，∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝2∠DAC，∴∠CPD＝∠ADC，∴∠APC＝∠ADB，∴點(diǎn)P即為所求作．16．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于M，N兩點(diǎn)，畫直線MN，與AB交于點(diǎn)D，與BC交于點(diǎn)E，連結(jié)AE．（1）由作圖可知，直線MN是線段AB的垂直平分線；（2）當(dāng)AC＝3，BC＝6時(shí)，求△ACE的周長(zhǎng)；（3）若∠CAE的度數(shù)是15°，求∠B的度數(shù)．【答案】（1）垂直平分線；（2）9；（3）37.5°．【解答】解：（1）由作圖可知：直線MN是線段AB的垂直平分線；故答案為：垂直平分線；（3）解：由（2）可知：△ACE的周長(zhǎng)＝AC+CE+AE＝AC+CE+BE＝AC+BC，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝6，∴△ACE的周長(zhǎng)＝AC+BC＝3+6＝9；（3）∵∠C＝90°，∠CAE＝15°，∴∠CEA＝90°﹣15°＝75°，∵EA＝EB，∴∠B＝∠EAB，∵∠CEA＝∠B+∠EAB，∴∠B＝∠CEA＝37.5°．一．選擇題（共11小題）1．如圖，BD為?ABCD的對(duì)角線，分別以B，D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)的直線分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，交BD于點(diǎn)O，連接BE，DF．根據(jù)以上尺規(guī)作圖過(guò)程，下列結(jié)論不一定正確的是（）A．點(diǎn)O為?ABCD的對(duì)稱中心 B．BE平分∠ABD C．S△ABE：S△BDF＝AE：ED D．四邊形BEDF為菱形【答案】B【解答】解：根據(jù)作圖可知：EF垂直平分BD，∴BO＝DO，∴點(diǎn)O為?ABCD的對(duì)稱中心，故A正確；∴BE＝ED，BF＝FD，∵FE＝EF，∴△BFE≌△DFE（SSS），∴∠BFE＝∠DFE，∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，∴∠BFE＝∠DEF，∴∠DFE＝∠DEF，∴DE＝DF，∴BE＝DE＝DF＝BF，∴四邊形BFDE是菱形，故D正確；∴S△BDE＝S△BFD，∴S△ABE：S△BDF＝S△ABE：S△BDE＝AE：ED，故C正確；∵無(wú)法證明∠ABE＝∠DBE，∴BE不一定平分∠ABD，故B錯(cuò)誤，故選：B．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，分別以點(diǎn)A、B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)為半徑作弧，兩弧分別交于E，F(xiàn)，作直線EF，D為BC的中點(diǎn)，M為直線EF上任意一點(diǎn)．若BC＝4，△ABC面積為10，則BM+MD長(zhǎng)度的最小值為（）A． B．3 C．4 D．5【答案】D【解答】解：連接AD，交直線EF于點(diǎn)N，設(shè)EF交AB于點(diǎn)G，由題意得，直線EF為線段AB的垂直平分線，∴AG＝BG，EF⊥AB，∴當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，BM+MD長(zhǎng)度最小，最小值即為AD的長(zhǎng)．∵AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∵BC＝4，△ABC面積為10，∴＝10，解得AD＝5．故選：D．3．如圖，在矩形ABCD中，連接BD，分別以B．D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于P、Q兩點(diǎn)，作直線PQ，分別與AD、BC交于點(diǎn)M、N，連接BM、DN．若AB＝3，BC＝6，則四邊形MBND的周長(zhǎng)為（）A．15 B．9 C． D．【答案】A【解答】解：由作圖過(guò)程可得：PQ為BD的垂直平分線，∴BM＝MD，BN＝ND．設(shè)PQ與BD交于點(diǎn)O，如圖，則BO＝DO．∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠MDO＝∠NBO，∠DMO＝∠BNO，在△MDO和△NBO中，，∴△MDO≌△NBO（AAS），∴DM＝BN，∴四邊形BNDM為平行四邊形，∵BM＝MD，∴四邊形MBND為菱形，∴四邊形MBND的周長(zhǎng)＝4BM．設(shè)MB＝x，則MD＝BM＝x，∴AM＝AD﹣DM＝6﹣x，在Rt△ABM中，∵AB2+AM2＝BM2，∴32+（6﹣x）2＝x2，解得：x＝，∴四邊形MBND的周長(zhǎng)＝4BM＝15．故選：A．4．在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC在x軸上，O為線段BC的中點(diǎn)，矩形ABCD的頂點(diǎn)D（2，3），連接AC按照下列方法作圖：（1）以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為半徑畫弧分別交CA，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)；（2）分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫弧交于點(diǎn)G；（3）作射線CG交AD于H，則線段DH的長(zhǎng)為（）A． B．1 C． D．【答案】C【解答】解：∵O為線段BC的中點(diǎn)，矩形ABCD的頂點(diǎn)D（2，3），∴AD＝BC＝4，AB＝CD＝3，如圖，過(guò)H點(diǎn)作HM⊥AC于M，由作法得CH平分∠ACD，∵HM⊥AC，HD⊥CD，∴HM＝HD，在Rt△ABC中，AC＝＝＝5，在Rt△CHD和Rt△CHM中，，∴Rt△CHD≌Rt△CHM（HL），∴CD＝CM＝3，∴AM＝AC﹣CM＝5﹣3＝2，設(shè)DH＝t，則AH＝4﹣t，HM＝t，在Rt△AHM中，t2+22＝（4﹣t）2，解得t＝1.5，即HD＝1.5，故選：C．5．如圖，?ABCD中，分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，連接BE、DF．若∠BAD＝120°，AE＝1，AB＝2，則線段BF的長(zhǎng)是（）A． B． C．3 D．【答案】D【解答】解：過(guò)B點(diǎn)作BH⊥AE于H點(diǎn)，如圖，∵∠BAD＝120°，∴∠BAH＝60°，在Rt△ABH中，∵AH＝AB＝1，∴BH＝AH＝，在Rt△BHE中，BE＝＝＝，由作法得MN垂直平分BD，∴EB＝ED，∴∠EBD＝∠EDB，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EDB＝∠FBD，∴∠EBD＝∠FBD，∴∠BEF＝∠BFE，∴BF＝BE＝．故選：D．6．如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，兩弧相交于點(diǎn)M和點(diǎn)N；②作直線MN，交BC于點(diǎn)D；③以點(diǎn)D為圓心，DC的長(zhǎng)為半徑畫圓弧，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)CE，則AE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝＝13，由作圖可知BC是直徑，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，∵∠A＝∠A，∠AEC＝∠ACB，∴△ACE∽△ABC，∴＝，∴AE＝＝．故選：C．7．觀察下列尺規(guī)作圖的痕跡，不能判斷△ABC是等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：A、根據(jù)一個(gè)角等于已知角的作法可知∠B＝∠C，△ABC是等腰三角形，不符合題意；B、根據(jù)垂直平分線的作法可知AB＝AC，△ABC是等腰三角形，不符合題意；C、如圖，根據(jù)過(guò)直線外一點(diǎn)作平行線的作法可知，AC∥BD，∠ACB＝∠CBD，根據(jù)角平分線的作法可知，∠ABC＝∠CBD，∴∠ABC＝∠ACB，△ABC是等腰三角形，不符合題意；D、不能判斷△ABC是等腰三角形，符合題意，故選：D．8．如圖，在Rt△ABC中，以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AC，AB于點(diǎn)E，F(xiàn)，再分別以E、F為圓心，以相同長(zhǎng)度為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)O，P為射線AO上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥AC，交AC于點(diǎn)M，連接PC，若AC＝2，BC＝，則PM+PC長(zhǎng)度的最小值為（）A． B． C．3 D．4【答案】A【解答】解：如圖：過(guò)P作PNAB于N，過(guò)C作CH⊥AB，由作圖得：AD平分∠BAC，則PM＝PN，∴PM+PC＝PN+PC≥CN≥CH，在Rt△ABC中，AC＝2，BC＝，∴AB＝，∵2S△ABC＝AC?BC＝AB?CH，即：2＝CH，解得CH＝，故選：A．9．如圖，?AOCD的頂點(diǎn)O（0，0），點(diǎn)C在x軸的正半軸上．以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交OA于點(diǎn)M，交OC于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于MN的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠AOC內(nèi)相交于點(diǎn)E；畫射線OE，交AD于點(diǎn)F（2，3），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：由作法得OF平分∠AOC，∴∠AOF＝∠COF，∵四邊形AOCD為平行四邊形，∴AD∥OC，∴∠AFO＝∠COF，∴∠AOF＝∠AFO，∴AF＝AO，AD交y軸于H點(diǎn)，如圖，設(shè)AH＝t，∵F（2，3），∴OH＝3，HF＝2，∴AO＝t+2，在Rt△AOH中，t2+32＝（t+2）2，解得t＝，∴A（﹣，3）．故選：A．10．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以頂點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫弧，分別交AB，BC于點(diǎn)M，N，再分別以點(diǎn)M，N為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)P，作射線BP交AC于點(diǎn)D，若AC＝2BC，則S△BCD：S△ABD的值為（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AB于G點(diǎn)，如圖，根據(jù)作圖可知：BP平分∠ABC，∵DG⊥AB，∠C＝90°，∴CD＝DG，∵在Rt△ABC中，AC＝2BC，∴，∴，∴在Rt△ADG中，，∵，∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD，∵CD＝DG，∴，故選：B．11．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，以點(diǎn)B為圓心，小于AB的長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交AB，BC于D，E兩點(diǎn)，再分別以點(diǎn)D和點(diǎn)E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，射線BF交AC于點(diǎn)G，則tan∠CBG＝（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意可得BF是∠ABC的角平分線，過(guò)G作GH⊥CB，垂足為H，∵∠A＝90°，∴GH＝GA，且BC＝＝＝10，設(shè)AG＝x，則GH＝x，CG＝8﹣x，∵＝，∴（8﹣x）×6＝，解得x＝3，∴AG＝3，∴tan∠CBG＝tan∠ABG＝＝＝，故選：A．二．解答題（共2小題）12．如圖所示，已知在△ABC中，AB＝4，AC＝BC＝6．（1）求△ABC的面積以及的值；（2）作出△ABC的外接圓⊙O（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）．【答案】（1）；；（2）作圖見解析過(guò)程．【解答】解：（1）如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，∵AC＝BC∴D為AB中點(diǎn)即AD＝BD＝2，CD平分∠ACB即，由勾股定理可知，∴，∴．（2）如圖，分別作線段AB，BC的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，兩垂直平分線的交點(diǎn)O到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，即外接圓圓心，以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，即為所求．13．如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點(diǎn)．（1）請(qǐng)用圓規(guī)和直尺畫BE的垂直平分線交⊙O于點(diǎn)C，點(diǎn)C位于AB上方（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）設(shè)EA和BC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)D，試說(shuō)明∠BCE＝2∠BDE．【答案】（1）圖形見解答；（2）證明過(guò)程見解答．【解答】解：（1）如圖，直線CF即為BE的垂直平分線；（2）∵直線CF為BE的垂直平分線，∴CE＝CB，CF⊥BE，∴∠ECF＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BCF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∴OF∥AE，∴∠BDE＝∠BCF，∴∠BCE＝2∠BDE．1．（2022?錦州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，分別以點(diǎn)A和C為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M和N，作直線MN分別交AD，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)，則AE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】D【解答】解：設(shè)MN與AC的交點(diǎn)為O，∵四邊形ABCD為矩形，∴∠ADC＝90°，AB＝DC＝6，BC＝AD＝8，∴△ADC為直角三角形，∵CD＝6，AD＝8，∴，，又由作圖知MN為AC的垂直平分線，∴∠MOA＝90°，，在Rt△AOE中，，∵cos∠CAD＝cos∠EAO，∴，∴．故選：D．2．（2022?盤錦）如圖，線段AB是半圓O的直徑．分別以點(diǎn)A和點(diǎn)O為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點(diǎn)，作直線MN，交半圓O于點(diǎn)C，交AB于點(diǎn)E，連接AC，BC，若AE＝1，則BC的長(zhǎng)是（）A． B．4 C．6 D．【答案】A【解答】解：如圖，連接OC．根據(jù)作圖知CE垂直平分AO，∴AC＝OC，AE＝OE＝1，∴OC＝OB＝AO＝AE+EO＝2，∴AC＝OC＝AO＝AE+EO＝2，即AB＝AO+BO＝4，∵線段AB是半圓O的直徑，∴∠ACB＝90°，在Rt△ACB中，根據(jù)勾股定理得，，故選A．3．（2023?成都）如圖，在△ABC中，D是邊AB上一點(diǎn)，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)A為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB，AC于點(diǎn)M，N；②以點(diǎn)D為圓心，以AM長(zhǎng)為半徑作弧，交DB于點(diǎn)M′；③以點(diǎn)M′為圓心，以MN長(zhǎng)為半徑作弧，在∠BAC內(nèi)部交前面的弧于點(diǎn)N′；④過(guò)點(diǎn)N′作射線DN′交BC于點(diǎn)E．若△BDE與四邊形ACED的面積比為4：21，則的值為．【答案】．【解答】解：由作圖知，∠A＝∠BDE，∴DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，△BAC的面積：△BDE的面積＝（△BDE的面積+四邊形ACED的面積）：△BDE的面積＝1+四邊形ACED的面積：△BDE的面積＝1+＝，∴△BDC的面積：△BAC的面積＝（）2＝，∴＝，∴＝．故答案為：．4．（2023?益陽(yáng)）如圖，在?ABCD中，AB＝6，AD＝4，以A為圓心，AD的長(zhǎng)為半徑畫弧交AB于點(diǎn)E，連接DE，分別以D，E為圓心，以大于DE的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)F，作射線AF，交DE于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作MN∥AB交BC于點(diǎn)N．則MN的長(zhǎng)為4．【答案】4．【解答】解：延長(zhǎng)NM交AD于點(diǎn)Q，由作圖得：AD＝AE＝4，AF平分∠BAD，∴DM＝ME，∴MN∥AB，∴DQ＝AQ，CN＝BN，∴QM＝2，在?ABCD中，AD∥BC，CD＝AB＝6，∴四邊形CDQN是平行四邊形，∴QN＝C