2024年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷含答案

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2024年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1．（3分）四個(gè)數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

2．（3分）下列圖案中，點(diǎn)O為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的是（）

A． B．

C． D．

3．（3分）若a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（）

A．+＝ B．a(chǎn)3?a2＝a5 C．?＝ D．a(chǎn)3÷a2＝1

4．（3分）若a＜b，則（）

A．a(chǎn)+3＞b+3 B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機(jī)調(diào)查了本地50個(gè)公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)的值為20

B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個(gè)數(shù)最多

C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個(gè)數(shù)最少

D．這50個(gè)公園中有一半以上的公園用地面積超過(guò)12公頃

6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060

C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2

7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18 B．9 C．9 D．6

8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當(dāng)（）時(shí)，y1，y2均隨著x的增大而減?。?/p>

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1

9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP＝5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定

10．（3分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（）

A．π B．π C．2π D．π

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為.

12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時(shí)，U的值為．

13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝．

14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝．

15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為．

16．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則下列結(jié)論：

①k＝2；

②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；

③AE的最小值是；

④∠B'BD＝∠BB'O．

其中正確的結(jié)論有．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17．（4分）解方程：＝．

18．（4分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．

19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．

20．（6分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡(jiǎn)：÷?．

21．（8分）善于提問(wèn)是應(yīng)用人工智能解決問(wèn)題的重要因素之一．為了解同學(xué)們的提問(wèn)水平，對(duì)A，B兩組同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問(wèn)水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：分）：

A組

75

78

82

82

84

86

87

88

93

95

B組

75

77

80

83

85

86

88

88

92

96

（1）求A組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過(guò)90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率．

22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C，從B點(diǎn)測(cè)得地面D點(diǎn)的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間．

參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

23．（10分）一個(gè)人的腳印信息往往對(duì)應(yīng)著這個(gè)人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長(zhǎng)x之間近似存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

腳長(zhǎng)x（cm）

…

23

24

25

26

27

28

…

身高y（cm）

…

156

163

170

177

184

191

…

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，并求出這個(gè)函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場(chǎng)所發(fā)現(xiàn)了一個(gè)人的腳印，腳長(zhǎng)約為25.8cm，請(qǐng)根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計(jì)這個(gè)人的身高．

24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△AEF．（1）當(dāng)∠BAF＝30°時(shí)，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r．

①求r的取值范圍；

②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

25．（12分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）過(guò)點(diǎn)A（x1，2）和點(diǎn)B（x2，2），直線l：y＝m2x+n過(guò)點(diǎn)C（3，1），交線段AB于點(diǎn)D，記△CDA的周長(zhǎng)為C1，△CDB的周長(zhǎng)為C2，且C1＝C2+2．

（1）求拋物線G的對(duì)稱軸；

（2）求m的值；

（3）直線l繞點(diǎn)C以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒后（0≤t＜45）得到直線l′，當(dāng)l′∥AB時(shí)，直線l′交拋物線G于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

①求t的值；

②設(shè)△AEF的面積為S，若對(duì)于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此時(shí)拋物線G的解析式．

2024年廣東省廣州市中考數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）

1．（3分）四個(gè)數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)．3、兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大；兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y(jié)論即可．

【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，

∴最小的數(shù)是：﹣10．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負(fù)數(shù)都小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個(gè)正數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)大，兩個(gè)負(fù)數(shù)比較大小，絕對(duì)值大的數(shù)反而小是本題的關(guān)鍵．

2．（3分）下列圖案中，點(diǎn)O為正方形的中心，陰影部分的兩個(gè)三角形全等，則陰影部分的兩個(gè)三角形關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱的是（）

A． B．

C． D．

【分析】根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)解答即可．

【解答】解：由題可知，A、B、D不是中心對(duì)稱圖形，C是中心對(duì)稱圖形圖形．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是中心對(duì)稱，正方形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)，熟知把一個(gè)圖形繞著某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫做對(duì)稱中心，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．

3．（3分）若a≠0，則下列運(yùn)算正確的是（）

A．+＝ B．a(chǎn)3?a2＝a5 C．?＝ D．a(chǎn)3÷a2＝1

【分析】利用合并同類項(xiàng)法則，同底數(shù)冪乘法及除法法則，分式的乘法法則計(jì)算即可．

【解答】解：+＝＝，則A不符合題意；

a3?a2＝a5，則B符合題意；

?＝，則C不符合題意；

a3÷a2＝a，則D不符合題意；

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查合并同類項(xiàng)，同底數(shù)冪乘法及除法，分式的乘法，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．

4．（3分）若a＜b，則（）

A．a(chǎn)+3＞b+3 B．a(chǎn)﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

【分析】利用不等式的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可．

【解答】解：若a＜b，兩邊同時(shí)加上3得a+3＜b+3，則A不符合題意；

若a＜b，兩邊同時(shí)減去2得a﹣2＜b﹣2，則B不符合題意；

若a＜b，兩邊同時(shí)乘﹣1得﹣a＞﹣b，則C不符合題意；

若a＜b，兩邊同時(shí)乘2得2a＜2b，則D符合題意；

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．

5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機(jī)調(diào)查了本地50個(gè)公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說(shuō)法正確的是（）

A．a(chǎn)的值為20

B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個(gè)數(shù)最多

C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個(gè)數(shù)最少

D．這50個(gè)公園中有一半以上的公園用地面積超過(guò)12公頃

【分析】用樣本容量50分別減去其它四組的頻數(shù)可得a的值；根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可知用地面積在8＜x≤12這一組的公園個(gè)數(shù)最多，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個(gè)數(shù)最少，這50個(gè)公園中有20個(gè)公園用地面積超過(guò)12公頃．

【解答】解：由題意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故選項(xiàng)A不符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在8＜x≤12這一組的公園個(gè)數(shù)最多，故選項(xiàng)B符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個(gè)數(shù)最少，故選項(xiàng)C不符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，這50個(gè)公園中有20個(gè)公園用地面積超過(guò)12公頃，沒有達(dá)到一半，故選項(xiàng)D不符合題意．

故選：B．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在頻數(shù)分布直方圖中獲取數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算．

6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設(shè)該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060

C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2

【分析】等量關(guān)系：今年5月交付新車的數(shù)量＝1.2×去年5月交付的新車數(shù)量+1100．

【解答】解：根據(jù)題意，得1.2x+1100＝35060．

故選：A．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等量關(guān)系，列出方程．

7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18 B．9 C．9 D．6

【分析】由等腰直角三角形的性質(zhì)可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解．

【解答】解：如圖，連接AD，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點(diǎn)，

∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴S△ADE＝S△CDF，

∴四邊形AEDF的面積＝S△ADC＝S△ABC＝9，

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．

8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當(dāng)（）時(shí)，y1，y2均隨著x的增大而減?。?/p>

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象解答即可．

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象當(dāng)x＞1時(shí)，y1隨著x的增大而減小，同樣當(dāng)x＞1時(shí)，反比例函數(shù)y2隨著x的增大而減?。?/p>

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合是解答本題的關(guān)鍵．

9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長(zhǎng)為4，點(diǎn)C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內(nèi)有一點(diǎn)P，若OP＝5，則點(diǎn)P與⊙O的位置關(guān)系是（）

A．點(diǎn)P在⊙O上 B．點(diǎn)P在⊙O內(nèi) C．點(diǎn)P在⊙O外 D．無(wú)法確定

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，設(shè)OD＝x，則OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，進(jìn)而可得出OA的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系即可得出結(jié)論．

【解答】解：設(shè)AB與OC交于點(diǎn)D，

∵弦AB的長(zhǎng)為4，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝2，

∵∠ABC＝30°，

∴∠AOD＝2∠B＝60°，

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，

∴OA＝2OD，

設(shè)OD＝x，則OA＝2x，

在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2，

解得x＝±2（負(fù)值舍去），

∴OA＝2x＝4，

∵OP＝5，

∴OP＞OA，

∴點(diǎn)P在圓外．

故選：C．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，垂徑定理及勾股定理，圓周角定理，熟知點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有3種．設(shè)⊙O的半徑為r，點(diǎn)P到圓心的距離OP＝d，則有點(diǎn)P在圓外?d＞r；點(diǎn)P在圓上?d＝r；點(diǎn)P在圓內(nèi)?d＜r是解題的關(guān)鍵．

10．（3分）如圖，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（）

A．π B．π C．2π D．π

【分析】根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)公式可得圓錐的底面周長(zhǎng)，進(jìn)而得出底面半徑，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，然后根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算即可．

【解答】解：由題意得，圓錐的底面圓周長(zhǎng)為＝2π，

故圓錐的底面圓的半徑為＝1，

所以圓錐的高為：＝，

該圓錐的體積是：＝π．

故選：D．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了幾何體的展開圖，關(guān)鍵是掌握?qǐng)A錐的側(cè)面展開圖的弧長(zhǎng)等于底面周長(zhǎng)；弧長(zhǎng)公式為：．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為109°.

【分析】由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠3＝109°．

【解答】解：∵∠1＝71°，

∴∠3＝180°﹣71°＝109°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝109°．

故答案為：109°．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查平行線的性質(zhì)，關(guān)鍵是由平行線的性質(zhì)推出∠2＝∠3＝109°．

12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個(gè)電阻串聯(lián)起來(lái)，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當(dāng)R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時(shí)，U的值為220．

【分析】根據(jù)題干條件代值即可．

【解答】解：由題意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．

故答案為：220．

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，根據(jù)題意列出式子是解題關(guān)鍵．

13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點(diǎn)E在DA的延長(zhǎng)線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝5．

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)得AD∥BC，AD＝BC＝2，則∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，則AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到問(wèn)題的答案．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2，

∴∠EAB＝∠CBA，

∵BA平分∠EBC，

∴∠EBA＝∠CBA，

∴∠EAB＝∠EBA，

∴AE＝BE＝3，

∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，

故答案為：5．

【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查平行四邊形的性質(zhì)、角平分線的定義、“等角對(duì)等邊”等知識(shí)，推導(dǎo)出∠EAB＝∠EBA是解題的關(guān)鍵．

14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝11．

【分析】由已知條件可得a2﹣2a＝5，將原式變形后代入數(shù)值計(jì)算即可．

【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，

∴a2﹣2a＝5，

∴原式＝2（a2﹣2a）+1

＝2×5+1

＝11，

故答案為：11．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查代數(shù)式求值，將原式進(jìn)行正確的變形是解題的關(guān)鍵．

15．（3分）定義新運(yùn)算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為﹣或．

【分析】根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論的方法列出方程，然后求解即可．

【解答】解：∵x?1＝﹣，

∴當(dāng)x≤0時(shí)，x2﹣1＝﹣，

解得x＝﹣或x＝（不合題意，舍去）；

當(dāng)x＞0時(shí)，﹣x+1＝﹣，

解得x＝；

由上可得，x的值為﹣或，

故答案為：﹣或．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、新定義，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．

16．（3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的頂點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點(diǎn)A平移后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥y軸于點(diǎn)E，則下列結(jié)論：

①k＝2；

②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；

③AE的最小值是；

④∠B'BD＝∠BB'O．

其中正確的結(jié)論有①②④．（填寫所有正確結(jié)論的序號(hào)）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷①，根據(jù)反比例函數(shù)k值幾何意義判斷②，根據(jù)矩形性質(zhì)判斷③④即可．

【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），

∴B（1，2），

∵矩形OABC的頂點(diǎn)B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝2，故①正確；

②∵點(diǎn)B、點(diǎn)D在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴S△AOB＝S△AOD＝，

∴S△OBM＝S梯形AMDA′，

∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正確；

③隨著線段AB向右平移的過(guò)程，平移后的線段與反比例函數(shù)的交點(diǎn)D也逐漸下移，此時(shí)過(guò)點(diǎn)D作y軸的垂線交點(diǎn)E也下移，所以AE的最小值逐漸趨向于OA的長(zhǎng)度，故③錯(cuò)誤；

④向右平移的過(guò)程中角B′BD與角BB′O變化相同，這兩個(gè)角剛好是矩形BB′ND的對(duì)角線與邊的夾角，所以是相等，④正確．

故正確的結(jié)論有①②④．

故答案為：①②④．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、坐標(biāo)與圖形變化，熟練掌握平移性質(zhì)是關(guān)鍵．

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）

17．（4分）解方程：＝．

【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．

【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15，

解得：x＝3，

檢驗(yàn)：當(dāng)x＝3時(shí)，x（2x﹣5）≠0，

故原方程的解為x＝3．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關(guān)鍵．

18．（4分）如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．

【分析】先根據(jù)BE＝3，EC＝6得出BC的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出AB的長(zhǎng)，由相似三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論．

【解答】證明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，

∴BC＝3+6＝9，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，

∵＝＝，＝，

∴＝，

∴△ABE∽△ECF．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定，熟知兩組對(duì)應(yīng)邊的比相等且夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似是解題的關(guān)鍵．

19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．

【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AC于O，連接BO，于是得到結(jié)論；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)以及矩形的判定定理即可得到結(jié)論．

【解答】（1）解：如圖所示，線段BO為AC邊上的中線；

（2）證明：∵點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，

∴AO＝CO，

∵將中線BO繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到DO，

∴BO＝DO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了作圖﹣基本作圖，矩形的判定，中心對(duì)稱圖形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關(guān)鍵．

20．（6分）關(guān)于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡(jiǎn)：÷?．

【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．

（2）根據(jù)m的取值范圍化簡(jiǎn)即可．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，

解得m＞3；

（2）∵m＞3，

∴m﹣3＞0，

∴÷?

＝??

＝﹣2．

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關(guān)系以及絕對(duì)值和分式乘除法的化簡(jiǎn)，根據(jù)題意得到關(guān)于m的不等式是解題的關(guān)鍵．

21．（8分）善于提問(wèn)是應(yīng)用人工智能解決問(wèn)題的重要因素之一．為了解同學(xué)們的提問(wèn)水平，對(duì)A，B兩組同學(xué)進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并根據(jù)結(jié)果對(duì)每名同學(xué)的提問(wèn)水平進(jìn)行評(píng)分，得分情況如下（單位：分）：

A組

75

78

82

82

84

86

87

88

93

95

B組

75

77

80

83

85

86

88

88

92

96

（1）求A組同學(xué)得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過(guò)90分的4名同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參與訪談，求這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率．

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案．

（2）列表可得出所有等可能的結(jié)果數(shù)以及這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的結(jié)果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．

【解答】解：（1）將10名A組同學(xué)的得分按照從小到大的順序排列，排在第5和第6名的成績(jī)?yōu)?4，86，

∴A組同學(xué)得分的中位數(shù)為（84+86）÷2＝85（分）．

由表格可知，A組同學(xué)得分的眾數(shù)為82分．

（2）將A組的兩名同學(xué)分別記為甲、乙，將B組的兩名同學(xué)分別記為丙，丁，

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結(jié)果，其中這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的結(jié)果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4種，

∴這2名同學(xué)恰好來(lái)自同一組的概率為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)，熟練掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解答本題的關(guān)鍵．

22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號(hào)著陸器和上升器組合體（簡(jiǎn)稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實(shí)踐小組制作了一個(gè)“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗(yàn)中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點(diǎn)垂直下降到B點(diǎn)，再垂直下降到著陸點(diǎn)C，從B點(diǎn)測(cè)得地面D點(diǎn)的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．

（1）求CD的長(zhǎng)；

（2）若模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，求模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間．

參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

【分析】（1）根據(jù)題意可得：AC⊥CD，BE∥CD，從而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長(zhǎng)，即可解答；

（2）在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長(zhǎng)，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)，從而利用線段的和差關(guān)系求出AB的長(zhǎng)，最后進(jìn)行計(jì)算即可解答．

【解答】解：（1）如圖：

由題意得：AC⊥CD，BE∥CD，

∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，

在Rt△BCD中，BD＝10米，

∴CD＝BD?cos36.87°≈10×0.80＝8（米），

∴CD的長(zhǎng)約為8米；

（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，

∴BC＝BD?sin36.87°≈10×0.6＝6（米），

在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，

∴AC＝＝＝15（米），

∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），

∵模擬裝置從A點(diǎn)以每秒2米的速度勻速下降到B點(diǎn)，

∴模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間＝9÷2＝4.5（秒），

∴模擬裝置從A點(diǎn)下降到B點(diǎn)的時(shí)間約為4.5秒．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問(wèn)題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．

23．（10分）一個(gè)人的腳印信息往往對(duì)應(yīng)著這個(gè)人某些方面的基本特征．某數(shù)學(xué)興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長(zhǎng)數(shù)據(jù)，通過(guò)對(duì)數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長(zhǎng)x之間近似存在一個(gè)函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如表：

腳長(zhǎng)x（cm）

…

23

24

25

26

27

28

…

身高y（cm）

…

156

163

170

177

184

191

…

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個(gè)函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長(zhǎng)的函數(shù)關(guān)系，并求出這個(gè)函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場(chǎng)所發(fā)現(xiàn)了一個(gè)人的腳印，腳長(zhǎng)約為25.8cm，請(qǐng)根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計(jì)這個(gè)人的身高．

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)即可；

（2）先排除反比例函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；

（3）將x＝25.8代入一次函數(shù)解析式求出y值即可．

【解答】解：（1）描點(diǎn)如圖示：

（2）∵y＝（k≠0）轉(zhuǎn)化為k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠???，

∴y與x的函數(shù)不可能是y＝，

故選一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0），將點(diǎn)（23，156）、（24，163）代入解析式得：

，解得，

∴一次函數(shù)解析式為y＝7x﹣5．

（3）當(dāng)x＝25.8時(shí)，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．

答：腳長(zhǎng)約為25.8cm，估計(jì)這個(gè)人的身高為175.6cm．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是關(guān)鍵．

24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點(diǎn)E在射線BC上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)B，點(diǎn)C重合），△AEB關(guān)于AE的軸對(duì)稱圖形為△AEF．（1）當(dāng)∠BAF＝30°時(shí)，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；

（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設(shè)⊙O的半徑為r．

①求r的取值范圍；

②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長(zhǎng)度；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)易得AB＝AF＝AD再根據(jù)角度求出∠DAF＝90°即可得證；

（2）畫出示意圖，找到半徑r和AE的關(guān)系，在求出AE的范圍即可求解；

（3）畫出示意圖，利用弦切角定理和圓周角定理以及等腰三角形的性質(zhì)可求得∠AEF＝∠AEB＝75°，再在解三角形ABE即可求解．

【解答】解：（1）AF＝AD，AF⊥AD，理由如下，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，

∵△ABE和△AFE關(guān)于AE軸對(duì)稱，

∴AB＝AF，

∴AF＝AD，

∵∠BAF＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，

∴AF⊥AD，

綜上，AF＝AD，AF⊥AD．

（2）①如圖，設(shè)△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OE，作OG⊥AE于點(diǎn)G，作AH⊥BC于點(diǎn)H．

∵∠AFE＝∠ABE＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA＝30°，

∴OA＝＝AG，

∵r＝OA＝AG＝?AE＝AE，

在Rt△ABH中，AH＝AB?sin60°＝9+3，

∵AE≥AH，且點(diǎn)E不與B、C重合，

∴AE≥9+3，且AE≠6+6，

∴r≥3+3，且r≠2+6．

（3）能相切，此時(shí)BE＝12，理由如下：

假設(shè)存在，如圖畫出示意圖，設(shè)△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OF，作EH⊥AB于點(diǎn)H，

設(shè)∠AFD＝α，則∠AEF＝∠AEB＝α（弦切角），

∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2α，

∵AF＝AD，

∴∠ADF＝∠AFD＝α，

∴∠DAF＝180°﹣2α，

∵∠CEF＝∠CAF，

∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF，