2024年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷含答案

第

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2024年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1．（3分）四個數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

2．（3分）下列圖案中，點O為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點O對稱的是（）

A． B．

C． D．

3．（3分）若a≠0，則下列運算正確的是（）

A．+＝ B．a3?a2＝a5 C．?＝ D．a3÷a2＝1

4．（3分）若a＜b，則（）

A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調查了本地50個公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說法正確的是（）

A．a的值為20

B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多

C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個數(shù)最少

D．這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060

C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2

7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18 B．9 C．9 D．6

8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當（）時，y1，y2均隨著x的增大而減?。?/p>

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1

9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長為4，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內有一點P，若OP＝5，則點P與⊙O的位置關系是（）

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O外 D．無法確定

10．（3分）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（）

A．π B．π C．2π D．π

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為.

12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的值為．

13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點E在DA的延長線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝．

14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝．

15．（3分）定義新運算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為．

16．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點A平移后的對應點為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結論：

①k＝2；

②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；

③AE的最小值是；

④∠B'BD＝∠BB'O．

其中正確的結論有．（填寫所有正確結論的序號）

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17．（4分）解方程：＝．

18．（4分）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．

19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．

20．（6分）關于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個不等的實數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡：÷?．

21．（8分）善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對A，B兩組同學進行問卷調查，并根據(jù)結果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：

A組

75

78

82

82

84

86

87

88

93

95

B組

75

77

80

83

85

86

88

88

92

96

（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．

22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點，再垂直下降到著陸點C，從B點測得地面D點的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．

（1）求CD的長；

（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，求模擬裝置從A點下降到B點的時間．

參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

23．（10分）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表：

腳長x（cm）

…

23

24

25

26

27

28

…

身高y（cm）

…

156

163

170

177

184

191

…

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應的點（x，y）；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數(shù)關系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計這個人的身高．

24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF．（1）當∠BAF＝30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關系，并說明理由；

（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑為r．

①求r的取值范圍；

②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．

25．（12分）已知拋物線G：y＝ax2﹣6ax﹣a3+2a2+1（a＞0）過點A（x1，2）和點B（x2，2），直線l：y＝m2x+n過點C（3，1），交線段AB于點D，記△CDA的周長為C1，△CDB的周長為C2，且C1＝C2+2．

（1）求拋物線G的對稱軸；

（2）求m的值；

（3）直線l繞點C以每秒3°的速度順時針旋轉t秒后（0≤t＜45）得到直線l′，當l′∥AB時，直線l′交拋物線G于E，F(xiàn)兩點．

①求t的值；

②設△AEF的面積為S，若對于任意的a＞0，均有S≥k成立，求k的最大值及此時拋物線G的解析式．

2024年廣東省廣州市中考數(shù)學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，滿分30分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1．（3分）四個數(shù)﹣10，﹣1，0，10中，最小的數(shù)是（）

A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10

【分析】利用有理數(shù)大小的比較方法：1、在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的總比左邊的數(shù)大．2、正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)．3、兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而?。凑諒男〉酱蟮捻樞蚺帕姓页鼋Y論即可．

【解答】解：∵﹣10＜﹣1＜0＜10，

∴最小的數(shù)是：﹣10．

故選：A．

【點評】本題考查了有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)都大于零，負數(shù)都小于零，正數(shù)大于負數(shù)，兩個正數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)大，兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的數(shù)反而小是本題的關鍵．

2．（3分）下列圖案中，點O為正方形的中心，陰影部分的兩個三角形全等，則陰影部分的兩個三角形關于點O對稱的是（）

A． B．

C． D．

【分析】根據(jù)中心對稱的性質解答即可．

【解答】解：由題可知，A、B、D不是中心對稱圖形，C是中心對稱圖形圖形．

故選：C．

【點評】本題考查的是中心對稱，正方形的性質及全等三角形的性質，熟知把一個圖形繞著某個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心，這兩個圖形中的對應點叫做關于中心的對稱點是解題的關鍵．

3．（3分）若a≠0，則下列運算正確的是（）

A．+＝ B．a3?a2＝a5 C．?＝ D．a3÷a2＝1

【分析】利用合并同類項法則，同底數(shù)冪乘法及除法法則，分式的乘法法則計算即可．

【解答】解：+＝＝，則A不符合題意；

a3?a2＝a5，則B符合題意；

?＝，則C不符合題意；

a3÷a2＝a，則D不符合題意；

故選：B．

【點評】本題考查合并同類項，同底數(shù)冪乘法及除法，分式的乘法，熟練掌握相關運算法則是解題的關鍵．

4．（3分）若a＜b，則（）

A．a+3＞b+3 B．a﹣2＞b﹣2 C．﹣a＜﹣b D．2a＜2b

【分析】利用不等式的性質逐項判斷即可．

【解答】解：若a＜b，兩邊同時加上3得a+3＜b+3，則A不符合題意；

若a＜b，兩邊同時減去2得a﹣2＜b﹣2，則B不符合題意；

若a＜b，兩邊同時乘﹣1得﹣a＞﹣b，則C不符合題意；

若a＜b，兩邊同時乘2得2a＜2b，則D符合題意；

故選：D．

【點評】本題考查不等式的性質，此為基礎且重要知識點，必須熟練掌握．

5．（3分）為了解公園用地面積x（單位：公頃）的基本情況，某地隨機調查了本地50個公園的用地面積，按照0＜x≤4，4＜x≤8，8＜x≤12，12＜x≤16，16＜x≤20的分組繪制了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖，下列說法正確的是（）

A．a的值為20

B．用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多

C．用地面積在4＜x≤8這一組的公園個數(shù)最少

D．這50個公園中有一半以上的公園用地面積超過12公頃

【分析】用樣本容量50分別減去其它四組的頻數(shù)可得a的值；根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可知用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個數(shù)最少，這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃．

【解答】解：由題意可得，a＝50﹣4﹣16﹣12﹣8＝10，故選項A不符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在8＜x≤12這一組的公園個數(shù)最多，故選項B符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，用地面積在0＜x≤4這一組的公園個數(shù)最少，故選項C不符合題意；

由頻數(shù)分布直方圖可知，這50個公園中有20個公園用地面積超過12公頃，沒有達到一半，故選項D不符合題意．

故選：B．

【點評】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，解決問題的關鍵是在頻數(shù)分布直方圖中獲取數(shù)據(jù)進行計算．

6．（3分）某新能源車企今年5月交付新車35060輛，且今年5月交付新車的數(shù)量比去年5月交付的新車數(shù)量的1.2倍還多1100輛．設該車企去年5月交付新車x輛，根據(jù)題意，可列方程為（）

A．1.2x+1100＝35060 B．1.2x﹣1100＝35060

C．1.2（x+1100）＝35060 D．x﹣1100＝35060×1.2

【分析】等量關系：今年5月交付新車的數(shù)量＝1.2×去年5月交付的新車數(shù)量+1100．

【解答】解：根據(jù)題意，得1.2x+1100＝35060．

故選：A．

【點評】本題主要考查了由實際問題抽象出一元一次方程，解題的關鍵是讀懂題意，找到等量關系，列出方程．

7．（3分）如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，點E，F(xiàn)分別在邊AB，AC上，AE＝CF，則四邊形AEDF的面積為（）

A．18 B．9 C．9 D．6

【分析】由等腰直角三角形的性質可得AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，由“SAS”可證△ADE≌△CDF，可得S△ADE＝S△CDF，即可求解．

【解答】解：如圖，連接AD，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝6，D為邊BC的中點，

∴AD＝BD＝CD，∠BAD＝∠C＝45°，S△ABC＝×6×6＝18，

在△ADE和△CDF中，

，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴S△ADE＝S△CDF，

∴四邊形AEDF的面積＝S△ADC＝S△ABC＝9，

故選：C．

【點評】本題主要考查了全等三角形的判定和性質，等腰直角三角形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．

8．（3分）函數(shù)y1＝ax2+bx+c與y2＝的圖象如圖所示，當（）時，y1，y2均隨著x的增大而減小．

A．x＜﹣1 B．﹣1＜x＜0 C．0＜x＜2 D．x＞1

【分析】根據(jù)二次函數(shù)和反比例函數(shù)圖象解答即可．

【解答】解：根據(jù)二次函數(shù)圖象當x＞1時，y1隨著x的增大而減小，同樣當x＞1時，反比例函數(shù)y2隨著x的增大而減?。?/p>

故選：D．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與二次函數(shù)的圖象與性質，數(shù)形結合是解答本題的關鍵．

9．（3分）如圖，⊙O中，弦AB的長為4，點C在⊙O上，OC⊥AB，∠ABC＝30°．⊙O所在的平面內有一點P，若OP＝5，則點P與⊙O的位置關系是（）

A．點P在⊙O上 B．點P在⊙O內 C．點P在⊙O外 D．無法確定

【分析】先根據(jù)垂徑定理得出AD＝BD＝AB，再由∠ABC＝30°得出∠AOD＝2∠B＝60°，故∠A＝30°，可知OA＝2OD，設OD＝x，則OA＝2x，利用勾股定理求出x的值，進而可得出OA的長，根據(jù)點與圓的位置關系即可得出結論．

【解答】解：設AB與OC交于點D，

∵弦AB的長為4，OC⊥AB，

∴AD＝BD＝AB＝2，

∵∠ABC＝30°，

∴∠AOD＝2∠B＝60°，

∴∠A＝90°﹣60°＝30°，

∴OA＝2OD，

設OD＝x，則OA＝2x，

在Rt△AOD中，OD2+AD2＝OA2，即x2+（2）2＝（2x）2，

解得x＝±2（負值舍去），

∴OA＝2x＝4，

∵OP＝5，

∴OP＞OA，

∴點P在圓外．

故選：C．

【點評】本題考查的是點與圓的位置關系，垂徑定理及勾股定理，圓周角定理，熟知點與圓的位置關系有3種．設⊙O的半徑為r，點P到圓心的距離OP＝d，則有點P在圓外?d＞r；點P在圓上?d＝r；點P在圓內?d＜r是解題的關鍵．

10．（3分）如圖，圓錐的側面展開圖是一個圓心角為72°的扇形，若扇形的半徑l是5，則該圓錐的體積是（）

A．π B．π C．2π D．π

【分析】根據(jù)扇形的弧長公式可得圓錐的底面周長，進而得出底面半徑，再根據(jù)勾股定理求出圓錐的高，然后根據(jù)圓錐的體積公式計算即可．

【解答】解：由題意得，圓錐的底面圓周長為＝2π，

故圓錐的底面圓的半徑為＝1，

所以圓錐的高為：＝，

該圓錐的體積是：＝π．

故選：D．

【點評】本題考查了幾何體的展開圖，關鍵是掌握圓錐的側面展開圖的弧長等于底面周長；弧長公式為：．

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分.）

11．（3分）如圖，直線l分別與直線a，b相交，a∥b，若∠1＝71°，則∠2的度數(shù)為109°.

【分析】由鄰補角的性質得到∠3＝180°﹣71°＝109°，由平行線的性質推出∠2＝∠3＝109°．

【解答】解：∵∠1＝71°，

∴∠3＝180°﹣71°＝109°，

∵a∥b，

∴∠2＝∠3＝109°．

故答案為：109°．

【點評】本題考查平行線的性質，關鍵是由平行線的性質推出∠2＝∠3＝109°．

12．（3分）如圖，把R1，R2，R3三個電阻串聯(lián)起來，線路AB上的電流為I，電壓為U，則U＝IR1+IR2+IR3，當R1＝20.3，R2＝31.9，R3＝47.8，I＝2.2時，U的值為220．

【分析】根據(jù)題干條件代值即可．

【解答】解：由題意可得U＝2.2×（20.3+31.9+47.8）＝220．

故答案為：220．

【點評】本題主要考查有理數(shù)的混合運算，根據(jù)題意列出式子是解題關鍵．

13．（3分）如圖，?ABCD中，BC＝2，點E在DA的延長線上，BE＝3，若BA平分∠EBC，則DE＝5．

【分析】由平行四邊形的性質得AD∥BC，AD＝BC＝2，則∠EAB＝∠CBA，而∠EBA＝∠CBA，所以∠EAB＝∠EBA，則AE＝BE＝3，求得DE＝AD+AE＝5，于是得到問題的答案．

【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥BC，AD＝BC＝2，

∴∠EAB＝∠CBA，

∵BA平分∠EBC，

∴∠EBA＝∠CBA，

∴∠EAB＝∠EBA，

∴AE＝BE＝3，

∴DE＝AD+AE＝2+3＝5，

故答案為：5．

【點評】此題重點考查平行四邊形的性質、角平分線的定義、“等角對等邊”等知識，推導出∠EAB＝∠EBA是解題的關鍵．

14．（3分）若a2﹣2a﹣5＝0，則2a2﹣4a+1＝11．

【分析】由已知條件可得a2﹣2a＝5，將原式變形后代入數(shù)值計算即可．

【解答】解：∵a2﹣2a﹣5＝0，

∴a2﹣2a＝5，

∴原式＝2（a2﹣2a）+1

＝2×5+1

＝11，

故答案為：11．

【點評】本題考查代數(shù)式求值，將原式進行正確的變形是解題的關鍵．

15．（3分）定義新運算：a?b＝例如：﹣2?4＝（﹣2）2﹣4＝0，2?3＝﹣2+3＝1．若x?1＝﹣，則x的值為﹣或．

【分析】根據(jù)題目中的新定義，利用分類討論的方法列出方程，然后求解即可．

【解答】解：∵x?1＝﹣，

∴當x≤0時，x2﹣1＝﹣，

解得x＝﹣或x＝（不合題意，舍去）；

當x＞0時，﹣x+1＝﹣，

解得x＝；

由上可得，x的值為﹣或，

故答案為：﹣或．

【點評】本題考查一元一次方程的應用、新定義，解答本題的關鍵是明確題意，列出相應的方程．

16．（3分）如圖，平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，A（1，0），C（0，2）．將線段AB沿x軸正方向平移得線段A'B'（點A平移后的對應點為A′），A'B'交函數(shù)y＝（x＞0）的圖象于點D，過點D作DE⊥y軸于點E，則下列結論：

①k＝2；

②△OBD的面積等于四邊形ABDA′的面積；

③AE的最小值是；

④∠B'BD＝∠BB'O．

其中正確的結論有①②④．（填寫所有正確結論的序號）

【分析】根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征判斷①，根據(jù)反比例函數(shù)k值幾何意義判斷②，根據(jù)矩形性質判斷③④即可．

【解答】解：①∵A（1，0），C（0，2），

∴B（1，2），

∵矩形OABC的頂點B在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝2，故①正確；

②∵點B、點D在函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴S△AOB＝S△AOD＝，

∴S△OBM＝S梯形AMDA′，

∴S△OBD＝S梯形ABDA′，故②正確；

③隨著線段AB向右平移的過程，平移后的線段與反比例函數(shù)的交點D也逐漸下移，此時過點D作y軸的垂線交點E也下移，所以AE的最小值逐漸趨向于OA的長度，故③錯誤；

④向右平移的過程中角B′BD與角BB′O變化相同，這兩個角剛好是矩形BB′ND的對角線與邊的夾角，所以是相等，④正確．

故正確的結論有①②④．

故答案為：①②④．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)k值的幾何意義、反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征、坐標與圖形變化，熟練掌握平移性質是關鍵．

三、解答題（本大題共9小題，滿分72分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

17．（4分）解方程：＝．

【分析】利用去分母將原方程化為整式方程，解得x的值后進行檢驗即可．

【解答】解：原方程去分母得：x＝6x﹣15，

解得：x＝3，

檢驗：當x＝3時，x（2x﹣5）≠0，

故原方程的解為x＝3．

【點評】本題考查解分式方程，熟練掌握解方程的方法是解題的關鍵．

18．（4分）如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．

【分析】先根據(jù)BE＝3，EC＝6得出BC的長，進而可得出AB的長，由相似三角形的性質即可得出結論．

【解答】證明：∵BE＝3，EC＝6，CF＝2，

∴BC＝3+6＝9，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝BC＝9，∠B＝∠C＝90°，

∵＝＝，＝，

∴＝，

∴△ABE∽△ECF．

【點評】本題考查的是相似三角形的判定，熟知兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似是解題的關鍵．

19．（6分）如圖，Rt△ABC中，∠B＝90°．

（1）尺規(guī)作圖：作AC邊上的中線BO（保留作圖痕跡，不寫作法）；

（2）在（1）所作的圖中，將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，連接AD，CD．求證：四邊形ABCD是矩形．

【分析】（1）作線段AC的垂直平分線交AC于O，連接BO，于是得到結論；

（2）根據(jù)平行四邊形的判定和性質以及矩形的判定定理即可得到結論．

【解答】（1）解：如圖所示，線段BO為AC邊上的中線；

（2）證明：∵點O是AC的中點，

∴AO＝CO，

∵將中線BO繞點O逆時針旋轉180°得到DO，

∴BO＝DO，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵∠ABC＝90°，

∴四邊形ABCD是矩形．

【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖，矩形的判定，中心對稱圖形，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．

20．（6分）關于x的方程x2﹣2x+4﹣m＝0有兩個不等的實數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）化簡：÷?．

【分析】（1）根據(jù)判別式的意義得到Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，然后解不等式即可．

（2）根據(jù)m的取值范圍化簡即可．

【解答】解：（1）根據(jù)題意得Δ＝（﹣2）2﹣4（4﹣m）＞0，

解得m＞3；

（2）∵m＞3，

∴m﹣3＞0，

∴÷?

＝??

＝﹣2．

【點評】此題主要考查一元二次方程根的情況與判別式△的關系以及絕對值和分式乘除法的化簡，根據(jù)題意得到關于m的不等式是解題的關鍵．

21．（8分）善于提問是應用人工智能解決問題的重要因素之一．為了解同學們的提問水平，對A，B兩組同學進行問卷調查，并根據(jù)結果對每名同學的提問水平進行評分，得分情況如下（單位：分）：

A組

75

78

82

82

84

86

87

88

93

95

B組

75

77

80

83

85

86

88

88

92

96

（1）求A組同學得分的中位數(shù)和眾數(shù)；

（2）現(xiàn)從A，B兩組得分超過90分的4名同學中隨機抽取2名同學參與訪談，求這2名同學恰好來自同一組的概率．

【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)和眾數(shù)的定義可得答案．

（2）列表可得出所有等可能的結果數(shù)以及這2名同學恰好來自同一組的結果數(shù)，再利用概率公式可得出答案．

【解答】解：（1）將10名A組同學的得分按照從小到大的順序排列，排在第5和第6名的成績?yōu)?4，86，

∴A組同學得分的中位數(shù)為（84+86）÷2＝85（分）．

由表格可知，A組同學得分的眾數(shù)為82分．

（2）將A組的兩名同學分別記為甲、乙，將B組的兩名同學分別記為丙，丁，

畫樹狀圖如下：

共有12種等可能的結果，其中這2名同學恰好來自同一組的結果有：甲乙，乙甲，丙丁，丁丙，共4種，

∴這2名同學恰好來自同一組的概率為．

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)，熟練掌握列表法與樹狀圖法、中位數(shù)、眾數(shù)的定義是解答本題的關鍵．

22．（10分）2024年6月2日，嫦娥六號著陸器和上升器組合體（簡稱為“著上組合體”）成功著陸在月球背面．某校綜合實踐小組制作了一個“著上組合體”的模擬裝置，在一次試驗中，如圖，該模擬裝置在緩速下降階段從A點垂直下降到B點，再垂直下降到著陸點C，從B點測得地面D點的俯角為36.87°，AD＝17米，BD＝10米．

（1）求CD的長；

（2）若模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，求模擬裝置從A點下降到B點的時間．

參考數(shù)據(jù)：sin36.87°≈0.60，cos36.87°≈0.80，tan36.87°≈0.75．

【分析】（1）根據(jù)題意可得：AC⊥CD，BE∥CD，從而可得∠EBD＝∠BDC＝36.87°，然后在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出CD的長，即可解答；

（2）在Rt△BCD中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出BC的長，然后在Rt△ACD中，利用勾股定理求出AC的長，從而利用線段的和差關系求出AB的長，最后進行計算即可解答．

【解答】解：（1）如圖：

由題意得：AC⊥CD，BE∥CD，

∴∠EBD＝∠BDC＝36.87°，

在Rt△BCD中，BD＝10米，

∴CD＝BD?cos36.87°≈10×0.80＝8（米），

∴CD的長約為8米；

（2）在Rt△BCD中，BD＝10米，∠BDC＝36.87°，

∴BC＝BD?sin36.87°≈10×0.6＝6（米），

在Rt△ACD中，AD＝17米，CD＝8米，

∴AC＝＝＝15（米），

∴AB＝AC﹣BC＝15﹣6＝9（米），

∵模擬裝置從A點以每秒2米的速度勻速下降到B點，

∴模擬裝置從A點下降到B點的時間＝9÷2＝4.5（秒），

∴模擬裝置從A點下降到B點的時間約為4.5秒．

【點評】本題考查了解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解題的關鍵．

23．（10分）一個人的腳印信息往往對應著這個人某些方面的基本特征．某數(shù)學興趣小組收集了大量不同人群的身高和腳長數(shù)據(jù)，通過對數(shù)據(jù)的整理和分析，發(fā)現(xiàn)身高y和腳長x之間近似存在一個函數(shù)關系，部分數(shù)據(jù)如表：

腳長x（cm）

…

23

24

25

26

27

28

…

身高y（cm）

…

156

163

170

177

184

191

…

（1）在圖1中描出表中數(shù)據(jù)對應的點（x，y）；

（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，從y＝ax+b（a≠0）和y＝（k≠0）中選擇一個函數(shù)模型，使它能近似地反映身高和腳長的函數(shù)關系，并求出這個函數(shù)的解析式（不要求寫出x的取值范圍）；

（3）如圖2，某場所發(fā)現(xiàn)了一個人的腳印，腳長約為25.8cm，請根據(jù)（2）中求出的函數(shù)解析式，估計這個人的身高．

【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)在直角坐標系中描點即可；

（2）先排除反比例函數(shù)，再利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式即可；

（3）將x＝25.8代入一次函數(shù)解析式求出y值即可．

【解答】解：（1）描點如圖示：

（2）∵y＝（k≠0）轉化為k＝xy＝23×156≠24×163≠25×170≠???，

∴y與x的函數(shù)不可能是y＝，

故選一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0），將點（23，156）、（24，163）代入解析式得：

，解得，

∴一次函數(shù)解析式為y＝7x﹣5．

（3）當x＝25.8時，y＝7×25.8﹣5＝175.6（cm）．

答：腳長約為25.8cm，估計這個人的身高為175.6cm．

【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的應用，熟練掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是關鍵．

24．（12分）如圖，在菱形ABCD中，∠C＝120°．點E在射線BC上運動（不與點B，點C重合），△AEB關于AE的軸對稱圖形為△AEF．（1）當∠BAF＝30°時，試判斷線段AF和線段AD的數(shù)量和位置關系，并說明理由；

（2）若AB＝6+6，⊙O為△AEF的外接圓，設⊙O的半徑為r．

①求r的取值范圍；

②連接FD，直線FD能否與⊙O相切？如果能，求BE的長度；如果不能，請說明理由．

【分析】（1）根據(jù)折疊的性質和菱形的性質易得AB＝AF＝AD再根據(jù)角度求出∠DAF＝90°即可得證；

（2）畫出示意圖，找到半徑r和AE的關系，在求出AE的范圍即可求解；

（3）畫出示意圖，利用弦切角定理和圓周角定理以及等腰三角形的性質可求得∠AEF＝∠AEB＝75°，再在解三角形ABE即可求解．

【解答】解：（1）AF＝AD，AF⊥AD，理由如下，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB＝AD，∠BAD＝∠C＝120°，

∵△ABE和△AFE關于AE軸對稱，

∴AB＝AF，

∴AF＝AD，

∵∠BAF＝30°，

∴∠DAF＝∠BAD﹣∠BAF＝90°，

∴AF⊥AD，

綜上，AF＝AD，AF⊥AD．

（2）①如圖，設△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OE，作OG⊥AE于點G，作AH⊥BC于點H．

∵∠AFE＝∠ABE＝60°，

∴∠AOE＝120°，

∵OA＝OE，

∴∠OAE＝∠OEA＝30°，

∴OA＝＝AG，

∵r＝OA＝AG＝?AE＝AE，

在Rt△ABH中，AH＝AB?sin60°＝9+3，

∵AE≥AH，且點E不與B、C重合，

∴AE≥9+3，且AE≠6+6，

∴r≥3+3，且r≠2+6．

（3）能相切，此時BE＝12，理由如下：

假設存在，如圖畫出示意圖，設△AEF的外接圓圓心為O，連接OA、OF，作EH⊥AB于點H，

設∠AFD＝α，則∠AEF＝∠AEB＝α（弦切角），

∴∠CEF＝180°﹣∠AEB﹣∠AEF＝180°﹣2α，

∵AF＝AD，

∴∠ADF＝∠AFD＝α，

∴∠DAF＝180°﹣2α，

∵∠CEF＝∠CAF，

∴∠CAF＝180°﹣2α＝∠DAF，