2025屆新高三數(shù)學(xué)開學(xué)摸底考試卷03（新高考通）01含解析

2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考通用）03數(shù)學(xué)（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．23．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．5．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．128．已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某校高三年級選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級分，則（

）參考數(shù)據(jù)：；；.A．這次考試等級分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B．這次考試等級分超過80分的約有450人C．這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為997D．10．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．D．在區(qū)間上的極大值為11．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡成為雙紐線，已知點是雙紐線上一點，下列說法正確的有（

）A．雙紐線關(guān)于原點中心對稱B．C．雙紐線上滿足的點有兩個D．的最大值為第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線分別為其左?右焦點，為雙曲線上一點，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為.13．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為.14．在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點個數(shù)是；定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．(1)求；(2)若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點，求AD.16．（15分）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為A，離心率為．已知A是拋物線的焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為．(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點P，Q，關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A），直線與x軸相交于點D．若的面積為，求直線AP的方程．17．（15分）在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點在線段上．

(1)點是線段中點時，求證：平面；(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請說明理由．18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)．（ⅰ）求的值；（ⅱ）證明：存在實數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱．（17分）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是項數(shù)為8的對稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出的每一項．(2)已知是項數(shù)為（其中，且）的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前項和．2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考通用）03數(shù)學(xué)?全解全析（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號等填寫在答題卡和試卷指定位置上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時，將答案寫在答卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知全集，集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)化簡集合，再結(jié)合交集運算可得答案.【詳解】由題意得，又因為所以，故選：C.2．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．2【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算法則化簡復(fù)數(shù)，再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式計算即可.【詳解】由題意可知，復(fù)數(shù)滿足，則可轉(zhuǎn)化為，所以.故選：A.3．已知向量，，若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量共線的坐標(biāo)表示計算即可.【詳解】，，∵，∴，化簡得．故選:A．4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先求出，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及兩角差的正弦公式求出，最后由兩角差的余弦公式計算可得.【詳解】因為，所以，因為，所以，因為，所以，因為，則．故選：B．5．已知圓錐的軸截面為為該圓錐的頂點，該圓錐內(nèi)切球的表面積為，若，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意，利用內(nèi)切圓的性質(zhì)，求得圓錐的底面半徑和高，結(jié)合體積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，設(shè)內(nèi)切球與PA相切于點，因為，所以，由內(nèi)切球的表面積為，可得球的半徑，則圓錐的高為，圓錐的底面半徑為，所以該圓錐的體積.故選：A.6．函數(shù)，若，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】原不等式變形為，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，此時單調(diào)遞增，當(dāng)時，易知單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，因為，則，所以由得，所以，解得.故選：A.7．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【分析】準(zhǔn)確分析函數(shù)性質(zhì)，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出兩函數(shù)的圖象即可得解.【詳解】，所以的最大值為2，當(dāng)取最大值時，有，即，由，令，解得，當(dāng)趨于時，趨于正無窮，而，所以在上存在一個零點，根據(jù)上述分析，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出的圖象與的圖象如圖所示，

由圖可知，在上存在一個零點，在上存在個零點，綜上所述，的圖象與的圖象共有11個交點.故選：C．【點睛】關(guān)鍵點點睛：關(guān)鍵是對區(qū)間進行適當(dāng)劃分，從而研究函數(shù)在各個區(qū)間上的性質(zhì)，由此即可順利得解.8．已知函數(shù)的定義域為，且，記，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的表達(dá)式以及，利用賦值法即可計算出的大小.【詳解】由可得，令，代入可得，即，令，代入可得，即，令，代入可得，即；由可得，顯然可得.故選：D二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9．某校高三年級選考生物科的學(xué)生共1000名，現(xiàn)將他們該科的一次考試分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換為等級分，已知等級分的分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換區(qū)間為，若等級分，則（

）參考數(shù)據(jù)：；；.A．這次考試等級分的標(biāo)準(zhǔn)差為25B．這次考試等級分超過80分的約有450人C．這次考試等級分在內(nèi)的人數(shù)約為997D．【答案】CD【分析】由，則，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合題中給出的概率公式，對每一選項進行分析，可得答案.【詳解】對于A，由題設(shè)，均值，方差，所以標(biāo)準(zhǔn)差為5，故A錯誤；對于B，，所以人，故B錯誤；對于C，，則人，故C正確；對于D，故D正確．故選：CD.10．已知函數(shù)，則（

）A．的圖象關(guān)于直線對稱B．C．D．在區(qū)間上的極大值為【答案】ABD【分析】對于A選項，把軸對稱轉(zhuǎn)化為等式成立，結(jié)合誘導(dǎo)公式，從而可以得證；對于B選項，先化簡，然后結(jié)合基本不等式，即可求得最小值；對于C選項，令，舉反例，可得C錯誤；對于D選項，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，即可求解.【詳解】對于A選項，因為，所以的圖象關(guān)于直線對稱，故A正確；對于B選項，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故B正確；對于C選項，，故C錯誤；對于D選項，因為，當(dāng)時，，，則；當(dāng)時，，設(shè)，，則，所以在上單調(diào)遞減.由，得且，，，又，則，則在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，結(jié)合A選項知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值為，故D正確.故選：ABD.11．2022年卡塔爾世界杯會徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點，距離之積等于的點的軌跡成為雙紐線，已知點是雙紐線上一點，下列說法正確的有（

）

A．雙紐線關(guān)于原點中心對稱；B．；C．雙紐線上滿足的點有兩個；D．的最大值為.【答案】ABD【分析】對于A，根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將替換方程中的進行判斷，對于B，根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對于C，由題意得，從而可得點在軸上，進行可判斷，對于D，由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.【詳解】對于A，因為定義在平面直角坐標(biāo)系中，把到定點距離之積等于的點的軌跡稱為雙紐線，所以，用替換方程中的，原方程不變，所以雙紐線關(guān)于原點中心對稱，所以A正確，對于B，設(shè)∵，，∴，∴，∴，故B正確；對于C，由知在的垂直平分線（方程為）上將代入得即，解得，∴這樣的點只有一個，故C錯誤；對于D，因為，所以，由余弦定理得，所以，所以的最大值為，故D正確；故選：ABD.第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12．已知雙曲線分別為其左?右焦點，為雙曲線上一點，，且直線的斜率為2，則雙曲線的離心率為.【答案】【分析】在直角三角形中，由直線的斜率為2得到，進一步由雙曲線定義求出，再利用勾股定理建立的等量關(guān)系，即可求出離心率的值.【詳解】由于直線的斜率為2，因此，又，故，由雙曲線定義得，因此，又，所以，故雙曲線的離心率為，故答案為：.13．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在公共點處有相同的切線，則公共點坐標(biāo)為.【答案】【分析】設(shè)公共點為，由，可得，進而利用導(dǎo)數(shù)可得，求解即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，可得，由，設(shè)曲線與曲線的公共點為，由于在公共點處有共同的切線，所以，所以，由，可得，聯(lián)立可得，解得，所以，所以公共點坐標(biāo)為.故答案為：.14．在n維空間中（，），以單位長度為邊長的“立方體”的頂點坐標(biāo)可表示為n維坐標(biāo)，其中.則5維“立方體”的頂點個數(shù)是；定義：在n維空間中兩點與的曼哈頓距離為.在5維“立方體”的頂點中任取兩個不同的頂點，記隨機變量X為所取兩點間的曼哈頓距離，則.【答案】32【分析】第一空由題意根據(jù)分步乘法原理，求解即可；第二空先確定樣本點總數(shù)，再得到的可能取值，求出概率，列出分布列，求出期望.【詳解】（1）的可能值為0，1（，）.故五維立方體的頂點有個.（2）依題意，樣本空間的樣本點記為，M，N為五維立方體的頂點樣本點總數(shù)：當(dāng)時，有k個第i維坐標(biāo)值不同，有個第i維坐標(biāo)值相同.滿足的樣本點個數(shù)為.所以.故分布列為：X12345P.故答案為：32；.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）已知的內(nèi)角的對邊分別為的面積為．(1)求；(2)若，且的周長為5，設(shè)為邊BC中點，求AD.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合正弦定理化角為邊，再利用余弦定理即可得解；（2）根據(jù)三角形的周長，結(jié)合余弦定理求出，再向量化即可得解.【詳解】（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，由余弦定理，，解得，因為，所以；（2）依題意，，因為，解得，因為，所以，所以．16．（15分）設(shè)橢圓的左焦點為，右頂點為A，離心率為．已知A是拋物線的焦點，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為．(1)求橢圓的方程和拋物線的方程;(2)設(shè)l上兩點P，Q，關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A），直線與x軸相交于點D．若的面積為，求直線AP的方程．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）根據(jù)題意列出關(guān)于的方程，求出它們的值，即可求得答案；（2）設(shè)，即可表示出的方程，聯(lián)立橢圓方程，求出B點坐標(biāo)，即可求出方程，進而求出D點坐標(biāo)，可得AD的長，從而根據(jù)的面積為，列式計算求出t的值，即可求得答案.【詳解】（1）依題意設(shè)點，因，且，由對稱性知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，，，于是．從而得橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）由于準(zhǔn)線方程為，依題意設(shè)，則．因，則，得直線方程為①，將①式代入中化簡，得，設(shè)，由韋達(dá)定理得，則，即，則，于是得直線方程為，令，解得，即．則，于是，化簡得，即得，代入①式化簡，得直線方程為，或.17．（15分）在底面為梯形的多面體中．，且四邊形為矩形．點在線段上．

(1)點是線段中點時，求證：平面；(2)是否存在點，使得直線與平面所成的角為60°？若存在，求．若不存在，請說明理由．【答案】(1)證明見解析(2)存在，且或【分析】（1）由題意可得為等腰直角三角形，結(jié)合各邊長度與勾股定理及勾股定理的逆定理可得，取線段中點，結(jié)合面面平行的判定定理與性質(zhì)定理即可得線面平行；（2）由題意可得平面，即可建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，由空間向量與平面的法向量結(jié)合夾角公式計算即可得解.【詳解】（1）由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點，連接，則，又因為直線平面，平面，所以直線平面，同理直線平面，又因為，、平面，所以平面平面，因為直線平面，所以平面；（2）因為四邊形為矩形，則，又，、平面，故平面，以點為坐標(biāo)原點，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以,設(shè)，其中，解得，故，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，故，因為直線與平面所成的角為，所以，即，解得或，故存在點或.

18．（17分）已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)設(shè)函數(shù)．（?。┣蟮闹担唬áⅲ┳C明：存在實數(shù)，使得曲線關(guān)于直線對稱．【答案】(1)答案見解析(2)（ⅰ）0；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）求出，求導(dǎo)，，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性.（2）（?。┣蟪觯苯佑嬎?，即可得結(jié)果；（ⅱ）根據(jù)的定義域，推斷函數(shù)的對稱軸為，驗證即可.【詳解】（1）由題意可知，則的定義域為，，，當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，令，即，解得，若，；若，，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（2）（?。┖瘮?shù)，則，，故．（ⅱ）函數(shù)的定義域為．若存在，使得曲線關(guān)于直線對稱，則關(guān)于直線對稱，所以由．可知曲線關(guān)于直線對稱．19．（17分）若有窮數(shù)列（是正整數(shù)），滿足，，…，即（是正整數(shù)，且），就稱該數(shù)列為“對稱數(shù)列”．(1)已知數(shù)列是項數(shù)為8的對稱數(shù)列，且，，，成等差數(shù)列，，，試寫出的每一項．(2)已知是項數(shù)為（其中，且）的對稱數(shù)列，且構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項和為，則當(dāng)為何值時，取到最大值？最大值為多少？(3)對于給定的正整數(shù)，試寫出所有項數(shù)為的對稱數(shù)列，使得成為數(shù)列中的連續(xù)項；當(dāng)時，并分別求出所有對稱數(shù)列的前項和．【答案】(1)，，，，，，，(2)當(dāng)時取得最大值，且(3)答案見解析【分析】（1）設(shè)前項的公差為，由求出公差，從而得到，，再根據(jù)對稱性得到其余項；（2）首先利用等差數(shù)列求和公式求出，則，再由二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意列出滿足該條件的對稱數(shù)列，再分、兩種情況利用等比數(shù)列求和公式及分組求和法計算可得.【詳解】（1）因為，，，成等差數(shù)列，，，設(shè)前項的公差為，所以，所以，，又?jǐn)?shù)列是項數(shù)為的對稱數(shù)列，所以，，，，所以的項依次為，，，，，，，.（2）因為構(gòu)成首項為，公差為的等差數(shù)列，所以，又，，，，所以，所以當(dāng)時取得最大值，且.（3）因為，，，，成為數(shù)列中的連續(xù)項，且該對稱數(shù)列的項數(shù)為，所以這樣的對稱數(shù)列有：①，，，，，，，，，，；②，，，，，，，，，，；因為，對于①，當(dāng)時；當(dāng)時，所以；對于②，當(dāng)時；當(dāng)時，所以.2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷（新高考通用）03數(shù)學(xué)·答案及評分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。12345678CAABAACD二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．91011CDABDABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。13． 14． 15．32四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。15．（13分）【解析】（1）依題意，，所以，由正弦定理可得，，……………3分由余弦定理，，解得，……5分因為，所以；……………6分（2）依題意，，因為，解得，………………8分因為，………………9分所以，……………12分所以．…………………13分16．（15分）【解析】（1）依題意設(shè)點，因，且，………………2分由對稱性知拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，解得，，，…3分于是．………………4分從而得橢圓的方程為，………………5分拋物線的方程為．………………6分（2）由于準(zhǔn)線方程為，依題意設(shè)，則．因，則，得直線方程為①，………………7分將①式代入中化簡，得，………………8分設(shè)，由韋達(dá)定理得，則，即，…………………19分則，于是得直線方程為，……10分令，解得，即．……11分則，………………12分于是，化簡得，即得，……14分代入①式化簡，得直線方程為，或.……15分17．（15分）【解析】（1）由，則為等腰直角三角形，有，則，則，在中，，取線段中點，連接，則，又因為直線平面，平面，所以直線平面，………4分同理直線平