甘肅省蘭州市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)沖刺模擬考試試題二理

PAGE13-甘肅省蘭州市第一中學(xué)2025屆高三數(shù)學(xué)沖刺模擬考試試題（二）理（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，則（?RA）∩B＝（）A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意（z+2i）?i＝3﹣4i，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．若非零實(shí)數(shù)a，b滿意，則下列式子肯定正確的是（）A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|4．已知α為銳角，，則＝（）A． B． C．2 D．35．已知f（k）＝k+（﹣1）k，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為4，則推斷框內(nèi)可填入的條件是（）s＞3？ B．s＞5？C．s＞15？D．s＞10？ 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，﹣2），N（1，0）．若動(dòng)點(diǎn)M滿意，則的取值范圍是（）A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]7．中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)宏大的創(chuàng)建，算籌事實(shí)上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“＝⊥”．現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1～9這9數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A．16 B．15 C．14 D．138．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣4x，則不等式f（x+2）＜5的解集為（）A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）9．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則雙曲線C的方程為（）A． B． C． D．10．甲、乙二人玩數(shù)字嬉戲，先由甲隨意想一個(gè)數(shù)字，記為m，再由乙猜想甲剛才想的數(shù)字，把猜出的數(shù)字記為n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，則稱二人“心有靈犀”，現(xiàn)隨意找二人玩這個(gè)嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若方程的解為，則＝（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線y＝e對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．的綻開式的常數(shù)項(xiàng)是．14．設(shè)m，n為正數(shù)，且m+n＝2，則的最小值為＝．15．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2024，則不等式exf（x）＞ex+2024（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為．16．已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題學(xué)生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）證明：A1C⊥AB1；（2）設(shè)AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．18．(12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若．19．（12分）某保險(xiǎn)公司給年齡在20～70歲的民眾供應(yīng)某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如表所示．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元，年齡（單位：歲）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]保費(fèi)（單位：元）x2x3x4x5x（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求精確到整數(shù)時(shí)的最小值x0；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在[60，70]之間的老人每50人中有1人患該項(xiàng)疾?。ㄒ源祟l率作為概率）．該病的治療費(fèi)為12000元，假如參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)10000元．某老人年齡66歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)（x取（Ⅰ）中的x0），針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為X元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為Y元，試比較X和Y的期望值大小，并推斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？20．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，且滿意（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)任作兩條相互垂直的直線l與，直線l與拋物線交于兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，的面積記為，的面積記為，求證：為定值.21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在成立，求整數(shù)a的最小值．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。假如多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝2cosθ．（1）求曲線C1的一般方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）已知曲線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α（0＜α＜π，ρ∈R），點(diǎn)A是曲線C3與C1的交點(diǎn)，點(diǎn)B是曲線C3與C2的交點(diǎn)，A、B均異于原點(diǎn)O，且|AB|＝2，求實(shí)數(shù)α的值．轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程；[選修4-5：不等式選講]（10分）23．已知函數(shù)f（x）＝|x﹣m|﹣|x+2|（m∈R），不等式f（x﹣2）≥0的解集為（﹣∞，4]．（1）求m的值；（2）若a＞0，b＞0，c＞3，且a+2b+c＝2m，求（a+1）（b+1）（c﹣3）的最大值．2024年蘭州一中高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，滿分60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣6＜0}，集合B＝{x|x﹣1＞0}，則（?RA）∩B＝（C）A．（1，3） B．（1，3] C．[3，+∞） D．（3，+∞）2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿意（z+2i）?i＝3﹣4i，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（B）A．第一象限 B．其次象限 C．第三象限 D．第四象限3．若非零實(shí)數(shù)a，b滿意2a＝3b，則下列式子肯定正確的是（C）A．b＞a B．b＜a C．|b|＜|a| D．|b|＞|a|4．已知α為銳角，cosα＝，則tan（+）＝（D）A． B． C．2 D．35．已知f（k）＝k+（﹣1）k，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出k的值為4，則推斷框內(nèi)可填入的條件是（D）s＞3？ B．s＞5？C．s＞15？D．s＞10？ 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A（0，﹣2），N（l，0）．若動(dòng)點(diǎn)M滿意＝，則的取值范圍是（D）A．[0，2] B．[0，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，2]7．中國古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法，在數(shù)學(xué)史上是一個(gè)宏大的創(chuàng)建，算籌事實(shí)上是一根根同長(zhǎng)短的小木棍．如圖，是利用算籌表示數(shù)1～9的一種方法．例如：3可表示為“≡”，26可表示為“＝⊥”．現(xiàn)有6根算籌，據(jù)此表示方法，若算籌不能剩余，則可以用1～9這9數(shù)字表示兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為（A）A．16 B．15 C．14 D．138．（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝x2﹣4x，則不等式f（x+2）＜5的解集為（C）A．（﹣3，7） B．（﹣4，5） C．（﹣7，3） D．（﹣2，6）9．已知雙曲線C：，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線x＝a與雙曲線C的兩條漸近線交于A，B兩點(diǎn)，若△OAB是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則雙曲線C的方程為（A）A．﹣y2＝1 B．x2＝1 C．＝1 D．＝110．甲、乙二人玩數(shù)字嬉戲，先由甲隨意想一個(gè)數(shù)字，記為m，再由乙猜想甲剛才想的數(shù)字，把猜出的數(shù)字記為n，且m，n∈{1，2，3}，若|m﹣n|≤1，則稱二人“心有靈犀”，現(xiàn)隨意找二人玩這個(gè)嬉戲，則他們“心有靈犀”的概率為（D）A． B． C． D．11．已知函數(shù)f（x）＝sin（2x﹣），若方程f（x）＝的解為x1，x2（0＜x1＜x2＜π），則sin（x1﹣x2）＝（B）A． B． C． D．12．已知函數(shù)f（x）＝kx，g（x）＝2lnx+2e（≤x≤e2），若f（x）與g（x）的圖象上分別存在點(diǎn)M，N，使得M，N關(guān)于直線y＝e對(duì)稱，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（B）A．[﹣，﹣] B．[﹣，2e] C．[﹣，2e] D．[，+∞）二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．（x2+2）（）5的綻開式的常數(shù)項(xiàng)是3．14．設(shè)m，n為正數(shù)，且m+n＝2，則的最小值為＝．15．設(shè)f（x）是定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為f'（x），若f（x）+f'（x）＞1，f（0）＝2024，則不等式exf（x）＞ex+2024（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（0，+∞）．16．已知點(diǎn)A是以BC為直徑的圓O上異于B，C的動(dòng)點(diǎn)，P為平面ABC外一點(diǎn)，且平面PBC⊥平面ABC，BC＝3，PB＝2，PC＝，則三棱錐P﹣ABC外接球的表面積為10π．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題學(xué)生都必需作答。第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）如圖，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1中，平面AA1C1C⊥平面ABC，AA1＝AC，AC⊥BC．（1）證明：A1C⊥AB1；（2）設(shè)AC＝2CB，∠A1AC＝60°，求二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值．【解答】（1）證明：連結(jié)AC1．∵AA1＝AC，四邊形AA1C1C為菱形，∴A1C⊥AC1．∵平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，BC?平面ABC，BC⊥AC，∴BC⊥平面AA1C1C．又∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥平面AA1C1C，∴B1C1⊥A1C．∵AC1∩B1C1＝C1，∴A1C⊥平面AB1C1，而AB1?平面AB1C1，∴A1C⊥AB1．（2）取A1C1的中點(diǎn)為M，連結(jié)CM．∵AA1＝AC，四邊形AA1C1C為菱形，∠A1AC＝60°，∴CM⊥A1C1，CM⊥AC．又∵CM⊥BC，以C為原點(diǎn)，CA，CB，CM為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖．設(shè)CB＝1，AC＝2CB＝2，AA1＝AC，∠A1AC＝60°，∴C（0，0，0），A1（1，0，），A（2，0，0），B（0，1，0），B1（﹣1，1，）．由（1）知，平面C1AB1的一個(gè)法向量為＝．設(shè)平面ABB1的法向量為，則并且，∴．令x＝1，得，即＝．∴＝＝＝，∴二面角C1﹣AB1﹣B的正弦值為：．18．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若．【解答】解：（1）19．某保險(xiǎn)公司給年齡在20～70歲的民眾供應(yīng)某種疾病的一年期醫(yī)療保險(xiǎn)，現(xiàn)從10000名參保人員中隨機(jī)抽取100名作為樣本進(jìn)行分析，按年齡段[20，30），[30，40），[40，50），[50，60），[60，70]分成了五組，其頻率分布直方圖如圖所示；參保年齡與每人每年應(yīng)交納的保費(fèi)如表所示．據(jù)統(tǒng)計(jì)，該公司每年為這一萬名參保人員支出的各種費(fèi)用為一百萬元，年齡（單位：歲）[20，30）[30，40）[40，50）[50，60）[60，70]保費(fèi)（單位：元）x2x3x4x5x（1）用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，為使公司不虧本，求z精確到整數(shù)時(shí)的最小值x0；（2）經(jīng)調(diào)查，年齡在[60，70]之間的老人每50人中有1人患該項(xiàng)疾?。ㄒ源祟l率作為概率）．該病的治療費(fèi)為12000元，假如參保，保險(xiǎn)公司補(bǔ)貼治療費(fèi)10000元．某老人年齡66歲，若購買該項(xiàng)保險(xiǎn)（x取（Ⅰ）中的x0），針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為X元；若沒有購買該項(xiàng)保險(xiǎn)，針對(duì)此疾病所支付的費(fèi)用為Y元，試比較X和Y的期望值大小，并推斷該老人購買此項(xiàng)保險(xiǎn)是否劃算？【解答】解：（1）由（0.007+0.016+a+0.025+0.020）×10＝1，解得a＝0.032．保險(xiǎn)公司每年收取的保費(fèi)為：10000×（0.07x+0.16×2x+0.32×3x+0.25×4x+0.20×5x）＝10000×3.35x．∴要使公司不虧本，則10000×3.35x≥1000000，即3.35x≥100，解得x≈29.85，∴x0＝30．（2）①若該老人購買了此項(xiàng)保險(xiǎn)，則X的取值為150，2150．P（X＝150）＝，P（Y＝2150）＝．∴E（X）＝＝147+43＝190元．②若該老人沒有購買此項(xiàng)保險(xiǎn)，則Y的取值為0，12000．∵P（Y＝0）＝，P（Y＝12000）＝，所以E（Y）＝＝240元，所以E（Y）＞E（X）．∴年齡為66的該老人購買此保險(xiǎn)比較劃算．20．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線C上，且滿意（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）.（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點(diǎn)F任作兩條相互垂直的直線l與，直線l與拋物線C交于P，Q兩點(diǎn)，直線與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，的面積記為，的面積記為，求證：為定值.【解答】解：(1)設(shè)因?yàn)辄c(diǎn)B在拋物線C上，（2）由題意得直線l的斜率存在且不為零，設(shè)，代入得，所以因此，同理可得因此21．（12分）已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若存在成立，求整數(shù)a的最小值【解答】解：（1）由題意可知，x＞0，，方程﹣x2+x﹣a＝0對(duì)應(yīng)的△＝1﹣4a，當(dāng)△＝1﹣4a≤0，即時(shí)，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）≤0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（2分）當(dāng)時(shí)，方程﹣x2+x﹣a＝0的兩根為，且，此時(shí)，f（x）在上f'（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，在上f'（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減；…（4分）當(dāng)a≤0時(shí)，，，此時(shí)當(dāng)，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；…（6分）綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，，f（x）單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，f（x）單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f（x）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減；…（7分）（2）原式等價(jià)于（x﹣1）a＞xlnx+2x﹣1，即存在x＞1，使成立．設(shè)，x＞1，則，…（9分）設(shè)h（x）＝x﹣lnx﹣2，則，∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．又h（3）＝3﹣ln3﹣2＝1﹣ln3＜0，h（4）＝4﹣ln4﹣2＝2﹣2ln2＞0，依據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知h（x）在（1，+∞）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)該零點(diǎn)為x0，則x0∈（3，4），且h（x0）＝x0﹣lnx0﹣2＝0，即x0﹣2＝lnx0，∴…（11分）由題意可知a＞x0+1，又x0∈（3，4），a∈Z，∴a