七年級數(shù)學下冊 9.1不等式（解析版）

七年級下冊數(shù)學《第九章不等式與不等式組》9.1不等式知識點一知識點一不等式的定義◆不等式的定義：用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．【注意】1、凡是用不等號連接的式子都叫做不等式．常用的不等號有“＜”、“＞”、“≤”、“≥”、“≠”．另外，不等式中可含未知數(shù)，也可不含未知數(shù)．不等式表示式子之間的不等關(guān)系，與方程表示的相等關(guān)系相對應.知識點二知識點二不等式的解（解集）與解不等式◆1、不等式的解：使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解.◆2、不等式的解集：能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍，叫做不等式的解的集合，簡稱解集．◆3、解不等式的定義：求不等式的解集的過程叫做解不等式．◆4、不等式的解和解集的區(qū)別和聯(lián)系:不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi)．◆5、在數(shù)軸上表示不等式的解集用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【規(guī)律方法】不等式解集的驗證方法:某不等式求得的解集為x＞a，其驗證方法可以先將a代入原不等式，則兩邊相等，其次在x＞a的范圍內(nèi)取一個數(shù)代入原不等式，則原不等式成立．知識點三知識點三不等式的性質(zhì)◆1、不等式的基本性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，即：若a＞b，那么a±c＞b±c；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，即：若a＞b，且c＞0，那么ac＞bc或ac③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，即：若a＞b，且c＜0，那么ac＜bc或ac◆2、不等式的變形：①兩邊都加、減同一個數(shù)，具體體現(xiàn)為“移項”，此時不等號方向不變，但移項要變號；②兩邊都乘、除同一個數(shù)，要注意只有乘、除負數(shù)時，不等號方向才改變．◆3、不等式的傳遞性：若a＞b，b＞c，則a＞c；若a＜b，b＜c，則a＜c．知識點四知識點四解簡單的不等式◆1、利用不等式的性質(zhì)解不等式，就是利用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式轉(zhuǎn)化．◆2、應用時要注意把握兩關(guān)：①怎樣變形；②依據(jù)哪一條，變形時只有做到步步有據(jù)，才能保證是正確的．【注意】應用不等式的性質(zhì)）含有字母的數(shù)時，一定要對字母是否大于0進行分類討論．題型一不等式的識別題型一不等式的識別【例題1】下列是不等式的是（）A．x+y B．3x＞7 C．2x+3＝5 D．x3y2【分析】根據(jù)不等式的定義，逐項判斷即可．【解答】解：A、x+y是代數(shù)式，不是不等式，故此選項不符合題意；B、3x＞7是不等式，故此選項符合題意；C、2x+3＝5是等式，故此選項不符合題意；D、x3y2是代數(shù)式，不是不等式，故此選項不符合題意．故選：B．【點評】此題主要考查了不等式的定義．解題的關(guān)鍵是掌握不等式的定義．用“＞”或“＜”號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式，用“≠”號表示不等關(guān)系的式子也是不等式．解題技巧提煉判斷一個式子是等式還是不等式要根據(jù)各自的概念，主要看連接兩個式子的符號是什么，若用等號連接，則為等式；若用不等號連接，則為不等式.【變式1-1】下列各式中，不等式有（）①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】根據(jù)不等式的定義，用不等號表示不等關(guān)系的式子，判斷即可．【解答】解：下列各式中，①﹣3＜0；②4x+3y＞0；③x＝3；④x≠2；⑤x+2＞y+3，其中是不等式的有：①﹣3＜0；②4x+3y＞0；④x≠2；⑤x+2＞y+3，所以共有4個，故選：D．【點評】本題考查了不等式的定義，熟練掌握不等式的定義是解題的關(guān)鍵．【變式1-2】下列式子中：①2＜0；②2x﹣3＞0；③x＝2012；④x2﹣x；⑤x≠0；⑥x+3＞x+1，其中是不等式的有（填序號）【分析】要依據(jù)不等式的定義，用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷．【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，所以①②⑤⑥為不等式，共有4個．故答案為：①②⑤⑥．【點評】本題考查不等式的定義，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞＜≤≥≠．【變式1-3】（2022秋?西湖區(qū)校級期中）以下表達式：①4x+3y≤0；②a＞3；③x2+xy；④a2+b2＝c2；⑤x≠5．其中不等式有（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【分析】據(jù)不等式的定義進行判斷即可．【解答】解：a+b、a＞3、x≠5是不等式，x2+xy和a2+b2＝c2不是不等式，即不等式有3個，故B正確．故選：B．【點評】本題主要考查了不等式的定義，熟知用不等號連接的式子是不等式是解本題的關(guān)鍵．【變式1-4】（2023春?灞橋區(qū)校級月考）在下列各式：①x2≠0；②|x|+1＞0；③x+2＜﹣5；④x+y＝3；⑤1xA．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．②③⑤【分析】依據(jù)不等式的定義﹣﹣﹣﹣﹣用“＞”、“≥”、“＜”、“≤”、“≠”等不等號表示不相等關(guān)系的式子是不等式來判斷即可．【解答】解：根據(jù)不等式的定義，只要有不等符號的式子就是不等式，所以①②③⑤為不等式，共有4個．故選：A．【點評】本題考查不等式的識別，一般地，用不等號表示不相等關(guān)系的式子叫做不等式．解答此類題關(guān)鍵是要識別常見不等號：＞＜≤≥≠．題型二用不等式表示不等關(guān)系題型二用不等式表示不等關(guān)系【例題2】（2021秋?灌陽縣期末）用不等式表示“x的5倍大于﹣7”的數(shù)量關(guān)系是（）A．5x＜﹣7 B．5x＞﹣7 C．x＞7 D．7x＜5【分析】x的5倍可表示為5x，根據(jù)x的5倍大于﹣7，可得出不等式．【解答】解：根據(jù)題意可得，5x＞﹣7．故選：B．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，讀懂題意，抓住關(guān)鍵詞語，弄清運算的先后順序和不等關(guān)系，才能把文字語言的不等關(guān)系轉(zhuǎn)化為用數(shù)學符號表示的不等式．解題技巧提煉表示不等關(guān)系時，首先要明確應該用哪一個不等號來表示，解此類題的關(guān)鍵是將文字語言改成符號語言，并用代數(shù)式表示出來，表示時一定要抓住關(guān)鍵的詞語，選擇正確的不等號.【變式2-1】（2022秋?橋西區(qū)校級期末）x是不大于5的數(shù)，則下列表示正確的是（）A．x＞5 B．x≥5 C．x＜5 D．x≤5【分析】本題考查了不等式的應用，能理解正數(shù)、不大于的意義是解此題的關(guān)鍵，根據(jù)已知列出不等式即可．【解答】解：∵x是不大于5的數(shù)，∴x≤5．故選：D．【點評】本題考查了不等式，能理解正數(shù)、不大于的意義是解此題的關(guān)鍵．【變式2-2】（2022春?祁東縣期末）x與3的和的一半是負數(shù)，用不等式表示為（）A．12x+3＞0 B．12x+3＜0 C．12（x+3）＞0 D．1【分析】理解：和的一半，應先和，再一半；負數(shù)，即小于0．【解答】解：根據(jù)題意，得12（x+3）＜0．故選D【點評】找準關(guān)鍵字，把文字語言轉(zhuǎn)換為數(shù)學語言．【變式2-3】（2021春?鐵西區(qū)期中）“x的23與xA．23x﹣x＜6 B．23x﹣x＞6 C．23x﹣x≤6 D．23【分析】根據(jù)題意，可以用含x的不等式表示出“x的23與x【解答】解：“x的23與x的差不大于6”可以表示為23x﹣故選：C．【點評】本題考查由實際問題抽象出一元一次不等式，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應的不等式．【變式2-4】（2022春?滁州期末）“x與y的2倍的和是正數(shù)”用不等式可表示為．【分析】根據(jù)“x與y的2倍的和是正數(shù)”，即可得出關(guān)于x，y的不等式，此題得解．【解答】解：依題意得：x+2y＞0．故答案為：x+2y＞0．【點評】本題考查了不等式的定義，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-5】（2021秋?江干區(qū)校級期中）用不等式表示“5a與6b的差是非正數(shù)”．【分析】由5a與6b的差是非正數(shù)，可得出關(guān)于a，b的一元一次不等式，此題得解．【解答】解：依題意，得：5a﹣6b≤0．故答案為：5a﹣6b≤0．【點評】本題考查了不等式的定義，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出二元一次不等式是解題的關(guān)鍵．【變式2-6】用不等式表示：（1）2x與3y的差為非負數(shù)：；（2）a與b的12的和不超過2：【分析】（1）根據(jù)2x與3y的差為非負數(shù)，即可列出不等式；（2）根據(jù)a與b的12【解答】解：（1）依題意得：2x﹣3y≥0．故答案為：2x﹣3y≥0；（2）依題意得：a+12依題意得：a+12【點評】本題考查了不等式的定義，根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出不等式是解題的關(guān)鍵．題型三不等式的解與不等式的解集題型三不等式的解與不等式的解集【例題3】（2021秋?雁山區(qū)校級期末）下列各數(shù)中，是不等式x＞2解的是（）A．3 B．2 C．0 D．﹣1【分析】判斷各個選項是否滿足不等式的解即可．【解答】解：四個選項中的數(shù)滿足不等式x＞2的值只有3，故選：A．【點評】本題考查不等式解的概念，關(guān)鍵是明白解集的概念．解題技巧提煉1、用代入檢驗法判定某個數(shù)是否為不等式的解，方法是：直接將數(shù)代入不等式的左、右兩邊，看不等式是否成立，若成立，則是不等式的解，反之，則不是.2、不等式的解是一些具體的值，有無數(shù)個，用符號表示；不等式的解集是一個范圍，用不等號表示．不等式的每一個解都在它的解集的范圍內(nèi).【變式3-1】（2023春?西安月考）在﹣2，6，0，8，13，5中，是不等式xA．3個 B．4個 C．5個 D．6個【分析】根據(jù)一元一次不等式解法計算即可．【解答】解：解不等式x+3≤8，可得：x≤5，所以，在﹣2，6，0，8，13，5中，是不等式x+3≤8的解的有﹣2，0，1故選：B．【點評】此題考查一元一次不等式解法，關(guān)鍵是根據(jù)一元一次不等式解法：移項、合并同類項和系數(shù)化為1計算即可．【變式3-2】（2022春?大田縣期中）若x＝3.5是某不等式的解，則該不等式可以是（）A．x＞5 B．x＞4 C．x＜4 D．x＜3【分析】利用不等式的解集的意義解答即可．【解答】解：∵3.5＜4，∴x＝3.5滿足不等式x＜4，故選：C．【點評】本題主要考查了不等式的解集，正確利用不等式的解集的意義解答是解題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2022秋?慈溪市校級期中）下列哪個數(shù)是不等式2（x﹣1）+3＜0的一個解（）A．2 B．13 C．?1【分析】首先求出不等式的解集，然后判斷哪個數(shù)在其解集范圍之內(nèi)即可．【解答】解：解不等式2（x﹣1）+3＜0，得x＜?1因為只有﹣3＜?1所以只有﹣3是不等式2（x﹣1）+3＜0的一個解，故選：D．【點評】本題主要考查一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是掌握一元一次不等式的解法．【變式3-4】（2022?南關(guān)區(qū)校級模擬）x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，則b的值不可能是（）A．1 B．1.5 C．2 D．2.5【分析】解不等式x﹣b＜0可得x＜b，再根據(jù)x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解即可得出答案．【解答】解：解不等式x﹣b＜0，得x＜b，因為x＝1是不等式x﹣b＜0的一個解，所以b的值不可能是1．故選：A．【點評】本題主要考查解一元一次不等式，解題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式的解的概念得出關(guān)于b的不等式并熟練掌握解一元一次不等式的能力．【變式3-5】（2021春?凌海市期中）下列說法中，錯誤的是（）A．不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4 B．不等式x＜5的正整數(shù)解有無數(shù)多個 C．﹣20是不等式2x＜﹣8的一個解 D．不等式x＞﹣5的負整數(shù)解有有限個【分析】正確解出不等式的解集，就可以進行判斷．【解答】解：A、不等式﹣2x＞8的解集是x＜﹣4，正確，不符合題意；B、不等式x＜5的正整數(shù)解有4，3，2，1，故錯誤，符合題意；C、不等式2x＜﹣8的解集是x＜﹣4，包括﹣20，正確，不符合題意；D、不等式x＞﹣5的負整數(shù)解有4個，正確，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查了不等式的解集，利用了不等式的性質(zhì)，注意不等式的兩邊都除以或乘以同一個負數(shù)，不等號的方向改變．題型四在數(shù)軸上表示不等式的解集題型四在數(shù)軸上表示不等式的解集【例題4】（2022秋?零陵區(qū)期末）不等式x＞4的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)不等式解集在數(shù)軸上的表示方法進行判斷即可．【解答】解：不等式x＞4的解集在數(shù)軸上表示，故選：D．【點評】本題考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，掌握不等式解集在數(shù)軸上的表示方法是正確解答的前提．解題技巧提煉在數(shù)軸上表示不等式的解集，首先要弄清“＞”“＜”“≥”“≤”的含義，含等號的用實心圓點，不含等號的用空心圓圈；其次方向一定不能弄錯，即“大于開口向右，小于開口向左”.【變式4-1】（2022秋?長興縣期末）如圖所示，在數(shù)軸上表示不等式正確的是（）A．x＜1 B．x≤1 C．x＞1 D．x≥1【分析】根據(jù)在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示，可得答案．【解答】解：由題意，得：x＜1，故選：A．【點評】本題考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，在表示解集時“≥”，“≤”要用實心圓點表示；“＜”，“＞”要用空心圓點表示．【變式4-2】（2022春?吳江區(qū)期中）在數(shù)軸上表示不等式x≥﹣2的解集正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)在數(shù)軸上表示不等式解集的方法利用排除法進行解答．【解答】解：∵不等式x≥﹣2中包含等于號，∴必須用實心圓點，∴可排除A、C，∵不等式x≥﹣2中是大于等于，∴折線應向右折，∴可排除B．故選：D．【點評】本題考查的是在數(shù)軸上表示不等式解集的方法，即“＞”空心圓點向右畫折線，“≥”實心圓點向右畫折線，“＜”空心圓點向左畫折線，“≤”實心圓點向左畫折線．【變式4-3】（2022?榮昌區(qū)自主招生）不等式x≤﹣3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)“小于向左，大于向右；邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點”表示即可得．【解答】解：將不等式x≤﹣3的解集在數(shù)軸上表示如下：故選：D．【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”．【變式4-4】（2021秋?新昌縣期中）在數(shù)軸上表示下列不等式：（1）x＞﹣2；（2）﹣1≤x＜3．【分析】（1）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．（2）根據(jù)不等式的解集在數(shù)軸上表示方法可畫出圖示．【解答】解：（1）將x＞﹣2表示在數(shù)軸上如下：（2）將不等式組﹣1≤x＜3表示在數(shù)軸上如下：．【點評】本題主要考查在數(shù)軸上表示不等式的解集，不等式的解集在數(shù)軸上表示出來的方法：“＞”空心圓點向右畫折線，“≥”實心圓點向右畫折線，“＜”空心圓點向左畫折線，“≤”實心圓點向左畫折線．【變式4-5】寫出下列各數(shù)軸上所表示的不等式的解集：【分析】根據(jù)用數(shù)軸表示不等式的解集時，要注意“兩定”：一是定界點，一般在數(shù)軸上只標出原點和界點即可．定邊界點時要注意，點是實心還是空心，若邊界點含于解集為實心點，不含于解集即為空心點；二是定方向，定方向的原則是：“小于向左，大于向右”寫出答案即可．【解答】解：（1）x＜3；（2）x＞1（3）x≥﹣2；（4）x≤1【點評】此題主要考查了在數(shù)軸上表示不等式的解集，關(guān)鍵是掌握“兩定”．題型五判斷不等式的變形是否正確題型五判斷不等式的變形是否正確【例題5】（2023春?北碚區(qū)校級期中）若a＜b，c＜0，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣a＜﹣b B．a(chǎn)c＞bc C．a(chǎn)+c＞b+c D．a(chǎn)c【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)進行判斷即可．【解答】解：a＜b，兩邊同時乘以一個小于0的值﹣1，可得﹣a＞﹣b，故A錯誤，不符合要求；a＜b，兩邊同時除以一個小于0的值c，可得ac＞ba＜b，兩邊同時加上c，可得a+c＜b+c，故C錯誤，不符合要求；a＜b，兩邊同時乘以一個大于0的值c2，可得ac2＜bc2，故D錯誤，不符合要求；故選：B．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對不等式性質(zhì)的熟練掌握與靈活運用．解題技巧提煉判斷從一個不等式到另一個不等式的變形過程是否正確，其方法是判斷出第二個不等式是由第一個不等式經(jīng)過怎樣的變形得到的，再確定每一步變形的依據(jù)，最后確定不等號是否需要改變方向.【變式5-1】（2023春?定遠縣校級月考）若x+2023＞y+2023，則下列不等式一定成立的是（）A．﹣2x＜﹣2y B．1+x＜1+y C．3x＜3y D．5﹣x＞5﹣y【分析】根據(jù)已知x+2023＞y+2023，可得x＞y，然后利用不等式的性質(zhì)，逐一判斷即可解答．【解答】解：∵x+2023＞y+2023，∴x＞y，A、∵x＞y，∴﹣2x＜﹣2y，故A符合題意；B、∵x＞y，∴1+x＞1+y，故B不符合題意；C、∵x＞y，∴3x＞3y，故C不符合題意；D、∵x＞y，∴﹣x＜﹣y，∴5﹣x＜5﹣y，故D不符合題意；故選：A．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-2】（2023?桐鄉(xiāng)市校級開學）已知實數(shù)a，b滿足a＞b﹣1，則（）A．a(chǎn)＞b B．b＞a C．a(chǎn)+2＞b+1 D．b+1＞a+2【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，不等式的兩邊同時加上2，不等號的方向不變，即可求解．【解答】解：∵a＞b﹣1，∴a+2＞b﹣1+2，即a+2＞b+1，∴C符合題意；當a＝3，b＝3時，a＞b﹣1，但a＝b，故A、B不符合題意；故選：C．【點評】本題考查不等式的基本性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023春?項城市月考）若a＜b，則下列不等式正確的是（）A．a(chǎn)+2＞b+2 B．a(chǎn)﹣5＞b﹣5 C．a(chǎn)3＞b3 【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，分別判斷即可．【解答】解：∵a＜b，∴a+2＜b+2，故A不符合題意；∵a＜b，∴a﹣5＜b﹣5，故B不符合題意；∵a＜b，∴a3故C不符合題意；∵a＜b，∴﹣3a＞﹣3b，故D符合題意，故選：D．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式5-4】（2022秋?郴州期末）若x＞y，則下列式子中錯誤的是（）A．x﹣1＞y﹣1 B．﹣2x＞﹣2y C．x+2＞y+2 D．x【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，逐項判斷即可求解．【解答】解：A、若x＞y，則x﹣1＞y﹣1，故本選項正確，不符合題意；B、若x＞y，則﹣2x＜﹣2y，故本選項錯誤，符合題意；C、若x＞y，則x+2＞y+2，故本選項正確，不符合題意；D、若x＞y，則x2022故選：B．【點評】本題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【變式5-5】（2023春?南海區(qū)校級期中）下列判斷不正確的是（）A．若a＞b，則a+2＞b+2 B．若a＞b，則﹣a＜﹣b C．若a＞b，則2a＞2b D．若a＞b，則ac2＞bc2【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)進行判斷．【解答】解：A、在不等式a＞b的兩邊同時加2，不等式仍成立，即a+2＞b+2，正確，不符合題意；B、在不等式a＞b的兩邊同時乘以﹣1，不等號方向改變，即﹣a＜﹣b，正確，不符合題意；C、在不等式a＞b的兩邊同時乘以2，不等式仍成立，即2a＞2b，正確，不符合題意；D、當c＝0時，ac2＝bc2，原變形錯誤，符合題意．故選：D．【點評】本題考查的是不等式的基本性質(zhì)：不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．題型六利用不等式的性質(zhì)比較大小題型六利用不等式的性質(zhì)比較大小【例題6】已知x1和x2是兩個實數(shù)，且x1＞x2，試比較﹣3x1+2和﹣3x2+2的值的大?。痉治觥扛鶕?jù)不等式的性質(zhì)：不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；可得答案．【解答】解：∵x1＞x2，∴﹣3x1＜﹣3x2，∴﹣3x1+2＜﹣3x2+2．【點評】主要考查了不等式的基本性質(zhì)，“0”是很特殊的一個數(shù)，因此，解答不等式的問題時，應密切關(guān)注“0”存在與否，以防掉進“0”的陷阱．解題技巧提煉利用不等式的性質(zhì)比較大小的方法是：作差比較法.作差比較法的基本步驟是：“作差——變形——斷號”.欲要證A＞B,只需證A﹣B＞0；欲要證A＜B,只需證A﹣B＜0【變式6-1】若a＜b＜0，則﹣a﹣b，|a||b|，1a1【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解答即可．【解答】解：根據(jù)不等式的性質(zhì)3，由a＜b＜0，得﹣a＞﹣b；根據(jù)不等式的性質(zhì)3，由a＜b＜0，得|a|＞|b|．根據(jù)不等式的性質(zhì)3，由a＜b＜0，得1a故答案為：＞，＞，＞．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．不等式的性質(zhì)：①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；②不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．【變式6-2】（2021春?青浦區(qū)校級期末）已知a＜b，且c+1＜0，則acbc．（用“＞”、“＜”或“＝”填空）．【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)解決此題．【解答】解：∵c+1＜0，∴c＜﹣1．∵a＜b，∴ac＞bc．故答案為：＞．【點評】本題主要考查不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-3】已知x＜y，試比較2x﹣8與2y﹣8的大小，并說明理由．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)2，可得2x與2y的關(guān)系，根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得答案．【解答】解；x＜y，不等式的兩邊都乘以2，得2x＜2y，不等式的兩邊都減8得2x﹣8＜2y﹣8．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，不等式的兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變，不等式的兩邊都加或減同一個數(shù)，不等號的方向不變．【變式6-4】（2021春?祥云縣期末）閱讀下面的材料：小明在學習了不等式的知識后，發(fā)現(xiàn)如下正確結(jié)論：若A﹣B＞0，則A＞B；若A﹣B＝0，則A＝B；若A﹣B＜0，則A＜B．下面是小明利用這個結(jié)論解決問題的過程：試比較3與22?解：∵3?（22=3?2＝23?22∴322?回答下面的問題：（1）請完成小明的解題過程；（2）試比較2（2a2﹣ab+7）與﹣3a2﹣2ab+7的大?。▽懗鱿鄳慕獯疬^程）．【分析】（1）根據(jù)“A﹣B＞0，則A＞B”作答；（2）利用作差法進行解答．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知：若A﹣B＞0，則A＞B，∵3?（22?3）＝23∴3＞22故答案為：＞；（2）2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＝4a2﹣2ab+14+3a2+2ab﹣7＝7a2+7，∵a2+1＞0，∴7a2+7＞0．∴2（2a2﹣ab+7）﹣（﹣3a2﹣2ab+7）＞0，∴2（2a2﹣ab+7）＞﹣3a2﹣2ab+7．【點評】本題考查不等式的性質(zhì)和實數(shù)的大小比較，掌握比較實數(shù)大小的方法是解決本題的關(guān)鍵．【變式6-5】（2022秋?余姚市期中）根據(jù)等式和不等式的基本性質(zhì)，我們可以得到比較兩數(shù)大小的方法：（1）若a﹣b＞0，則ab；（2）若a﹣b＝0，則ab；（3）若a﹣b＜0，則ab．這種比較大小的方法稱為“求差法比較大小”．請運用這種方法嘗試解決下面的問題：比較4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的大小．【分析】（1）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時加上b即可；（2）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，等式的兩邊同時加上b即可；（3）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，不等式的兩邊同時加上b即可；（4）求出4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的差的正負，即可比較4+3a2﹣2b+b2與3a2﹣2b+1的大?。窘獯稹拷猓海?）因為a﹣b＞0，所以a﹣b+b＞0+b，即a＞b；（2）因為a﹣b＝0，所以a﹣b+b＝0+b，即a＝b；（3）因為a﹣b＜0，所以a﹣b+b＜0+b，即a＜b．（4）（4+3a2﹣2b+b2）﹣（3a2﹣2b+1）＝4+3a2﹣2b+b2﹣3a2+2b﹣1＝b2+3因為b2+3＞0，所以4+3a2﹣2b+b2＞3a2﹣2b+1．故答案為：＞、＝、＜．【點評】（1）此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變．（2）此題還考查了“求差法比較大小”方法的應用，要熟練掌握．題型七利用不等式的性質(zhì)確定字母的取值范圍題型七利用不等式的性質(zhì)確定字母的取值范圍【例題7】（2021春?未央?yún)^(qū)校級月考）若m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，求a的取值范圍．【分析】根據(jù)不等式性質(zhì)3可得結(jié)果．【解答】解：∵m＜n，且（a﹣5）m＞（a﹣5）n，∴a﹣5＜0，解得a＜5．答：a的取值范圍為a＜5．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握不等式的性質(zhì)．解題技巧提煉不等式兩邊同時除以一個負數(shù)時，不等號的方向必須改變；當除以的一個數(shù)是字母常數(shù)時，要注意先判斷這個字母常數(shù)的正負性，再確定是利用不等式的性質(zhì)2還是性質(zhì)3進行解答.【變式7-1】由不等式a＞b得到am＜條件是m0．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)可以判斷題目中的m的正負，從而可以解答本題．【解答】解：由不等式a＞b得到am＜bm的條件是m＜0，故答案為：＜．bm的【點評】本題考查不等式的性質(zhì)，解答此類問題的關(guān)鍵是明確不等式的性質(zhì)．【變式7-2】（2022春?常寧市期末）若x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，則a的取值范圍是．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)1，可得答案．【解答】解：x＜y，且（a﹣2）x＜（a﹣2）y，則a的取值范圍是a＞2，故答案為；a＞2．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，利用了不等式的性質(zhì)1．【變式7-3】（2022春?孟州市校級期中）歡歡由不等式（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，由此我們知道m(xù)的取值范圍是．【分析】運用不等式的基本性質(zhì)求解即可．【解答】解：∵（m﹣3）x＞m﹣3，得到x＜1，∴m﹣3＜0，∴m＜3．故答案為：m＜3．【點評】本題主要考查了不等式的基本性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是看不等號的方向是否改變．【變式7-4】若不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，求k的取值范圍．【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)不等式兩邊同除以一個負數(shù)，不等號方向改變，進而得出答案．【解答】解：∵不等式（2k+1）x＜2k+1的解集是x＞1，∴2k+1＜0，解得：k＜?1【點評】此題主要考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的基本性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式7-5】（2021春?饒平縣校級期末）已知關(guān)于x的不等式（m﹣1）x＞6，兩邊同除以m﹣1，得x＜6m?1，試化簡：|m﹣1|﹣|2﹣【分析】首先根據(jù)不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，可得m﹣1＜0，所以m＜1；然后判斷出2﹣m的正負，求出|m﹣1|﹣|2﹣m|的值是多少即可．【解答】解：因為（m﹣1）x＞6，兩邊同除以m﹣1，得x＜6所以m﹣1＜0，m＜1，所以2﹣m＞0，所以|m﹣1|﹣|2﹣m|＝（1﹣m）﹣（2﹣m）＝1﹣m﹣2+m＝﹣1【點評】此題主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（2）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變；（3）等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變；解答此題的關(guān)鍵是判斷出m﹣1＜0．題型八利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式題型八利用不等式的性質(zhì)解簡單不等式【例題8】將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）x﹣1＞2；（2）﹣x＜56；（3）1【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變作答．【解答】解：（1）x﹣1＞2；x﹣1+1＞2+1，可得：x＞3；（2）﹣x＜5﹣x×（﹣1）＞5可得：x＞?5（3）12x12可得：x＜6．【點評】主要考查了不等式的基本性質(zhì)：（1）不等式兩邊加（或減）同一個數(shù)（或式子），不等號的方向不變；（2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；（3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．解題技巧提煉利用不等式的性質(zhì)解不等式，就是利用不等式的性質(zhì)對不等式進行變形，使不等式的形式向x＞a或x＜a的形式轉(zhuǎn)化．易錯點是利用不等式的性質(zhì)3時不等號的方向要改變.【變式8-1】利用不等式的性質(zhì)解下列不等式，并把它們的解集在數(shù)軸上表示出來．（1）﹣2x≥5；（2）﹣4x+12＜0．【分析】（1）利用不等式的基本性質(zhì)3，將x系數(shù)化為1求出解集，表示在數(shù)軸上即可；（2）利用不等式的基本性質(zhì)1移項，再利用不等式的基本性質(zhì)3將x系數(shù)化為1，求出解集，表示在數(shù)軸上即可．【解答】解：（1）不等式兩邊同時除以﹣2得：x≤?5（2）不等式兩邊同時減去12得：﹣4x+12﹣12＜0﹣12，即﹣4x＜﹣12，不等式兩邊同時除以﹣4得：x＞3．【點評】此題考查了解一元一次不等式，在數(shù)軸上表示不等式的解集，熟練掌握不等式的解法是解本題的關(guān)鍵．【變式8-2】（2023春?項城市月考）將下列不等式化成“x＞a”或“x＜a”的形式：（1）5x＞4x﹣1；（2）﹣x﹣2＜7．【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，求解即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)①不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變，③不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變，求解即可．【解答】解：（1）兩邊同時減去4x，得5x﹣4x＞4x﹣1﹣4x，即x＞﹣1；（2）兩邊同時加上2，得﹣x＜9，兩邊同時乘﹣1，得x＞﹣9．【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)，熟練掌握不等式的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式8-3】根據(jù)不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式：（1）x﹣2＜3；（2）6x＜5x﹣1；（3）12x＞5；（4）﹣4x【分析】（1）根據(jù)不等式的性質(zhì)1求出答案即可；（2）根據(jù)不等式的性質(zhì)1求出答案即可；（3）根據(jù)不等式的性質(zhì)2求出答案即可；（4）根據(jù)不等式的性質(zhì)3求出答案即可．【解答】解：（1）∵x﹣2＜3，∴x﹣2+2＜3+2，∴x＜5；（2）∵6x＜5x﹣1，∴6x﹣5x＜5x﹣1﹣5x，∴x＜﹣1；（3）∵12x∴12x∴x＞10；（4）∵﹣4x＞3，∴?4x?4∴x＜?3【點評】本題考查了不等式的性質(zhì)和解一元一次不等式，能靈活運用不等式的性質(zhì)進行變形是解此題的關(guān)鍵，注意：①不等式的性質(zhì)1：不等式的兩邊都加（或減）同一個數(shù)或式子，不等號的方向不變；②不等式的性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變；③不等式的性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負數(shù)，不等號的方向改變．題型九不等關(guān)系在實際生活的應用、題型九不等關(guān)系在實際生活的應用【例題9】（2023春?西安月考）交通法規(guī)人人遵守，文明城市處處安全．在通過橋洞時，我們往往會看到如圖所示的標志，這是限制車高的標志，則通過該橋洞的車高x（m）的范圍可表示為（）A．x≥4.5 B．x＞4.5 C．x≤4.5 D．0＜x≤4.5【分析】根據(jù)不等式的定義解決此題．【解答】解：由題意可得，0＜x≤4.5．故選：D．【點評】本題主要考查不等式，熟練掌握不等式的定義是解決本題的關(guān)鍵．解題技巧提煉此題考查了不等式的應用，解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，依據(jù)題意列出不等式進行求解.【變式9-1】（2022秋?金華期末）某養(yǎng)生鈣奶飲料中的包裝瓶上標注“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，它的含義是指（）A．每100克內(nèi)含鈣150毫克 B．每100克內(nèi)含鈣不低于150毫克 C．每100克內(nèi)含鈣高于150毫克 D．每100克內(nèi)含鈣不超過150毫克【分析】“≥”就是不小于，在本題中也就是“不低于”的意思．【解答】解：根據(jù)≥的含義，“每100克內(nèi)含鈣＞150毫克”，就是“每100克內(nèi)含鈣高于150毫克”，故選：C．【點評】本題主要考查不等號的含義，是需要熟練記憶的內(nèi)容．【變式9-2】（2022春?香坊區(qū)校級期中）2021年2月3日是我國24節(jié)氣中的立春，據(jù)天氣預報報道，哈爾濱當天最高氣溫是﹣13℃，最低氣溫是﹣21℃，則當天哈市氣溫t（℃）的變化范圍是（）A．t＞13 B．t≤﹣21 C．﹣21＜t＜﹣