2023屆貴州省黔東南州鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題

2023屆貴州省鎮(zhèn)遠(yuǎn)縣文德民族中學(xué)校高三上學(xué)期第三次月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合，，則（）A． B．C． D．【答案】C【分析】由題意可得，再由交集的定義求解即可.【詳解】解：因為，所以.故選：C.2．已知i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】化簡可得，，從而求得，則.【詳解】由可得，，所以，，則.故選：B.3．若數(shù)列是等比數(shù)列，且，則（）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)將題目化簡后易得答案.【詳解】數(shù)列是等比數(shù)列中，且故選：C4．已知某公司的1800名員工由老年人、中年人、青年人組成，其中中年人有360人，用分層抽樣的方法抽取360人，抽取的青年人比抽取的老年人多88人，則該公司的員工中青年人人數(shù)是（）A．188 B．360 C．760 D．940【答案】D【分析】首先求出抽樣比為，可知抽取中年人為72，設(shè)抽取的青年人數(shù)為，可得，從而得到結(jié)果.【詳解】由已知可得，抽樣比為，則抽取的中年人數(shù)為.設(shè)抽取的青年人數(shù)為，則抽取的老年人數(shù)為，所以，有，解得.所以，該公司的員工中青年人人數(shù)是.故選：D.5．若，滿足約束條件則的最大值是A．-8 B．-3 C．0 D．1【答案】C【分析】作出可行域，把變形為，平移直線過點時，最大.【詳解】作出可行域如圖：由得：，作出直線，平移直線過點時，.故選C.【點睛】本題主要考查了簡單線性規(guī)劃問題，屬于中檔題.6．在前項和為的等差數(shù)列中，，，則（）A．38 B．37 C．36 D．35【答案】D【分析】寫出等差數(shù)列的通項公式以及前n項求和公式，利用題中所給的條件即可.【詳解】設(shè)的通項公式為，其中是首項，d是公差，則，，由題意，解得…①，將代入得，，；故選：D.7．某四棱錐的三視圖如圖所示，已知該四棱錐的體積為40，則其最長側(cè)棱與底面所成角的正切值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體的直觀圖，利用三視圖的數(shù)據(jù)求解最長側(cè)棱與底面所成角的正切值即可【詳解】由三視圖可知，該四棱錐的底面是長為6，寬為5的矩形，設(shè)高為h，所以，解得，則其最長側(cè)棱與底面所成的角的正切值為.故選：A【點睛】本題解答的關(guān)鍵是畫出直觀圖，考查線面角的求法，屬于基礎(chǔ)題.8．在中，，斜邊上一點滿足，則（）A．24 B．27 C．36 D．81【答案】B【分析】先根據(jù)向量的減法,把用和表示,在應(yīng)用,根據(jù)數(shù)量積定義和運算律計算即可.【詳解】因為,所以,可得,所以又因為,,所以所以故選:.9．偶函數(shù)的圖象在處的切線斜率為A．2e B．e C． D．【答案】A【分析】先通過偶函數(shù)的性質(zhì)求出的值，然后對函數(shù)求導(dǎo)，即可求出的值，即為圖像在處的切線斜率．【詳解】由于函數(shù)為偶函數(shù)，則，即，解得，故，則，則，故函數(shù)的圖像在處的切線斜率為.故選A.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及偶函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．10．奔馳汽車是德國的汽車品牌，奔馳汽車車標(biāo)的平面圖如圖（1），圖（2）是工業(yè)設(shè)計中按比例放縮的奔馳汽車車標(biāo)的圖紙．若向圖（1）內(nèi)隨機投入一點，則此點取自圖中黑色部分的概率約為（）【答案】B【分析】求最大圓的面積，利用兩圓面積差求黑色圓環(huán)面積，利用三角形的面積公式求每一個黑色三角形面積，最后利用數(shù)值的估算鎖定答案.【詳解】最大圓的面積；黑圈面積；每個黑色三角形黑色面積與總面積的比值為0.237（可以代入，也可以借助找到最接近的答案）故選：B.11．已知拋物線的焦點為，準(zhǔn)線為，直線交拋物線于，兩點，過點作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，若等邊三角形的面積為，則的面積為A． B． C．16 D．【答案】B【分析】由為等邊三角形，得，邊長為，結(jié)合條件中的面積可得，進(jìn)而由直線與拋物線聯(lián)立可得交點坐標(biāo)，利用面積公式求解即可.【詳解】因為為等邊三角形，所以，邊長為，由，得，拋物線方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，.故.故選B【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，利用了拋物線的定義研究拋物線上的點到焦點的距離，考查了數(shù)形結(jié)合和計算能力，屬于中檔題.12．如圖，在正三棱柱中，，，分別為，的中點，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】將正三棱柱補成一個直四棱柱，分別將直線平移到的位置，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將正三棱柱，補形成直四棱柱，如圖所示，設(shè)，則，分別取的中點，連接，連接，因為為的中點，所以，又因為且，所以四邊形為平行四邊形，則有，又因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則，再取的中點，連接，則，從而得到，所以即為異面直線與所成的角（或其補角），令，則在中，，，由余弦定理可得：，故選：.二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為______．【答案】-1080【分析】利用二項展開式的通項公式求出第r+1項，令x的指數(shù)為2可求x2的系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，由5﹣r＝2解得r＝3，則的系數(shù)為.故答案為-1080【點睛】本題考查二項展開式的運用，考查求特定項的系數(shù)，熟練運用公式求解即可.14．已知雙曲線﹣＝1的一個焦點是（0，2），橢圓﹣＝1的焦距等于4，則n＝___．【答案】5【分析】根據(jù)雙曲線焦點的位置確定出m的符號，進(jìn)而求出m，然后根據(jù)橢圓的焦距求出n.【詳解】由題意可得m＜0，且22＝﹣3m﹣m，解得m＝﹣1，故橢圓﹣＝1的方程可化為，故其焦距2c＝2＝4或2c＝2＝4，解得n＝5，或n＝﹣3（此時方程不表示橢圓，舍去）故答案為：5．15．已知函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為______.【答案】2【分析】先作出的草圖，得到的零點為，將的零點轉(zhuǎn)化為，即看的解的個數(shù)，由圖像即可得出結(jié)果【詳解】先由函數(shù)畫出草圖如圖，函數(shù)的零點為，令，得，函數(shù)的零點個數(shù)就是方程解的個數(shù)，也就是函數(shù)的圖像與直線交點的個數(shù)，由圖可知函數(shù)的圖像與直線有兩個不同的交點，，的零點個數(shù)為2，故答案為：216．若函數(shù)y＝sin2x+cos3x+a﹣1在區(qū)間[]上的最小值為0，則a＝_____．【答案】【分析】化簡函數(shù)的解析式，利用換元法，結(jié)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解函數(shù)的最值然后推出結(jié)果．【詳解】解：函數(shù)，因為．所以，令，則，，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而，解得．故答案為：．【點睛】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，屬于中檔題．三、解答題17．在中，角的對邊分別為，且.（1）求；（2）若，的面積為，求.【答案】（1）；（2）.【分析】(1)由正弦定理得到，兩邊消去公因式得到，化一即可求得角A；（2）因為，所以，再結(jié)合余弦定理得到結(jié)果.【詳解】（1）由,得,因為，所以，整理得：，因為，所以.（2）因為，所以，因為及，所以，即.【點睛】本題主要考查正弦定理及余弦定理的應(yīng)用以及三角形面積公式，屬于難題.在解與三角形有關(guān)的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據(jù).解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應(yīng)注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當(dāng)條件中同時出現(xiàn)及、時，往往用余弦定理，而題設(shè)中如果邊和正弦、余弦函數(shù)交叉出現(xiàn)時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數(shù)再結(jié)合和、差、倍角的正余弦公式進(jìn)行解答.18．如圖，菱形的邊長為4，，矩形的面積為，且平面平面.(1)證明：；(2)求二面角的正弦值.【答案】（1）見解析；（2）【分析】(1)因為四邊形是矩形，所以,再由面面垂直得到線面垂直，進(jìn)而得到線線垂直；（2）建立坐標(biāo)系得到各個面的法向量，進(jìn)而得到夾角的余弦值，再求正弦值.【詳解】(1)證明：因為四邊形是矩形，所以.因為平面平面，且平面平面，所以平面.又平面，所以.(2)解：設(shè)與的交點為，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因為菱形的邊長為4，且，所以.因為矩形的面積為8，所以.則，，，，所以，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，，所以.所以，所以.所以二面角的正弦值為.【點睛】這個題目考查了空間中的直線和平面的位置關(guān)系，平面和平面的夾角．求線面角，一是可以利用等體積計算出直線的端點到面的距離，除以線段長度就是線面角的正弦值；還可以建系，用空間向量的方法求直線的方向向量和面的法向量，再求線面角即可．面面角一般是要么定義法，做出二面角，或者三垂線法做出二面角，利用幾何關(guān)系求出二面角，或者建系來做．19．某工廠在兩個車間，內(nèi)選取了12個產(chǎn)品，它們的某項指標(biāo)分布數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示，該項指標(biāo)不超過19的為合格產(chǎn)品.（1）從選取的產(chǎn)品中在兩個車間分別隨機抽取2個產(chǎn)品，求兩車間都至少抽到一個合格產(chǎn)品的概率；（2）若從車間，選取的產(chǎn)品中隨機抽取2個產(chǎn)品，用表示車間內(nèi)產(chǎn)品的個數(shù)，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）（2）見解析【分析】（1）利用莖葉圖，求出兩個車間的產(chǎn)品數(shù)，然后求解概率．（2）寫出X的所有可能取值并求出取每個值時對應(yīng)的概率，得到分布列，然后求解期望即可．【詳解】（1）由莖葉圖知，車間內(nèi)合格的產(chǎn)品數(shù)為4，車間內(nèi)合格的產(chǎn)品數(shù)為2，則所求概率.（2）由題意知，的所有可能取值為0，1，2.則，，，所以的分布列為012所以.【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查離散型隨機變量的分布列以及期望的求法，考查計算能力．20．已知橢圓C：的離心率為，長半軸長為短軸長的b倍，A，B分別為橢圓C的上、下頂點，點．求橢圓C的方程；若直線MA，MB與橢圓C的另一交點分別為P，Q，證明：直線PQ過定點．【答案】（1）；（2）見解析【分析】由題意知，解出a、b即可．點易知，，則直線MA的方程為，直線MB的方程為分別與橢圓聯(lián)立方程組，解得，，可得，，Q坐標(biāo)結(jié)合對稱性可知定點在y軸上，設(shè)為N，令直線PN，QN的斜率相等，即可得到定點．【詳解】由題意知，解得，所以橢圓C的方程為．易知，，則直線MA的方程為，直線MB的方程為．聯(lián)立，得，于是，，同理可得，，又由點及橢圓的對稱性可知定點在y軸上，設(shè)為N（0，n）則直線PN的斜率，直線QN的斜率，令，則，化簡得，解得n=，所以直線PQ過定點【點睛】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、斜率計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．21．已知函數(shù).(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；(2)若，，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號求解；（2）構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，再根據(jù)a的取值范圍分類討論.【詳解】（1），，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由題意：，令，則有，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，依題意有，所以；當(dāng)時，，依題意，即無論a為何值原不等式都不成立；當(dāng)時，時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，，或，即無論a為何值原不等式都不成立；；綜上，a的取值范圍是.【點睛】對于第二問，也可以用參數(shù)分離的方法，但是會牽涉到的問題，需要運用洛必達(dá)法則，不如用分類討論的方法穩(wěn)妥.22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)寫出曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點是曲線上一點，點是曲線上一點，求的最小值.【答案】(1)：，：(2)【分析】(1)曲線化成，根據(jù)化簡成的極坐標(biāo)方程中的,用兩角和的余弦展開化簡，再根據(jù)代入可得.(2)根據(jù)直線外一點與直線上一點的距離的最小值為直線外這一點到直線的距離，設(shè)出，然后根據(jù)點到直線的距離公式得到，根據(jù)，來討論，即可求出最小值.【詳解】（1）因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以，又因為所以，曲線：又因為，即即，即又因為，所以變?yōu)椋汗是€的直角