新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)清單+鞏固練習(xí)專(zhuān)題12 數(shù)列通項(xiàng)及數(shù)列前n項(xiàng)和求法（原卷版）

第第④SKIPIF1<02、分組轉(zhuǎn)化法求和（1）適用范圍：某些數(shù)列的求和是將數(shù)列轉(zhuǎn)化為若干個(gè)可求和的新數(shù)列的和或差，從而求得原數(shù)列的和，注意在含有字母的數(shù)列中對(duì)字母的討論．（2）常見(jiàn)類(lèi)型：=1\*GB3①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數(shù)列；=2\*GB3②通項(xiàng)公式為an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(bn，n為奇數(shù)，,cn，n為偶數(shù)))的數(shù)列，其中數(shù)列{bn}，{cn}是等比數(shù)列或等差數(shù)列.3、并項(xiàng)求和法：一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和．形如an＝(－1)nf(n)類(lèi)型，可采用兩項(xiàng)合并求解．例如，SKIPIF1<0．4、倒序相加法：如果一個(gè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)中首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即是用此法推導(dǎo)的．5、裂項(xiàng)相消法求和：如果一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)為分式或根式的形式，且能拆成結(jié)構(gòu)相同的兩式之差，那么通過(guò)累加將一些正、負(fù)項(xiàng)相互抵消，只剩下有限的幾項(xiàng)，從而求出該數(shù)列的前n項(xiàng)和．6、錯(cuò)位相減法求和：如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用錯(cuò)位相減法來(lái)求.一、已知Sn求an的三個(gè)步驟（1）利用a1＝S1求出a1.（2）當(dāng)n≥2時(shí)，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)求出an的表達(dá)式．（3）看a1是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫(xiě)；否則應(yīng)寫(xiě)成分段的形式，即an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(S1，n＝1，,Sn－Sn－1，n≥2.))根據(jù)所求結(jié)果的不同要求，將問(wèn)題向兩個(gè)不同的方向轉(zhuǎn)化．（1）利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解．（2）利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．20B．19C．18D．17【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)均為正數(shù)，記數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則下列說(shuō)法正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0二、累加法求通項(xiàng)公式形如SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】若數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0．【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【典例3】若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的極值點(diǎn)，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．三、累乘法求通項(xiàng)公式形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0型的遞推數(shù)列（其中SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)）可構(gòu)造：SKIPIF1<0【典例1】若SKIPIF1<0，則通項(xiàng)公式SKIPIF1<0.【典例2】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.四、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）的遞推式，可構(gòu)造SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解．也可以與類(lèi)比式SKIPIF1<0作差，由SKIPIF1<0，構(gòu)造SKIPIF1<0為等比數(shù)列，然后利用疊加法求通項(xiàng)．【典例1】若數(shù)列SKIPIF1<0滿足，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0），則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為．【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為.五、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法形如SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的遞推式，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩邊同除以SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，兩邊人可以同除以SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【典例2】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0．求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．六、形如SKIPIF1<0的構(gòu)造法通過(guò)配湊轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0，通過(guò)待定系數(shù)法確定SKIPIF1<0的值，轉(zhuǎn)化成以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列SKIPIF1<0，再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出SKIPIF1<0的通項(xiàng)整理可得SKIPIF1<0【典例1】已知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式．【典例2】若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；【典例3】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為.七、取倒數(shù)法求通項(xiàng)對(duì)于SKIPIF1<0，取倒數(shù)得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可用待定系數(shù)法求解．【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】在數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為．八、裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、用裂項(xiàng)法求和的裂項(xiàng)原則及規(guī)律（1）裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)，直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．（2）消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．【注意】利用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，既要注意檢驗(yàn)通項(xiàng)公式裂項(xiàng)前后是否等價(jià)，又要注意求和時(shí)，正負(fù)項(xiàng)相消消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫(xiě)未被消去的項(xiàng)．2、裂項(xiàng)相消法中常見(jiàn)的裂項(xiàng)技巧（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）【典例1】在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．97B．98C．99D．100【典例3】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求證數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0．（2）若數(shù)列SKIPIF1<0的前m項(xiàng)和SKIPIF1<0，求m的值，九、錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和1、解題步驟2、注意解題“3關(guān)鍵”①要善于識(shí)別題目類(lèi)型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．②在寫(xiě)出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫(xiě)出“Sn－qSn”的表達(dá)式．③在應(yīng)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，若等比數(shù)列的公比為參數(shù)，應(yīng)分公比q＝1和q≠1兩種情況求解．3、等差乘等比數(shù)列求和，令SKIPIF1<0，可以用錯(cuò)位相減法．SKIPIF1<0①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0．整理得：SKIPIF1<0．【典例1】設(shè)SKIPIF1<0是首項(xiàng)為1的等比數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列.（1）求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和，求SKIPIF1<0和SKIPIF1<0.【典例2】記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，已知SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0.（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列，并求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.易錯(cuò)點(diǎn)1由SKIPIF1<0求SKIPIF1<0時(shí)忽略對(duì)“SKIPIF1<0”檢驗(yàn)點(diǎn)撥：在數(shù)列問(wèn)題中，數(shù)列的通項(xiàng)SKIPIF1<0與其前n項(xiàng)和SKIPIF1<0之間關(guān)系如下SKIPIF1<0，在使用這個(gè)關(guān)系式時(shí)，要牢牢記住其分段的特點(diǎn)。當(dāng)題中給出數(shù)列｛SKIPIF1<0｝的SKIPIF1<0與SKIPIF1<0關(guān)系時(shí)，先令SKIPIF1<0求出首項(xiàng)SKIPIF1<0，然后令SKIPIF1<0求出通項(xiàng)SKIPIF1<0，最后代入驗(yàn)證。解答此類(lèi)題常見(jiàn)錯(cuò)誤為直接令SKIPIF1<0求出通項(xiàng)SKIPIF1<0，也不對(duì)SKIPIF1<0進(jìn)行檢驗(yàn)。【典例1】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【典例2】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【典例3】已知數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0