2022年秋高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何綜合測(cè)評(píng)新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

模塊綜合測(cè)評(píng)

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題

目要求的.

1.直線與直線的交點(diǎn)在第四象限,則實(shí)數(shù)4的取值范圍為()

B.?)

。&+8)D.

2.在空間直角坐標(biāo)系中，若直線1的方向向量為a=(l,-2,1),平面。的法向量為n=(2,3,4),則

()

A.1//aB.71a

C.Iu?；?〃。D./與。斜交

3.設(shè)直線l\：y=kix+l,li-.y=k2x-l,其中實(shí)數(shù)k“%滿足左左+20,則7,與乙的交點(diǎn)一?定在()

A.2X+3/=1(A^0)±

B.*%2/=1(#0)上

C.2x+y-1(%^0)上

D.3f+2/=l(xW0)上

4.若雙曲線噂-5=1(附8刈的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2,則。的離心率

為()

A.2B.V3C.V2D.手

5.已知圓夕與圓C：(*")2+/=8恰有兩條公切線，則實(shí)數(shù)勿的取值范圍是()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(3,+8)D.(-3,-1)U(1,3)

6.(2021安徽宿州期中)若圓*+(y-a)2=4上總存在兩個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1,則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是()

A.(1,3)B.[1,3]

C.(-3,-l)u(l,3)D.[-3,-l]u[1,3]

7.過(guò)雙曲線的右頂點(diǎn)作x軸的垂線與6?的一條漸近線相交于A,若以雙曲線。的右焦點(diǎn)

尸為圓心、以2為半徑的圓經(jīng)過(guò)4。兩點(diǎn)（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），則雙曲線C的離心率為（）

A.V3B.2

C.V5D.3

8.如圖,若拋物線過(guò)點(diǎn)平行于x軸的光線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A反射后,反射光線經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn),且

交拋物線于點(diǎn)B,則線段相的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為（）

A.-B.-

48

C.-D.2

4

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全

部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分.

9.已知點(diǎn)P是平行四邊形力四所在的平面外一點(diǎn),如果標(biāo)=（2,-1,Y）,同二（4,2,0）,而二（-1,2,T）,

則下列結(jié)論正確的有（）

A.APLAB

B.AP1.AD

C.而是平面力以力的一個(gè)法向量

D.APWBD

10.（2021遼寧大連期中）已知尸是雙曲線婿一\二13刈的右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，0

為坐標(biāo)原點(diǎn),則NA*的大小可能是（）

A.30°B.45°

C.60°D.150°

11.（2021遼寧沈陽(yáng)檢測(cè)）已知實(shí)數(shù)x、y滿足方程則下列說(shuō)法正確的是)

A.y的最大值為2大片

15.（"2），3+1）2的最大值為22+12立

C.x+y的最大值為3+2V2

D.4x-3y的最大值為8

12.（2021江蘇海安檢測(cè)）雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱、和諧、簡(jiǎn)潔、統(tǒng)一的美，同

時(shí)也具有特殊的有價(jià)值的藝術(shù)美,是形成其他一些常見的漂亮圖案的基石,也是許多設(shè)計(jì)者設(shè)計(jì)作

品的主要幾何元素.曲線C力（f-力是雙紐線,則下列結(jié)論正確的是（）

A.曲線C經(jīng)過(guò)5個(gè)整點(diǎn)（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）

B.曲線C上任意一點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)。的距離都不超過(guò)2

C.曲線C關(guān)于直線尸x對(duì)稱的曲線方程為（丁+爐）22（7-/）

D.若直線受而與曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)〃的取值范圍為（-、-1]U[1,+8）

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設(shè)向量a=（l,2,A）,b=（2,2,-1）,若cos<a,b，?,則實(shí)數(shù)A的值為.

14.如圖,在空間四邊形6148c中,￡尸分別是AB,弦的中點(diǎn),〃是哥1上一點(diǎn),且E吟EF、記

OH=xOA+yOB+zOC,貝lj（x,y,z）=;若市A.OB.OALOC,N80CQ,且

,U4/-./OB/-/OC/=1,則/而/=.

15.（2021河北邢臺(tái)檢測(cè)）在△/度中,4,6分別是橢圓盤+*1（a協(xié)0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)C在橢圓上,

且N/16C=30°,（存+而）?近=0,則該橢圓的離心率為

16.(2021江蘇常州期中)已知圓C:(x-3My=l,點(diǎn)"在拋物線上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)M引直線71,h

與圓C相切,切點(diǎn)分別為A,B,則〃8/'的取值范圍為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

17.(10分)圓心為1的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)力(Y,1),夙-3,2),且圓心1在直線tx-y-24)上.

(1)求圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過(guò)點(diǎn)尸(3,T)作直線勿交圓C于MN兩點(diǎn),且/W=8,求直線0的方程.

18.(12分)如圖,在正方體ABCD-ABCR中，也N分別為AB,的中點(diǎn).

⑴借助向量證明平面4劃〃平面5勿；

(2)借助向量證明網(wǎng)比平面AxBD.

19.(12分)如圖，在矩形ABCD中"BW,4%6,點(diǎn)E,廠分別在AD,BC上,且AE=\,BF4,沿獷'將四邊形

4所方折成四邊形月'夕必'，使點(diǎn)6'在平面〃花尸上的射影〃在直線DE上.

B'

(1)求證:平面8'5"L平面

(2)求證:A〃平面B'FC;

(3)求直線函與平面所成角的正弦值.

20.(12分)(2021浙江學(xué)業(yè)考試)如圖，直線/與圓氏/+5+1)2=1相切于點(diǎn)P,與拋物線C/Ny相

交于不同的兩點(diǎn)4氏與y軸相交于點(diǎn)7(0,￡)*人).

(1)若7是拋物線。的焦點(diǎn),求直線1的方程;

⑵若iTEl^lPAl?/PB/,求t的值.

21.（12分）（2021江蘇南通模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中,四邊形48繆是等腰梯形,46〃

DC,BC=CD2AB=\.M,N分別是AB,49的中點(diǎn)，且PDA.NC,平面月切，平面ABCD.

⑴證明：如，平面ABCD-,

（2）已知三棱錐〃-為6的體積為|,求平面月VC與平面的夾角的大小.

22.(12分)已知橢圓噂+各(a加0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)W2,1),且離心率為與直線1與橢圓交于48兩點(diǎn),

線段的中點(diǎn)為此

(1)求橢圓。的方程；

(2)若N4陽(yáng)的角平分線與x軸垂直,求長(zhǎng)度的最小值.

模塊綜合測(cè)評(píng)

LA聯(lián)立CX工。解得::霆

Vl+2kl

：.—X)且也<0,，3<

l+2kl+2k2總2.

2.C由a?n=lX2+(-2)X3+1X4-0,可知a±n.

：.!//。或7ca.

3.C直線/i：y=《x+l,???瓦上:(x#。)；

X

直線h:，42r^^(xWO).

又看〃2+2R,???巴?”上2電

XX

整理得2f+/=l(xW0),

/.lx與11的交點(diǎn)一定在2x=*=l(xWO)上.

4.A雙曲線的漸近線方程為云天a片0,

圓心(2,0)到漸近線距離為公序運(yùn)=V3,

則點(diǎn)(2,0)到直線bx+ay$的距離為

，甘=i

即生竽考,整理可得cMa2,

c4

雙曲線的離心率e事=V4^.

5.D?.?圓G:八(戶勿)2之與圓恰有兩條公切線，，兩圓相交.

又G圓心為(0,-ni),半徑為a,G圓心為(網(wǎng)0),半徑為2或,；.&<a/加<3魚,即1<7加<3,

解得-33<T或13⑶

6.C根據(jù)題意,到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1的點(diǎn)的軌跡方程為是圓心為(0,0),半徑片1的圓,

若圓上總存在兩個(gè)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為1,則圓/+(y-a)2Z與圓相交，

圓/+(y-a)2=l,圓心為(0,a),半徑R2

則有2T<7a/<2+l,即l</a/<3,

解得-31或1<a<3,

即z的取值范圍為(-3,T)U(1,3).

7.B因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y=上，，

a

所以/(a,6)或/(a,-6),因此/"7=c之，

即J(2-a)2+爐=2,整理可得才+巨Ya=O.

因?yàn)閍+lf=c=^,所以4a2,解得a=l,

所以雙曲線的離心率為e二之.

a

8.B由題意設(shè)拋物線的方程為y=哂將A的坐標(biāo)代入可得1％可得m4,

所以拋物線的方程為/可入,可得焦點(diǎn)H1,0),準(zhǔn)線方程為X=-1,

由題意可得反射光線過(guò)焦點(diǎn)(1,0),所以直線48的方程為言=導(dǎo),整理可得y=3(x-l),

1-0--13

4

4f1

{,二；D解得容:、或上二，

所以反射光線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)8(4,-4),

所以AB的中點(diǎn)為(費(fèi)1),

所以49的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離壯+1岑.

88

9.ABCVAB-AP=2X(-l)+(-l)X2+(")X(-l)-0,：.APA.AB,

即APVAB,故A正確；

?.?麗?而《DX4+2X2+(T)X0=0,

：.AP1AD,即APIAJ),故B正確；

由APLAB,APVAD,且ABnAD=A,得出都是平面四切的一個(gè)法向量,故C正確；

由Q是平面/靦的法向量，得出Q1前，故D錯(cuò)誤.

10.AD?.?雙曲線嗜-白(a刈的漸近線方程為y=±x,

雙曲線的漸近線與x軸的夾角為45°.

:廠是雙曲線C：2-'=l(a<X))的右焦點(diǎn)，

。為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)尸是雙曲線上任意一點(diǎn)，

.,.o°WNP0F&5?；?35°<//WW180°.

.?.N/W的大小可能是30。，150°.

故選AD.

11.BCD由1-2xYy+l4),知(xT)2*(y-2)M,

表示圓心為Ml,2),半徑為片2的圓，

對(duì)于的幾何意義為圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)距離的平方和，其最大值為(/QJ〃川、(通發(fā))2,即卜錯(cuò)誤;

對(duì)于B,(k2)。(川1)2的幾何意義為圓上的點(diǎn)與點(diǎn)(-2,-1)距離的平方和，其最大值為

(2+3或)222+12位,即B正確；

對(duì)于C,令z=x+y,則其幾何意義為直線y=r+z在y軸上的截距，

當(dāng)該直線尸-x+z與圓相切時(shí),可滿足題意，

此時(shí)圓心欣1,2)到直線y=-x+z的距離為嚴(yán)等2,解得zW土2位，

V2

顯然^?=3-2V2,z耐可2/1即C正確；

對(duì)于D,令t=4x-3y,則其幾何意義為直線片^^,在y軸上的截距乘以-3,

當(dāng)該直線t與圓相切時(shí)，可滿足題意，

此時(shí)圓心Ml,2)到直線y^t的距離為心產(chǎn)之,解得片8或-12,

顯然Zmin--12,turn=8,即D正確.

故選BCD.

12.BCD當(dāng)y=O時(shí),x=4x,解得x=Q或2或-2,

即曲線過(guò)整點(diǎn)(0,0),(2,0),(-2,0),結(jié)合圖象可知-2或N忘2,令彳=壬1,得/2百-3,不是整點(diǎn),

/.曲線C共經(jīng)過(guò)3個(gè)整點(diǎn),故A錯(cuò)誤;

岑畢＜4,曲線。上任取一點(diǎn)P(x,力到原點(diǎn)的距離吟/%2+y2W2,故B正確;

x十y

曲線。上任取一點(diǎn)材關(guān)于y=x的對(duì)稱點(diǎn)為N,

設(shè)N(x,y),則."(％x),〃在曲線C上,

A(x2+y)M(/-x),故C正確；

y=Ax與曲線C一定有公共點(diǎn)(0,0),

?.?y=4x與曲線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，

則x(,i+Jc)=1x(1D,.dwo,

.?.421或AWT,故D正確.

13.告或2因?yàn)橄蛄縜=(l,2,2),b=(2,2,-1),

所以a?b^2M-A4-X,

/a/R1+4+42=y/54-A2,

/b/R4+4+4￥.

若cos<a,b>q,

則j=_±^_=i,

|Q|網(wǎng)后/X39，

化簡(jiǎn)得7儲(chǔ)+1084-244-0,

解得A=告或A之，

則實(shí)數(shù)才的值為告或2.

14m)—?：OH=OE+EH=OA+AE+-EF=OA+-AB+-(OF-OE)^A+-(OB-

\82878424、2、

OA)-^x-(OB+OC-OA-OB)^-OA+-OB+-OC,

42、828

(X,%z)

'：OALOB.OALOC,NBOC$Q°,

且可/刁赤/=沅/=1,

2

：.OH2=(-OA+-OB+-OC]=-\OA^\OB/2-^-\OC/2-^X-X-XCOS600=^-+-+-+-=

\828J64141641286446416

/??麗/哼.

15.”如圖，作平行四邊形/龍C

由(荏+前)?BC-O,得AELBC,

一故lACl=[ABl=2c.

又NA%>30°,二/a73X2csin60°c.

由橢圓的定義知2a=/ACl+/BC[=2(1A/3)C,

故a=(V3+l)c,

離心率e/=；=旦.

a聞12

16.L—,2)

2

17.解⑴由已知直線AB的斜率k^AB中點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,|),

所以46垂直平分線的方程為戶■戶2R.

則由匕"1。'解得匕:，所以圓心以0,-2),

因此半徑r=lACf

所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x=(y+2)225.

⑵由/W=8可得圓心C到直線m的距離序不-3,

所以當(dāng)直線加斜率不存在時(shí),其方程為片區(qū)

即x-34);

當(dāng)直線力斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y+14(x-3),

則法」黑瑪解得公g

NK￡"rL<5

此時(shí)其方程為4x+3y-9-0.

所以直線勿的方程為%-3-0或4x+3廠9R.

18.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則

〃(0,0,0),4(2,0,2),8(2,2,0),R(2,2,2),<7(0,2,0),力(0,0,2),

設(shè)平面4勿的法向量為m-(x,y,z),

?西=(2,0,2),麗=(2,2,0),

??偏二二"即鼠第2令x=T,則平面46〃的一個(gè)法向量1,1).

同理平面B、CK的一個(gè)法向量為n=(T,1,1),

，m〃n,

J平面4版〃平面臺(tái)辦.

(2)N分別為AB,8c的中點(diǎn)，

.,.M2,1,0),Ml,2,1),

.?.而=(T,1,1),：.MN//m,

二版歸_平面46〃

19.⑴證明在矩形/靦中，aa陽(yáng)

點(diǎn)8'在平面CW上的射影為H,

則8'憶平面CDEF,且Cg平面CDEF,

J.B'HVCD.

又B'HCDE=H,：.平面B,HD.

又CDc平面B'CD,

二平面6'繆J"平面B'HD.

⑵證明%b'E"因平面B'FC,B'Fu平面B,FC,

.?"'￡〃平面B'FC.

由DE//FC,同理可得應(yīng)1〃平面B'FC.

又A'EQDE=Ey

，平面力'外〃平面B'FC,

〃平面B'FC.

⑶解如圖所示,過(guò)點(diǎn)《作ER//DC,過(guò)點(diǎn)K作用，平面EFCD,

分別以圖必用為r軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

???6'在平面6W上的射影〃在直線DE上,

.?.設(shè)8'(0,y,z)(y_X),z刈.

,/尸(3,3,0),且B'E^Q,B'F=A,

?唱;之魯…解得憶去

，6'(0,2,遍)，

.?.而=(-3,-1.V6),

而一兩=(之二漁).

4444

又罰二(0,5,0),

設(shè)平面力'龍的法向量為n=(a,5,C),

n?前=0,

則有

n?ED=0f

即「3a-b+V6c—0,

15b=0,

解得b=O,令a=\y

得平面，功的一個(gè)法向量為n《l,0,豺

又(7(3,5,0),“(0,2,0),

：.CH=(-3,-3,0),

_卜

直線/方與平面小功所成角的正弦值為sin0=/cos<CH,n>/JCH'n|3+0+0|_y/5

Jl+0+^xV9+9+05

|CH||nI

20.解⑴C7（0,2（切0）是拋物線的焦點(diǎn),

/.t=1.

設(shè)直線1的方程為y=kx+L由直線/與圓K相切,得婚聲=1,即k=±W,

Vl+k2

.?.直線/的方程為產(chǎn)土V5x+1.

⑵設(shè)直線1的方程為y=kx+t,P(xo,y0),A(xh%),B(x%㈤,

由"上+''得xFER,

(產(chǎn)=4y,

貝(I汨+及=4%汨及二-41,

222

AIPA/?/PB/=^1+k/x\-Ab/?V14-k/X2-jfo/-(1-^A)[x\x2~xAx\+x^收引=(1+必)[XQ-

4(kxo+。]-(1卷)(詔-4jb).

由直線/與圓￡相切，得要=1,

Vl+fcz

即1*(加1)2,

由/窗/=什1,/"/=/掰/?/%/,得(11)(瑤-4yo)=("D2,

???詔-4次=1,又詔+(%+1)2=1,乂)￡(-2,0),

解得％=-3+2近.

由直線/與"互相垂直,得公

。*=*=焉=意="

21.⑴證明連接DM,則DC//BM宣DC=BM,

所以四邊形及力?/為平行四邊形,所以DM//BC旦DM=BC,所以△4即是等邊三角形,所以MNVAD.

因?yàn)槠矫胬?平面ABCD,且平面PADC\平面ABCD=AD,所以劭ILL平面PAD.

因?yàn)镻g平面PAD,

所以PDLMN.

又因?yàn)镻DLNC,且切口NC=N,拉化平面ABCD,A?=平面ABCD,

所以如J_平面ABCD.

(2)解連接做則協(xié)〃網(wǎng)彳

所以BDVAD,BDLPD.

在Rt△的8中，M+DE=A?,

又AD2止1,

所以DBe6,

故△ZM6的面積為SA