2022年秋高中數(shù)學第一章空間向量與立體幾何綜合測評新人教B版選擇性必修第一冊

模塊綜合測評

一、選擇題:本題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題

目要求的.

1.直線與直線的交點在第四象限,則實數(shù)4的取值范圍為()

B.?)

。&+8)D.

2.在空間直角坐標系中，若直線1的方向向量為a=(l,-2,1),平面。的法向量為n=(2,3,4),則

()

A.1//aB.71a

C.Iu。或/〃。D./與。斜交

3.設直線l\：y=kix+l,li-.y=k2x-l,其中實數(shù)k“%滿足左左+20,則7,與乙的交點一?定在()

A.2X+3/=1(A^0)±

B.*%2/=1(#0)上

C.2x+y-1(%^0)上

D.3f+2/=l(xW0)上

4.若雙曲線噂-5=1(附8刈的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則。的離心率

為()

A.2B.V3C.V2D.手

5.已知圓夕與圓C：(*")2+/=8恰有兩條公切線，則實數(shù)勿的取值范圍是()

A.(1,3)B.(-1,1)

C.(3,+8)D.(-3,-1)U(1,3)

6.(2021安徽宿州期中)若圓*+(y-a)2=4上總存在兩個點到坐標原點的距離為1,則實數(shù)a的取值

范圍是()

A.(1,3)B.[1,3]

C.(-3,-l)u(l,3)D.[-3,-l]u[1,3]

7.過雙曲線的右頂點作x軸的垂線與6?的一條漸近線相交于A,若以雙曲線。的右焦點

尸為圓心、以2為半徑的圓經(jīng)過4。兩點（。為坐標原點），則雙曲線C的離心率為（）

A.V3B.2

C.V5D.3

8.如圖,若拋物線過點平行于x軸的光線經(jīng)過點A反射后,反射光線經(jīng)過拋物線的焦點,且

交拋物線于點B,則線段相的中點到準線的距離為（）

A.-B.-

48

C.-D.2

4

二、選擇題:本題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求.全

部選對的得5分,部分選對的得2分,有選錯的得0分.

9.已知點P是平行四邊形力四所在的平面外一點,如果標=（2,-1,Y）,同二（4,2,0）,而二（-1,2,T）,

則下列結論正確的有（）

A.APLAB

B.AP1.AD

C.而是平面力以力的一個法向量

D.APWBD

10.（2021遼寧大連期中）已知尸是雙曲線婿一\二13刈的右焦點，點P是雙曲線上任意一點，0

為坐標原點,則NA*的大小可能是（）

A.30°B.45°

C.60°D.150°

11.（2021遼寧沈陽檢測）已知實數(shù)x、y滿足方程則下列說法正確的是)

A.y的最大值為2大片

15.（"2），3+1）2的最大值為22+12立

C.x+y的最大值為3+2V2

D.4x-3y的最大值為8

12.（2021江蘇海安檢測）雙紐線像數(shù)字“8”，不僅體現(xiàn)了數(shù)學的對稱、和諧、簡潔、統(tǒng)一的美，同

時也具有特殊的有價值的藝術美,是形成其他一些常見的漂亮圖案的基石,也是許多設計者設計作

品的主要幾何元素.曲線C力（f-力是雙紐線,則下列結論正確的是（）

A.曲線C經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）

B.曲線C上任意一點到坐標原點。的距離都不超過2

C.曲線C關于直線尸x對稱的曲線方程為（丁+爐）22（7-/）

D.若直線受而與曲線C只有一個交點，則實數(shù)〃的取值范圍為（-、-1]U[1,+8）

三、填空題:本題共4小題,每小題5分，共20分.

13.設向量a=（l,2,A）,b=（2,2,-1）,若cos<a,b，?,則實數(shù)A的值為.

14.如圖,在空間四邊形6148c中,￡尸分別是AB,弦的中點,〃是哥1上一點,且E吟EF、記

OH=xOA+yOB+zOC,貝lj（x,y,z）=;若市A.OB.OALOC,N80CQ,且

,U4/-./OB/-/OC/=1,則/而/=.

15.（2021河北邢臺檢測）在△/度中,4,6分別是橢圓盤+*1（a協(xié)0）的左、右焦點，點C在橢圓上,

且N/16C=30°,（存+而）?近=0,則該橢圓的離心率為

16.(2021江蘇常州期中)已知圓C:(x-3My=l,點"在拋物線上運動,過點M引直線71,h

與圓C相切,切點分別為A,B,則〃8/'的取值范圍為.

四、解答題:本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)圓心為1的圓經(jīng)過點力(Y,1),夙-3,2),且圓心1在直線tx-y-24)上.

(1)求圓。的標準方程；

⑵過點尸(3,T)作直線勿交圓C于MN兩點,且/W=8,求直線0的方程.

18.(12分)如圖,在正方體ABCD-ABCR中，也N分別為AB,的中點.

⑴借助向量證明平面4劃〃平面5勿；

(2)借助向量證明網(wǎng)比平面AxBD.

19.(12分)如圖，在矩形ABCD中"BW,4%6,點E,廠分別在AD,BC上,且AE=\,BF4,沿獷'將四邊形

4所方折成四邊形月'夕必'，使點6'在平面〃花尸上的射影〃在直線DE上.

B'

(1)求證:平面8'5"L平面

(2)求證:A〃平面B'FC;

(3)求直線函與平面所成角的正弦值.

20.(12分)(2021浙江學業(yè)考試)如圖，直線/與圓氏/+5+1)2=1相切于點P,與拋物線C/Ny相

交于不同的兩點4氏與y軸相交于點7(0,￡)*人).

(1)若7是拋物線。的焦點,求直線1的方程;

⑵若iTEl^lPAl?/PB/,求t的值.

21.（12分）（2021江蘇南通模擬）如圖，在四棱錐P-ABCD中,四邊形48繆是等腰梯形,46〃

DC,BC=CD2AB=\.M,N分別是AB,49的中點，且PDA.NC,平面月切，平面ABCD.

⑴證明：如，平面ABCD-,

（2）已知三棱錐〃-為6的體積為|,求平面月VC與平面的夾角的大小.

22.(12分)已知橢圓噂+各(a加0)經(jīng)過點W2,1),且離心率為與直線1與橢圓交于48兩點,

線段的中點為此

(1)求橢圓。的方程；

(2)若N4陽的角平分線與x軸垂直,求長度的最小值.

模塊綜合測評

LA聯(lián)立CX工。解得::霆

Vl+2kl

：.—X)且也<0,，3<

l+2kl+2k2總2.

2.C由a?n=lX2+(-2)X3+1X4-0,可知a±n.

：.!//?；?ca.

3.C直線/i：y=《x+l,???瓦上:(x#。)；

X

直線h:，42r^^(xWO).

又看〃2+2R,???巴?”上2電

XX

整理得2f+/=l(xW0),

/.lx與11的交點一定在2x=*=l(xWO)上.

4.A雙曲線的漸近線方程為云天a片0,

圓心(2,0)到漸近線距離為公序運=V3,

則點(2,0)到直線bx+ay$的距離為

，甘=i

即生竽考,整理可得cMa2,

c4

雙曲線的離心率e事=V4^.

5.D?.?圓G:八(戶勿)2之與圓恰有兩條公切線，，兩圓相交.

又G圓心為(0,-ni),半徑為a,G圓心為(網(wǎng)0),半徑為2或,；.&<a/加<3魚,即1<7加<3,

解得-33<T或13⑶

6.C根據(jù)題意,到坐標原點的距離為1的點的軌跡方程為是圓心為(0,0),半徑片1的圓,

若圓上總存在兩個點到坐標原點的距離為1,則圓/+(y-a)2Z與圓相交，

圓/+(y-a)2=l,圓心為(0,a),半徑R2

則有2T<7a/<2+l,即l</a/<3,

解得-31或1<a<3,

即z的取值范圍為(-3,T)U(1,3).

7.B因為雙曲線的漸近線方程為y=上，，

a

所以/(a,6)或/(a,-6),因此/"7=c之，

即J(2-a)2+爐=2,整理可得才+巨Ya=O.

因為a+lf=c=^,所以4a2,解得a=l,

所以雙曲線的離心率為e二之.

a

8.B由題意設拋物線的方程為y=哂將A的坐標代入可得1％可得m4,

所以拋物線的方程為/可入,可得焦點H1,0),準線方程為X=-1,

由題意可得反射光線過焦點(1,0),所以直線48的方程為言=導,整理可得y=3(x-l),

1-0--13

4

4f1

{,二；D解得容:、或上二，

所以反射光線與拋物線的兩個交點8(4,-4),

所以AB的中點為(費1),

所以49的中點到準線的距離壯+1岑.

88

9.ABCVAB-AP=2X(-l)+(-l)X2+(")X(-l)-0,：.APA.AB,

即APVAB,故A正確；

?.?麗?而《DX4+2X2+(T)X0=0,

：.AP1AD,即APIAJ),故B正確；

由APLAB,APVAD,且ABnAD=A,得出都是平面四切的一個法向量,故C正確；

由Q是平面/靦的法向量，得出Q1前，故D錯誤.

10.AD?.?雙曲線嗜-白(a刈的漸近線方程為y=±x,

雙曲線的漸近線與x軸的夾角為45°.

:廠是雙曲線C：2-'=l(a<X))的右焦點，

。為坐標原點,點尸是雙曲線上任意一點，

.,.o°WNP0F&5?；?35°<//WW180°.

.?.N/W的大小可能是30。，150°.

故選AD.

11.BCD由1-2xYy+l4),知(xT)2*(y-2)M,

表示圓心為Ml,2),半徑為片2的圓，

對于的幾何意義為圓上的點與原點距離的平方和，其最大值為(/QJ〃川、(通發(fā))2,即卜錯誤;

對于B,(k2)。(川1)2的幾何意義為圓上的點與點(-2,-1)距離的平方和，其最大值為

(2+3或)222+12位,即B正確；

對于C,令z=x+y,則其幾何意義為直線y=r+z在y軸上的截距，

當該直線尸-x+z與圓相切時,可滿足題意，

此時圓心欣1,2)到直線y=-x+z的距離為嚴等2,解得zW土2位，

V2

顯然^?=3-2V2,z耐可2/1即C正確；

對于D,令t=4x-3y,則其幾何意義為直線片^^,在y軸上的截距乘以-3,

當該直線t與圓相切時，可滿足題意，

此時圓心Ml,2)到直線y^t的距離為心產(chǎn)之,解得片8或-12,

顯然Zmin--12,turn=8,即D正確.

故選BCD.

12.BCD當y=O時,x=4x,解得x=Q或2或-2,

即曲線過整點(0,0),(2,0),(-2,0),結合圖象可知-2或N忘2,令彳=壬1,得/2百-3,不是整點,

/.曲線C共經(jīng)過3個整點,故A錯誤;

岑畢＜4,曲線。上任取一點P(x,力到原點的距離吟/%2+y2W2,故B正確;

x十y

曲線。上任取一點材關于y=x的對稱點為N,

設N(x,y),則."(％x),〃在曲線C上,

A(x2+y)M(/-x),故C正確；

y=Ax與曲線C一定有公共點(0,0),

?.?y=4x與曲線C只有一個公共點，

則x(,i+Jc)=1x(1D,.dwo,

.?.421或AWT,故D正確.

13.告或2因為向量a=(l,2,2),b=(2,2,-1),

所以a?b^2M-A4-X,

/a/R1+4+42=y/54-A2,

/b/R4+4+4￥.

若cos<a,b>q,

則j=_±^_=i,

|Q|網(wǎng)后/X39，

化簡得7儲+1084-244-0,

解得A=告或A之，

則實數(shù)才的值為告或2.

14m)—?：OH=OE+EH=OA+AE+-EF=OA+-AB+-(OF-OE)^A+-(OB-

\82878424、2、

OA)-^x-(OB+OC-OA-OB)^-OA+-OB+-OC,

42、828

(X,%z)

'：OALOB.OALOC,NBOC$Q°,

且可/刁赤/=沅/=1,

2

：.OH2=(-OA+-OB+-OC]=-\OA^\OB/2-^-\OC/2-^X-X-XCOS600=^-+-+-+-=

\828J64141641286446416

/??麗/哼.

15.”如圖，作平行四邊形/龍C

由(荏+前)?BC-O,得AELBC,

一故lACl=[ABl=2c.

又NA%>30°,二/a73X2csin60°c.

由橢圓的定義知2a=/ACl+/BC[=2(1A/3)C,

故a=(V3+l)c,

離心率e/=；=旦.

a聞12

16.L—,2)

2

17.解⑴由已知直線AB的斜率k^AB中點坐標為(-1,|),

所以46垂直平分線的方程為戶■戶2R.

則由匕"1。'解得匕:，所以圓心以0,-2),

因此半徑r=lACf

所以圓C的標準方程為x=(y+2)225.

⑵由/W=8可得圓心C到直線m的距離序不-3,

所以當直線加斜率不存在時,其方程為片區(qū)

即x-34);

當直線力斜率存在時,設其方程為y+14(x-3),

則法」黑瑪解得公g

NK￡"rL<5

此時其方程為4x+3y-9-0.

所以直線勿的方程為%-3-0或4x+3廠9R.

18.證明(1)建立如圖所示的空間直角坐標系,設正方體的棱長為2,則

〃(0,0,0),4(2,0,2),8(2,2,0),R(2,2,2),<7(0,2,0),力(0,0,2),

設平面4勿的法向量為m-(x,y,z),

?西=(2,0,2),麗=(2,2,0),

??偏二二"即鼠第2令x=T,則平面46〃的一個法向量1,1).

同理平面B、CK的一個法向量為n=(T,1,1),

，m〃n,

J平面4版〃平面臺辦.

(2)N分別為AB,8c的中點，

.,.M2,1,0),Ml,2,1),

.?.而=(T,1,1),：.MN//m,

二版歸_平面46〃

19.⑴證明在矩形/靦中，aa陽

點8'在平面CW上的射影為H,

則8'憶平面CDEF,且Cg平面CDEF,

J.B'HVCD.

又B'HCDE=H,：.平面B,HD.

又CDc平面B'CD,

二平面6'繆J"平面B'HD.

⑵證明%b'E"因平面B'FC,B'Fu平面B,FC,

.?"'￡〃平面B'FC.

由DE//FC,同理可得應1〃平面B'FC.

又A'EQDE=Ey

，平面力'外〃平面B'FC,

〃平面B'FC.

⑶解如圖所示,過點《作ER//DC,過點K作用，平面EFCD,

分別以圖必用為r軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.

???6'在平面6W上的射影〃在直線DE上,

.?.設8'(0,y,z)(y_X),z刈.

,/尸(3,3,0),且B'E^Q,B'F=A,

?唱;之魯…解得憶去

，6'(0,2,遍)，

.?.而=(-3,-1.V6),

而一兩=(之二漁).

4444

又罰二(0,5,0),

設平面力'龍的法向量為n=(a,5,C),

n?前=0,

則有

n?ED=0f

即「3a-b+V6c—0,

15b=0,

解得b=O,令a=\y

得平面，功的一個法向量為n《l,0,豺

又(7(3,5,0),“(0,2,0),

：.CH=(-3,-3,0),

_卜

直線/方與平面小功所成角的正弦值為sin0=/cos<CH,n>/JCH'n|3+0+0|_y/5

Jl+0+^xV9+9+05

|CH||nI

20.解⑴C7（0,2（切0）是拋物線的焦點,

/.t=1.

設直線1的方程為y=kx+L由直線/與圓K相切,得婚聲=1,即k=±W,

Vl+k2

.?.直線/的方程為產(chǎn)土V5x+1.

⑵設直線1的方程為y=kx+t,P(xo,y0),A(xh%),B(x%㈤,

由"上+''得xFER,

(產(chǎn)=4y,

貝(I汨+及=4%汨及二-41,

222

AIPA/?/PB/=^1+k/x\-Ab/?V14-k/X2-jfo/-(1-^A)[x\x2~xAx\+x^收引=(1+必)[XQ-

4(kxo+。]-(1卷)(詔-4jb).

由直線/與圓￡相切，得要=1,

Vl+fcz

即1*(加1)2,

由/窗/=什1,/"/=/掰/?/%/,得(11)(瑤-4yo)=("D2,

???詔-4次=1,又詔+(%+1)2=1,乂)￡(-2,0),

解得％=-3+2近.

由直線/與"互相垂直,得公

。*=*=焉=意="

21.⑴證明連接DM,則DC//BM宣DC=BM,

所以四邊形及力?/為平行四邊形,所以DM//BC旦DM=BC,所以△4即是等邊三角形,所以MNVAD.

因為平面例〃1平面ABCD,且平面PADC\平面ABCD=AD,所以劭ILL平面PAD.

因為Pg平面PAD,

所以PDLMN.

又因為PDLNC,且切口NC=N,拉化平面ABCD,A?=平面ABCD,

所以如J_平面ABCD.

(2)解連接做則協(xié)〃網(wǎng)彳

所以BDVAD,BDLPD.

在Rt△的8中，M+DE=A?,

又AD2止1,

所以DBe6,

故△ZM6的面積為SA