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文檔簡介

3.1.2橢圓的簡單幾何性質

基礎過關練

題組一由橢圓的標準方程探究其幾何性質

1.已知橢圓x2+my2=l的焦點在x軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m=()

A.V2B.2C.7D.4

4

2.(2022天津三中期中)已知橢圓x2+2y2=2與2x2+y2=l,則兩個橢圓()

A.有相同的長軸與短軸

B.有相同的焦距

C.有相同的焦點

D.有相同的離心率

22

3.[2021新高考八省(市)聯(lián)考]橢圓向+a=l(m>0)的焦點為FiE,上頂點為A,若

NF1AF24,則m=()

A.lB.V2C,V3D.2

4.設AB是橢圓的長軸,點C在橢圓上,且NCBA=45。,若AB=4,BC=VX則橢圓的焦

距等于()

A..—4V6Bn.—2^C.—4V3Dc.—2

3333

題組二由橢圓的幾何性質求標準方程

5.(2022四川涼山州月考)已知中心在原點,對稱軸為坐標軸的橢圓C的長軸長為

4,焦距為2,則C的方程為()

22

A%y1

A?五+適=1

B.—+—=1或旺+丫=1

16121612

22

43

2222

D*或%A】

22

6.(2021江蘇徐州沛縣學情調研)過點(2,舊),焦點在x軸上且與橢圓9+9=1有相同

43

的離心率的橢圓方程為()

A12y2

A,+.二lB.3=I

641612

C*2=2lD.當2?2=1

12986

22

7.以橢圓C:a+£=l(a〉b〉0)的短軸的一個端點和兩焦點為頂點的三角形為等邊三

角形,且橢圓C上的點到左焦點的最大距離為6,則橢圓C的標準方程為()

2222

A(xy

A.%-r+yJ=lB.—+^-=11

4384

c-2+^2l22

D..—%y1i

16126448

22

8.(2022湖南益陽期中)若橢圓C:J+4=l(a>b>0)的右焦點為F,焦距為2代橢圓C

Li{J

上的兩點P,Q關于原點對稱,|PFHQF|=a,且PFJ_QF,則橢圓C的方程為.

題組三橢圓的離心率

9.設e是橢圓[+[=1的離心率,且e£@,1),則實數k的取值范圍是()

A.(0,3)

C.(0,2)D.(0,3)U(y,+°0)

22

10.(2022廣東福田月考)已知橢圓號+5=l(a〉b>0)的左、右焦點分別是FiR,離心率

ab

為;,A是橢圓上位于x軸上方的一點,且|AR|=|FF2|,則直線AB的斜率為()

A.—B.V3C.—D.1

32

22

11.(2022四川樹德中學月考)已知橢圓J+-=l(a〉b〉0)上存在點P,使得|PFI|=3|PF2|,

ab

其中Fi,F2分別為橢圓的左、右焦點,則該橢圓的離心率的取值范圍是()

C.(Q)

22

12.(2022湖南桃江一中開學考試)已知F是橢圓J+2=l(a>b>0)的一個焦點,若過原

ab

點的直線與橢圓相交于A,B兩點,且NAFB=120。,則橢圓的離心率的取值范圍是

()

A停1)B.(譚

c.(咽咽1)

題組四直線與橢圓的位置關系

22

13.直線y=x+l與橢圓2+-=1的位置關系是()

54

A.相交B.相切

C.相離D.無法判斷

2

14.(2022四川成都蓉城名校聯(lián)盟期中)直線y=x+m與橢圓1*+y2=l交于A,B兩點,

若弦長|AB|=^,則實數m的值為()

13

士B+C+

?----

A.22D+±2

22

15.直線y=x+l被橢圓-+3=1所截得的線段的中點的坐標是()

4Z

22

16.過橢圓2+-=1的右焦點作一條斜率為2的直線與橢圓交于A,B兩點,0為坐標

原點,則△0AB的面積為.

22/q

17.(2022湖南邵陽期末)已知橢圓C:3+3=l(a>b〉0)的離心率為QFI,F2分別為橢圓

的左、右焦點,Bi為橢圓的上頂點,/kBiFFz的面積為遙.

(1)求橢圓C的方程;

(2)若直線y=kx+m(kWO,mWO)與橢圓C交于不同的兩點M,N,P(O,;),|MP|=|NP|,

求實數m的取值范圍.

能力提升練

題組一橢圓的幾何性質及其應用

22

1.(2022江西景德鎮(zhèn)一中期末)已知點P(x,y)(xW0,yW0)是橢圓2+5=1上的一個動

loo

點,FiB分別為橢圓的左、右焦點,0是坐標原點,若M是NF1PF2的平分線上的一

點(不與點P重合),且瓦而?兩=0,則|加|的取值范圍為()

A.[0,3)B.(0,2V2)

C.[2V2,3)D.[0,4]

22

2.(多選)(2022山東泰安月考)已知橢圓C*+廿l(a>b〉0)的左、右焦點分別為FbF2

且|FE|=2,點P(l,l)在橢圓內部,點Q在橢圓上,則以下說法正確的是()

A.IQFil+IQPI的最小值為2a-l

B.橢圓C的短軸長可能為2

C.橢圓C的離心率的取值范圍為(0,中)

D.若麗三而,則橢圓C的長軸長為遙+舊

22

3.(2022湖北黃岡中學期末)已知A,B為橢圓今+七=l(a>b>0)上的兩點,F#2分別為

aD

其左、右焦點,且滿足麗=2月U當NF1AF2苦時橢圓的離心率為.

22

4.(2022湖北武漢期末)已知橢圓3+T=l(a〉b〉0)的短軸長為8,上頂點為A,左頂點

aD

為B,F1,F2分別是橢圓的左、右焦點,且AFiAB的面積為4,P為橢圓上的任意一點,

則』++的取值范圍為

1^11上尸2|

22

5.(2022安徽蕪湖期末)已知橢圓C與+9=l(a〉b〉0)的焦點為FI(-2,0),F2(2,0).過Fi

且傾斜角為60。的直線交橢圓的上半部分于點A,以FiA,FQ(O為坐標原點)為鄰邊

作平行四邊形OFiAB,點B恰好也在橢圓上,則b2=.

題組二直線與橢圓的位置關系

6.(多選)(2022河北阜城中學期末)已知點和N(l,0),若某直線上存在點P,

使得|PM|+|PN|=4,則稱該直線為“橢型直線”,下列直線是“橢型直線”的是

()

A.x-2y+6=0B.x-y=0

C.2x-y+l=0D.x+y-3=0

22

7.(2022河南新鄉(xiāng)期末)已知橢圓GJ+與=l(a>b〉0)的右焦點為F(3位,0),過點F的

au

直線交橢圓于A,B兩點.若AB的中點的坐標為(魚,-&),則橢圓G的方程為()

8.(2022陜西西安中學月考)已知曲線C上任意一點P(x,y)滿足

+y2+2y+1+J%2+y2_2y+1=2魚廁曲線C上到直線2x-y-4=0的距離最

近的點的坐標是()

A怎,與B伊書

C)口(篝)

22

9.(2022湖南湘潭月考)已知點P(0,l)為橢圓CJ+與=l(a>b>0)上一點,且直線

LtU

x+2y-2=0過橢圓C的一個焦點.

(1)求橢圓C的方程;

(2)不經過點P(0,l)的直線1與橢圓C相交于A,B兩點,記直線AP,BP的斜率分別

為kik,若ki+k2=-2,則直線1是否過定點?若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,

請說明理由.

10.(2022湖南師大附中期末)如圖,已知動圓M過點E(-l,0),且與圓F:(x-l)2+y2=8

內切,設動圓圓心M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程;

(2)過圓心F的直線1交曲線C于A,B兩點,問:在x軸上是否存在定點P,使得當直

線1繞點F任意轉動時,刀-而為定值?若存在,求出點P的坐標和邁-麗的值;

若不存在,請說明理由.

答案與分層梯度式解析

基礎過關練

1.D易知長軸長2a=2,短軸長2b=2R

所以4口=2,解得m=4.故選D.

2

2.D將橢圓方程x2+2y2=2整理得:+y?=l,其焦點在x軸上,ai=VXbi=l,則

ci=J詔碎=1,所以ei='W=當

將橢圓方程2x2+y2=l整理得2+y2=l,其焦點在y軸上,a2=l,b2=4則ci-yfa^bf--,

—22

2

V?廠

所以e2=2=H=上故選D.

。212

3.C由題意得a=V^記4Z,b=m,c=l,NFiAO==(O為坐標原點),則tan二=£/=土所

66bm3

以m=B.故選C.

22

4.A不妨設橢圓的方程為?++=l(a〉b>O),A,B分別為長軸的左、右端點,則

於b乙

2a=4,C(1,1)或C(l,-1),所以a2=4,于是":=1,解得b?2,所以c=、=至所以焦距

4b3Al33

2c=^

3

5.D由題意得a=2,c=l,...b2=a2-c2=3.

2222

當焦點在X軸上時橢圓的方程為:+:=1,當焦點在y軸上時,橢圓的方程為:+:=L

故選D.

6.D設所求橢圓方程為F+H8。),將(2,8)代入可得:+;=兒即九=2,所以所求橢圓

22

方程為=+2=1.故選D.

86

a

(b=V3c,(-4,22

7.C由題意可得(a+c=6,解得b=2g,所以橢圓C的標準方程為£+±=1.

(a2=b2+c2,(c=2,

8.答案士+%1

83

解析設橢圓C的左焦點為F,則F(-c,O),由橢圓的對稱性可知

|PF|-|QFU|QF|-|QF|=a,又因為|QF|+|QF|=2a,所以|QF嚀,|QF|1,由PFd_QF得

NFQF=90。,在RtAF'QF中,由勾股定理得|QFF+|QFF=|FF|2,

即《+至=(2C)2=20,解得a2=8,又因為,所以b2=aZc2=3,因此橢圓C的標準方程

44

22

為j

83

9.D當橢圓的焦點在*軸上時上>僅與0,*91),.,”6,+8);當

橢圓的焦點在y軸上時,04<4所手£Gl),,k£(0,3).綜上所述,實數k的取值范

圍是(0,3)U(,+8).故選D.

10.B依題意e—2,即a=2c.又因為|AFi|+|AF2|=2a,|FiF2|=2c,|AFi|=|FiF2],所以

a2

|AF2|=2c,所以aAFE是等邊三角形,所以NAFF2=60。,所以%尸產anNAFE=tan

60。=舊,故選B.

11.D由橢圓的定義得|PFi|+|PF2|=2a,

XV|PF1|=3|PF2|,.*.|PFi|A,|PF2|^a,

而|PFIHPF2|W|FE|=2C,當且僅當點P在橢圓右頂點時等號成立,即:a-%W2c,解得

e一次,即Me<l,故選D.

a22

12.D設橢圓的另一個焦點為F,連接AF,BF,則四邊形AFBF為平行四邊

形,NFAF=60。,在4人尸尸中,由余弦定理得

|FF'|2=|AF|2+|AF|2-2|AF|?|AF'|COSZFAF=(|AF|+|AF|)2-3|AF|?|AF|,所以

(|AF|+|AF|)2-|FF|2=3|AF|?|AF|W3(竺詈),即,|AF|+|AF|)2W|FF|2,當且僅當

|AF|=|AF|時等號成立,則44a2W4c5可得橢圓的離心率e-次,所以故選

D.

22

13.A直線y=x+l過點(0,1),將(0,1)代入:+彳=1,得0+;<1,即點(0,1)在橢圓內部,所

以直線與橢圓相交.

y=x+m,

14.B設A(xi,yD,B(X2,y2),聯(lián)立,2消去y并整理得3x2+4mx+2m2-2=0,

匕+y=L

則X1+X2=-%,X1X2=巴二,所以弦長

33

|AB|=V1+I2?+%2)2-4%]%2=近,J^~-4?=41,解得

m=±l,故選B.

(y=x+1,

15.C聯(lián)立/21消去y并整理,得3x2+4x-2=0.設直線與橢圓的交點為

A(xi,yD,B(X2,y2),線段AB的中點為M(xo,yo),則xi+x2=T,xo=g^=-jyo=xo+l=;,

???所截得的線段的中點的坐標為

16.答案-

3

解析由題意知橢圓右焦點的坐標為(1,0),又因為直線的斜率k=2,所以直線的方

22

程為y=2(x-l),將其與方程:+3=1聯(lián)立,消去y并整理,得3x2-5x=0.設

A(xi,yi),B(X2,y2),則xi+x2=:,xiX2=0,所以

|AB|=V1+k2,|xi-X2|=Vl+k2?J(%1+%2)2-4%I%2=V1+-4X0=孚

設原點到直線的距離為d,則d=亍%=獨?所以SAOAB-|AB|-d-x^xfe.

V(-l)2+2252112353

17.解析(1)S^BIFIF2=;*2c,b=bc=B,又,.\=4,a2=b2+c2,...a=2,b=l,.,.橢圓C的

2

方程為:+y2=1.

⑵由{;2:察:4消去丫并整理,得(4k2+l)x2+8kmx+4m2-4=0.

設M(xi,yi),N(X2,y2),則XI+X2=£^,

由A=64k2m2-4(4k2+l)(4m2-4)>0,得4k2>m2-1.

設MN的中點D的坐標為(xo,yo),

則xo="=手,y°=kxo+m=^+m=+,即D(華

22222

24k+1」4k+14k+1\4k+l4/c+17

1

?.?|MP|=|NP|,.\DP,MNW^=」,

X0k

4k2=-6m-l,

-6m-l>0,

2一1解得

-6m-l>m

???實數m的取值范圍是

能力提升練

1.B如圖,延長PF2,FIM交于點N,則APFiN為等腰三角形,M為FiN的中

點,1兩?三I3I三麗-訊臼所>1電II.由圖可知,當p在短軸端點時,i而?取得最

小值,此時I加1=0;當P在長軸端點時,|加|取得最大值,此時|而|=2讓,又因為點P

不能在坐標軸上,所以舊祈的取值范圍為(0,2夜).

2.ACD因為|FE|=2,所以F2(l,0),|PF2|二l,所以

|QFi|+|QP|=2a-|QF2|+|QP|22a-|PF2|=2a-l,當點Q在F2P的延長線上時取等號,故A

2

正確;若橢圓C的短軸長為2,即2b=2,則b2=l,a2=2,所以橢圓的方程為>y2=l,又因

為,F>1,則點p在橢圓外,所以短軸長不可能為2,故B錯誤;因為點P(l,l)在橢圓

內部,所以9*1,又因為aZb2=l,所以:+;<l(a>l),即a4-3a2+l〉0(a〉l),所以

*b,azaz-l

2

a?〉竺竺所以a〉*,所以e士絲所以e£(0,回),故C正確;若嗝=取,則Fi為

線段PQ的中點,所以Q(-3,-l),又因為點Q在橢圓上,所以9:=1,又因為a2-b2=l>

以》;=l(a>l),即a4-lla2+9=0(a>l),所以a2=$=亞?,所以a=^^,所以橢圓

azaz-l242

C的長軸長為遍+后,故D正確.故選ACD.

J3?定1=1案—

9

解析由題意得A,Fi,B三點共線,設|FiB|=m(mW0),則|AFi|=2m,|AB|=3m.在橢圓

中,|FIF2|=2C,NFIAF2三,由橢圓的定義可得|AF2|=2a-2m,|BF2|=2a-m,在AFiAFz中,由

余弦定理得|F/2|2=|ZFI|2+|AF2|2-2|AFI||AF2|?COSZFIAF2,BP

4c*2=*44m2+(2a-2m)2-2?2m?(2a-2m),cos%化簡得c2=a2+3m2-3am.i2hAABF2中,由

余弦定理得|BF2『=|AB|2+|AF2|2-2|AB|?IAF2ICOSNBAF2,即

(2a-m)2=9m2+(2a-2m)2-2?3m,(2a-2m),cos',化簡得9m2-5am=0,因為mWO,所以

m=2a,所以c2=a2+3,—a2-3a,所以匚生.

981927a9

>1=1\_5f8.

解析由已知得2b=8,故b=4,丁AFiAB的面積為4,.-.i(a-c)b=4,a-c=2,又「

a2-c2=(a-c)(a+c)=b2=16,^a+c=8,「?a=5,c=3,

?1|1_|PF1|+|PF2|

??|PF1I|PF2||PF1||PF2|

_2a_10

|%|(2a-|P%|)IPFiKlO-IPFil)

_10_10

尸產1『+1O|PF1|-(|P尸11-5)2+25'

又?.?a-c<|PFi|Wa+c,即2W|PFi|W8,.??當|PFi|=5時,-(|P0卜5>+25有最大值,為25;

2

當|PFi|=2或|PFi|=8時,-(|PFi卜57+25有最小值,為16,即16<-(|PF1|-5)+25<25,

與上+上W吧,即三w上+」W3

25IPF1I\PF2\165IPF1I\PF2\8

5.答案2遮

解析依題意可知c=2,設A(xi,yi),B(X2,y2),因為四邊形OFiAB為平行四邊形,所以

yi=y2,又因為%捻=1*梟,所以x2=-xi,因為FiA〃OB,且直線FiA的傾斜角為60。,

22r

所以工=^=g,所以Xi=-1,X2=1,yi=y2=g,所以A(-1,g),將其代入f=1,得1,

%1+2%2a匕db

又因為a?-b2=c2=4,所以a2=4+2V3,b2=2V3.

6.BC|PM|+|PN|=4〉|MN|=2,根據橢圓的定義可得點P的軌跡為焦點在x軸上的橢

22

圓,且a=2,c=l,所以b2=a2d=3,所以橢圓的方程為匕+2=1.由題意知“橢型直線”與

43

*j

橢圓有公共點,對于A,聯(lián)立l+L消去x并整理得2y2-9y+12=0,所以A<0,

、%-2y+6=0,

方程組無解,所以A中直線不是“橢型直線”;同理,D中直線也不是“橢型直線”;

對于B,直線x-y=O過原點,必與橢圓相交,所以是“橢型直線”;對于C,因為直線

2x-y+l=0過點(0,1),且點(0,1)在橢圓內部,則該直線必與橢圓相交,是“橢型直線”.

故選BC.

但=1

7.D設點A(xi,yD,B(X2,y2),則代9‘兩式作差得學+與=0,整理可得銬=-匕

Ix2I^2_〔abxfx2a

1/9一'

2

設線段AB的中點為M,則M(V2,-V2)J(JkAB-k0M-^?心=--,又因為

%-%2%i+%2

kAB=kMF=^=沁M=1所以與沁I?所以ft=*2=I*解得償=",因

3V2-V22az22(臚=2b,W=18,

22

此橢圓G的方程為上+匕=L

3618

故選D.

8.B原等式可化為J%2+(y+1)2+J%2+(y;)2=2VX設F1(O,-1),F2(O,1),則

|FIF2|=2,.\|PR|+|PF2|=2夜〉|FIF2|=2,.,.點P的軌跡是以BR為焦點的橢圓,且

c=l,a=VXb2=l,

???曲線C的方程是x2+9=l,設與直線2x-y-4=0平行且與曲線C相切的直線方程為

r2x-y+t=0,

2x-y+t=0(tW-4).聯(lián)立?/_消去y并整理,得6x2+4tx+t2-2=0,

X2H-1.

12

A=16t2-24(t2-2)=0,t=±V6,

易知當t=-逐時,切點到直線2x-y-4=0的距離最近,此時可求得x*y=¥,故所求點

的坐標是(一廣專?故選B.

9.解析(1)由題意知P(0,l)為橢圓的上頂點,則b=l,在x+2y-2=0中,令y=0,可得x=2,

即c=2,

所以a2=b2+c2=1+4=5,

所以橢圓C的方程為:+y2=l.

(2)當直線1的斜率不存在時,

設A(xo,yo),B(xo,-yo)(-A/^<xo<V^MxoWO),

則ki+k2=^+2=2,解得xo=l,所以直線方程為x=l;

%0%0

當直線1的斜率存在時,設直線方程為y=kx+m,A(xi,yi),B(X2,y2),

y=kx+m,

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