8　圓內(nèi)接正多邊形

第頁8圓內(nèi)接正多邊形關鍵問答①正n邊形的中心角是多少度？②連接正六邊形的中心和任意兩個相鄰頂點得到的三角形是一個什么樣的三角形？③解決與圓內(nèi)接正多邊形的有關計算題，應如何添加輔助線？1.①2019·株洲下列圓的內(nèi)接正多邊形中，一條邊所對的圓心角最大的圖形是()A．正三角形B．正方形C．正五邊形D．正六邊形2．利用等分圓的方法可以作正多邊形，下列只利用直尺和圓規(guī)不能作出的多邊形是()A．正三角形B．正方形C．正六邊形D．正七邊形3．②③已知正六邊形的半徑為r，則它的邊長、邊心距、面積分別為()A.eq\f(2\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2B．r，eq\f(r,2)，2eq\r(3)r2C.eq\f(\r(3),3)r，r，eq\r(3)r2D．r，eq\f(\r(3)r,2)，eq\f(3\r(3),2)r24．如圖3－8－1，正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，若AB＝2eq\r(3)cm，求⊙O的半徑．圖3－8－1命題點1正多邊形的畫法[熱度：87%]5．如圖3－8－2，要在一個圓形紙板上截出一個面積最大的正方形，試用尺規(guī)作出這個正方形(不要求寫作法，保留作圖痕跡)．圖3－8－26.④如圖3－8－3，已知⊙O和⊙O上的一點A，作⊙O的內(nèi)接正六邊形ABCDEF.圖3－8－3解題突破④正六邊形的半徑與其外接圓的半徑有什么關系？命題點2與圓內(nèi)接正多邊形有關的計算[熱度：81%]7．⑤如圖3－8－4，正六邊形DEFGHI的頂點分別在等邊三角形ABC的各邊上，則eq\f(S陰影,S△ABC)的值為()圖3－8－4A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,3)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)解題突破⑤根據(jù)正六邊形的每一個內(nèi)角是120°得到△ADI是什么三角形？得到eq\f(AD,AB)的值是多少？8.⑥如圖3－8－5，正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，過點A的切線與CB的延長線相交于點F，則∠F的度數(shù)是()圖3－8－5A．18°B．36°C．54°D．72°解題突破⑥連接OA，OB,你能求出∠AOB,∠BAF,∠ABF的度數(shù)嗎？9．2019·達州以半徑為2的圓的內(nèi)接正三角形、正方形、正六邊形的邊心距為三邊作三角形，則該三角形的面積是()A.eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\r(2)D.eq\r(3)10.⑦如圖3－8－6，A，B，C在⊙O上，AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，BC是⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，若AC是⊙O內(nèi)接正n邊形的一邊，則n等于()圖3－8－6A．12B．15C．18D．20解題突破⑦連接OA，OC，OB，你能求出∠AOC的度數(shù)嗎？11.⑧2019·玉林如圖3－8－7，正六邊形ABCDEF的邊長是6＋4eq\r(3)，點O1，O2分別是△ABF，△CDE的內(nèi)心，則O1O2＝________．圖3－8－7方法點撥⑧解決正六邊形問題，往往需要作輔助線將其轉(zhuǎn)換為三角形問題進行求解.命題點3與圓內(nèi)接正多邊形有關的證明[熱度：80%]12．如圖3－8－8，已知⊙O的內(nèi)接正十邊形ABCD…，AD與OB，OC分別交于點M，N.圖3－8－8求證：(1)MN∥BC；(2)MN＋BC＝OB.13.⑨如圖3－8－9，在⊙O的內(nèi)接等腰三角形ABC中，AB＝AC，弦BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，BE＝BC.(1)求證：五邊形AEBCD是正五邊形；(2)若BD，CE相交于點F，試判斷四邊形AEFD的形狀，并證明你的結論．圖3－8－9知識鏈接⑨(1)一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；(2)各邊相等，各角相等的五邊形是正五邊形.命題點4與正多邊形有關的實際應用[熱度：79%]14.⑩如圖3－8－10①是一個寶塔，它的地基邊緣是周長為26m的正五邊形ABCDE(如圖3－8－10②)，點O為中心．(1)求地基的中心到邊緣的距離(結果精確到0.1m)；(2)已知塔的墻體寬1m，現(xiàn)要在塔的底層中心建一圓形底座的塑像，并且留出最窄處為1.6m的觀光通道，則塑像底座的半徑最大是多少？圖3－8－10模型建立⑩從實際問題中建立正多邊形模型，并構造直角三角形，借助三角函數(shù)進行計算.15.?如圖3－8－11①②③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五邊形ABCDE分別是⊙O的內(nèi)接三角形、內(nèi)接四邊形、內(nèi)接五邊形，點M，N分別從點B，C開始，以相同的速度在⊙O上做逆時針運動，AM與BN交于點P.(1)求圖①中∠APB的度數(shù)．(2)圖②中∠APB的度數(shù)是________，圖③中∠APB的度數(shù)是________．(3)根據(jù)前面的探索，你能否由本題推出一般的正n邊形的情況？若能，請寫出你的結論；若不能，請說明理由．圖3－8－11方法點撥?從特殊到一般發(fā)現(xiàn)規(guī)律，再從一般到特殊驗證規(guī)律.16.?盼盼同學在學習正多邊形時，發(fā)現(xiàn)了以下一組有趣的結論：(1)若P是正三角形ABC的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點，則PB＋PC＝PA；(2)若P是正四邊形ABCD的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點，則PB＋PD＝eq\r(2)PA；(3)若P是正五邊形ABCDE的外接圓eq\o(BC,\s\up8(︵))上的一點，請問PB＋PE與PA有怎樣的數(shù)量關系，寫出結論，并加以證明；(4)若P是正n邊形A1A2A3…An的外接圓eq\o(A2A3,\s\up8(︵))上的一點，請問PA2＋PAn與PA1又有怎樣的數(shù)量關系，寫出結論，不要求證明．圖3－8－12方法點撥?解決正多邊形問題時，通常需要作輔助線構造直角三角形，借助三角函數(shù)加以計算.

詳解詳析1．A2．D[解析]利用圓的半徑即可將圓等分成6份，這樣就能得出正三角形，也可以得出正六邊形；作兩條互相垂直的直徑即可得到圓的4等分點，連接各分點可得出正方形；但是無法只利用直尺與圓規(guī)將圓7等分，故無法得到正七邊形．3．D4．解：過點O作OD⊥BC于點D，連接BO.∵正三角形ABC內(nèi)接于⊙O，∴點O既是三角形的內(nèi)心也是外心，∴∠OBD＝30°，BD＝CD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AB＝eq\r(3)cm，∴cos30°＝eq\f(BD,BO)＝eq\f(\r(3),BO)＝eq\f(\r(3),2)，解得BO＝2cm，即⊙O的半徑為2cm.5．解：①作兩條弦AB，BC的垂直平分線，交點即為圓心O;②作直徑DE，作直徑DE的垂直平分線，交圓O于點F，G；③順次連接D，G，E，F(xiàn)，四邊形DGEF即為所求，如圖所示．6．解：如圖，首先作直徑AD，然后分別以點A，D為圓心，OA長為半徑畫弧，與⊙O分別交于點B，F(xiàn)，C，E，連接AB，BC，CD，DE，EF，AF，則正六邊形ABCDEF即為所求．7．C[解析]∵六邊形DEFGHI是正六邊形，∴∠EDI＝120°，∴∠ADI＝60°，∴△ADI是等邊三角形，∴AD＝DE.同理，BE＝DE，∴AD＝DE＝BE，∴eq\f(AD,AB)＝eq\f(1,3)，∴S△ADI＝eq\f(1,9)S△ABC，同理，S△BEF＝eq\f(1,9)S△ABC，S△CGH＝eq\f(1,9)S△ABC，∴eq\f(S陰影,S△ABC)＝eq\f(S△ABC－3×\f(1,9)S△ABC,S△ABC)＝eq\f(2,3).故選C.8．D[解析]連接OA，OB.∵AF是⊙O的切線，∴∠OAF＝90°.∵正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，∴∠AOB＝eq\f(360°,5)＝72°.∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝54°，∴∠BAF＝90°－54°＝36°.∵∠ABF＝eq\f(360°,5)＝72°，∴∠F＝180°－36°－72°＝72°.故選D.9．A10．B[解析]連接OC，OA，OB.∵AB是⊙O內(nèi)接正六邊形的一邊，∴∠AOB＝360°÷6＝60°.∵BC是⊙O內(nèi)接正十邊形的一邊，∴∠BOC＝360°÷10＝36°，∴∠AOC＝∠AOB－∠BOC＝60°－36°＝24°，∴n＝360°÷24°＝15.故選B.11．12＋4eq\r(3)[解析]過點A作AM⊥BF于點M，連接O1F，O1B.∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠FAB＝120°，AF＝AB，∴點A，O，M在一條直線上，∠AFB＝∠ABF＝eq\f(1,2)×(180°－120°)＝30°，∴△ABF中BF邊上的高AM＝eq\f(1,2)AF＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))＝3＋2eq\r(3)，F(xiàn)M＝BM＝eq\r(3)AM＝3eq\r(3)＋6，∴BF＝3eq\r(3)＋6＋3eq\r(3)＋6＝12＋6eq\r(3).設△ABF的內(nèi)切圓的半徑為r，∵S△ABF＝S△AO1F＋S△AO1B＋S△BFO1，∴eq\f(1,2)×(3＋2eq\r(3))×(6eq\r(3)＋12)＝eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(6＋4eq\r(3))×r＋eq\f(1,2)×(12＋6eq\r(3))×r，解得r＝3，即O1M＝r＝3，∴O1O2＝2×3＋6＋4eq\r(3)＝12＋4eq\r(3).12．證明：(1)如圖，連接OA，OD.∵BC，CD為⊙O的內(nèi)接正十邊形的邊長，∴∠BOC＝∠COD＝36°，∴∠BOD＝72°，∴∠BAD＝eq\f(1,2)∠BOD＝36°.∵OB＝OC，∴∠1＝∠2＝eq\f(1,2)×(180°－36°)＝72°.同理可得∠3＝72°，∴∠ABC＝∠1＋∠3＝144°，∴∠BAD＋∠ABC＝180°，∴AD∥BC，即MN∥BC.(2)∵∠BAD＝36°，∠3＝72°，∴∠AMB＝180°－∠BAD－∠3＝72°，∴∠OMN＝∠AMB＝72°.∵∠OMN＝∠AOM＋∠OAM，∴∠OAM＝36°，∴OM＝AM.在△OMN和△AMB中，∠MON＝∠MAB，OM＝AM，∠OMN＝∠AMB，∴△OMN≌△AMB，∴MN＝MB，ON＝AB.∵OM＝ON，∴OB＝OM＋BM＝AB＋MN.∵AB＝BC，∴MN＋BC＝OB.13．解：(1)證明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD，CE分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE.∵BE＝BC，∴eq\o(BE,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))，∴∠BEC＝∠BCE.∵∠BAC＝∠BEC，∴∠ABD＝∠DBC＝∠ECB＝∠ACE＝∠BAC，∴eq\o(AE,\s\up8(︵))＝eq\o(AD,\s\up8(︵))＝eq\o(DC,\s\up8(︵))＝eq\o(BC,\s\up8(︵))＝eq\o(BE,\s\up8(︵))，∴AE＝AD＝DC＝BC＝BE，∴五邊形AEBCD是正五邊形．(2)四邊形AEFD是菱形．理由如下：∵五邊形AEBCD是正五邊形，∴∠EBC＝∠EAD＝∠AEB＝∠ADC＝∠BCD＝108°.∵BC＝DC，∴∠CBD＝∠BDC＝36°，∴∠ADB＝72°，∴∠EAD＋∠ADB＝180°，∴AE∥BD，同理可得：EC∥AD，∴四邊形AEFD是平行四邊形．又∵AE＝AD，∴四邊形AEFD是菱形．14．解：(1)如圖，過點O作OM⊥AB于點M，連接OA，OB，則OM為邊心距，∠AOB是中心角．由正五邊形的性質(zhì)得∠AOB＝360°÷5＝72°.又AB＝eq\f(1,5)×26＝5.2(m)，所以AM＝2.6m，∠AOM＝36°.在Rt△AMO中，邊心距OM＝eq\f(AM,tan36°)＝eq\f(2.6,tan36°)≈3.6(m)．所以地基的中心到邊緣的距離約為3.6m.(2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以塑像底座的半徑最大約為1m.15．解：(1)∵△ABC是正三角形，∴∠ABC＝60°.∵點M，N分別從點B，C開始以相同的速度在⊙O上做逆時針運動，∴∠BAM＝∠CBN，∴∠APB＝180°－∠ABN－∠BAM＝180°－∠ABN－∠CBN＝180°－∠ABC＝120°.(2)90°72°(3)能．圖中∠APB＝eq\f(360°,n).16．解：(3)PB＋PE與PA滿足的數(shù)量關系是：PB＋PE＝2PA·cos36°.理由：連接OA，OE，過點A作AM⊥PB于點M，AN⊥PE于點N.因為∠APM＝∠APN，所以Rt△AMP≌Rt△ANP，所以AM＝AN，PM＝PN.因為AB＝AE，所以Rt△AMB≌Rt△ANE，所以MB＝NE，所以PB＋PE＝(PM－MB)＋(PN＋NE)＝2PN.因為∠APE＝eq\f(1,2)∠AOE，且五邊形ABCDE為正五邊形，所以∠AOE＝e