2022屆內(nèi)蒙古包頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆內(nèi)蒙古包頭市高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)，則復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】設(shè)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等以及復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出、，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可出結(jié)論.【詳解】設(shè)，則，所以，，故，，則，因此，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D.2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用交集的定義可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹偷淖钚」稊?shù)為，故.故選：A.3．已知命題，；命題，，則下列命題中為真命題的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先判定命題和的真假，再結(jié)合復(fù)合命題的真假判定方法，即可求解.【詳解】當(dāng)，可得，所以命題“，”為假命題，則為真命題；當(dāng)時，可得，所以命題“，”為真命題，為假命題，所以命題“”，“”，“”為假命題，“”為真命題.故選：B.4．設(shè)函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】將題干解析式代入選項(xiàng)，利用奇函數(shù)定義判斷即可【詳解】由題進(jìn)行化簡：A：令，符合定義，故A正確；B：令,，故B錯誤；C；令，，故C錯誤；D：令，，故D錯誤.故選：A5．在正四棱柱中，已知，，R為BD的中點(diǎn)，則直線與所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，得到是直線與所成的角，再利用余弦定理求解.【詳解】解：如圖所示：因?yàn)椋允侵本€與所成的角，又，，所以，所以，所以，故選：D6．將6名優(yōu)秀教師分配到5個不同的學(xué)校進(jìn)行教學(xué)交流，每名優(yōu)秀教師只分配到1個學(xué)校，每個學(xué)校至少分配1名優(yōu)秀教師，則不同的分配方案共有（

）A．2400種 B．1800種 C．1200種 D．1600種【答案】B【分析】將6名教師分組，只有一種分法，即1,1,1,1,2，然后按照分組組合的方式即可.【詳解】將6名教師分組，只有一種分法，即1,1,1,1,2，共有，再排列得，故選：B.7．把函數(shù)圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把所得曲線向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用三角函數(shù)圖象變換原則可得出函數(shù)的解析式.【詳解】由題意可知，將函數(shù)的圖象先向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的，縱坐標(biāo)不變，可得到函數(shù)的圖象.故選：C.8．在區(qū)間和中各隨機(jī)取1個數(shù)x和y，則的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由題意可得所有可能性在正方形中，而滿足的點(diǎn)在圖中的陰影部分，所以利用幾何概型的概率公式求解即可【詳解】在區(qū)間和中各隨機(jī)取1個數(shù)x和y，所有可能性在正方形中，令，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，令，即，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以,因?yàn)闈M足的點(diǎn)在如圖所示的陰影部分，所以所求概率為,故選：C9．已知為數(shù)列的前n項(xiàng)積，若，則數(shù)列的前n項(xiàng)和（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先將等式化為的關(guān)系式并化簡，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義求出，由等差數(shù)列前項(xiàng)和公式可得結(jié)果.【詳解】當(dāng)n=1時，；當(dāng)時，，于是是以-1為首項(xiàng)，-2為公差的等差數(shù)列，所以.所以，故選：D.10．設(shè)，若為函數(shù)的極小值點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【詳解】，若，是開口向下的拋物線，x=m是極小值點(diǎn)，必有，即，若，是開口向上的拋物線，x=m是極小值點(diǎn)，必有，即；故選：C.11．設(shè)P是橢圓的下頂點(diǎn)，若C上存在點(diǎn)Q滿足，則C的離心率的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依題意可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，再根據(jù)兩點(diǎn)距離公式得到，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)，則，，故，，，又對稱軸，當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，最大，此時，不滿足題意，當(dāng)時，即時，則當(dāng)時，最大，此時，則，即，，此時只需，即，因?yàn)椋?，則，即，所以所以，又，故的范圍為，綜上所述的的范圍為，故選：A12．設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，利用函數(shù)在上的單調(diào)性可得出、的大小關(guān)系，由此可得出合適的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)椋瑒t，構(gòu)造函數(shù)，其中，當(dāng)時，，則，則，所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，即，即，即，所以.故選：D.二、填空題13．已知向量，，若，則___________.【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)的加法運(yùn)算，可得的坐標(biāo)，再根據(jù)，所以，再根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，建立方程，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，所?故答案為：.14．已知雙曲線的焦點(diǎn)到它的漸近線的距離為，則C的離心率為______．【答案】【分析】求出雙曲線的焦點(diǎn)到條漸近線的距離，可得，求出，即可求出雙曲線的離心率．【詳解】根據(jù)條件可得，，則，焦點(diǎn)坐標(biāo)為漸近線方程為，故焦點(diǎn)到漸近線距離，故，所以離心率，故答案為：15．記為數(shù)列的前n項(xiàng)和.若，，則___________.【答案】62【分析】因?yàn)?，令，則，可以判斷出為等比數(shù)列，即可求出答案.【詳解】因?yàn)?，令，則，所以是首相和公比都為的等比數(shù)列，，則，所以.故答案為：62.16．在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點(diǎn)的平面將該正方體截去一個三棱錐.所得多面體的三視圖中，以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成這個多面體的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號依次為___________（寫出符合要求的一組答案即可）.【答案】④⑤⑤④【分析】根據(jù)正視圖，結(jié)合題意，作出幾何體直觀圖，由此再判斷，即可得到結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，在一個正方體中，經(jīng)過它的三個頂點(diǎn)的平面將該正方體截去一個三棱錐，如果圖①是正視圖，則幾何體若如圖下圖（1）所示，則此時側(cè)視圖和俯視圖的編號依次④⑤；幾何體若如圖下圖（2）所示，則此時側(cè)視圖和俯視圖的編號依次⑤④；

圖（1）

圖（2）故答案為：④⑤（或⑤④）.三、解答題17．某印刷企業(yè)為了研究某種圖書每冊的成本費(fèi)y（單位：元）與印刷數(shù)量x（單位：千冊）的關(guān)系，收集了一些數(shù)據(jù)并進(jìn)行了初步整理，得到了下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.53.50.22300.77表中，.(1)根據(jù)散點(diǎn)圖判斷：與哪一個模型更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程？（只要求給出判斷，不必說明理由）(2)根據(jù)（1）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果精確到0.1）；(3)若該圖書每冊的定價為9元，則至少應(yīng)該印刷多少冊，才能使銷售利潤不低于80000元（假設(shè)能夠全部售出）.附：對于一組數(shù)據(jù)，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為：，.【答案】(1)(2)(3)12000冊【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖即可得出答案；（2）令，根據(jù)題中數(shù)據(jù)求出y關(guān)于u的線性回歸方程，從而可得出答案；（3）假設(shè)印刷x千冊，依據(jù)題意得，解之即可的解.【詳解】(1)解：由散點(diǎn)圖判斷更適合作為該圖書每冊的成本費(fèi)y與印刷數(shù)量x的回歸方程.(2)解：令，先建立y關(guān)于u的線性回歸方程，由于，故，所以y關(guān)于u的線性回歸方程為，從而y關(guān)于x的回歸方程為；(3)解：假設(shè)印刷x千冊，依據(jù)題意得，解得x≥12，所以至少應(yīng)該印刷12000冊圖書，才能使銷售利潤不低于80000元.18．如圖所示，經(jīng)過村莊B有兩條夾角為的公路BA和BC，根據(jù)規(guī)劃擬在兩條公路之間的區(qū)域內(nèi)建一工廠F，分別在兩條公路邊上建兩個倉庫D和E（異于村莊B），設(shè)計(jì)要求（單位：千米）.(1)若，求的值（保留根號）；(2)若設(shè)，當(dāng)為何值時，工廠產(chǎn)生的噪音對村莊B的居民影響最小（即工廠F與村莊B的距離最遠(yuǎn)），并求其最遠(yuǎn)距離.（精確到0.1，?。敬鸢浮?1)(2)，千米【分析】（1）若，得到，在等邊中，得到，分別在直角中，求得，再在直角中，求得的長；（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，進(jìn)而求得最大值，即可求解.【詳解】(1)解：若，又由，所以此時，又因?yàn)闉檫呴L為3的等邊三角形，所以，在直角中，因?yàn)?，所以，在直角中，可?(2)解：若，在中，，所以，在中，，其中，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，取得最大值27，此時（千米），所以當(dāng)時，工廠產(chǎn)生的噪音對村莊B的居民影響最小，此時工廠距離村莊B的最遠(yuǎn)距離約為5.2千米.19．如圖，四棱錐的底面是長方形，底面，，，，．(1)證明：平面平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出，結(jié)合以及線面垂直的判定定理可得出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用求出的值，然后空間向量法可求得直線與平面所成角的正弦值.【詳解】(1)證明：因?yàn)槠矫妫矫?，則，因?yàn)椋?，平面，因?yàn)槠矫?，因此，平面平?(2)解：因?yàn)榈酌妫倪呅螢殚L方形，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則、、、，所以，，因?yàn)椋?，得，所以．因?yàn)?，、、、，所以，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)與平面所成角為，則．所以與平面所成角的正弦值為．20．設(shè)函數(shù)，已知是函的極值點(diǎn)．(1)求m；(2)設(shè)函數(shù)．證明：．【答案】(1)0(2)證明見解析【分析】(1)根據(jù)所給的條件即可；(2)對于必須考慮定義域，將原不等式轉(zhuǎn)化為容易計(jì)算的形式.【詳解】(1)由題意可知，，則，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，所以，故；經(jīng)檢驗(yàn)成立(2)由（1）得，，設(shè)，則，當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，因此當(dāng)時，，考慮的定義域，即當(dāng)時，同時還要求，即要求，故的定義域?yàn)榍?，要證，因?yàn)?，所以只需證，即需證，令，則且，則只需證，即證，令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即成立；綜上，，證明見解析.21．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，且F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為8．(1)求拋物線M的方程；(2)若點(diǎn)Q在C上，QA，QB為M的兩條切線，A，B是切點(diǎn)（A在B的上方），求面積的最小值．【答案】(1)(2)16【分析】（1）根據(jù)條件確定F與圓上點(diǎn)的距離的最大值為，從而求得，可得答案;（2）設(shè)點(diǎn)，，聯(lián)立方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系式，求出弦長，再利用導(dǎo)數(shù)表示出QA，QB的方程，進(jìn)而表示出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，求出點(diǎn)Q到直線AB的距離，從而表示出，結(jié)合二次函數(shù)的知識可求得答案.【詳解】(1)由題意知，，圓C的半徑為，所以，即，解得，所以拋物線M的方程為．(2)設(shè)，，直線AB的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，則，，．所以，因?yàn)椋曰?，則或，所以切線QA的斜率為，其方程為，即，同理切線QB的斜率為，其方程為．聯(lián)立方程組,解得,即點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，因?yàn)辄c(diǎn)Q在圓C上，所以，且，，即，．滿足判別式的條件．點(diǎn)Q到直線AB的距離為，所以，又由，得，令，則，且，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，t取得最小值4，此時，所以面積的最小值為16．【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線方程的求法以及和直線的位置關(guān)系中的三角形面積問題，綜合性較強(qiáng)，解答時要有清晰的解答思路，即明確問題的解決是要一步步向表示出三角形QAB的面積靠攏，難點(diǎn)在于繁雜的計(jì)算，要十分細(xì)心.22．在直角坐標(biāo)系中，的圓心為，半徑為1.(1)寫出⊙M的一個參數(shù)方程；(2)直線與⊙M相切，且與x軸的正半軸和y軸的正半軸分別交于A?B兩點(diǎn)，若與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形OAB的面積為6，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求直線的極坐標(biāo)方程.【答案】(1)（為參數(shù)）(2)或【分析】（1）求出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后可得圓的參數(shù)方程.（2）先求出直線的直角方程，利用公式可求其極坐標(biāo)方程.【詳解】(1)由題意可知，的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.(2)由題意可知，切線的斜率存在，設(shè)切線方程為y=kx+b，即kx-y+b=0，因?yàn)閳A心到直線的距離為1，所以，化簡得，又，，所以，即由題意可知，k<0，b>0，故，聯(lián)立方程組，解得，所以直線l的直角坐標(biāo)方程為，或，所以直線l的極坐標(biāo)方程為或.23．已知函數(shù).(1)當(dāng)a=1時，求不等式