2021-2022學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何

第一章空間向量與立體幾何

1.2空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

1.2.4二面角

課后篇鞏固提升

級

A必備知識(shí)基礎(chǔ)練

1.已知二面角a-//的兩個(gè)半平面a與夕的法向量分別為a,b,K<a,b>=7，WlJ-lS^?-/-/?的大小為

6

()

AZB.-

A46

C.E或空D酒

SSc

2.如圖，設(shè)AB為圓錐P0的底面直徑44為母線，點(diǎn)C在底面圓周上，若是邊長為2的正三角形,

且COJ_AB,則二面角P-AC-B的正弦值是（）

A.V6

答案B

|如圖，取AC的中點(diǎn)￡>,連接OD,PD、：PO_L底面，.：PO_LAC,

：OA=OC,D為AC的中點(diǎn)，

/.OD±AC,

又POnOD=O,.：ACJ_平面POO,則ACA.PD,

.：NPOO為二面角P-AC-B的平面角.

:飛胡〃是邊長為2的正三角形，

.:尸O=V5,OA=OC=1,OE>￥，

貝IP￡?=J(b)2+(曰)2=字

.：sinZPDO=—=鼻=畫.故選B.

PDV147

2

3.正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)尸,尸4,平面ABCD,若PA=AB,則平面PAB與平面PCD所成的角為

()

A.30°B.45°C,60°D,90°

前B

|解析卜如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)PA=AB=1,

則A(O,O,O)Q(O,1,O),P(O,O』).

于是同=(0,1,0),取PD的中點(diǎn)E,則E(0弓,?，

.:族=(0怖,?，易知而是平面PAB的法向量，版是平面PCO的法向量,

.".cos<AD,AE>=^-,

.：平面248與平面PCD所成的角為45°.

4.請根據(jù)所給的圖形，把空白之處填寫完整.

(I)直線與平面平行的性質(zhì)定理(請用符號(hào)語言作答).

如圖①已知:a〃a,,

求證:.

(2)平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明.

如圖②已知:a夕HBnC￡>=B,arV=C￡>,,,

求證:A3_LQ.

證明:在//內(nèi)引直線，垂足為氏則是二面角的平面角，由知.

又A3,乃七和CO是S內(nèi)的兩條_______直線，所以A3,及

C

圖①圖②

廨|(1)已知:〃〃a,au仇an/3=b,求證:?！╤.

故答案為auf),anS=b;a〃b.

(2)如圖②已知:a_LAA8nCQ=3,

a7二C￡MBua/8J_C￡),

求證:

證明:在用內(nèi)引直線8EJ_C2垂足為B,

則NABE是二面角a-C。/的平面角，

由a_L￡，知AB_LBE,又ABJLC2

BE和C￡>是4內(nèi)的兩條相交直線，所以AB邛.

故答案為AB<zaABA.CD,BEl.CD,ZABE,a-CD-p,AB±BE,^交.

5.已知點(diǎn)。在二面角a-AB/的棱上，點(diǎn)P在平面a內(nèi)，且NPO8=60°.若直線尸。與平面夕所成的角

為45°，則二面角a-AB/的正弦值為.

|解析|如圖，過點(diǎn)P作PE_L4垂足為￡過點(diǎn)E作EF_LAB,垂足為F,連接OE,PF,

則NPOE為直線尸。與平面夕所成的角,/PFE為二面角a/B/的平面角.

設(shè)。尸=/a,則在RtaEO中，由/POE=45°,可得PE=a;在RtAPFO中，由/P05=60°，可得

PF=V2a-sin600巫a;在RtAPEF中,sin/PFE="M=漁,即二面角a-AB/的正弦值為漁.

2PF33

6.在空間中，已知平面a過(3,0,0)和(0,4,0)及z軸上一點(diǎn)(0,0,a)(a>0),如果平面a與平面xOy所成的角

為45°,則a=.

解也|平面火力的法向量n=(O,O,l),設(shè)平面a的法向量為u=a，y，z),則償二匯;'

即3x=4y=az,取z=l,則人

T,1V2

而cos<n,u>=,=—,

2

又：力>0,.：a=￡.

7.如圖所示，已知四棱錐P-ABCD中，底面A8CD是菱形，且PAL平面ABC￡),P4=AO=4C,點(diǎn)F為PC

的中點(diǎn)，求二面角C-8F-。的正切值.

網(wǎng)如圖所示，設(shè)AC與8。交于0,

連接0F,以。為坐標(biāo)原點(diǎn),03,0C,0F所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系

Oxyz.

設(shè)PA=AD=AC=1,則BD=?

所以0(0,0,0),88D尸的一個(gè)法向量.

由玩=(*$0),麗=(亨,0,-?,可得平面BCF的一個(gè)法向量為n=(l,遍，回，所以

cos<n,OC>=手,sin<n,0C>=手，所以tan<n,OC>=竽.

8.

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形,ND4B=60°,A8=2AO,PO_L底面ABCD.

⑴證明:幺口。；

(2)設(shè)PD=A。，求二面角A-PB-C的余弦值.

(怔明|因?yàn)?D48=60°由余弦定理得BDmAD從而8D2+44=452,故BDVAD.

又PD工底面A8CD,可得BDLPD,

(2嫡如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn),AO的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.

則A(1,0,0),8(0,W,0),C(-1,V3,0),P(0,0,l).

荏=(-1,百,0),而=(0,e,-1),近=(-1,0,0).設(shè)平面PAB的法向量為n=(x,y,z),則1n絲=°'即

{n-PB=0,

(-x+V3y=0,

因此可取n=(V3,1,V3).

(V3y-z=0,

7n

設(shè)平面P3C的法向量為m=(a/,c),則1,竺=即［百兒;=0,可取m=(0.lr

(.m-BC=0,la=°,

V3),cos<m,n>=^=—

由圖形知二面角A-P5-C大小為鈍角,

故二面角A-PB-C的余弦值為空■.

2’

〃

正方體ABCDAEC。'的棱長等于2,E,尸分別是B7)；AC的中點(diǎn).求:

(1)直線A夕和平面ACZT所成角的正弦值；

(2)二面角B'-CD'-A的余弦值.

廨如圖建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

:,正方體的棱長等于2,￡F分別是8'￡>\AC的中點(diǎn)，.：

A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0)Q(0,0,2)B(2,2,2),E(1』,2),F(1,1,0).

(1)初=(-2,0,2),前=(-2,2,0),帶=(0,2,2),設(shè)11=(月4/')是平面4。。'的一個(gè)法向量,

I由仇?布=0,1(x',y',z)(-2,0,2)=0,

U^C=O,l(x',y',z'X-2,2,0)=0,

z'=x',

y'=x\

取x'=l,得平面AC。'的一個(gè)法向量n=(l,l,l),

設(shè)直線A夕和平面ACQ'所成角的大小為仇則sin(?=^4S=色■「半四=立，

\n\\AB'\VJ3xV83

.：直線49和平面4C。所成角的正弦值是當(dāng)

>■>

(2)OB=(2,2,0),OC=(0,2,-2),

設(shè)m=(孫yo,zo)是平面B'CO的一個(gè)法向量，

則由,竺=°，得二取3-o=l得平面80的一個(gè)法向量m=(-1,1,1),

UnD'C=0So-y。，

由圖形知二面角B'-CD'-A的大小為銳缸

故二面角8'-C￡>'-A的余弦值是點(diǎn)

級

B關(guān)鍵能力提升練

10.二面角的棱上有A,B兩點(diǎn)，直線AC,BD分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于AA已知

4B=4,AC=6,BD=8,CD=2后,則該二面角的大小為（）

A.1500B.450C.60°D.1200

同C

|解析|由條件知，福?四=0,荏-麗=0,

'■，>>>'一….

CD=CA+AB+BD.

.'.\CD\2=\CA\2+\AB\2+\BD\2+2CA-AB+2AB-BD+2CA-BD

=62+42+82+2X6X8COS<C4,BD>=（2VT7）2,

.：cos<^4,fiD>=-5,<CA,BD>=120°,

.:二面角的大小為60°,故選C.

11.設(shè)三棱錐UA8C的底面是正三角形，側(cè)棱長均相等,P是棱K4上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）.記直線PB與直

線AC所成的角為a,直線P8與平面ABC所成的角為夕，二面角P-4C-B的平面角為人則（）

A.y?<y,a<y

C.p<a,y<aV>.a<p,y<p

ggB

解畫如圖

G為AC中點(diǎn)，點(diǎn)V在底面ABC上的投影為點(diǎn)。，則點(diǎn)P在底面ABC上的投影點(diǎn)。在線段A。上，過

點(diǎn)D作DE垂直AE,易得PE〃卜G,過點(diǎn)P作PF//AC交VG于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作OH〃AC,交BG于點(diǎn)H,

則a=NBPF,￡=NPBD，產(chǎn)/PED,

的?PFEGDH）BD〃

加以cosa=—=—=—<一=cosp,

PBPBPBPBL

所以a>B，因?yàn)閠any=^>券=tan尸，

所以>>夕.故選B.

12.

GB

如圖,將菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC上，若二面角A-8D-E與二面角

E-BQC的大小分別為30°和45°，則蕓=()

B片若

答案匕

臃畫取BD的中點(diǎn)O,連接AO,EO,C'O,

:'菱形ABCD沿對角線BD折起，使得C點(diǎn)至C',E點(diǎn)在線段AC'上，

.：C'0_LBO,AO_LBD,OC'=OA,

.：8。_1平面40。，

.：EO_LBD：?二面角A-BD-E與二面甬E-8D-C'的大小分別為30°和45°,

.：/AO￡=30°,/EOC'=45°,

"/OC'=OA,/.ZOC'E=AOAE,

由正弦定理得°E,=EC'

sin乙OC'Esinz.EOC

OE_4E

Sinz-OAEsin乙40E'

.EC_4E

**sinzEOC-sin4OE'

,AE_sin300丑邛故選c.

*EC—sin45°

2

13.

如圖所示，將邊長為a的正三角形4BC,沿8c邊上的高線AO將AABC折起.若折起后B,C'間距離為今

則二面角8-AD-C的大小為.

14.如圖，在矩形ABCD中工B=1,BC=g,E為線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將“BE沿AE折起得到AAB'E,當(dāng)

二面角B1-AE-D的平面角為120°,點(diǎn)B在平面ABC上的投影為K,當(dāng)E從B運(yùn)動(dòng)到C,則點(diǎn)K所形成

軌跡是.

彝一段圓弧

B'

D

BE

過K作KOJ_AE,連接OB；

:'二面角B'-AE-Q的平面角為120°,

.：N夕0K=60°,"。=加0,

從而原問題就轉(zhuǎn)化為B'OLAE,K為夕。中點(diǎn)，求K的軌跡長度，如右圖，

：'B'OLAE,.'.O在以48'為直徑的圓上，取AB'中點(diǎn)J,則JKLB'K,所以K點(diǎn)的軌跡是以B'J為置

徑的圓上的一段弧.

如圖，在四棱錐P-ABCD中,PC,底面ABC。,四邊形ABC。是直角梯形

CD,AB=2AO=2CD=2,E是PB的中點(diǎn).若二面角P-AC-E的余弦值為泉求直線PA與平面EAC所成角

的正弦值.

網(wǎng)如圖，作b〃D4,交AB于點(diǎn)尸，以C為原點(diǎn)，無，而，而分別為x軸、y軸、z軸正方向，建立空間直

角坐標(biāo)系，則C(0,0,0)4(1,1,0),B(1,-1,0).設(shè)P(0,0,a)(a>0),則

^4=(1,1,0),CP=(0,0,a),CE

取m=(l,-l,0),則m.C4=m￡P(guān)=0,所以m為平面PAC的一個(gè)法向量.設(shè)n=(x,y,z)為平面EAC的

一個(gè)法向量，

n.日=°，即%4-y=0,立

則到+。2=0,取戶”,

nCE=0,

可得n=(a,-a,-2),

依題意,|cos<m,n>|=j^=~^==9，則”=1(負(fù)值舍去).

于是n=(l,-l,-2),丙

設(shè)直線PA與平面E4C所成的角為“則sin6?=|cos<園,n>|=￥，即直線PA與平面EAC所成角的

正弦值為也.

3

16.如圖1,等腰梯形ABCD中/8〃。,48=24。=4,尸為48的中點(diǎn),對角線AC平分ND4B,將"C。

沿AC折起到如圖2中△ACO的位置.

(1)求證:2。'_14。.

(2)若二面角B-AC-。為直二面角,M為線段AB上的點(diǎn)，且二面角A-OCM與二面角大小相

等,求出*的值.

AB

(1怔明|連接OP,CP,設(shè)DP與AC交于點(diǎn)0,如圖3所示.：?四邊形ABCD是等腰梯形,A8〃OC,

.,.AD=BC,ZDCA=NCAB.

又AC平分ND48,

.,.ZDAC=ZCAB=ZDCA,.".CD=AD,H^P為AB的中點(diǎn)48=24￡>,易證得四邊形APCD為菱

形，.：AC_LZ)P.

圖4

如圖4,：NCJ_0P4CJ_0。'，且0尸。0。'=0,

.：AC_L平面D'PO,又PO'u平面D'PO,

/.PD'IAC.

(2解：?二面角B-AC-。'為直二面角4CL0P,

.：OPJ_平面ACD',易知OP//BC,

.：BC_L平面ACO；

.：二面角A-D'C-B為直二面角.

又：?二面角A-O'C-M與二面角M-D'C-B大小相等，.：二面角A-O'C-M的平面角為45°,

z

in

圖5

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),04所在直線為x軸,O尸所在直線為y軸,0。所在直線為z軸，建立如圖5所示

的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

如圖3,在菱形APCD中,易知NPA。],.：OD=OP=1QA=OC=?

；

ZA(V3,0,0),B(-V3)2,0),C(-V3,0,0),D'(0,0,1),CO=(V3,0,1)^B=(-2V3,2,0),

設(shè)宿=/1荏(OW/iWl),

.：M(V3-2V32,2^,0),.：CM=(2V3(1-2),2尢0),易知平面AC。'的一個(gè)法向量為m=(0,1,0),

設(shè)n=(x,y,z)為平面MCD'的法向量，

則卜?西=0,即f2V3(l-A)x+2Ay=0,

2

取x=l,貝Iz=-V3j--^y^,^n=(i^|cos<m>n>|=!inp[=?a=今

'A|TO"n|卜廣洌+32

解得2=2返-3,滿足題意，故絲=2次-3.

AB

17.

如圖，在四棱錐E-ABCD中,四邊形ABCO為平行四邊形,8E=BC,AEJ_8E,M為CE上一點(diǎn)，且8例_1面

ACE.

(1)求證:AE_L8C;

(2)若點(diǎn)N為線段AB的中點(diǎn)，求證:MN〃面AOE;

⑶若BE=4,CE=4注,且二面角A-BC-E的大小為45°,求三棱錐C-ABE的體積.

(1月正明|:平面ACE5AEu平面ACE,

.".BMA.AE.VAELBE,BMr\BE=B,

.：AE_L平面BCE.：'BCu平面BCE,/.AE±BC.

(2月正明|取DE中點(diǎn)尸，連接PM,AP,

:，BC=BE,BMLAE,

；.M為CE的中點(diǎn)，

：.MP/耶CHANdMP=AN,

；.APMN為平行四邊形，.：MN〃AP.

：.MNt平面ADE,APcz平面ADE,

.：MN〃平面ADE.

（3嫡由BE=BC=4,CE=4應(yīng)，得BC_LBE.：'BC_LAE,4EnBE=E,.：BC_L平面ABE..：NABE為二面甬

A-BC-E的平面角..：ZAHE=45°,.：AE=BE=4.

.：三棱錐C-ABE的體積三x1X42X4=—.

323

18.（2021全國乙，理18）如圖,四棱錐P-ABCE）的底面是矩形,底面48C￡?,PD=￡）C=1,例為BC的

中點(diǎn)，且尸3J_AM.

⑴求BC;

(2)求二面角A-PM-B的正弦值.

圈(1)連接BD.；PD工底面ABCRAMu底面ABCD,.：P"AM.

:'PBLAM,PBCPD=P,

.：AM_L平面PBD,.t.AMA.BD,

.：NAOB+C=90°.

又/OAM+/MA8=90°,

.".ZADB=ZMAB,

ABBM

.：ifiC2=l,.：BC=V2.

(2)如圖，以。為原點(diǎn)，瓦4反,而分別為x,y,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.可得

A(V2,0,0),B(V2,l,0),M(^,1,O),P(O,O,1),AP=(-e,0/)麗=(-4,1,0),前=(弓,0,0)麗=(-V2,-1,1).

設(shè)平面AM尸的一個(gè)法向量為

加亞=0,即-y/2x1+Z]=0,

則壇工

jn-AM=0,(-y^i+yi=n0,

令Xi=a,則yi=l,zi=2,可得m=(V2,l,2).

設(shè)平面B例P的一個(gè)法向量為n=(X2j2,Z2),

同理可得n=(O,l,l).

則cos<m,n>=-^-=折:泛=3及.設(shè)二面角A-PM-B的平面角為。，則sin^^/l-cos2<m,n>—

19.

如圖，在長方體ABCD-ABiCQ中，己知上下兩底面為正方形，且邊長均為1,側(cè)棱44=2,E為BC中

點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn),G為BBi上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)確定G點(diǎn)的位置，使得。地_1_平面A尸G;

(2)當(dāng)QiEL平面AFG時(shí)，求二面角G-AF-E的平面角的余弦值.

廨［⑴如圖,

分別以D4,OC,。。所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,

則￡>(0,0,0)4(1,0,0),5(1,1,0),C(0,l,0),Di(0,0,2).

因?yàn)镋為BC中點(diǎn)，尸為CD中點(diǎn)，所以E(),O),F(O,扣).由題意得。1E_LAFQ|E_LAG,設(shè)

G(1,1,0.

又承=(攝1,-2),而=(-1,i,0),AG=(0,1,t).因?yàn)?。E_L平面AFG,則AF=0,

-AG=0,

得l-2/=0,r=|.

.：BG=*即G為BBi的四等分點(diǎn).

(2)由題意知，平面AFE的一個(gè)法向量為m=(O,O,l),設(shè)平面AFG的法向量n=(x,y,z).

幾=0,p卜"+尸=1p/1。八.mn4721

付〈1取x=?l,付n=(-l,-2,4).?.cos<m,n>=--=

en=0,ly+1z=0,澳網(wǎng)21

由圖形知二面角G-AF-E的大小為銳角.

.：二面角G-AF-E的平面角的余弦值為史紅.

級

C一學(xué)科素養(yǎng)拔高練

20.

如圖,A8是圓O的直徑，點(diǎn)C是圓O上異于A,8的點(diǎn)，直線PC,平面分別是P4,PC的中點(diǎn).

(1)記平面BE尸與平面ABC的交線為/,試判斷直線/與平面PAC的位置關(guān)系,并加以證明；

(2)設(shè)(1)中的直線/與圓。的另一個(gè)交點(diǎn)為。，且點(diǎn)。滿足麗=［而,記直線PQ與平面A8C所成的

角為仇異面直線PQ與E廠所成的角為a,二面角E-/-C的大小為.，求證:sin敘sinasmp.

(1解直線/〃平面PAC,證明如下：

連接EF,因?yàn)榉謩e是PA,PC的中點(diǎn)，

所以所〃AC.

又EFC平面ABC,且ACu平面ABC,

所以EF〃平面ABC

而EFu平面8EF,且平面8￡7TI平面ABC=I,

所以EF〃/.

因?yàn)?C平面P4C,ER=平面PAC,

所以直線/〃平面PAC.

(2)|證明|如圖，由而=:渭，作￡>Q〃CP,且DQ^CP.

連接/>。,￡'尸,2￡8￡8。,由(1)可知交線/即為直線BD.

以點(diǎn)C為原點(diǎn)，向量不，刀，前所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)

CA=a,CB=6,CP=2c,則有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,Z>,0),P(0,0,2c)，e(?Ac),￡(ja,0,cJ,F(0,0,c).

于是貓=ga,0,0),QP=(-a,-b,c)^F=(0,-b,c),

歷?西

所以cosa=-

\FE\\QP\_Va2+b2+cz，