2024年1月“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題帶來的備考啟示

解讀探究預(yù)測

加強教考銜接，實現(xiàn)平穩(wěn)過渡

-2024年1月“九省聯(lián)考”數(shù)學(xué)試題帶來的備考啟示

一、命制背景和試題定位

2024年1月19日至1月21日，江西、安徽、黑龍江、甘肅、吉林、貴州、廣西壯族自

治區(qū)等第四批高考綜合改革省份將要首考落地，為實現(xiàn)平穩(wěn)過渡，相關(guān)省份組織進(jìn)行了一場

盛大聯(lián)考一一高考改革適應(yīng)性演練測試，稱之七省聯(lián)考，后加入河南、新疆（或者稱之為

“九省聯(lián)考”）參考考試人數(shù)為萬眾矚目的410萬人。

2024年適應(yīng)性測試數(shù)學(xué)試卷由教育部教育考試院命制，試題遵循中國高考評價體系規(guī)定

的考查內(nèi)容和要求，充分發(fā)揮高考的核心功能，深化必備知識和關(guān)鍵能力的考查。試卷合理

控制難度，與以往全國卷相比，減少試題數(shù)量，適度降低計算量，加強思維考查力度，試題

設(shè)計追求創(chuàng)新，打破固化形式，有利于充分發(fā)揮服務(wù)人才選拔的功能。本次考試的突出變化

如下：

1.數(shù)學(xué)試題不分文理。新高考改革第四批七省區(qū)將于2024年進(jìn)入文理不分科的數(shù)學(xué)新高考模

式。

2.題型結(jié)構(gòu)發(fā)生變化。最明顯的一個變化是題目數(shù)量的減少，全卷由過去的22個題減少到

19個題。其中單項選擇題數(shù)量不變，還是8個小題，多項選擇題、填空題和解答題各減少1

個小題，多項選擇題和填空題分別由4個小題減少到3個小題，解答題由6個小題減少到5

個小題，考生的作答時間隨之變得更加充分。

3.考題的順序安排也打破常規(guī)，有所變化。2024年測試卷的試卷結(jié)構(gòu)特點是靈活、科學(xué)地確

定試題的內(nèi)容、順序和難度。

4.題目分值發(fā)生巨大變化。最后兩個壓軸題保持較高的難度、能力要求和思維要求，以保持

對高分段考生良好的區(qū)分，并且分值由過去的12分增加到17分，占分比例和重要性顯著增

加。由于整體難度的調(diào)整，考查思路的變化，需要考生靈活運用數(shù)學(xué)工具去分析、解決問

題，綜合考查考生的邏輯推理能力，對考生運用所學(xué)知識找到合理的解題策略提出了較高要

求，突出了選拔功能。

二、傳達(dá)信號意圖解讀

1.調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)的主要目的是給學(xué)生更多的思考時間，從而加強對思維能力的考查。總

題數(shù)從22個變成了19個，減少了13.6%o除單選題的個數(shù)和分?jǐn)?shù)（8個，40分）不變

外，其他題型在個數(shù)和分?jǐn)?shù)上均有所調(diào)整，將原來的4個多選題（20分）、4個填空題

（20分）、6個解答題（70分）分別減少為3個多選題（18分）、3個填空題（15

分）、5個解答題（77分），其中只有解答題增加了分?jǐn)?shù)。由于調(diào)整試卷結(jié)構(gòu)以后整卷

題量減少，更有利于考生發(fā)揮創(chuàng)新能力一一特別是在解答題中加強對思維的考查，也有

利于提升壓軸題的思維量與難度，注重考查思維過程和思維品質(zhì)，服務(wù)拔尖創(chuàng)新人才選

2024年新高考改革方向憫

單選1-8鞠5分40分73分

多選9-11酬6分18分

填空12-14巡5分15分

墟15立體幾何13分77分

16MM15分

17髀15分

18毀17分

19新題型（數(shù)列數(shù)論+競賽方向）口分

2.與以往試題相比，各個題目的考查內(nèi)容、排列順序進(jìn)行了大幅度的調(diào)整。以往壓軸的

函數(shù)試題在測試卷安排在解答題的第1題，難度大幅度降低；概率與統(tǒng)計試題也降低了

難度，安排在解答題的第2題；在壓軸題安排了新情境試題。這些變化對于打破學(xué)生機

械應(yīng)試的套路模式，對促使學(xué)生全面掌握主干知識、提升基本能力具有積極的導(dǎo)向作

用0

3.引導(dǎo)考生“多想少算”，有利于考查理性思維和核心素養(yǎng)的水平。符合國家對高考改

革的要求。數(shù)學(xué)高考一直強調(diào)“多想一點，少算一點”的理念，從重考查知識回憶向重考

查思維過程轉(zhuǎn)變。在測試卷中，這一理念在解析幾何的考核中體現(xiàn)得極其充分。這樣的命題

方式提醒考生“多想少算”，考查了思維能力，有效地避免了以前在解析幾何的考核中計算

量“居高不下”的現(xiàn)象，并且在考查考生數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的同時也考查了邏輯推理素養(yǎng)，也比

較自然地體現(xiàn)了各核心素養(yǎng)的交融性。

4.引導(dǎo)考生從小處著手，掌握基本概念和常規(guī)計算；從大處著眼，建構(gòu)高中數(shù)學(xué)的知識

體系。2024年測試卷各個主題的題目數(shù)量和分值比例大致與課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的課時一致（函

數(shù)、幾何與代數(shù)、概率與統(tǒng)計分別約占40樂40%.20%）,符合課程標(biāo)準(zhǔn)的要求：在數(shù)學(xué)高

考的命題中，要關(guān)注試卷的整體性和內(nèi)容的分布。測試卷題目的設(shè)置層次遞進(jìn)有序，難度結(jié)

構(gòu)合理，大部分為常規(guī)題目。中低難度的題目平和清新，重點突出；高難度的題目不偏不

怪，中規(guī)中矩，體現(xiàn)了良好的區(qū)分性。第1、2、3、4、10、12、15題（共44分）屬于簡單

題，主要考查基本概念和基本運算。特別是，第I題考查樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)，第10題考查復(fù)

數(shù)的共規(guī)運算，既是基本內(nèi)容，又略顯新穎。

5.客觀選擇題考查內(nèi)容比較

24年23年23年23年22錨高考全22年新高考全

題號內(nèi)容\九省聯(lián)考四省聯(lián)考全國［卷全國U卷國I卷國n卷

1中位數(shù)復(fù)數(shù)運算集合交集復(fù)數(shù)運算集合交集集合交集

復(fù)數(shù)運算（共復(fù)數(shù)運算（共

2橢圓離心率集合運算集合子集復(fù)數(shù)（乘法〉

麗、乘除）麗、乘除）

平面向量（垂等差數(shù)列（文

3等差數(shù)列概率分層抽樣平面向量

直）化）

平面向量坐標(biāo)運函數(shù)性質(zhì)偶函臺體體積（南水

4線線、線面關(guān)系函數(shù)單調(diào)性平面向量

算數(shù)北調(diào)）

5排列組合橢圓性質(zhì)橢圓離心率直線與桶圓概率排列

平面向量線性運

錐體體積與不等函數(shù)與導(dǎo)數(shù)單三角函數(shù)（周

6算與平行線間的直線與圓三角函數(shù)化簡

式調(diào)性朝、對稱）

距離

三角函數(shù)誘導(dǎo)公等差數(shù)列三角函數(shù)誘導(dǎo)指數(shù)、對數(shù)比較立體幾何（正三

7導(dǎo)數(shù)定義

式充要條件公式大小棱臺外接球）

雙曲線、向量、指數(shù)、對數(shù)運算等比數(shù)列前n立體幾何（正四

8三角函數(shù)函數(shù)性質(zhì)

離心率與不等式項和棱錐、球體積）

立體幾何（正方

函數(shù)奇偶性'單

9三角函數(shù)性質(zhì)樣本數(shù)據(jù)圓錐與二面角體線線、線面函數(shù)圖象性質(zhì)

調(diào)性

角）

立體幾何線線、函數(shù)零點、極值

10復(fù)數(shù)相關(guān)運算對數(shù)運算直線與拋物線拋物線

線面、面面關(guān)系點、對稱

單位圓與正弦

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)極立體幾何（體

11抽象函數(shù)性質(zhì)線、余弦線追及抽象函數(shù)性質(zhì)拋物線

值積）

問題

線面垂直判定定

12無立體幾何概率實際應(yīng)用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)不等式

理、性質(zhì)定理

6.客觀填空題考查內(nèi)容比較

24年23年23年23年22年新高考22年新高考

題號內(nèi)容、

九省聯(lián)考酹臉全國I卷全國II卷全國I卷全國n卷

1312集合交集正態(tài)分布排列組合平面向量運算二項式定理展開式正態(tài)分布

13、錐體表面積、

圓心與拋物線最短距解析幾何：曲線的

14體積、球體表面臺體體積臺體體積圖的公切線

商例戔方程

積、體積

解析幾何：直線與

1514、不等關(guān)系數(shù)列遞推公式跚零點直線與圖斯與導(dǎo)數(shù)

圓關(guān)系

雙曲線商心率向三角函數(shù)圖像性解析幾何：直線與

16無邏輯推理橢圓

蚩質(zhì)橢圓

7.主觀題考查內(nèi)容比較

24年23年23年23年22年新高考22年新高考

X九省聯(lián)考四省聯(lián)考全國I卷全國II卷全國I卷全國n卷

13登數(shù)與導(dǎo)數(shù)、切圓柱內(nèi)接錐體，幾

17解三角形解三角形數(shù)列與不等式等差、對比數(shù)列

線、單調(diào)性何體體積、二面角

Y=Asin（3x+立體幾何：線線等差數(shù)列前n

1816u率、數(shù)學(xué)期望三角函數(shù)解三角形

中）圖像性質(zhì)平行與二面角項和、不等式

數(shù)列通項公式、前n立體幾何

17、立體幾何線面垂困數(shù)與導(dǎo)數(shù)：單

19項和公式、錯位相概率應(yīng)用點到直線距離、統(tǒng)計：數(shù)據(jù)分析

直、二面角調(diào)性、不等式

減去二面角

立體幾何：線

數(shù)學(xué)期里、超幾何等差數(shù)列、通項立體幾何：線面

2018.線垂直、二面率統(tǒng)計

發(fā)布、估計值公式平行、二面角

角

雙曲線方程（開

雙曲線方程、有關(guān)

2119、離散又?jǐn)\概率、兩點分布雙曲線雙曲線放題、答案不唯

證明

-）

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、單調(diào)強敵與導(dǎo)數(shù)（單

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、困數(shù)與導(dǎo)數(shù)、等

22無性、零點、創(chuàng)新函拋物線、不等式調(diào)性、不等式證

不等式差數(shù)列

數(shù)明）

三、七省聯(lián)考(“九省聯(lián)考")數(shù)學(xué)試題考查問題的特點

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.樣本數(shù)據(jù)16,24,14,10,20,30,12,14,40的中位數(shù)為()

A.14B.16C.18D.20

【考查目標(biāo)】樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)

【解題思路】排序再找中位數(shù)

【命題考向趨勢】樣本數(shù)據(jù)涉及到的概念【備考復(fù)習(xí)建議】樣本數(shù)據(jù)相關(guān)概念

1.B【解析】將這些數(shù)據(jù)從小到大排列可得：10,12,14,14,16,20,24,30,40,

則其中位數(shù)為16.

21

2.橢圓r9=1(4>1)的離心率為彳，則”=()

a2

A.—B.V2C.V3D.2

3

【考查目標(biāo)】橢圓性質(zhì)、離心率

【解題思路】a、b、c關(guān)系及離心率公式

【命題考向趨勢】橢圓的基本性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】靈活掌握橢圓基本性質(zhì)

2.A【解析】由題意得6=必三=,，解得”=及，

a23

【知識鏈接】橢圓離心率專題

求離心率常用公式公式1：e=￡

a

公式=

公式3:已知橢圓方程為》/1…兩焦點分別為”，設(shè)焦點三角形”

4"?=a,N"/="則橢圓的離心率,二懸焉

證明：NP耳6耳=，,

」「去占如，曰.Wgl_\PF2\_\PFX\

由止弦AE上行.sin(18O"—a—￡)一sina-sin.

由等比定理得:平業(yè)今2c2a

1r3,即----——=----------

sin(a+p)sma+sin/sin(?+/?)sina+sin/?

csin(a+/?)

?.e=-=---------------

asina+sin/?

22

公式4:以橢圓點+方=l(a>b>0)兩焦點耳巴及橢圓上任一點P(除長軸兩端點外)為

cos-a--+--B

頂點八片尸身,NP￡鳥=a,NP6《=月,則e=一尤萬

cos'

2

證明：由正弦定理有駕=四=嗜=乃

sinpsinasin，sm(a+〃)

c.a+(3a+Ba+B

2sin----—?cos......-cos----'一

Mlsin(a+/?)22.￡

-e____2_

中出叫皿a-p,-gaa-p

i+2sin^-coscos-----

22

77

公式5:點F是橢圓的焦點，過產(chǎn)的弦AB與橢圓焦點所在軸的夾角為aOeO,A為直線

AB的斜率，且A尸=之用(/1>()),則€=&+%]聶!當(dāng)曲線焦點在，軸上時，e

1+FI7I

汁AF—浜BF右才AFBF

注：丸=——或者4=——而不是B——或一

BFAFABAB

3.記等差數(shù)列｛”“｝的前〃項和為邑嗎+%=6,O[2=17,則&=()

A.120B.140C.160D.180

【考查目標(biāo)】等差數(shù)列通項公式及前n項和公式

【解題思路】公式應(yīng)用

【命題考向趨勢】等差數(shù)列通項公式及前n項和公式綜合運用

【備考復(fù)習(xí)建議】對等差數(shù)列通項公式及前n項和公式的理解

3.C【解析】因為%+。7=2%=6,所以為=3,所以/+。12=3+17=20,

所以九=（。磬-"=8（4+%）=160

【知識鏈接】

L等差數(shù)列的前”項和公式

公式一S.=心答

證明：（倒序相加法）§“=%+%+%++%+4①,S”=4+―+*++%+/②，由①+

②得2S“=（/+%）+（%+a,-）+（%+q,一z）++（%+?,）,因為?,+%=a2+a?，,=4+??-2=-=??+?,,

所以25.=〃（4+4,）,由此得S"="（"%）

公式二：s“=叫

證明：將4,=4+（〃-l）d代入.="（"；%）可得S.=叫+”（〃］）”.

2.前〃項和與函數(shù)關(guān)系

由S“=n%+”（；D4=+（4_1）〃,令A(yù)=g,B=q-g,貝U；

S“=An。+Bn（A,B為常數(shù)）.

（1）當(dāng)。=0即A=o時,5“=3〃=的￡是關(guān)于"的一個一次函數(shù)；它的圖像是在直線y=qx

上的一群孤立的點.

（2）當(dāng)dwO即A/0時,S,,是關(guān)于"的一個常數(shù)項為零的二次函數(shù);它的圖像是在拋物線

y=Ax?+曲上的一群孤立的點.

①當(dāng)d>0時,S“有最小值；

②當(dāng)d<0時,S〃有最大值.

4.設(shè)a,A是兩個平面，機,/是兩條直線，則下列命題為真命題的是（）

A.若a1a,l〃B,則，〃-L/B.若mua,lu0,m〃I,則a〃夕

C.若a；P=m,l//a,l///3,則〃/〃/D.若加！?a,/_L⑸加〃/,則。_1_4

【考查目標(biāo)】空間線面的位置關(guān)系

【解題思路】空間線面位置關(guān)系簡圖或利用周邊環(huán)境想象思考【命題考向趨勢】空間線

面的位置關(guān)系

【備考復(fù)習(xí)建議】理解空間線面位置關(guān)系

4.C【解析】對于A,〃?,/可能平行，相交或異面，故A錯誤，

對于B,a,A可能相交或平行，故B錯誤，

對于D,a,〃可能相交或平行，故D錯誤，

由線面平行性質(zhì)得C正確，

5.甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在兩端，乙和丙之間恰有2人，則不同排法共有

()

A.20種B.16種C.12種D.8種

【考查目標(biāo)】排列組合

【解題思路】先排乙丙，再排甲

【命題考向趨勢】排列組合應(yīng)用【備考復(fù)習(xí)建議】排列組合靈活應(yīng)用

5.B【解析】因為乙和丙之間恰有2人，所以乙丙及中間2人占據(jù)首四位或尾四位，

①當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)首四位，此時還剩末位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A；xA；xA；=8種方法；

②當(dāng)乙丙及中間2人占據(jù)尾四位，此時還剩首位，故甲在乙丙中間，

排乙丙有A；種方法，排甲有A；種方法，剩余兩個位置兩人全排列有A；種排法，

所以有A；xA；xA：=8種方法；

由分類加法計數(shù)原理可知，一共有8+8=16種排法，

【知識鏈接】

一、分類與計數(shù)原理

1、分類加法計數(shù)原理的概念

完成一件事可以有n類方案，各類方案相互獨立，在第一類方案中加1種不同方法，在第

二類方案中加2種不同方法…在第八類方案中加0種不同方法，那么完成這個件事共有

N=nii+7n2+…+7nn種方法.

2、分步乘法計數(shù)原理的概念

完成一件事需要經(jīng)過幾個步驟，缺一不可，做第一步有血1種方法，做第二步有爪2種方法

做3、兩個計數(shù)原理的聯(lián)系與區(qū)別

原理分類加法計數(shù)原理分步乘法計數(shù)原理

聯(lián)系兩個計數(shù)原理都是對完成一件事的方法種數(shù)而言

區(qū)別一每類方法都能獨立完成這件每一步得到的只是中間結(jié)果，

事，它是獨立的、一次的，且每任何一步都不能獨立完成這件事，

種方法，那么漏楙腕喃菸吹也需加郡??只有酒他烤聚都完成了才能完成這

方法就可完成這件事.件事.

區(qū)別二各類方法之間是互斥的、并各步之間是相互依存，并且既

列的、獨立的.不能重復(fù)也不能遺漏.

二、排列與排列數(shù)

1.排列與排列數(shù)：一般地，從幾個不同元素中取出Wn)個元素，按一定順序排成一

列，叫作從n個不同元素中取出加個元素的一個排列，所有不同排列的個數(shù)，叫作從幾個不同

元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號表示.

nI

2.排列數(shù)公式：A^=n(n—l)(n-2)(n—3)???(n-m+1)=瓦方^(九、且m<

n).幾個不同元素全部取出的一個排列，叫作幾個的一個全排列.這個公式中m二九，即有

An=n!=n(n—l)(n—2)(n—3)?-?2x1.規(guī)定：0!=l.

三、組合與組合數(shù)

1.組合與組合數(shù)：一般地，從n個不同元素中取出7n（?nWn）個元素合成一組，叫作從n個

不同元素中取出m個元素的一個組合，所有不同組合的個數(shù)，叫作從n個不同元素中取出m個

元素的組合數(shù)，用符號C記表示.

2.組合數(shù)公式：優(yōu)嗡-咿F（T）（；3）…（呀徵+1）.__￡L_（n、加函*且mW九）.九個不同

元素全部取出的一個排列，叫作幾個的一個全排列.這個公式中小=71,規(guī)定：C°=l.

3.組合數(shù)性質(zhì)：

（1）優(yōu)=或-771（九、根€可*且加工71）;

（2）C：；i=C：+C：i（n、meN*S.m<n）；

【變式】在某種信息傳輸過程中，用4個數(shù)字的一個排列（數(shù)字允許重復(fù)）表示一個信息，

不同排列表示不同信息，若所有數(shù)字只有0和1則與信息0110至多有兩個對應(yīng)位置上的數(shù)字

相同的信息個數(shù)為（）

A.10B.llC.12D.15

【答案】B

【解析】當(dāng)與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字各不相同時，這樣的信息個數(shù)只有1個；當(dāng)

與信息0110對應(yīng)位置上的數(shù)字只有1個相同時，這樣的信息個數(shù)只有4個；當(dāng)與信息0110

對應(yīng)位置上的數(shù)字只有2個相同時，只需從四個位置中選出兩個位置使相應(yīng)的數(shù)字相同，有

C：種方法，剩下的兩個位置上的數(shù)字對應(yīng)不相同，只有1種可能，故此時共有個不同的

信息.根據(jù)分類原理知共有：l+4+C；=ll個不同信息.故選B.

6.已知。為直線/：x+2y+l=0上的動點，點尸滿足QP=（l,—3）,記尸的軌跡為E,則

（）

A.E是一個半徑為6的圓B.E是一條與/相交的直線

C.E上的點到/的距離均為逐D.E是兩條平行直線

【考查目標(biāo)】平面向量的坐標(biāo)運算、平行線間的距離公式

【解題思路】先確定動點Q的坐標(biāo)，再設(shè)點P,利用向量坐標(biāo)運算建立等量關(guān)系，求出P

的軌跡E再用平行線間的距離公式求解即可

【命題考向趨勢】平面向量的坐標(biāo)運算、平行線間的距離公式【備考復(fù)習(xí)建議】平面向

量的坐標(biāo)運算、點到直線距離公式

6.C【解析】設(shè)尸(%,丁),由QP=(l,—3),則。(x—l,y+3),

由。在直線/：x+2y+l=0上，故x-l+2(y+3)+l=0,

化簡得x+2y+6=0,即p軌跡為E為直線且與直線/平行，

E上的點到/的距離d==石,故A、B、D錯誤，C正確.

Vl2+22

【點評】將軌跡方程、平面向量的坐標(biāo)運算、直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的

距離公式等知識綜合起來，考查直線與直線的位置關(guān)系、兩條平行直線間的距離公式等基礎(chǔ)

知識、基本方法的理解和掌握。該題立足基礎(chǔ)知識，計算量小，強調(diào)知識之間的綜合和應(yīng)

用，很好檢測了考生的知識體系和認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有良好導(dǎo)向性，發(fā)揮了服務(wù)選才功能。

7.E^[|ee[個,?],tan2e=-4tan(0+g],則——L—=()

14JI2cosP+sin2e

33

A.B.—C.1D.一

442

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

【解題思路】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式化簡，注意定義域【命題考向趨勢】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式

化簡

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)誘導(dǎo)公式靈活運用

7.A【解析】由題兀J,tan2e=-4tan(6+；

2tan。-4（tan^+l）

=>-4（tan^+l）2=2tan。,

1-tan2^l—tanB

貝ij（2tan6+l）（tane+2）=0=>tan6=-2或tane=,

因為夕學(xué)兀卜an。w所以tan*-；,

l+sin2。_sin2^+cos2^+2sin^cos^_tan2^+l+2tan^

4_____

2cos沼+sin262cos七+2sin6cos02+2tanB2+（-1）4

【點評】以簡單三角恒等變換公式和同角三角函數(shù)關(guān)系為載體，該題題干簡潔，注重基

礎(chǔ)，難度適中，考查考生對基礎(chǔ)知識的理解、掌握及靈活應(yīng)用。

【知識鏈接】

1兩.角和與差的余弦

cos(cr+/?)=cosacos4一sinasinp變形cosacos-sinczsinP=cos(cr+/?)

cos(a-/?)=cosacos/?+sinasinp變形cosacos/+sinasin0=cos(cr-(3)

2兩.角和與差的正弦

sin(a+4)=sinacos°+cosasin/變形sinacos/3+cosasin/?=sin(a+0)

sin(a-/7)=sinacosp-cosasin0變形sinacosp-cosasin/3=sin(cr-/?)

3.兩角和與差的正切

/八、tanGf+tanZ7/八、tana-tanZ7、…,

tan(a+0=---------------—?tan(a-0)=--------匕變形.

1-tanatan4'1+tanatan/?,

tan2+tan￡=tan(a+尸)(1-tanatan尸)；tana+tan/+tanatan/?tan(a+￡)=tan(cz+0)；

C，tana+tanB

tantanp=1----------------

tan(cr+p)'

【變式】已知cosC+a)=2cos(乃-a),則tan［?-a)=()

A.—4B.4C.—D.—

33

［答案］C

【解析】因為cose+a卜2cos(%-a),所以-sina=-2cosantana=2,所以

(7tA1-tana

tan----a=-----------=-g,故選c.

14)1+tancr

22

8.設(shè)雙曲線C:「-斗=l(a>00>0)的左、右焦點分別為E，K，過坐標(biāo)原點的直線與

ab

。交于A8兩點，出3=2閨4瑪A?瑪8=4/,則C的離心率為()

A.0B.2C.石D.V7

【考查目標(biāo)】雙曲線離心率與向量的結(jié)合

【解題思路】雙曲線與向量的結(jié)合

【命題考向趨勢】雙曲線與平面向量有機結(jié)合

【備考復(fù)習(xí)建議】雙曲線與平面向量有機結(jié)合

8.D【解析】由雙曲線的對稱性可知忻=后邳，

忻@=內(nèi)A，有四邊形鳥為平行四邊形，

令出4|=向m=加，則山目=|%4|=2”,

由雙曲線定義可知后4|-14Al=2a,故有2m-m=2a,

即力=2a,即忻旬=|/目=m=2a,閨同=|心4|=40,

2則cos/AK5=g,即

F2A-F2B=|TS-A|?同@COSZAF2B=2ax4acosZAF2B=4a

97r

乙地6=與，故/入叫=二，則有

忸用2+憂郎—恒用2=(44+(2a『一(2c)2=」

21GM.怩回—2x4ax2a-2'

20a2-4c2

即—,則e?=7,由e>1,故e=S.

16a222

【點評】以雙曲線為載體，考查雙曲線、向量的基本概念和性質(zhì)。該題深入考查邏輯思維

能力、運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想，強調(diào)對知識的綜合理解和靈活應(yīng)用的能力。試題符合

高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)的基本要求，很好引導(dǎo)中學(xué)教學(xué)。需要從雙曲線的定義出發(fā)進(jìn)行分析，對

直觀想象與數(shù)學(xué)運算能力有一定要求。

【知識鏈接】雙曲線的離心率專題

求離心率常用公式公式1：e=￡

a

公式2：。=樣

公式3:已知雙曲線方程為W-￡=l(a>0/>0)兩焦點分別為5尸2,設(shè)焦點三角形

a1b-

.Am/sin(a+〃)

PDFr\iF?”Z/PDFr、cF,=a//PDFrEr="則e=y-^—

證明：NP6E=/NP與片=，,

由正弦定理得：

由等比定理得：即而導(dǎo)2ac__sin(a+ft)

sina-sin/3a|sincr-sinP\

r2v2

公式4：以雙曲線十方川〉。…）的兩個焦點小鳥及雙曲線上任意一點砥除實軸

.B+a

sm----

上兩個端點外）為頂點的=a，NP&片=￡,則離心率e=一三（。工/）

.p-a

sin----

2

證明：由正弦定理.，有駕=四=嗎=平1

sinpsinasin，sin（6Z+p）

iJ-嗎=qi

sin-一sinasin(a+/?)

即B+a.B-a.B-\-aB+aX(?<a+/?<^,cos^—^^0,/.e

cos-----sin-----sin-----cos-----2

2222

.B+a

sm—

=￡=__二

a-P-cc

sin

2

TT

公式5:點尸是雙曲線焦點，過尸弦$人8$與雙曲線焦點所在軸夾角為仇6eO.,,女為直線

AB斜率,人尸=；1必（；1>0）,則e=

當(dāng)曲線焦點在，軸上時，e=Jl+妥得

件,_AFBF而7曰AF...BF

注?2=^77或者—而不ZE-^7或7777

BFAFABAB

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

9.已知函數(shù)/(x)=sin[2x+Tj+cos12x+q-J,貝ij()

A.函數(shù)/為偶函數(shù)B.曲線y=/(x)的對稱軸為x=br,&wZ

C.〃x)在區(qū)間■目單調(diào)遞增D.“X)的最小值為-2

【考查目標(biāo)】三角函數(shù)化簡、三角函數(shù)圖像性質(zhì)

【解題思路】三角函數(shù)化簡再結(jié)合圖象分析【命題考向趨勢】三角函數(shù)的圖象性質(zhì)

【備考復(fù)習(xí)建議】三角函數(shù)圖象性質(zhì)靈活運用

9.AC【解析】/(x)=sin(2x+篇+cos(2x+爸

.r3兀.3兀cc3兀.c.3兀

=sin2xcos—+sin——cos2x+cos2xcos-----sin2xsin—

4444

V2y/2V2A/2..

=------sin2xH------cos2x------cos2x-------sin2x=-vR2sin2x,

2222

即/(x)=->/2sin2x,

對于A,尤—弓)=—0sin(2x—])=技o(jì)s2x,易知為偶函數(shù)，所以A正確；

對于B,.f(x)=-V5sin2x對稱軸為21=曰+航,4wZ=>x=：+g,keZ,故B錯誤；

對于C,xe[卦),2xe序兀[，y=sin2x單調(diào)遞減，則

/(x)=—0sin2x單調(diào)遞增，故C正確；

對于D,/(x)=-V2sin2x,則sin2xe[-l,l],所以,故D錯誤；

故選：AC

10.已知復(fù)數(shù)z,卬均不為0,則()

2

7,19ZZ----------—Zz

A.z-=\z\B.==--yC?z-w=z-wD.—二廠

ZIZI