2020高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)八二項(xiàng)式定理與數(shù)學(xué)歸納法教學(xué)案理

專題八二項(xiàng)式定理與數(shù)學(xué)歸納法

［江蘇卷5年考情分析］

本專題在高考中基本年年都考，并以壓軸題的形式考查.主要常考的類型有：考查計(jì)數(shù)

原理與數(shù)學(xué)歸納法(2015年723、2018年723),考查組合數(shù)及其性質(zhì)結(jié)合考查運(yùn)算求解和推

理論證能力(2016年723),考查概率分布與數(shù)學(xué)期望及組合數(shù)的性質(zhì)(2017年723),同時(shí)加

強(qiáng)對(duì)二項(xiàng)式定理的考查(2019年722),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，難度一般.

近幾年高考對(duì)組合數(shù)的性質(zhì)要求比較高，常與數(shù)列、集合、不等式、數(shù)學(xué)歸納法等知識(shí)

交匯考查.

第一講I計(jì)數(shù)原理與二項(xiàng)式定理

題型(一)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

主要考查兩個(gè)計(jì)數(shù)原理在集合或數(shù)列中的應(yīng)用.

［典例感悟］

［例1］(2018?江蘇高考)設(shè)〃GN*,對(duì)1,2,…，〃的一個(gè)排列？蟲…加如果當(dāng)Nt

時(shí)，有。＞工，則稱(公，工)是排列的一個(gè)逆序，排列，也…工的所有逆序的總個(gè)數(shù)稱

為其逆序數(shù).例如：對(duì)1，2,3的一個(gè)排列231,只有兩個(gè)逆序(2,1),(3,1),則排列231

的逆序數(shù)為2.記￡(〃)為1,2,〃的所有排列中逆序數(shù)為衣的全部排列的個(gè)數(shù).

⑴求「⑵,工(2)的值;

(2)求￡⑵(層5)的表達(dá)式(用n表示).

［解］(D記Mabe)為排列a6c的逆序數(shù)，對(duì)1,2,3的所有排列，有

r(123)=0,r(132)=1,r(213)=1,r(231)=2,r(312)=2,r(321)=3,

所以-(0)=1,一(1)=以(2)=2.

對(duì)1,2,3,4的排列，利用已有的1,2,3的排列，將數(shù)字4添加進(jìn)去，4在新排列中

的位置只能是最后三個(gè)位置.

因此一⑵=一(因+分(1)+6(0)=5.

(2)對(duì)一般的〃(〃24)的情形，逆序數(shù)為0的排列只有一個(gè)：12…〃，所以￡(0)=1.

逆序數(shù)為1的排列只能是將排列12…〃中的任意相鄰兩個(gè)數(shù)字調(diào)換位置得到的排列，所

以￡(1)=〃一1.

為計(jì)算￡+i(2),當(dāng)1,2,…，〃的排列及其逆序數(shù)確定后，將〃+1添加進(jìn)原排列，n

+1在新排列中的位置只能是最后三個(gè)位置.

因此右+i⑵=￡(2)+4(1)+4(0)=￡(2)+n.

當(dāng)〃》5時(shí)，￡(2)=［￡(2)—(2)］+(2)一(2)］+…+［E(2)—/(2)］+￡(2)

=(〃-1)+(〃-2)+…+4+/K2)=---,

n—n—2

因此，當(dāng)時(shí)，￡(2)--------.

［方法技巧］

(1)深化對(duì)兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)“全局分類”和“局部分步”的意識(shí)，并在操作中

確保：①分類不重不漏；②分步要使各步具有連續(xù)性和獨(dú)立性.

(2)解決計(jì)數(shù)應(yīng)用題的基本思想是“化歸”，即由實(shí)際問題建立組合模型，再由組合數(shù)公

式來計(jì)算其結(jié)果，從而解決實(shí)際問題.

［演練沖關(guān)］

(2018?蘇北三市三模)已知集合〃={1,2,〃}(〃CN'，〃》2),對(duì)于集合少的兩個(gè)

非空子集4B,若4c8=。,則稱(月，而為集合〃的一組“互斥子集”.記集合〃的所有“互

斥子集”的組數(shù)為7,5)(視(4,而與(6,用為同一組“互斥子集”).

⑴寫出f(2),A3),f(4)的值;

⑵求f(n).

解：⑴/'(2)=1,A3)=6,f(4)=25.

(2)法一：設(shè)集合力中有在個(gè)元素，k=l,2,3,…，/?-1.

則與集合4互斥的非空子集有2^-1個(gè).

［n-1］〃-1

于是SC：(2”T—1)=5(ZC￡i一￡n—1,k=ic?.

k=Qk=0

n—1

因?yàn)閄c『=E〃,4=0C：2〃T—c：2"—c；2°=(2+1)〃-2"—1=3'—2〃一1,

k=Q

n—1

XC*=￡/7,A-=0C"-d-C"=2,,-2,

k=Q

所以An)=；［(3"-2"-1)一(2"—2)］=：(3"-2'角+1).

法二：任意一個(gè)元素只能在集合4B,而之一中，則這〃個(gè)元素在集合4,B,

C中，共有3"種，

其中4為空集的種數(shù)為2",8為空集的種數(shù)為2",

所以48均為非空子集的種數(shù)為3"—2X2"+1.

又(4,?與(6,心為同一組“互斥子集”,

所以4)=1(3"_2,+1).

題型（二）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用

主要考查利用二項(xiàng)式定理求和或利用二項(xiàng)式定理論證整除問題.

［典例感悟］

,,+l

［例2］(2018,江蘇六市二調(diào))已知(l+x)2"'=a+aix+azf斗---Fa2?+i/,〃GN*.記

n

Tn=X(2A+l)/i.

k=0

(1)求④的值；

(2)化簡(jiǎn)。的表達(dá)式，并證明：對(duì)任意的〃。都能被4〃+2整除.

［解］由二項(xiàng)式定理，得a=C\+i(f=0,1,2,??-,2/?+1).

(1)入=/+34+5呆=點(diǎn)+3以+5己=30.

(2)因?yàn)镾+l+QCBF

=(〃+1+〃)?(刀+1+4！!

(2〃+1)?(2〃)！

(〃+女)!(/?—A)!

=(2〃+l)C步，

所以77=E，4=0(24+1)&_

n

=ZEn,k=6(24+1)C,消

k=0

n

=Z(2攵+DCBF

A=0

n

=Z［2(〃+1+女)一(2〃+1)北婢*

k=0

n

=2E(〃+1+%)CB「一(2〃+1)E〃,A=OCB慧

A=0

n

=2(2〃+l)X琮尸一(2〃+1)E〃,“=0琮"產(chǎn)

k=0

=2(2〃+1)?1?(2"+(X)-(2/?+1)?1?22n+1

=(2，+l)C￡

T?=(2〃+1)。=(2〃+l)(Cg+C*)

=2(2〃+l)(X-i=(4n+2)CL-i.

因?yàn)镃L-eN*,所以。能被4〃+2整除.

［方法技巧］

二項(xiàng)式定理中的應(yīng)用主要是構(gòu)造一個(gè)生成相應(yīng)二項(xiàng)式系數(shù)的函數(shù)，通過研究函數(shù)關(guān)系證

明恒等式、不等式和整除性問題.將二項(xiàng)式定理g+份"=60"+(；3"-%+i+(：為"-7/+~+

中的a,8進(jìn)行特殊化就會(huì)得到很多有關(guān)組合數(shù)的相關(guān)和的結(jié)果，這是研究有關(guān)組合數(shù)的

和的問題的常用方法.還可以利用求函數(shù)值的思想進(jìn)行賦值求解.

［演練沖關(guān)］

(2019,江蘇高考)設(shè)(l+x)"=ao+aix+a2x2+…+a〃x",〃GN".已知a：=2a2al.

(1)求〃的值；

(2)設(shè)(l+/)"=a+W5,其中a,be",求a?-34的值.

解：(1)因?yàn)?1+x)"=C：+C：X+C1Y2H---FC；；x",n24,n^N,,

9n(n-1)on(/?—1)(〃一2)

所以a=Cq=Q，d：i=C=7，

2t/6

1n(77—1)(/J—2)(〃一3)

&i=C〃=

24,

因?yàn)殇?2&a,

(/?—1)(77—2)［2

所以--------g--------

°n(/?-1)n(77—1)(〃一2)(〃一3)

=2X2*24-

解得〃=5.

(2)由(1)知，刀=5.

(1+4)"=(1+小尸

=己+。3/5+筏(4)?+C寅/)3+CK/)'+d(十)5

=a+b\［3.

法一：因?yàn)閍,所以a=<+3d+9C；=76,

6=C；+3《+9C：=44,

從而a2-3Z?2=762-3X442=-32.

法二：(1—"\/5)"=d+以(一+Cs(—,\/3)2+Cs(-^3)+Cs(—,\/3)'+C式一4)°

=C5-CjV3+d(V3)2-Cl(V3)：，+C5(V3)'-d(V3)5.

因?yàn)閍,6GN",所以(1一小)"=a一隊(duì)

因此才一3^=(a+H5)匕一八/5)=(1+m)嘆(1-A/3)5=(-2)5=-32.

題型(三)

組合數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用

主要考查利用組合數(shù)性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)化簡(jiǎn)論證問題.

［典例感悟］

［例3］(2019?南京四校聯(lián)考)已知m,〃eN*,定義M=

n(/?—1)(7?—2).........(〃一加+1)

ml.

(1)求1(2),一(5)的值;

2n

(2)證明：X［〃?2"￡(公］=2〃?3〃7,AeN*.

k=\

4X3

［解］(1)/；(2)=工］=6,

/、4X3X2X1X0

尤⑸=--------------------=0.

5!

［Cn,旋〃,

(2)證明：由題意得，E(4=、)

［0,勿2〃+1.

2

當(dāng)?shù)?1時(shí)，Z［??2"7；a)］=2+0=2=2XlX30.

k=l

2/7

當(dāng)/?>1時(shí)，因?yàn)閆[4?2*"(公]=1X2￡(1)+2X2?工(2)+3X23/X3)+…+

k=\

2n*2

2〃X2ffl(2n)=1X2C1+2X2C'+3X2之+…+〃X2"C；；,

且k-Cn=k?——:八

k\(/?—A)!?

____________(〃一1)!____________

=/7>(A-l)![(/7-1)-(A-l)]!

=n?Ct；(右〃),

2n

所以Z[4?27；a)]=/7X2C3+〃X22cL+/7X23c3+???+〃X2”C>；=2〃(l+2)i

k=l

=2〃?3".

2n

綜上所述，X[A?2%G)]=2〃?3'i,放N*.

k=\

［方法技巧］

(D對(duì)于組合數(shù)問題，需要熟記并能靈活運(yùn)用以下兩個(gè)組合數(shù)公式：C=c「"，c%=C+

pIXn—1?

(2)對(duì)于二項(xiàng)式定理問題，需掌握賦值法和二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，并能將二項(xiàng)式系數(shù)與二項(xiàng)

展開式系數(shù)區(qū)別開來.

[演練沖關(guān)]

(2018?南京、鹽城一模)設(shè)〃wW,c23,AGN*.

(1)求值：①長(zhǎng)：一乩3；

②優(yōu)《一〃(刀-l)C*-2—(衣22).

(2)化簡(jiǎn):Fc[+2'C：+3七+…+(A+1)%:+?,,+(/?+1)2Cn.

解：⑴①心一十二：

______n\____________(〃-1)!______

=kXkl(/7-A)!"nX(Zr-1)!(n~k)!

__________n\____________________n\____________

=(一一l)!(n-k)!—(kT)!"一外！=°-

②化一(〃T)*一武；==X%!'二)！j(〃T)X(-27！2：〃L)!一

______(刀-1)!________________n\___________________n\__________

nX(4一1)!(n-k)!=?X(D!(〃—幻！(4一2)!(〃一()！

-------------------=--------------------(--1一--1=0

(A-l)!(.n-k)!(A-2)!Cn~k)!(4一1k~\)v,

(2)法一:由(1)可知，當(dāng)衣》2時(shí)，(A+l)2Ci=(A2+2A+l)Ci=/d+2ACUO[n(n-

l)Ci-2+/7C?-i]+2M3+C：=〃(/7—1)Cn-2+3/TC?-I+C^.

故l2Ca+22Ci+32C^+---+U+l)2Ci+---+U+1)2C：=(l2c"+22c],)+H〃-I)(CL+CL

++CA-2)+3〃(CLI+C3+…+CU；)+(Cn+Cn+…+C7)=(1+4/7)+〃(〃-1)2"’+3〃(2"7

—1)+(2"—1—ri)=2"一”(〃?+54+4).

法二：當(dāng)〃13時(shí)，由二項(xiàng)式定理，

有(l+x)"=1+C：x+C需+…+C3*+…+C：x",

兩邊同乘以x,得(1+x)"x=x+d+C：M+…+以￥*'+…+C；x"‘，

兩邊對(duì)x求導(dǎo),得(1+X)"+〃(1+X)'L%=I+2C：x+3C汶+…+(A+l)W+…+(〃+

DC7,

兩邊再同乘以x,得(l+x)"x+〃(l+x)"7=/+2&六+3(；&+…+(4+l)C"+…+

S+1)C”

兩邊再對(duì)x求導(dǎo)，得

(l+x)"+〃(l+x)"fx+〃(〃-1)(1+才)"一2丁+2/?(1+才)"一)=1+2乞%+3化笈4---\~(在+

+…+(z?+i)2c?y.

令x=l,得2"+〃?2"-l+〃(〃一l)2"7+2〃?2'1=1+20+32瑤+…+(4+1)&+…+(〃

+D2d,

即1~C：+2?以+32^+…+(4+1)0+…+("+1)立=2"2(/+5/?+4).

［課時(shí)達(dá)標(biāo)訓(xùn)練］

A組一一大題保分練

1.(2019?南京鹽城一模)已知數(shù)列｛a,,｝滿足a=l,包=3,且對(duì)任意〃wN*,都有aC十

azCi+ajC？H------Fa?+iC：；=(a?+2-1)?2"'成立.

(1)求a,的值；

(2)證明：數(shù)列｛%｝是等差數(shù)列.

解：⑴在aiC^+aCl+aaC^H------Fa?+C=(a〃+2—1)?2"一,中，令n—\,則aiC?+a2Cl=a3

—1,由ai=l,a?=3,解得Qs=5.

(2)證明：若a”az,ait???,當(dāng)是等差數(shù)列，則a,,=2〃-1.

①當(dāng)〃=3時(shí)，由(1)知a=5,此時(shí)結(jié)論成立.

②假設(shè)當(dāng)力=A(4N3,AGN*)時(shí)，結(jié)論成立，則&=24-1.

由aCL+a2cL+&CLH----Fa￡：」=(a*+i—1)2'",A'3,

對(duì)該式倒序相加，得E+a*)2i=2(a+Ll)?2一,

所以&+I—a?=ai+l=2,即a*+i—2A—1+2=2(A+1)—1,

所以當(dāng)〃=4+1時(shí)，結(jié)論成立.

根據(jù)①②，可知數(shù)列｛a｝是等差數(shù)列.

2.(2019?南師附中等四校聯(lián)考)設(shè)集合材=｛1,2,3,4,集合兒8是."的兩個(gè)

不同子集，記I/in8表示集合4c6的元素個(gè)數(shù).若其中1,則稱(4

而是"的一組〃階關(guān)聯(lián)子集對(duì)(04,而與(8,⑷看作同一組關(guān)聯(lián)子集對(duì))，并記集合.〃的所有

n階關(guān)聯(lián)子集對(duì)的組數(shù)為a”.

(1)當(dāng)勿=3時(shí)，求ara2；

(2)當(dāng)卬=2019時(shí)，求｛a｝的通項(xiàng)公式，并求數(shù)列｛a,,｝的最大項(xiàng).

解：(1)當(dāng)/〃=3時(shí)，易知ai=3X4=12,a?=3.

2019n21H

⑵aLCKi'XaX[d?>9-?(2~-l)+Ch19-??2°'""+…+C3-2?9--"+…+

Q2019-/?

r2018-n1

5019-/??2+CK：：->2°]=Go19——.

2018-z?1

?+io3—1

rU0192(2019-/7)(32°18-f-l)

吁—=~(〃+)(》一-)>1,

an32i3

C23”----------------------

化簡(jiǎn)，得(1008-2/7)?32(,18-">1009-/7,(*)

當(dāng)〃W503時(shí)，(*)式成立；

當(dāng)504W.W1008時(shí)，(*)式不成立；

當(dāng)009時(shí)，不成立；

所以ai<a2<a3<--<am<aso.i,

H5(M>a.505>%06>>a，2018，

所以a<a2VH3<…Va503V/018,

Q1515_]

所以數(shù)列｛4｝的最大項(xiàng)為酮,=C瑞—.

3.(2018?南京、鹽城一模)已知〃GN*,+京—+…+HTC+…+游飛：.

⑴求"⑴,<(2),f(3)的值;

(2)試猜想的表達(dá)式(用一個(gè)組合數(shù)表示)，并證明你的猜想.

解：⑴由條件，〃/??=(x+2ce+…+?-匕+?“+期飛；：，①

在①中令〃=1,得/1(1)=C；C；=L

在①中令〃=2,得2f(2)=C第;+2C；C=6,得/'(2)=3.

在①中令〃=3,得3R3)=C奴+2Cd+3c淳=30,得f(3)=10.

⑵猜想f(〃)=威一(或f(n)=CBJ.

欲證猜想成立，只要證等式成射=(X+2cN,+…+zcr'c;;+-+啟飛：成立.

法一：(直接法)當(dāng)〃=1時(shí)，等式顯然成立.

當(dāng)心2時(shí)，因?yàn)樘?六看萬/?!

（71）!（〃一不）!

______（〃-1）!_________1

二〃X（L1）!（-）!二4一，

故zcr'o（￡）cL=nc3cL.

故只需證明fiCL-1/JC°-IC"+/?CL-ICL+,,,+nC!,-!,C；T'+…+M；；二;C；：T.

即證忌I=c3雋+c3c：+…+c'-\c-'+-+crier1.

而cL=L,故即證（XT=C3C；+cLCT+…+c＞；c廠+……+H②

由等式（1+X）21=（1+X）"T（1+X）"可得，左邊x"的系數(shù)為aT.

而右邊（1+M"'（i+x）”=（c，i+cLx+cL/+…+C-；x"'）（c：+c：x+cis^+…+（^y）,

所以x"的系數(shù)為+c3c；r+…+c匚：?，7-'+???+cr：c；,.

由（1+X）2I=（1+X）"T（1+X）"恒成立可得②成立.

綜上，F(xiàn)(/?)=投1成立.

法二：(構(gòu)造模型)構(gòu)造一個(gè)組合模型，一個(gè)袋中裝有(2/7—1)個(gè)小球，其中"個(gè)是編號(hào)為

1,2,…，〃的白球，其余(〃一1)個(gè)是編號(hào)為1,2,…，〃一1的黑球.現(xiàn)從袋中任意摸出〃

個(gè)小球，一方面，由分步計(jì)數(shù)原理其中含有r個(gè)黑球((〃一二)個(gè)白球)的〃個(gè)小球的組合的個(gè)

數(shù)為OWrW〃-1,由分類計(jì)數(shù)原理有從袋中任意摸出〃個(gè)小球的組合的總數(shù)為

pOpnIplp?/—I?pi-Ip/;—74-l

L/?-〃十C/?—tv??i-"""iC/?—iL-/?H--FC^lci.

另一方面，從袋中(2〃一1)個(gè)小球中任意摸出〃個(gè)小球的組合的個(gè)數(shù)為(X1.

故C"C3&+—???+c?；—+???+c：二乙,余下同法一.

法三：(利用導(dǎo)數(shù))由二項(xiàng)式定理，

得(1+x)"=C，+C*++…+C"x".(§)

兩邊求導(dǎo)，得〃(l+x)"T=C+2《x+…+式狀7+-+^/-,.(4)

③X④，得〃(1+X)=(C°+C；x+Ctf+,?,+C"nX),(C,',+2c…+lCnX~'+…+if^nX

⑤

左邊/的系數(shù)為MXT.

右邊x"的系數(shù)為Cc；；+2C巡t+…++…+成麓=(X+2C初+…+rCCL+…

+nC"C"-1=C?CL+2CN,+…+rC：~'C+…+總廠'C".

由⑤恒成立，得能“T=(X+2Cd+?“+r(:廣匕+…+能-以

故f(〃)=(X-i成立.

法四：(構(gòu)造模型)由nf5)=C初+2cd+-+/€7'€；；+…

2

得1M=/-七：+5-Dcrcr'+…+dc：=4N+(〃-1)CN+…+C7匕，

所以2nf(n)—(z?+l)(C紀(jì)+CiC：+…+C「'C》=(A+1)(CX：+C『d+…+CiC》.

構(gòu)造一個(gè)組合模型，從2〃個(gè)元素中選取5+1)個(gè)元素，則有C夕種選法，現(xiàn)將2〃個(gè)元

素分成兩個(gè)部分〃，n,若5+1)個(gè)元素中，從第一部分中取〃個(gè)，第二部分中取1個(gè)，則有

CX；種選法，若從第一部分中取5—1)個(gè)，第二部分中取2個(gè)，則有優(yōu)種選法，…，由分

類計(jì)數(shù)原理可知喏'=或：+&-底+…+CN.

故2"(〃)=(〃+1)咽'，

〃+1(2〃)!(2n-l)!??

所以f?=

2n(n+1)!"-1)!n\(〃一1)!.Qi

4.(2018?蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研(二))已知函數(shù)f(x)=5+m)25(〃丘町，xGR).

(1)當(dāng)〃=2時(shí)，若/^，十〃-2)=m4求實(shí)數(shù)月的值；

(2)若F(2)="+。(勿GN*,0<〃<1),求證：4(〃+。)=1.

解：(1)當(dāng)〃=2時(shí)，f(x)=(>+，￡)"=說/+或父/+黑￥3(m尸+(；笈(、向)3+。&(、1)'

+成雨&

所以f(2)+/"(—2)=(2+/尸+(―2+、同)5=2[6(4)2'+戊(4)嶗+煤(4廠]=

2(5X16^/5+10X4X5^5+25^5)=610^/5,

所以力=610.

(2)證明:因?yàn)閒(x)=(x+/)2e=C=&"+'+C〉W"季+低小/7(/)2+…+c處;

(南尸,

所以f⑵=%+2山+明如一+%122"7(m)2+...+儲(chǔ)；(胡嚴(yán)1,

由題意知，f⑵=(#+2)25=三+。(卬GN*,0<a<l),

首先證明對(duì)于固定的"GN*，滿足條件的勿，。是唯一的.

,

假設(shè)F⑵=(2+乖m+。|=股+。2(的，z/feGN*,0<aKl,0<a2<l,明#股，a,

W。2),

則如一/??—o2—ai#0,而如一色GZ,a2—a1G(-1(0)U(0,1),矛盾.

所以滿足條件的勿，。是唯一的.

下面我們求歷及a的值：

2n+,J+

因?yàn)锳2)-A-2)=(2+/)z小一(_2+乖嚴(yán)=(2+y/5)+(2-y/5)'"'=2［CL+l

2n+1

2+CL+1-221(，3)2+或+醫(yī)1(m)，+...+嗡+4(小)力,

顯然f(2)-f(-2)GN*.

又因?yàn)楣砸?G(0,1),故(小一2戶十/(0,1),

即A-2)=(-2+^/5)2n+'=(V5-2)2n+'e(0,1).

所以令勿=2［或+啰小+己+|22'1(小尸+成小?22-(4”+…+C騫2(/產(chǎn)］,

。=(-2+乘嚴(yán)I

則勿=F(2)-2),a=f(—2),又加+。=/'(2),

所以。(0+a)=/?(—2)?f⑵=(2+4產(chǎn)田?(一2+4產(chǎn)+|=(5-4產(chǎn)+'=1.

B組一一大題增分練

2〃(一1)'2〃(—1)7?/

1.(2019?南通、泰州等七市三模)設(shè)只=Zc「'&=Z~

7=0"J=\

(1)求2R—Q的值;

(2)化簡(jiǎn)nP?—Q,：.

解：(1)/^=70—7r+A—73+74=1,

CiCiCiLtCio

1,23,410

Q=-77+72-73+74=

viLiLiLio

所以2g-Q=0.

⑵設(shè)T=nP-Q,?

則7=借■-#----1-閨

5〃C2n5”

鄉(xiāng)-視+…十倒

J2〃C-2/?V2zy

nn~\,〃一2〃一3

「0I「2「31----F72T@

V>2n5〃vy2/jvz2n

因?yàn)閏L=dr\

nn-l,n—2—n

所以T=「2〃I"I「％一：?「2。一3I…+

L>2”V/2nv>2n5"

—n1—〃2一刀3一〃_2z->

z-*lI「2z-,3II

匕2〃L?2〃5“L*2〃

①+②得，27=0,即戶“一以=0,

所以nP?—Q?=Q.

2.(2019?南京鹽城二模)平面上有2〃(〃23,〃GN*)個(gè)點(diǎn),將每一個(gè)點(diǎn)染上紅色或藍(lán)色.從

這2〃個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)，記這3個(gè)點(diǎn)顏色相同的所有不同取法的總數(shù)為T.

(1)若〃=3,求7的最小值；

(2)若"24,求證：7^2Cl

解：(1)當(dāng)〃=3時(shí)，共有6個(gè)點(diǎn).

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為0個(gè)或6個(gè)，則7=或=20；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為1個(gè)或5個(gè)，則7=或=10；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2個(gè)或4個(gè)，則7=方=4；

若染紅色的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3個(gè)，則7=《+以=2.

因此7的最小值為2.

(2)證明：因?yàn)閷?duì)任意的〃，ACN*,n^k,都有C3-C：=C尸＞0,所以C如＞C：.

設(shè)2〃個(gè)點(diǎn)中含有0W2〃)個(gè)染紅色的點(diǎn)，

①當(dāng)pG{0,1,2}時(shí)，

?33(2n—2)(2/?—3)(2〃-4),(〃一1)(〃一2)(2〃-3)

因?yàn)椤?4,所以2〃-3>〃，

,?n(7?-1)(〃一2),?,

于是7>4X-----------------=4cA2a.

6

②當(dāng),￡{2〃—2,2/7—192〃}時(shí),

T=C：2CL-2,

同理可得7>2Ct

③當(dāng)3W/?W2/?-3時(shí)，

7=C：+d°,

設(shè)為D)=C；+C〉.，3<夕〈2〃一3,

當(dāng)3W夕＜2〃一4時(shí),

f(p+1)—f(p)=C'I+CZLp—1C>C^n-pCpC?”

顯然p豐2n—p—l,

當(dāng)夕>2〃一夕一1,即〃W°W2〃一4時(shí)，Ap+1)>f\p),

當(dāng)pV2〃一p—1,即1時(shí),Ap+1)<f(p)?

即f(ji)</(/?+1)<—<f(2p-3),A3)>f(4)>—>/'(/?).

因此f(p)=2Ct即7>2Ct

綜上，當(dāng)時(shí)，疹2c.

3.(2019,蘇錫常鎮(zhèn)一模)已知f(n)------1-7^-.g(〃)=揖+"+母----F

5L1O5什2V65Lio

其中〃GN",〃22.

(1)求f(2),A3),g⑵,g(3)的值;

(2)記方(〃)=f(〃)一g(〃)，求證：對(duì)任意的mGN",應(yīng)》2,總有4⑵＞生，.

解：(1"(2)=卷=卷，f(3)=汾凈靠

⑵)！_______(2幻！_________

..C以一C打2k!■k\一(4一2)!?(4+2)!

⑵證明:二C婢2=⑵+2)!

(A+1)!?(:+1)!

(A+1)*12*4(A+2)-(A+l)k(A-1)

(24+2)(24+1)(衣+2)

(A+l)(4A+2)

(2A+2)(2A+1)(A+2)

1

=k+2f

C“一C”？1

???力(〃)=/"(〃)一g(〃)=￡n,k=2工人」=￡n,k=277T.

5。+2A■十N

m—1

下面用數(shù)學(xué)歸納法證：對(duì)任意的〃eN’,勿22,總有人(23>亍.

I11371

當(dāng)勿=2時(shí)，力(4)=彳+鼻+/=或>3，結(jié)論成立；

456602

3711113743724

當(dāng)勿=3時(shí)，力(8)=示+5+d+w+77；>昔+示=昔+訴>1,結(jié)論成立.

607891060106060

t—1

假設(shè)當(dāng)如=才1》3)時(shí)，結(jié)論成立，即人(2')>??；

H,[+J-1H,+I>H,+,+

則當(dāng)〃='+1時(shí)，h(2')=A(2)+2+32+42+2~~~2+32+4'

1.1,.1

2'+52'+62,+1+2'

??一+嘉「金(2-3)2f-22

,?(23,>0,

(2'+3)(2'+4)(2.+2)

113

**,2f+3+2%4>2/+1+2，

1111112'-2

又r+I>f+1+r+l

2'+5T2'+62+22+22+22f+1+2-2H1+2,

32-2t

2f+1+2FrT+2=2,

當(dāng)m=t+1時(shí)，結(jié)論成立.

m—1

綜上，對(duì)任意的mWN*,卬》2,總有夙2)＞亍.

4.(2018?常州期末)對(duì)一個(gè)量用兩種方法分別算一次，由結(jié)果相同構(gòu)造等式，這種方法

稱為“算兩次”的思想方法.利用這種方法，結(jié)合二項(xiàng)式定理，可以得到很多有趣的組合恒

等式.如：考察恒等式(l+x)”'=(l+x)"(l+x)"("eW),左邊x"的系數(shù)為CM,而右邊(1+

x)"(l+x)"=(比+Cb+…+Cx")(比+C；x+…+U爐)，4的系數(shù)為(：匕：；+C：C；T+…+C或=

(c°)2+(ci)2+(cT+…+c)②，因此可得到組合恒等式％=(c°)2+(c!,)2+?)2+…+(3：

(1)根據(jù)恒等式(l+x)"+"=(l+x)”(l+x)"(w,兩邊X"(其中*GN,AWW,

的系數(shù)相同，直接寫出一個(gè)恒等式；

(2)利用算兩次的思想方法或其他方法證明：

z[f],〃=0蟆2"九仁場(chǎng),其中囿是指不超過郛J最大整數(shù).

解：⑴*產(chǎn)CW+ClC尸+…+C域

((Y-I-1)2"/

(2)證明：考察等式2+x+f—,等式右邊的常數(shù)項(xiàng)為：*=(X,

、X)XX

￡r

因?yàn)?2+x+：)=￡n,r=0C；?2"一=￡n,r=0C：?*

“=0"0丫

當(dāng)且僅當(dāng)r=24時(shí)，產(chǎn)仔為常數(shù)，

等式左邊的常數(shù)項(xiàng)為：%=0C理t七冊(cè)，

所以g[1],4=0C煦f腰*=圖成立.

第二講|數(shù)學(xué)歸納法

題型(一)

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式

主要考查利用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的代數(shù)等式.

［典例感悟］

［例1］(2019?南師附中、天一中學(xué)四月聯(lián)考)設(shè)(t+x)"=期(t)+團(tuán)(。了+a(。步+…

+a,(t)x'+…+a〃(t)x",其中常數(shù)tGR,—N*,ar(t)(r=0,1,2,力是與x無關(guān)的常

數(shù).

(1)若〃=4,a3(t)—32,求t的值；

111O^-LOX(-1,)11

(2)當(dāng)〃=3勿，/zz￡N時(shí)，求證：Z弧(1)=----------z----------.

r=0

［解］(1)因?yàn)椤?4,全(。=32,所以C；?t=32,因此￡=8.

(2)證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：

由題意得，⑴=嫖=%r=0,1,2,???,m.

2：'+2X(—1)3

①當(dāng)勿=1,即〃=3時(shí)，Z，劭(1)=C；+C：=2,---------------------=2,所以所證等式

r=0

成立.

②假設(shè)當(dāng)初=A(A￡N"),即〃=3左時(shí),所證等式成立，即￡左r=0甌(1)=服+Cirl-----卜

"2"+2X(-1)3k

4+1

則當(dāng)R=4+l,即〃=34+3時(shí)，Za^r(1)=CL+3+C3A+3+,,,+C3A+3+,?,+C3A+3+CaA+3?

r=0

63/+3」_r3r+2」_「3/42、」_/「3r+2_|_八3，-+1\「3r+3」_or?3r+2_|_「3r+l3r+3_(_八3尸1_2\

XC3A-+3—5什2十54+2—十115*+i十—C3A-+1~rZC3A-+1rC3A-4-1—+58)

+2d泮+C*)+(C*+C給=廢+3點(diǎn)*+3C：*+戊泮,其中r=0,1,2,…，k-l.

所以所左+1,r=0即⑴=—+(%+3%+3%+服)+…+(或+3CL+3CF+CD

+…+(煜經(jīng)+3C獷?+3C獷*1+C勖+C：M=3(d+或*+e*+…+C勃-(C?*+Ct+-+d：)=

2.+2義(—1)”8X2"-2X(—1)“

3X2"—Ek,r=0加⑴=3X2”-

33=

2"+3+2X(—1)3*+3

3

所以當(dāng)勿=4+1,即〃=3"+3時(shí)，所證等式也成立.

n

1n9+2x(―1)

綜上，當(dāng)〃=3%，/￡N*時(shí)'，Z劭(1)=------------------

O

r=0

［方法技巧］

(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型，其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等

式兩邊各有多少項(xiàng)，以及初始值外的值.

(2)由到n=k+l時(shí)，除考慮等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用〃=〃時(shí)的式子，即

充分利用假設(shè)，正確寫出歸納證明的步驟，從而使問題得以證明.

[演練沖關(guān)]

(2018?蘇州期末)在正整數(shù)集N*上定義函數(shù)y=f(n),滿足f(n)"(〃+1)+1]=2[2—

且/'(1)=2.

9

(1)求證:y(3)-f(2)=77；

(2)是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得/?(〃)=——-——+1對(duì)任意正整數(shù)〃恒成立，并證明你

的結(jié)論.

4-/(/?)

解：(1)證明：由/'(〃)[/、(〃+1)+1]=2[2—F(〃+l)],變形得F(〃+D

F(〃)+2.

17

由AD=2,得r(2)=-,再得A3)="

z□

所以f⑶-F⑵/一731=9*

OZ1U

(2)法一：(數(shù)學(xué)歸納法)由1(2)

741

f(3)=p可得a=飛，

猜想：對(duì)〃GN”，均有f[n)——+1.

-5

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)〃=1時(shí)，等式顯然成立；

②假設(shè)當(dāng)〃=〃(4GN*)時(shí)，等式成立,

即AA)=-----二一+1.

5V2；5

3

4一f(外3+1—廣(外1一f(幻十1______2

則/U+1)f(公+2=f(外-1+3=3-=3-

1一一(幻一11-/(A)

F(A)WL否則F(2)=…=f(A)=1,但/'(2)Wl.

即〃=4+1時(shí)，等式也成立.

由①②知，對(duì)任意〃WN+,

均有/(/?)=-------------+1.

5k2J5

41

綜上所述，存在4=一口力=W滿足題意?

55

法二：(轉(zhuǎn)化法)因?yàn)椤ǖ?

所以問題轉(zhuǎn)化為：是否存在實(shí)數(shù)a,b,使得1/.(〃；_1+4是公比為一|的等比數(shù)列.

4—f(/?)

證明如下：由⑴得改+1)=77K,

口】/?、2-2/(/?)

即f(〃+D_】=/、(〃)+2'

__1__________4(刀)+2-(〃)-1+3

所以了(〃+1)—1=-2[2(〃)-1]=一2[2(〃)-1]

13.1

2~2?2(〃)-6

設(shè)f"+；)—1+b=T")—l

16

=3

5-5-公比為一萬的等比數(shù)列.

41

綜上所述，存在a=y，Q灑足題意.

題型(二)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

主要考查用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式.

［典例感悟］

［例2］(2019?蘇錫常鎮(zhèn)二模)已知數(shù)列{