2021-2022學年滬教版數(shù)學八年級上學期同步講義 第12講一元二次方程章節(jié)復習-教師版

第12講一元二次方程章節(jié)復習-解析版

教學內(nèi)容

精講精練

【知識梳理】

1.一元二次方程的概念

只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程.

2.一元二次方程的一般形式

'—'般形式：ax2+bx+c=O（^a0）,其中ox?是二次項，。是二次項系數(shù)；是一次項，b是一■次

項系數(shù)；c是常數(shù)項.

3.一元二次方程的解法

解法1:直接開平方法：適合類型：（x+a）2=6,當6<0時，原方程無實數(shù)解.

解法2：因式分解法：

（1）將方程右邊化為0;

（2）將方程左邊的二次三項式分解為兩個一元一次方程；

（3）令每一個因式分別為0,得到兩個一元一次方程；

（4）分別解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解.

解法3：配方法：

（1）先把二次項系數(shù)化為1：方程兩邊同除以二次項的系數(shù)；

（2）移項：把常數(shù)項移到方程右邊；

（3）配方：方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方，把方程化為（x+，"）2=〃的形式；

（4）當〃20時，用直接開平方法解變形后的方程.

解法4：公式法：

（1）把方程化為一般形式，進而確定a,b,c的值.（注意符號）

（2）求出〃-4"的值.（先判別方程是否有根）

（3）在〃-4這20的前提下，把a,6,c的值代入求根公式，求出方程的根.

4、一兀二次方程4+云+°=0（4wO）的根的判別式是A=/-4ac.當A>0時，方程有兩個不相

等的實數(shù)根占=a拽三%=士亞三還；當A=0時，方程有兩個相等實數(shù)根

2a2a

占=為=_2；當公<0時，方程沒有實數(shù)根.

-2a

5、韋達定理：如果無1，%是一元二次方程加+6x+c=。（aw。）的兩個根，由求根公式法

這是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

6、二次三項式的因式分解：

（1）形如辦2+6x+c（a,b,c都不為0）的多項式稱為二次三項式；

（2）當A=/-4ac20,先用公式法求出方程辦2+6*+c=0（a*0）的兩個實數(shù)根西，x2,

再寫出分解式依,+bx+c=a（x-xj（x-x2）;SA=Z>2-4ac<0,方程

ax2+6x+c=0（a*0）沒有實數(shù)根，ax2+fcv+c在實數(shù)范圍內(nèi)不能分解因式.

7、一元二次方程的應用

列一元二次方程解應用問題的步驟和解法與前面講過的列方程解應用題的方法步驟相

同，但在解題中心須注意所求出的方程的解一定要使實際問題有意義，凡不滿足實際問題的解

（雖然是原方程的解）一定要舍去.

列一元一次方程解應用題的步驟：

①審題；②設未知數(shù)；③找等量關(guān)系；④列方程；⑤解方程；⑥寫答句.

【例題精講】

【習題1】如果關(guān)于X的方程￡々2+16=0和￡_3"12=0有相同的實數(shù)根,那么左的值是（）.

A.7B.7或YC.-4D.4

【難度】★

【答案】B

【解析】：關(guān)于X的方程V-左2+]6=0和￡-3k-12=0有相同的實數(shù)根，

，5-16=12+3左，解得：自=7,左2=7.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的解的概念.

【習題2】若加是關(guān)于x的一■兀二次方程無2+加+〃2=0的根，且加40,貝！]根+〃的值為()

A.-1B.1C.--D.-

22

【難度】★

【答案】A

【解析】?機是關(guān)于X的一元二次方程f+加+〃2=0的根，

m2+nm+m=0,即m(m+〃+1)=0

Vm^Ofm+n=—l.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的解的概念.

【習題3】用配方法解方程犬-4x+2=0,下列配方正確的是().

A.(x-2)2=2B.(x+2)2=2C.(x-2)2=-2D.(x-2)2=6

【難度】★

【答案】A

【解析】配方時，方程兩邊是加上一次項系數(shù)一半的平方.

【總結(jié)】本題主要考查對配方法的理解及運用.

【習題4】一元二次方程尤2-2x-l=0的根的情況為().

A.有兩個相等的實數(shù)根B.有兩個不相等的實數(shù)根

C.只有一個實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【難度】★

【答案】B

【解析】一元二次方程V-2xT=0的根的判別式為A=(-2)2-4x(一1)=8>0,則方程有

兩個不相等的實數(shù)根.

【總結(jié)】本題主要考查利用根的判別式不解方程判定方程根的情況.

【習題5】若關(guān)于x的一元二次方程「-2尤+m=0沒有實數(shù)根，則實數(shù)小的取值范圍是

().

A.m<\B.m>—1C.m>\D.m<—l

【難度】★

【答案】c

［解析】?.?關(guān)于X的一元二次方程x2-2x+m=0沒有實數(shù)根，

A=(-2)2-4m<0,解得：m>l.

【總結(jié)】本題主要考查利用方程根的情況根據(jù)判別式求字母系數(shù)的取值范圍.

【習題6】若方程混+fav+c=O(a*0)中，a,6,c滿足a+6+c=0和a-b+c=O,則方程的根是

().

A.1,0B.-1,0C.1,-1D.無法確定

【難度】★★

【答案】C

【解析】答案C中滿足這個方程，則1和-1是這個方程的兩個根。

【總結(jié)】本題主要考查利用方程的根的概念及其應用.

【習題7】已知關(guān)于X的方程9-(4+2"+6-左=0有兩個相等的正實數(shù)根，則上的值是

().

A.2B.-10C.2或-10D.2百

【難度】★★

【答案】A

【解析】???關(guān)于x的方程/一(左+2)x+6-左=0有兩個相等的正實數(shù)根，

，A=[—優(yōu)+2)?一4(6—左)=0,整理得：/+85-20=0,解得：瓦=-10,k2=2.

當％=2時，方程為尤?-4x+4=0,解得：x1=x2=2,當％=-10時，方程為x?+8x+16=0,

解得：x1=x2=-4.所以左=2.

【總結(jié)】本題主要考查利用方程根的情況根據(jù)判別式求字母系數(shù)的取值范圍，注意正實數(shù)根的

要求.

【習題8】某商品原價200元，連續(xù)兩次降價a%后售價為148元，下列所列方程正確的是

().

A.200(1+a%)2=148B.200(1-a%)2=148

C.200(1-2a%)=148D.2000-/%)=148

【難度】★★

【答案】B

【解析】現(xiàn)在的量=原來的量X(1-a)"(a為降低率，〃為期數(shù)).

【總結(jié)】本題主要考查增長率的運用.

【習題9】某班同學畢業(yè)時都將自己的照片向全班其他同學各送一張表示留念，全班共送1035

張照片，如果全班有x名同學，根據(jù)題意，列出方程為().

A.x(x+l)=1035B.尤(x-l)=1035x2

C.x(x-l)=1035D.2x(x+1)=1035

【難度】★★

【答案】C

【解析】互送東西時，列方程不需要除以2.

【習題10】如果一元二次方程￡+3x-2=0的兩個根為石、%，那么百+多與西々的值分別為

().

A.3,2B.-3,-2C.1,-1D.-3,2

【難度】★★

【答案】B

【解析】方法一：解一元二次方程，再計算兩根之和、積；

方法二：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得為+芍=-2，

aa

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的根的問題.

【習題11】若關(guān)于尤的一元二次方程d+E+4左2_3=0的兩個實數(shù)根分別是%,馬，且滿足

xI+x2=x1?x2.則上的值為（）.

A.-1或」B.-1C.-D.不存在

44

【難度】★★

【答案】C

【解析】由韋達定理可得：西+=_左，xlx2=4k2-3.

3

2

：%+%-k=4k-3?解：瓦=T,k2=-.

當上=-1時，方程為/一x+l=O,其判別式小于零，則不符合題意；

當左=1時，方程為f+Jx-J=O,其判別式大于零，符合題意。

444

【總結(jié)】本題主要考查對韋達定理的理解及應用.

【習題12】如果和x,是方程Y一3x+l=0的兩個根，那么工+工的值等于（）.

%x2

A.-3B.3C.-D.--

33

【難度】★★★

【答案】B

【解析】由韋達定理可得：西+工2=3,玉工2=1'—+—=X'+^2=1=3.

【總結(jié)】本題主要考查對韋達定理的理解及應用.

【習題13】對于任意實數(shù)加，關(guān)于x的方程（1+l）f-2〃比+畫+4）=0一定（）.

A.有兩個正的實數(shù)根B.有兩個負的實數(shù)根

C.有一個正實數(shù)根、一個負實數(shù)根D.沒有實數(shù)根

【難度】★★★

【答案】D

【解析】方程的判別式A=（―2mf-4（/n2++4）=-4（zn4+4m2+4）=-4（〃,+2）＜。，

???原方程沒有實數(shù)根.

【總結(jié)】本題主要考查利用根的判別式不解方程判定方程根的情況.

【習題14】關(guān)于x的方程犬+p無+g=0的兩根同為負數(shù)，則（）.

A.p〉0且q>0B.p〉0且q<0

C.〃<0且q〉0D.p<0且q<0

【難度】★★★

【答案】A

【解析】設關(guān)于X的方程￡+px+4=0的兩根為國，芍，則西<0,x2<0.

由韋達定理得：+x2=-p<0,x^2=q>0,

p>0,q>0.

【總結(jié)】本題主要考查對韋達定理的理解及應用，難度較大，注意對題意得準確理解.

【習題15】關(guān)于x的方程(《1-1濡+(〃z+l)x+3〃z+2=0,當機時為一元一次方程；當機時

為一元二次方程.

【難度】★

【答案】m=l；m=-l.

【解析】考查一元二次方程和一元一次方程的定義.

【習題16】已知方程3加—辰-1=0和ox?+2Z?x-5=0,有共同的根-1,貝！Ja=,b=

【難度】★

【答案】a=l,b=-2.

【解析】?：-1是方程頭發(fā)_辰_1=。和(XV2+2bx-5=0的根，

3a+b-1=0且a-26-5=0,...聯(lián)立后可得：a=l,b=—2.

【總結(jié)】兩個方程有共同的根，則說明這個根同時滿足這兩個方程.

【習題17］已知尤=-1是關(guān)于x的方程2/+依一/=。的一個根，貝!J”

【難度】★

【答案】-2或1.

【解析】?：x=-l是關(guān)于X的方程2丁+依-。2=0的一個根，

2—o—O2=0,解：a=—2或1.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程根的概念.

【習題18】已知方程％+有兩個相等的實數(shù)根，貝心=.

【難度】★

Q

【答案】4

4

【解析】???方程d-3x+左=0有兩個相等的實數(shù)根，

△=(—3)2—4左=0,貝!)左=:.

【總結(jié)】本題主要考查利用方程根的情況根據(jù)判別式求字母系數(shù)的值.

【習題19】若關(guān)于x的一元二次方程f+2元-左=0沒有實數(shù)根，貝也的取值范圍是.

【難度】★

【答案】k<-l.

【解析】?.?關(guān)于X的一元二次方程尤2+2尤_左=0沒有實數(shù)根，

/.22+4k<0,則一<一1.

【總結(jié)】本題主要考查利用方程根的情況根據(jù)判別式求字母系數(shù)的取值范圍.

【習題20】若方程Y+px+q=0的兩個根是-2和3,則0,q的值分別為.

【難度】★

【答案】P=T,q=-6.

【解析】方法一由韋達定理得：(-2)+3=-p,(-2)x3=^,p=-l,g=-6；

方法二：因為方程Y+px+q=0的兩個根是-2和3,則4-2p+q=0,9+3p+q=0,解得:

p——1,Q——6.

【總結(jié)】本題主要考查對方程的根的概念的理解和運用.

【習題21］已知關(guān)于x的一元二次方程(4-1)/-苫+/-1=0的一個根是0,那么。的值為.

【難度】★★

【答案】-1.

［解析】?.?關(guān)于X的一元二次方程(a-1)Y-x+/-1=0的一個根是0,

，.2—1=0,貝!Ja=±l,a—1^0>貝！Ja=—1.

【總結(jié)】本題一方面考查一元二次方程根的概念，另一方面考查一元二次方程的概念.

【習題22】當r時，關(guān)于x的方程尤2-3x+r=0可用公式法求解.

【難度】★★

9

【答案】r<7.

4

【解析】關(guān)于x的方程Y-3X+UO可用公式法求解，則說明方程有兩個實數(shù)根.

即A=(-3『-4/20,解得：t<^.

【總結(jié)】本題主要考查對公式法的準確理解.

【習題23】若一元二次方程心2-2x+l)-2Y+x=0有實數(shù)根，則上的取值范圍是.

【難度】★★

【答案】kN-；.

4

【解析】方程可化為：9-2)/+(1-2k)x+k=Q,

二?方程有實數(shù)根，.??△=(1-2刈2_4依-2)心0,解得：k>~.

【總結(jié)】本題主要考查利用方程根的情況根據(jù)判別式求字母系數(shù)的取值范圍，注意要先將方程

化為一般式之后，才能求根的判別式的值.

【習題24】若(a+0)(a+6+2)=8,則a+b=.

【難度】★★

【答案】-4或2.

【解析】若3+加3+8+2)=8,則(〃+[+2(°+乃-8=0,

，（a+6+4）（a+b-2）=0,貝！Ja+6=7■或2.

【總結(jié)】本題主要考查換元思想的運用.

【習題25]已知2d+3x+l的值是10,則代數(shù)式41+6X+1的值是.

【難度】★★

【答案】19

【解析】???2/+3x+l=10,，2/+3苫=9,二4/+6尤+l=2（2d+3尤）+l=2x9+l=19.

【總結(jié)】本題主要考查整體代入思想的運用.

【習題26】如果犬-2（根+1卜+源+5是一個完全平方式，則機=.

【難度】★★

【答案】2.

【解析】如果f-2（%+l）x+〃/+5是一個完全平方式，則1一2（7〃+1）芯+病+5=0有兩個

相等的實數(shù)根，二公=[-2（7〃+1）『-4（7〃2+5）=0,整理得：8根-16=0,解得機=2.

【總結(jié)】本題主要考查根判別式的運用，以及對完全平方公式的準確理解.

【習題27]在實數(shù)范圍內(nèi)因式分解：%2-4%-7=.

【難度】★★

【答案】（x-2-Vn—2+Vn）.

【解析】?.?方程f-4x-7=0的兩個根為X]=2+Vi~T,x2=2.-V1I,

x2-4-x—7=（x-2—y/11Jx—2+y/Tl）.

【總結(jié)】本題主要考查如何利用一元二次方程分解二次三項式.

【習題28]某食品連續(xù)兩次漲價10%后價格是a元，那么原價是

【難度】★★

171

【答案】—

100

171

【解析】設原價為X,則x(l+10%)2=a,則x=

【總結(jié)】本題主要考查增長率的應用.

【習題29】長方形鐵片四角各截去一個邊長為5a九的正方形，而后折起來做一個沒蓋的盒子，鐵

片的長是寬的2倍，作成的盒子容積為1.5立方分米,則鐵片的長等于，寬等于

【難度】★★

【答案】寬為20an,長為40cM.

【解析】設鐵片的寬為X,則長為2x,根據(jù)題意，可得：5(X-5X2X2X-5X2)=1500,

整理得：X2-15X-100=0,解：百=20,芍=-5(舍去).

則鐵片的寬為20c“z,長為40cm.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程應用中的面積問題.

【習題30】已知一元二次方程d-3x-5=0的兩根分另U為不、々，那么不2+尤2?的值為

【難度】★★★

【答案】19.

【解析】由韋達定理得：X1+X2=3,XrX2=-5,貝U/2+=(玉+%2)2_2%=]9.

【總結(jié)】本題主要考查對韋達定理的理解及應用.

【習題31］已知無2一了一1=0,貝1|一元2/+2009的值為.

【難度】★★★

【答案】2010.

【解析】,.?9一工一1=0,，》2=x+l.

/,-x3+2d+2009=-x(x+1)+2/+2009=x2-x+2009=1+2009=2010.

【總結(jié)】本題主要考查整體代入思想的運用.

【習題32］用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)(21)2=5；(2)x2+10x+9=0；

(3)5Mx-3)=(x+l)(x-3)；(4)3X2-4.X+2=0.

【難度】★

【答案】見解析

【解析】(1)(2X-1)2=5,開平方得：2x-l=±V5,貝3LX?上3,

(2)d+10尤+9=0,十字相乘可得：(x+l)(x+9)=0,則百=-1,巧=-9；

(3)5x(x-3)=(x+1)(%-3),提取公因式：(x-3)(5x-x-l)=0,則玉=3,巧=；；

(4)3f_4x+2=0,方程的判別式A=(-4)2-4X3X2=-8<0,則方程無實數(shù)根.

【總結(jié)】本題主要考查如何選擇合適的方法求解一元二次方程的根.

【習題33］用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠?

(1)2x2-8x+5=0；(2)2X2-20X+25=0.

【難度】★

【答案】見解析

【解析】(1)方程2f-8x+5=0的判另U式為A=(—8)2-4x2x5=24,

8+2V64+V68-2V64-V6

則再

4242

(2)方程2d一20x+25=0的判另U式為A=(-20)2-4x2x25=200,

則x_20+10>/2_10+572x_20-107210-572

、、―4——2—，"-4——2―

【總結(jié)】本題主要考查如何選擇合適的方法求解一元二次方程的根.

【習題34］在實數(shù)范圍內(nèi)將下列二次三項式分解因式:

(1)%2-7%-78;⑵2%2+4X-3;

(3)—3x2—5xy+y1；(4)2(2x+y)2+(2x+y)-5.

【難度】★

【答案】見解析.

【解析】(1)x2-7x-78=(x-13)(x+6)；

-4+2V10-2+V10-4-2V10-2-710

(2)2f+4%—3=0的兩根為為=9Xi——

42142

/

2

則2x2+4x-3=2x+x+

(3)方程一3尤2一5移+9=o的兩根為為=5y+歷y_5y-V37y

X2=

-6"-6

(5+國『,5-歷

貝I]-3x2-5xy+y2=—3XH----------y

I6

7

-1+V41-1-V41

(4)方程2(?-5=0的兩根為4=9Cl)—

424

貝2(2x+y)2+(2x+y)—5—22x+y—2x+y+

【總結(jié)】本題主要考查利用一元二次方程的求根公式進行二次三項式的因式分解.

【習題35]解方程：(x+l)(x+2)(x+3)(x+4)=120.

【難度】★★

【答案1x1=-6,x2=1

【解析】：(x+l)(x+4)(尤+2)(x+3)=12。，G+5工+4卜2+5x+6)=12。,

(x2+5x1+10(A-2+5x)-96=0，即(x?+5x+16，~+5x-6)=0.

，+5x+16=0或Y+5x-6=0?

當/+5x+16=0時，此方程無解；當r+5苫-6=0時，解得：為=-6,x2=1.

...原方程的解為：玉=-6,x2=l.

【總結(jié)】本題主要考查對換元思想的理解及應用.

【習題36]求證：不論上為何值，關(guān)于x的方程爐-(24+1次-4-3=0總有兩個不相等的實數(shù)根.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】VA=[-(2fc+l)]2+4卜+3)=軟2+8/+13=4,+1)2+9>0,

二不論上為何值，關(guān)于x的方程犬-(24+l)xd-3=0總有兩個不相等的實數(shù)根.

【總結(jié)】本題主要考查如何利用根的判別式不解方程判別原方程的根的情況.

【習題37】關(guān)于x的一元二次方程(加+1)/+2彳+3=。

(1)當機取何值時，此方程有兩個不相等的實數(shù)根；

(2)當機取何值時，此方程有兩個相等的實數(shù)根；

(3)當機取何值時，此方程沒有實數(shù)根.

【難度】★★

222

【答案】(1)機且相。-1；(2)m=--；(3)m>--.

【解析】方程判別式A=22-4x3x(m+l)=-12m-8.

(1)當方程有兩個不相等的實數(shù)根，則-12〃L8>0,解得：，且要滿足根+1*0,

2

即1,所以"?<-]■且m1;

(2)當方程有兩個相等的實數(shù)根，則-12〃-8=0,解得：m=-；；

(3)當方程沒有實數(shù)根，則-12%8<0,解得：m>-j.

【總結(jié)】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，注意二次項系數(shù)要不為零.

【習題38]已知關(guān)于x的一元二次方程d+2x-a+l=0沒有實數(shù)根，試判斷關(guān)于x的一元二次方程

/+依+。=1根的情況，并說明理由.

【難度】★★

【答案】有兩個不相等的實數(shù)根.

【解析】???關(guān)于x的一元二次方程d+2x-4+1=0沒有實數(shù)根，.?"=22-4(-a+l)<0,則

a<0.，關(guān)于x的一元二次方程無2+以+。=1的判別式△=/一4(a—l)=(a-2)2>0.

，關(guān)于x的一元二次方程/+方+a=l有兩個不相等的實數(shù)根.

【總結(jié)】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系.

3

【習題39】已知機，〃為實數(shù)，且(療+/)(7"2+1)=20,mn=—,求("+">及(m-w-的值.

2

【難度】★★

【答案】7；1.

【解析】V(m2+n2)(m2+n2+l)=20,/.(m2+n2)2+(^2+n2)-20=0.

??(加?+AZ?+5^771^+〃之-4)=0??根？+幾2=―、或4.

?m+n>0，??m+n=4?

211

(m+n)2=+2mn=4+3=7,(m-ri)-m-^-n-2mn=4-3=1.

【總結(jié)】本題主要考查換元思想的運用.

【習題40】說明：不論x取何值，代數(shù)式V-5x+7的值總大于0,再求出當x取何值時，

代數(shù)式三一5x+7的值最??？最小是多少？

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】/一5x+7=(x-，-當+7=(x-j]+-|>0,當x=|■時，有最小值為，

I2)4I21424

【總結(jié)】本題主要考查配方法的運用.

【習題41]據(jù)報道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量十分有限，2006年的利用率只有30%,大

部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使

2008年的利用率提高到60%,求每年的增長率.(取1.41)

【難度】★★

【答案】41%.

【解析】設每年的增長率為x,則有30%(1+4=60%,解得：%=0.41

.?.每年的增長率為41%.

【總結(jié)】本題主要考查增長問題的解法.

【習題42】品牌的香煙每條的市場價格為70元，不加收附加稅時，每年產(chǎn)銷100萬條；若國家征收附加稅,

每銷售100元征稅X元（叫做稅率x%）,則每年的產(chǎn)銷量將減少10x萬條.要使每年對此項經(jīng)營所收取附

加稅金為168萬元，并使香煙的產(chǎn)銷量得到宏觀控制，年產(chǎn)銷量不超過50萬條，問稅率應確定為多少？

【難度】★★★

【答案】6%.

【解析】由題意可得：70.x%.（100-10x）=168,

2

整理得：X-10X+24=0,解得：西=4,x2=6.

當x=4時，100—4xl0=60>50,舍去；

當x=6時，100—6xl0=40<50,符合題意.

所以稅率應確定為6%.

【總結(jié)】本題類似利潤問題，解題時要認真審題，理解題意，難度較大.

【習題43】某商場將進貨價為30元的臺燈以40元售出，平均每月能售出600個.調(diào)查表明：這種臺燈的售

價每上漲1元，其銷售量就將減少10個.為了實現(xiàn)平均每月10000元的銷售利潤，這種臺燈的售價應定

為多少？這時應進臺燈多少個？

【難度】★★★

【答案】售價定為50元時，應進貨500臺；售價定為80元時，應進貨200臺

【解析】設應漲價x元，則銷售量將減少（10、）個.

由題意可得：（40+尤-30）（600-10x）=10000,

整理得：X2-50X+400=0,解得：芭=10,々=4。.

當x=10時，售價應定為40+10=50元，此時銷售量為600-10x10=500；

當x=40時，售價應定為40+40=80元，此時銷量為600-10x40=200。

.??售價定為50元時，應進貨500臺；售價應為80元時，應進貨200臺。

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程應用中的利潤問題.

【習題44】機械加工需要用油進行潤滑以減少摩擦，某企業(yè)加工一臺大型機械設備潤滑用油量為90千克，

用油的重復利用率為60%,按此計算，加工一臺大型機械設備的實際耗油量為36千克.為了建設節(jié)約

型社會，減少油耗，該企業(yè)的甲、乙兩個車間都組織了人員為減少實際耗油量進行攻關(guān).

（1）甲車間通過技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備潤滑油用油量下降到70千克，用油的重

復利用率仍然為60%.問甲車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是多少

千克？

（2）乙車間通過技術(shù)革新后，不僅降低了潤滑用油量，同時也提高了用油的重復利用率，并

且發(fā)現(xiàn)在技術(shù)革新的基礎上，潤滑用油量每減少1千克，用油量的重復利用率將增加

1.6%.這樣乙車間加工一臺大型機械設備的實際耗油量下降到12千克.問乙車間技術(shù)革新

后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是多少千克？用油的重復利用率是多少？

【難度】★★★

【答案】（1）28千克；（2）75千克，84%.

【解析】（1）由題意得：70x（1-60%）=28,

甲車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備的實際耗油量是28千克；

（2）設乙車間技術(shù)革新后，加工一臺大型機械設備潤滑用油量是x千克

由題意可得：x[l-（90-x）xl.6%-60%]=12

整理得：X2-65X-750=0）

解得：西=75,尤2=-1。（負值舍去）.

，用油的重復利用率為：（90-75）x1.6%+60%=84%.

【總結(jié)】本題的難度較大，主要是考查學生的理解能力，因此要認真審題.

當堂檢測

1.如果一元二次方程+3x+,〃2-4=0有一個根為0,則〃尸.

【難度】★

【答案】-2.

［解析】?.?一元二次方程舊-2）爐+3x+川-4=0有一個根為0,

-4-0,解得：m=i2.m—2^0,m=—2.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的根的概念以及一元二次方程成立的條件.

2.若關(guān)于x的一元二次方程依2+bx+c=°中，°,6,，滿足9a-36+c=O,則該方程有一根是

【難度】★

【答案】x=-3.

【解析】將x=-3代入到方程中成立.

【總結(jié)】本題主要考查一元二次方程的解的概念.

3.如果二次三項式/-2（熱+1口+16是一個完全平方式，那么加的取值是.

【難度】★

【答案】3或5

【解析】由題意可得：-2（%+1）=±8,則根=3或-5.

【總結(jié)】本題主要考查對完全平方公式的準確理解.

4.方程4/=3（4x-3）中，A=,根的情況是

【難度】★

【答案】0；兩個相等的實數(shù)根.

【解析】原方程化為一般式，為：4X2-12X+9=0,則A=(-12)2一4X4X9=0.

【總結(jié)】本題主要考查根的判別式的概念以及根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系.

5.已知方程2爐-2依+3〃-4=0沒有實數(shù)根，那么代數(shù)式,片一8a+16+12-=

【難度】★

【答案】2.

【解析】..?方程2犬-2亦+3°-4=0沒有實數(shù)根，，(-2a)2-4x2x(3a-4)<0.

整理可得：cz2-6a+8<0,則(。-2)(a-4)<0,

[a—2<0[a—2>0

當｛4、n時，無解；當｛4“n時，2<a<4；

[tz-4>0[〃一4<0

??2<a<4.■?J/-8a+16+12--4|+12-同=4-a-(2-a)=2.

【總結(jié)】本題主要考查了根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系，其中涉及了一元二次不等式

的考查，注意選擇性講解.

6.用適當方法解下列一元二次方程:

(1)(2x-l)2=9；(2)%2+3X-4=0；

(3)X2-2X-8=0；(4)(x+4y=5(x+4)；

(5)(x+1)2=4x；(6)(x+l)(x+2)=2x+4.

【難度】★

【答案】見解析.

2

【解析】(1)(2X-1)=9,兩邊開平方可得：2x-l=±3,解得：西=2,x2=-l.,

2

(2)X+3X-4=0,十字相乘可得：(x+4)(x-l)=0,解得：西=-4,x2=l；

2

(3)x-2x-8=0,十字相乘可得：(w-4)(x+2)=0,解得：司=4,x2=-2；(4)

(x+4)2=5(x+4),提取公因式可得：(x+4)(x+4-5)=0,解得：百=7,x2=l；

(5)(x+iy=4x,整理得：X2-2X+1=0,貝h=々=1;

(6)(尤+l)(x+2)=2x+4,提取公因式可得：(x+2)(x-：l)=0,解得：玉=-2,x2=1.

【總結(jié)】本題主要考查如何選擇合適的方法求解一元二次方程的根.

7.用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?/p>

(1)2(x+1)2+3(%+1)(2-x)-2(x-2)2=0；(2)(x2+3x+4)(x2+3x+5)=6；

(3)x(x2-1)2=9x；(4)

(x+I)(x+3)(%+5)(%+7)=20.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】(1)原方程變形得：2(x+1)2-3(x+l)(x-2)-2(x-2)2=0,

十字相乘可得：[2(彳+1)+(%-2)][卜+1)-2(彳-2)]=0,

整理得：3尤(-》+5)=0,

...原方程的解為：%=0,X2=5.

⑵對原方程整理得：02+37+9/+3X)+14=0，

十字相乘得：(尤2+3犬+2卜+3x+q=。，

貝I：X2+3X+2=0或X2+3X+9=0,解得：玉=-1,x2=-2,后面一個方程無解.

...原方程的解為：西=-1,X2=-2.

(3)提取公因式可得：不但一爐一9卜0,因式分解得：x(x2-l+3p-l-3)=0,

整理并進行因式分解得：62+2/-2卜+2)=0,

，原方程的解為：玉=0,芍=2,巧=-2.

(4)原方程變形得：[(x+l)(x+7)I(x+3)(x+5)]=20,

整理得：(X2+8X+7)(X2+8X+15)=20,展開得：(x2+8x)2+22(x2+8x)+85=0

十字相乘可得：(X2+8X+5)(X2+8X+17)=0,貝1)/+8工+5=0或X2+8X+17=0.

解得：網(wǎng)=-4+而，巧=-4-TH,后面一個方程無解.

.?.原方程的解為：占=-4+而，x2=-4-ViT.

【總結(jié)】本題主要是選用合適的方法求解一元二次方程，其中綜合性較強，有些需要換元思想

的運用，注意對相關(guān)方法的準確理解.

8.在實數(shù)范圍內(nèi)分解因式:

(1)x2+3x+l；(2)3x2+4xy-2y2；

(3)x4—X2-6；(4)2x2y2+4xy-3.

【難度】★★

【答案】見解析.

【解析】⑴方程小―。的解為q丁-3-V5

2

貝|J廠+3x+1=|x+X+

(2)方程3/+4孫-2y2=0的解為石=一2；而「-2-Vio

彳2=-3—y，

(2-A/10

22+A/TO、

則3x+4xy-2y2=3x+----y-%+---y?

33'

7

(3)x4-x2—6=(%2-3)(x2+2)=(尤-G)(x+6)(Y+2)；

(4)方程2//+4孫一3=。的解為(個)=三叵，(邛)2=匚丁,

貝J]2X2J2+4孫-3=21xy+

【總結(jié)】本題主要考查如何利用求根公式分解二次三項式.

9.已知關(guān)于x的方程d-(2左-3)x+〃+i=o,求當人為何值時，此方程有實數(shù)根.

【難度】★★

【答案】kQ.

［解析］：關(guān)于x的方程/一(24一3)尤+嚴+1=。有實數(shù)根，

/.△=［-儂-3)『一4k2+i)>o.

整理得：-⑵:+5>0,解得：k<j

【總結(jié)】本題主要考查根的判別式與一元二次方程的根的關(guān)系.

10.試證明關(guān)于x的方程("一80+20)￡+2依+1=0,無論。取何值，該方程