高中數(shù)學 2.3第1課時數(shù)學歸納法同步檢測 蘇教版選修2-2

2.3第1課時數(shù)學歸納法eq\a\vs4\al\co1(雙基達標限時20分鐘)1．用數(shù)學歸納法證明“2n>n2＋1對于n≥n0的自然數(shù)n都成立”時，第一步證明中的起始值n0應取________．解析當n取1、2、3、4時2n>n2＋1不成立，當n＝5時，25＝32>52＋1＝26，第一個能使2n>n2＋1的n值為5.答案52．若f(n)＝1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*)，則n＝1時，f(1)是________．解析由于n＝1代入eq\f(1,2n＋1)得eq\f(1,3)，所以f(1)的右端為從1加到eq\f(1,3).答案1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)3．用數(shù)學歸納法證明(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n＋1)(n∈N*)，從“k到k＋1”解析當n＝k時左端為(k＋1)(k＋2)…(k＋k)，當n＝k＋1時，左端為(k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k－1)(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)，即(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋2)．觀察比較它們的變化知增乘了eq\f(2k＋12k＋2,k＋1)＝2(2k＋1)．答案2(2k＋1)4．用數(shù)學歸納法證明：“1＋a＋a2＋…＋an＋1＝eq\f(1－an＋2,1－a)(a≠1)”，在驗證n＝1時，左端計算所得項為________．解析把n＝1代入an＋1得a2，所以左端的式子為從1加到a2為止．故為1＋a＋a2.答案1＋a＋a25．用數(shù)學歸納法證明關于n的恒等式，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當n＝k＋1時，表達式為________．答案1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)26．用數(shù)學歸納法證明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2(其中∈N＋)．證明(1)當n＝1時，左邊＝1×4＝4，右邊＝1×22＝4，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N＋，k≥1)時等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么，當n＝k＋1時，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)2＋1]2，即當n＝k＋1時等式也成立．根據(jù)(1)和(2)，可知等式對任何n∈N＋都成立．eq\a\vs4\al\co1(綜合提高限時25分鐘)7．記凸k邊形的內角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內角和f(k＋1)＝f(k)＋________.解析由凸k邊形變?yōu)橥筴＋1邊形時，增加了一個三角形圖形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.答案π8．等式12＋22＋32＋…＋n2＝eq\f(5n2－7n＋4,2)，以下說法正確的是________(只填序號)．①僅當n＝1時成立②僅當n＝1,2,3時成立③僅當n＝1,2成立④n為任何自然數(shù)都成立解析當n＝1、2、3時，等式兩邊相等，n＝4時，左邊＝30，右邊＝28.等式不成立．答案②9．命題P(n)滿足：若n＝k(k∈N*)成立，則n＝k＋1成立，下面說法正確的是________(只填序號)．①P(6)成立則P(5)成立②P(6)成立則P(4)成立③P(4)成立則P(6)成立④對所有正整數(shù)n，P(n)都成立解析由題意知，P(4)成立，則P(5)成立，若P(5)成立，則P(6)成立．所以P(4)成立，則P(6)成立．答案③10．如圖，第n個圖形是由正n＋2邊形“擴展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n－2(n≥3，n∈N*)個圖形中共有________個頂點．解析當n＝1時，頂點共有12＝3×4(個)，n＝2時，頂點共有20＝4×5(個)，n＝3時，頂點共有30＝5×6(個)，n＝4時，頂點共有42＝6×7(個)，故第n個圖形共有頂點(n＋2)(n＋3)個，∴第n－2個圖形共有頂點n(n＋1)個．答案n(n＋1)11．用數(shù)學歸納法證明12＋32＋52＋…＋(2n－1)2＝eq\f(1,3)n(4n2－1)(n∈N*)．證明(1)當n＝1時，左邊＝12，右邊＝eq\f(1,3)×1×(4×1－1)＝1，左邊＝右邊，等式成立．(2)假設當n＝k(k∈N*，k≥1)時，等式成立，即12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)，則當n＝k＋1時，12＋32＋52＋…＋(2k－1)2＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(4k2－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)k(2k＋1)(2k－1)＋(2k＋1)2＝eq\f(1,3)(2k＋1)[k(2k－1)＋3(2k＋1)]＝eq\f(1,3)(2k＋1)(2k2＋5k＋3)＝eq\f(1,3)(2k＋1)(k＋1)(2k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)(4k2＋8k＋3)＝eq\f(1,3)(k＋1)[4(k＋1)2－1]，即當n＝k＋1時，等式成立．由(1)，(2)可知，對一切n∈N*等式成立．12．觀察下列各式：1＝122＋3＋4＝323＋4＋5＋6＋7＝524＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72試猜測一般結論，并用數(shù)學歸納法證明．解由題給的表達式，猜測一般結論為n＋(n＋1)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2，n∈N*.下面用數(shù)學歸納法證明：(1)當n＝1時，由題設條件知，顯然成立．(2)假設n＝k(k∈N*)時命題成立，即k＋(k＋1)＋(k＋2)＋…＋(3k－2)＝(2k－1)2.則當n＝k＋1時，左邊＝[(k＋1)＋(k＋1＋1)＋…＋(3k－2)]＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝(2k－1)2－k＋(3k－1)＋3k＋(3k＋1)＝4k2－4k＋1＋8k＝(2k＋1)2，右邊＝[2(k＋1)－1]2＝(2k＋1)2，左邊＝右邊．故n＝k＋1時，命題也成立．由數(shù)學歸納法知，結論成立．13．(創(chuàng)新拓展)設正數(shù)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(an＋\f(1,an)))，試推測出an的表達式，并用數(shù)學歸納法加以證明．解∵S1＝a1，∴a1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1＋\f(1,a1)))，解得正數(shù)a1＝1.∵a1＋a2＝S2＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a2＋\f(1,a2)))，∴2＋a2＝eq\f(1,a2)，即aeq\o\al(2,2)＋2a2－1＝0.解得a2＝eq\r(2)－1.∵S2＋a3＝S3，即eq\r(2)＋a3＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a3＋\f(1,a3)))，∴aeq\o\al(2,3)＋2eq\r(2)a3－1＝0，解得a3＝eq\r(3)－eq\r(2).觀察a1＝1，a2＝eq\r(2)－1，a3＝eq\r(3)－eq\r(2)，猜想an＝eq\r(n)－eq\r(n－1).用數(shù)學歸納法證明如下：(1)當n＝1時，由以上知猜想成立．(2)假設當n＝k(k∈N*)時，猜想成立，即ak＝eq\r(k)－eq\r(k－1).由Sk＋ak＋1＝Sk＋1，有eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋\f(1,ak)))＋ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ak＋1＋\f(1,ak＋1)))，即eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(k)－\r(k－1)＋\f(1,\r(k)－\r(k－1))))＋ak＋1＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs