高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第9章計(jì)數(shù)原理概率隨機(jī)變量及其分布第7講離散型隨機(jī)變量及其分布列超幾何分布知能訓(xùn)練

PAGE第7講離散型隨機(jī)變量及其分布列、超幾何分布1．設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功率是失敗率的2倍，用隨機(jī)變量X去描述1次試驗(yàn)的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于()A．0 B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,3) D.eq\f(2,3)解析：選C.設(shè)X的分布列為X01Pp2p即“X＝0”表示試驗(yàn)失敗，“X＝1”表示試驗(yàn)成功．由p＋2p＝1，得p＝eq\f(1,3)，故應(yīng)選C.2．在15個(gè)村莊中有7個(gè)村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個(gè)村莊，用X表示這10個(gè)村莊中交通不方便的村莊數(shù)，則下列概率中等于eq\f(Ceq\o\al(4,7)Ceq\o\al(6,8),Ceq\o\al(10,15))的是()A．P(X＝2) B．P(X≤2)C．P(X＝4) D．P(X≤4)解析：選C.X服從超幾何分布，P(X＝k)＝eq\f(Ceq\o\al(k,7)Ceq\o\al(10－k,8),Ceq\o\al(10,15))，故k＝4，故選C.3．設(shè)隨機(jī)變量Y的分布列為Y－123Peq\f(1,4)meq\f(1,4)則“eq\f(3,2)≤Y≤eq\f(7,2)”的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：選C.依題意知，eq\f(1,4)＋m＋eq\f(1,4)＝1，則m＝eq\f(1,2).故Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)≤Y≤\f(7,2)))＝P(Y＝2)＋P(Y＝3)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＝eq\f(3,4).4．設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布列如下表所示：X012Paeq\f(1,3)eq\f(1,6)若F(x)＝P(X≤x)，則當(dāng)x的取值范圍是[1，2)時(shí)，F(xiàn)(x)等于()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,6)C.eq\f(1,2) D.eq\f(5,6)解析：選D.由分布列的性質(zhì)，得a＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,6)＝1，所以a＝eq\f(1,2).而x∈[1，2)，所以F(x)＝P(X≤x)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＝eq\f(5,6).5．若離散型隨機(jī)變量X的分布列為：X01P9c2－3－8則常數(shù)c＝________，P(X＝1)＝________．解析：依分布列的性質(zhì)知，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9c2－c＞0，,3－8c＞0，,9c2－c＋3－8c＝1，))解得c＝eq\f(1,3)，故P(X＝1)＝3－8×eq\f(1,3)＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)eq\f(1,3)6．在一個(gè)口袋中裝有黑、白兩個(gè)球，從中隨機(jī)取一球，記下它的顏色，然后放回，再取一球，又記下它的顏色，則這兩次取出白球數(shù)X的分布列為________．解析：X的所有可能值為0，1，2.P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1)×2,Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,2)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,1),Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,2))＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)答案：X012Peq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)7．(2016·陜西省質(zhì)量檢測(cè))有一種密碼，明文由三個(gè)字母組成，密碼由明文的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字組成．編碼規(guī)則如下表．明文由表中每一排取一個(gè)字母組成，且第一排取的字母放在第一位，第二排取的字母放在第二位，第三排取的字母放在第三位，對(duì)應(yīng)的密碼由明文所取的這三個(gè)字母對(duì)應(yīng)的數(shù)字按相同的次序排成一組組成．(如：明文取的三個(gè)字母為AFP，則與它對(duì)應(yīng)的五個(gè)數(shù)字(密碼)就為11223)第一排明文字母ABC密碼數(shù)字111213第二排明文字母EFG密碼數(shù)字212223第三排明文字母MNP密碼數(shù)字123(1)假設(shè)明文是BGN，求這個(gè)明文對(duì)應(yīng)的密碼；(2)設(shè)隨機(jī)變量X表示密碼中所含不同數(shù)字的個(gè)數(shù)．①求P(X＝2)；②求隨機(jī)變量X的分布列．解：(1)這個(gè)明文對(duì)應(yīng)的密碼是12232.(2)①因?yàn)楸砀竦牡谝?、二列均由?shù)字1，2組成，所以X＝2時(shí)，只能取表格第一、二列中的數(shù)字作為密碼．所以P(X＝2)＝eq\f(23,33)＝eq\f(8,27).②由題意可知，X的取值為2，3兩種情形．所以P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－eq\f(8,27)＝eq\f(19,27).所以X的分布列為X23Peq\f(8,27)eq\f(19,27)8.2015年5月亞洲女排錦標(biāo)賽在北京、天津舉行，為了做好錦標(biāo)賽期間的接待服務(wù)工作，天津大學(xué)學(xué)生實(shí)踐活動(dòng)中心從8名學(xué)生會(huì)干部(其中男生5名，女生3名)中選3名參加錦標(biāo)賽的志愿者服務(wù)活動(dòng)．若所選3名學(xué)生中的女生人數(shù)為X，求X的分布列．解：因?yàn)?名學(xué)生會(huì)干部中有5名男生，3名女生，所以X的分布列服從超幾何分布．X的所有可能取值為0，1，2，3，其中P(X＝i)＝eq\f(Ceq\o\al(i,3)Ceq\o\al(3－i,5),Ceq\o\al(3,8))(i＝0，1，2，3)．由公式可得P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,3)Ceq\o\al(3,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(5,28)，P(X＝1)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(15,28)，P(X＝2)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3)Ceq\o\al(1,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(15,56)，P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(0,5),Ceq\o\al(3,8))＝eq\f(1,56).所以X的分布列為X0123Peq\f(5,28)eq\f(15,28)eq\f(15,56)eq\f(1,56)9.在一次購物活動(dòng)中，假設(shè)每10張券中有一等獎(jiǎng)券1張，可獲得價(jià)值50元的獎(jiǎng)品；有二等獎(jiǎng)券3張，每張可獲得價(jià)值10元的獎(jiǎng)品；其余6張沒有獎(jiǎng)．某顧客從這10張券中任取2張．(1)求該顧客中獎(jiǎng)的概率；(2)求該顧客獲得的獎(jiǎng)品總價(jià)值X(元)的分布列．解：(1)該顧客中獎(jiǎng)的概率P＝1－eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝1－eq\f(15,45)＝eq\f(2,3).(2)X的所有可能取值為0，10，20，50，60，且P(X＝0)＝eq\f(Ceq\o\al(0,4)Ceq\o\al(2,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,3)，P(X＝10)＝eq\f(Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,5)，P(X＝20)＝eq\f(Ceq\o\al(2,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15)，P(X＝50)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(2,15)，P(X＝60)＝eq\f(Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3),Ceq\o\al(2,10))＝eq\f(1,15).故X的分布列為：X010205060Peq\f(1,3)eq\f(2,5)eq\f(1,15)eq\f(2,15)eq\f(1,15)1．(2014·高考江蘇卷節(jié)選)盒中共有9個(gè)球，其中有4個(gè)紅球、3個(gè)黃球和2個(gè)綠球，這些球除顏色外完全相同．(1)從盒中一次隨機(jī)取出2個(gè)球，求取出的2個(gè)球顏色相同的概率P；(2)從盒中一次隨機(jī)取出4個(gè)球，其中紅球、黃球、綠球的個(gè)數(shù)分別記為x1，x2，x3，隨機(jī)變量X表示x1，x2，x3中的最大數(shù)，求X的概率分布．解：(1)取到的2個(gè)顏色相同的球可能是2個(gè)紅球、2個(gè)黃球或2個(gè)綠球，所以P＝eq\f(Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,3)＋Ceq\o\al(2,2),Ceq\o\al(2,9))＝eq\f(6＋3＋1,36)＝eq\f(5,18).(2)隨機(jī)變量X所有可能的取值為2，3，4.{X＝4}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是4個(gè)紅球”，故P(X＝4)＝eq\f(Ceq\o\al(4,4),Ceq\o\al(4,9))＝eq\f(1,126)；{X＝3}表示的隨機(jī)事件是“取到的4個(gè)球是3個(gè)紅球和1個(gè)其他顏色的球，或3個(gè)黃球和1個(gè)其他顏色的球”，故P(X＝3)＝eq\f(Ceq\o\al(3,4)Ceq\o\al(1,5)＋Ceq\o\al(3,3)Ceq\o\al(1,6),Ceq\o\al(4,9))＝eq\f(20＋6,126)＝eq\f(13,63)；于是P(X＝2)＝1－P(X＝3)－P(X＝4)＝1－eq\f(13,63)－eq\f(1,126)＝eq\f(11,14).所以隨機(jī)變量X的概率分布為：X234Peq\f(11,14)eq\f(13,63)eq\f(1,126)2.袋中裝有黑球和白球共7個(gè)，從中任取2個(gè)球都是白球的概率為eq\f(1,7).現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球?yàn)橹?，每個(gè)球在每一次被取出的機(jī)會(huì)是相等的，用X表示終止時(shí)所需要的取球次數(shù)．(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；(2)求隨機(jī)變量X的分布列；(3)求甲取到白球的概率．解：(1)設(shè)袋中原有n個(gè)白球，由題意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n（n－1）,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n（n－1）,7×6)，所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3個(gè)白球．(2)由題意知X的可能取值為1，2，3，4，5.P(X＝1)＝eq\f(3,7)；P(X＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(X＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(X＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(X＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以