2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（解析）

2021-2022學(xué)年北京市朝陽(yáng)區(qū)高一上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】直接利用交集的定義求解即可.【詳解】∵,,∴，故選：.2．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，單調(diào)區(qū)間不能用并集連接，排除CD.【詳解】定義域?yàn)镽，且在定義域上單調(diào)遞增，滿足題意，A正確；定義域?yàn)?，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，B錯(cuò)誤；定義域?yàn)?，而在為單調(diào)遞增函數(shù)，不能用并集連接，C錯(cuò)誤；同理可知：定義域?yàn)?，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，不能用并集連接，D錯(cuò)誤.故選：A3．已知，則的最小值為（

）A． B．2 C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件利用均值不等式直接計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以的最小值為.故選：C4．若，則A． B． C． D．【答案】A【解析】直接利用二倍角的余弦公式求解.【詳解】由題得.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查二倍角的余弦公式求值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.5．已知，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷的范圍，即可判斷三者的大小關(guān)系.【詳解】,故，故選：B.6．已知，，則下列不等式中恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】直接利用特殊值檢驗(yàn)及其不等式的性質(zhì)判斷即可.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，令，，但，則A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，令，，但，則B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)時(shí)，，則C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，有不等式的可加性得，則D正確，故選：D.7．“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)給定條件利用充分條件、必要條件的定義直接判斷作答.【詳解】當(dāng)時(shí)，方程的實(shí)數(shù)根為，當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，則，解得，則有且，因此，關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根等價(jià)于，所以“”是“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根”的充分而不必要條件.故選：A8．為了節(jié)約水資源，某地區(qū)對(duì)居民用水實(shí)行“階梯水價(jià)”制度：將居民家庭全年用水量（取整數(shù)）劃分為三檔，水價(jià)分檔遞增，其標(biāo)準(zhǔn)如下：階梯居民家庭全年用水量（立方米）水價(jià)（元/立方米）其中水費(fèi)（元/立方米）水資源費(fèi)（元/立方米）污水處理費(fèi)（元/立方米）第一階梯0-180（含）52.071.571.36第二階梯181-260（含）74.07第三階梯260以上96.07如該地區(qū)某戶家庭全年用水量為300立方米，則其應(yīng)繳納的全年綜合水費(fèi)（包括水費(fèi)、水資源費(fèi)及污水處理費(fèi)）合計(jì)為元．若該地區(qū)某戶家庭繳納的全年綜合水費(fèi)合計(jì)為1180元，則此戶家庭全年用水量為（

）A．170立方米 B．200立方米 C．220立方米 D．236立方米【答案】C【分析】根據(jù)用戶繳納的金額判定全年用水量少于260，利用第二檔的收費(fèi)方式計(jì)算即可.【詳解】若該用戶全年用水量為260，則應(yīng)繳納元，所以該戶家庭的全年用水量少于260，設(shè)該戶家庭的全年用水量為x，則應(yīng)繳納元，解得.故選：C9．已知奇函數(shù)的定義域?yàn)?，其圖象是一條連續(xù)不斷的曲線．若，則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)至少為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義域?yàn)镽可得，由和奇函數(shù)的性質(zhì)可得、，利用零點(diǎn)的存在性定理即可得出結(jié)果.【詳解】奇函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象為一條連續(xù)不斷的曲線，得，由得，所以，故函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，由奇函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在之間至少存在一個(gè)零點(diǎn)，所以函數(shù)在之間至少存在3個(gè)零點(diǎn).故選：C10．?dāng)?shù)學(xué)可以刻畫現(xiàn)實(shí)世界中的和諧美，人體結(jié)構(gòu)、建筑物、國(guó)旗、繪畫、優(yōu)選法等美的共性與黃金分割相關(guān)．黃金分割常數(shù)也可以表示成，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函數(shù)平方關(guān)系，誘導(dǎo)公式，二倍角公式進(jìn)行求解.【詳解】故選：A二、填空題11．函數(shù)的定義域是________．【答案】【分析】利用對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零可求得原函數(shù)的定義域.【詳解】對(duì)于函數(shù)，，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?故答案為：.12．________．【答案】【分析】利用指數(shù)運(yùn)算及對(duì)數(shù)運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】故答案為：713．已知定義在上的函數(shù)滿足：①；②在區(qū)間上單調(diào)遞減；③的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則的解析式可以是________．【答案】（答案不唯一）【分析】取，結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)逐項(xiàng)驗(yàn)證可得結(jié)論.【詳解】取，則，滿足①，在區(qū)間上單調(diào)遞減，滿足②，的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，滿足③.故答案為：（答案不唯一）.14．已知函數(shù)f(x)=(5?【答案】【分析】利用求解分段函數(shù)單調(diào)性的方法列出不等式關(guān)系，由此即可求解【詳解】由已知可得函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：．15．給出下列四個(gè)結(jié)論：①函數(shù)是奇函數(shù)；②將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可以得到函數(shù)的圖象；③若是第一象限角且，則；④已知函數(shù)，其中是正整數(shù)．若對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，則的最小值是4．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是________．【答案】①②④【分析】直接利用奇函數(shù)的定義，函數(shù)圖象的平移變換，象限角，三角函數(shù)的恒等變換以及余弦函數(shù)圖像的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對(duì)于①，其中，即為奇函數(shù)，則①正確；對(duì)于②將的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，即，則②正確；對(duì)于③若令，，則，則③不正確；對(duì)于④，由題意可知，任意一個(gè)長(zhǎng)為的開區(qū)間上至少包含函數(shù)的一個(gè)周期，的周期為，則，即，則的最小值是4,則④正確；故答案為：①②④.三、雙空題16．如圖，若角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，則________，________．【答案】

0.8

【分析】根據(jù)單位圓中的勾股定理和點(diǎn)所在象限求出，然后根據(jù)三角函數(shù)的定義求出即可【詳解】如圖所示，點(diǎn)位于第一象限，則有：，且解得：（其中）故答案為：；四、解答題17．已知全集，集合，集合．(1)求集合及；(2)若集合，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)，；(2)【分析】（1）解一元一次不等式求集合A，再應(yīng)用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算求及.（2）由集合的包含關(guān)系可得，結(jié)合已知即可得的取值范圍．(1)由得：，所以，則，由，所以，．(2)因?yàn)榍?，所以，解得．所以的取值范圍是?8．已知為銳角，，．(1)求和的值；(2)求和的值．【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由為銳角，可求出，利用同角之間的關(guān)系可求出，由正弦的兩角和求.（2）利用同角之間的關(guān)系可求出，根據(jù)結(jié)合余弦的差角公式可得出答案.(1)因?yàn)闉殇J角，且，所以．所以．(2)因?yàn)闉殇J角，所以．所以．所以．19．已知函數(shù)，其中，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)．(1)求的解析式；(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間．【答案】(1)條件選擇見解析，；(2)單調(diào)遞增區(qū)間為，.【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)得出.選擇①②：由可求得的值，由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇②③：由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇①③：由可求得的值，由結(jié)合可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.(1)解：.選擇①②：因?yàn)?，所以，又因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以；選擇②③：因?yàn)榈淖钚≌芷跒椋?，則，又因?yàn)椋?，所以；選擇①③：因?yàn)?，所以，所以．又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以?2)解：依題意，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.20．已知函數(shù)，（）．(1)當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；(2)若對(duì)任意，不等式恒成立，求的取值范圍；(3)若對(duì)任意，存在，使得，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)(3)【分析】（1）將代入不等式，解該一元二次不等式即可；（2）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式恒成立問(wèn)題，利用即可解得參數(shù)的范圍；（3）對(duì)任意，存在，使得，轉(zhuǎn)化為的值域包含于的值域.同時(shí)對(duì)值域的求解，需要根據(jù)二次函數(shù)對(duì)稱軸與閉區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行討論，最終解不等式組求解.(1)當(dāng)時(shí)，由得，即，解得或．所以不等式的解集為或．(2)由得，即不等式的解集是．所以，解得．所以的取值范圍是．(3)當(dāng)時(shí)，．又．①當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以，此時(shí)不等式組無(wú)解，②當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以2<m≤③當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以此時(shí)不等式組無(wú)解，④當(dāng)，即時(shí)，對(duì)任意，．所以此時(shí)不等式組無(wú)解．綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛，本題中“對(duì)任意，存在，使得”這一條件轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域的包含關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，而其中二次函數(shù)在閉區(qū)間上的值域問(wèn)題，又需要針對(duì)對(duì)稱軸與區(qū)間的相對(duì)位置進(jìn)行討論.21．已知非空數(shù)集，設(shè)為集合中所有元素之和，集合是由集合的所有子集組成的集合．(1)若集合，寫出和集合；(2)若集合中的元素都是正整數(shù)，且對(duì)任意的正整數(shù)、、、、，都存在集合，使得，則稱集合具有性質(zhì)．①若集合，判斷集合是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；②若集合具有性質(zhì)，且，求的最小值及此時(shí)中元素的最大值的所有可能取值．【答案】(1)，；(2)①有，理由見解析；②的最小值為，所有可能取值是、、、、.【分析】（1）根據(jù)題中定義可寫出與；（2）（i）求得，取、、、、，找出對(duì)應(yīng)的集合，使得，即可得出結(jié)論；（ii）設(shè)，不妨設(shè)，根據(jù)題中定義分析出、，，，，，然后驗(yàn)證當(dāng)、、、、時(shí)，集合符合題意，即可得解.(1)解：由題中定義可得，.(2)解：（?。┘暇哂行再|(zhì)，理由如下：因?yàn)?，所以．?dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；當(dāng)時(shí)，取集合，則；綜上可得，集合具有性質(zhì)；（ⅱ）設(shè)集合，不妨設(shè)．因?yàn)闉檎麛?shù)，所以，．因?yàn)榇嬖谑沟茫源藭r(shí)中不能包含元素、、、且，所以．所以．因?yàn)榇嬖谑沟茫源藭r(shí)中不能包含元