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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1.考試結(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑;如需改動(dòng),請(qǐng)用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無(wú)效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號(hào)等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè),分別為雙曲線(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn),過點(diǎn)作圓的切線與雙曲線的左支交于點(diǎn)P,若,則雙曲線的離心率為()A. B. C. D.2.設(shè)為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),則實(shí)數(shù)的值是()A.1 B.-1 C.0 D.23.的展開式中,滿足的的系數(shù)之和為()A. B. C. D.4.如圖在直角坐標(biāo)系中,過原點(diǎn)作曲線的切線,切點(diǎn)為,過點(diǎn)分別作、軸的垂線,垂足分別為、,在矩形中隨機(jī)選取一點(diǎn),則它在陰影部分的概率為()A. B. C. D.5.在的展開式中,的系數(shù)為()A.-120 B.120 C.-15 D.156.設(shè),則()A. B. C. D.7.已知是圓心為坐標(biāo)原點(diǎn),半徑為1的圓上的任意一點(diǎn),將射線繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到交圓于點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.2 C. D.8.若直線的傾斜角為,則的值為()A. B. C. D.9.設(shè),是雙曲線的左,右焦點(diǎn),是坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線,垂足為.若,則的離心率為()A. B. C. D.10.已知函數(shù),,若存在實(shí)數(shù),使成立,則正數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.12.在中,,,,則在方向上的投影是()A.4 B.3 C.-4 D.-3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:),則該幾何體的體積是_____;最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度是_____.14.已知(2x-1)7=ao+a1x+a2x2+…+a7x7,則a2=____.15.已知函數(shù),,若函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3(x1<x2<x3),則的取值范圍是_________.16.小李參加有關(guān)“學(xué)習(xí)強(qiáng)國(guó)”的答題活動(dòng),要從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的概率為_____.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17.(12分)設(shè)前項(xiàng)積為的數(shù)列,(為常數(shù)),且是等差數(shù)列.(I)求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)設(shè)是數(shù)列的前項(xiàng)和,且,求的最小值.18.(12分)的內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,其面積記為,滿足.(1)求;(2)若,求的值.19.(12分)設(shè)數(shù)列,的各項(xiàng)都是正數(shù),為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且對(duì)任意,都有,,,(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).(1)求數(shù)列,的通項(xiàng)公式;(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和.20.(12分)已知等差數(shù)列an,和等比數(shù)列b(I)求數(shù)列{an}(II)求數(shù)列n2an?a21.(12分)在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知AB=1,AA1=2,E,F(xiàn),G分別是棱AA1,AC和A1C1的中點(diǎn),以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系F-xyz.(1)求異面直線AC與BE所成角的余弦值;(2)求二面角F-BC1-C的余弦值.22.(10分)如圖,是矩形,的頂點(diǎn)在邊上,點(diǎn),分別是,上的動(dòng)點(diǎn)(的長(zhǎng)度滿足需求).設(shè),,,且滿足.(1)求;(2)若,,求的最大值.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】
設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,根據(jù)切線的性質(zhì)可得,且,再由和雙曲線的定義可得,得出為中點(diǎn),則有,得到,即可求解.【詳解】設(shè)過點(diǎn)作圓的切線的切點(diǎn)為,,所以是中點(diǎn),,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的性質(zhì)、雙曲線定義、圓的切線性質(zhì),意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計(jì)算能力,屬于中檔題.2、A【解析】
根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn),由復(fù)數(shù)的意義即可求得的值.【詳解】復(fù)數(shù),由復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)可得,所以由復(fù)數(shù)定義可知,解得,故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算,復(fù)數(shù)的意義,屬于基礎(chǔ)題.3、B【解析】
,有,,三種情形,用中的系數(shù)乘以中的系數(shù),然后相加可得.【詳解】當(dāng)時(shí),的展開式中的系數(shù)為.當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;當(dāng),時(shí),系數(shù)為;故滿足的的系數(shù)之和為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理,掌握二項(xiàng)式定理和多項(xiàng)式乘法是解題關(guān)鍵.4、A【解析】
設(shè)所求切線的方程為,聯(lián)立,消去得出關(guān)于的方程,可得出,求出的值,進(jìn)而求得切點(diǎn)的坐標(biāo),利用定積分求出陰影部分區(qū)域的面積,然后利用幾何概型概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】設(shè)所求切線的方程為,則,聯(lián)立,消去得①,由,解得,方程①為,解得,則點(diǎn),所以,陰影部分區(qū)域的面積為,矩形的面積為,因此,所求概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查定積分的計(jì)算以及幾何概型,同時(shí)也涉及了二次函數(shù)的切線方程的求解,考查計(jì)算能力,屬于中等題.5、C【解析】
寫出展開式的通項(xiàng)公式,令,即,則可求系數(shù).【詳解】的展開式的通項(xiàng)公式為,令,即時(shí),系數(shù)為.故選C【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開的通項(xiàng)公式,屬基礎(chǔ)題.6、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.7、C【解析】
設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由三角函數(shù)的定義得,,,利用輔助角公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)射線OA與x軸正向所成的角為,由已知,,,所以,當(dāng)時(shí),取得等號(hào).故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查正弦型函數(shù)的最值問題,涉及到三角函數(shù)的定義、輔助角公式等知識(shí),是一道容易題.8、B【解析】
根據(jù)題意可得:,所求式子利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn),再利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系弦化切后,將代入計(jì)算即可求出值.【詳解】由于直線的傾斜角為,所以,則故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角的正弦函數(shù)公式,同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,以及直線傾斜角與斜率之間的關(guān)系,熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵.9、B【解析】
設(shè)過點(diǎn)作的垂線,其方程為,聯(lián)立方程,求得,,即,由,列出相應(yīng)方程,求出離心率.【詳解】解:不妨設(shè)過點(diǎn)作的垂線,其方程為,由解得,,即,由,所以有,化簡(jiǎn)得,所以離心率.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的概念、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解、推理論證能力,屬于中檔題.10、A【解析】
根據(jù)實(shí)數(shù)滿足的等量關(guān)系,代入后將方程變形,構(gòu)造函數(shù),并由導(dǎo)函數(shù)求得的最大值;由基本不等式可求得的最小值,結(jié)合存在性問題的求法,即可求得正數(shù)的取值范圍.【詳解】函數(shù),,由題意得,即,令,∴,∴在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,∴,而,當(dāng)且僅當(dāng),即當(dāng)時(shí),等號(hào)成立,∴,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)在求函數(shù)最值中的應(yīng)用,由基本不等式求函數(shù)的最值,存在性成立問題的解法,屬于中檔題.11、D【解析】
構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)區(qū)間,由此判斷出的大小關(guān)系.【詳解】依題意,得,,.令,所以.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.所以,且,即,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,考查對(duì)數(shù)式比較大小,屬于中檔題.12、D【解析】分析:根據(jù)平面向量的數(shù)量積可得,再結(jié)合圖形求出與方向上的投影即可.詳解:如圖所示:,,,又,,在方向上的投影是:,故選D.點(diǎn)睛:本題考查了平面向量的數(shù)量積以及投影的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由三視圖還原原幾何體,該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,由棱錐體積公式求棱錐體積,由勾股定理求最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度.【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示:該幾何體為四棱錐,底面為直角梯形,,,側(cè)棱底面,則該幾何體的體積為,,,因此,該棱錐的最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)度為.故答案為:;.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖求體積、棱長(zhǎng),關(guān)鍵是由三視圖還原原幾何體,是中檔題.14、【解析】
根據(jù)二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式即可得結(jié)果.【詳解】解:(2x-1)7的展開式通式為:當(dāng)時(shí),,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查求二項(xiàng)展開式指定項(xiàng)的系數(shù),是基礎(chǔ)題.15、【解析】
先根據(jù)題意,求出的解得或,然后求出f(x)的導(dǎo)函數(shù),求其單調(diào)性以及最值,在根據(jù)題意求出函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2,x3(x1<x2<x3),分情況討論求出的取值范圍.【詳解】解:令t=f(x),函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),即+m=0有兩個(gè)不同的解,解之得即或因?yàn)榈膶?dǎo)函數(shù),令,解得x>e,,解得0<x<e,可得f(x)在(0,e)遞增,在遞減;f(x)的最大值為,且且f(1)=0;要使函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn),(1)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解;(2)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解當(dāng)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解,此時(shí),不符合題意;或是不符合題意;所以只能是解得,此時(shí)=-m,此時(shí)有兩個(gè)不同的解,此時(shí)有一個(gè)解此時(shí),不符合題意;或是不符合題意;所以只能是解得,此時(shí)=,綜上:的取值范圍是故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的綜合,考查到了函數(shù)的零點(diǎn),導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用,以及數(shù)形結(jié)合的思想、分類討論的思想,屬于綜合性極強(qiáng)的題目,屬于難題.16、【解析】
從四道題中隨機(jī)抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會(huì)的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機(jī)抽取2道作答,共有種,小李會(huì)其中的三道題,則抽到的2道題小李都會(huì)的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準(zhǔn)確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個(gè)數(shù).三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17、(Ⅰ),;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),由,得到,兩邊同除以,得到.再根據(jù)是等差數(shù)列.求解.(Ⅱ),根據(jù)前n項(xiàng)和的定義得到,令,研究其增減性即可.【詳解】(Ⅰ)當(dāng)時(shí),,所以,即,所以.因?yàn)槭堑炔顢?shù)列.,所以,,令,,,所以,即;(Ⅱ),所以,,令,所以,,即,所以數(shù)列是遞增數(shù)列,所以,即.【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的定義,前n項(xiàng)和以及數(shù)列的增減性,還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)根據(jù)三角形面積公式及平面向量數(shù)量積定義代入公式,即可求得,進(jìn)而求得的值;(2)根據(jù)正弦定理將邊化為角,結(jié)合(1)中的值,即可將表達(dá)式化為的三角函數(shù)式;結(jié)合正弦和角公式與輔助角公式化簡(jiǎn),即可求得和,進(jìn)而由正弦定理確定,代入整式即可求解.【詳解】(1)因?yàn)?,所以由三角形面積公式及平面向量數(shù)量積運(yùn)算可得,所以.因?yàn)?,所?(2)因?yàn)?,所以由正弦定理代入化?jiǎn)可得,由(1),代入可得,展開化簡(jiǎn)可得,根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)可得.因?yàn)椋?,所以,所以為等腰三角形,且,所?【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用,三角形面積公式的應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,正弦和角公式及輔助角公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.19、(1),(2)【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,與作差可得,即可得到數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,即可求解;對(duì)取自然對(duì)數(shù),則,即是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,即可求解;(2)由(1)可得,再利用錯(cuò)位相減法求解即可.【詳解】解:(1)因?yàn)?,①當(dāng)時(shí),,解得;當(dāng)時(shí),有,②由①②得,,又,所以,即數(shù)列是首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,故,又因?yàn)?且,取自然對(duì)數(shù)得,所以,又因?yàn)?所以是以1為首項(xiàng),以2為公比的等比數(shù)列,所以,即(2)由(1)知,,所以,③,④③減去④得:,所以【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和.20、(I)an=2n-1,bn=【解析】
(I)直接利用等差數(shù)列,等比數(shù)列公式聯(lián)立方程計(jì)算得到答案.(II)n2【詳解】(I)a1=b解得d=2q=3,故an=2n-1(II)n=14+【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列,等比數(shù)列,裂項(xiàng)求和,意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.21、(1).(2).【解析】
(1)先根據(jù)空間直角坐標(biāo)系,求得向量和向量的坐標(biāo),再利用線線角的向量方法求解.(2)分別求得平面BFC1的一個(gè)法向量和平面BCC1的一個(gè)法向量,再利用面面角的向量方法求解.【詳解】規(guī)范解答(1)因?yàn)锳B=1,AA1=2,則F(0,0,0),A,C,B,E,所以=(-1,0,0),=記異面直線AC和BE所成角為α,則cosα=|cos〈〉|==,所以異面直線AC和BE所成角的余弦值為.(2)設(shè)平面BFC1的法向量為=(x1,y1,z1).因?yàn)椋?,=,則取x1=4,得平面BFC1的一個(gè)法向量為=(4,0,1).設(shè)平面BCC1的法向量為=(x2,y2,z2).因?yàn)椋剑?0,0,2),則取x2=得平面BCC1的一個(gè)法向量為=(,-1,0),所以cos〈〉==根據(jù)圖形可知二面角F-BC1-C為銳二面角,所以二面角F-BC1-C的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量法研究空間中
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