新教材高中數(shù)學(xué)第1章集合與邏輯22充分條件和必要條件課件湘教版必修第一冊

1.2.2充分條件和必要條件第1章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.通過對典型數(shù)學(xué)命題的梳理,理解充分條件、必要條件的意義.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解性質(zhì)定理與必要條件、判定定理與充分條件、定義與充要條件之間的關(guān)系.(數(shù)學(xué)抽象)3.掌握充分而不必要條件、必要而不充分條件和充要條件的判定方法.(邏輯推理)4.掌握充分而不必要條件、必要而不充分條件和充要條件的簡單應(yīng)用.(邏輯推理)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)情境導(dǎo)入著名童話《愛麗絲漫游奇境記》的作者,英國劍橋大學(xué)數(shù)學(xué)講師卡洛爾曾提出如下趣題:如果已經(jīng)知道以下信息:①室內(nèi)所有有日期的信都是用藍(lán)紙寫的;②瑪麗寫的信都是以“親愛的”開頭的;③除了查理以外沒有人用黑墨水寫信;④我可以看到的信都沒有收藏起來;⑤只有一頁信紙的信中,沒有一封沒注明日期;⑥未作記號的信都是用黑墨水寫的;⑦用藍(lán)紙寫的信都收藏起來了;⑧一頁以上信紙的信中,沒有一封是做記號的;⑨以“親愛的”開頭的信,沒有一封是查理寫的.請判斷:我是否可以看瑪麗的信?結(jié)論是什么呢?學(xué)習(xí)了本節(jié)內(nèi)容后,運(yùn)用充分條件與必要條件的知識進(jìn)行邏輯推理就容易判斷結(jié)果了.

知識梳理知識點(diǎn)一:充分條件與必要條件當(dāng)“若p,則q”成立,即p?q時,把

p叫作

q的充分條件,q叫作p的必要條件.p?q可以理解為若p成立,則q一定也成立,即p對于q的成立是充分的;反過來,若q不成立,則p必不成立,即q對于p的成立是必要的.自然地,若pq,則p不是q的充分條件,q也不是p的必要條件.名師點(diǎn)析

1.在邏輯推理中“p?q”的幾種說法(1)“若p,則q”為真命題.(2)p是q的充分條件.(3)q是p的必要條件.(4)p的必要條件是q.(5)q的充分條件是p.這五種說法表示的邏輯關(guān)系是一樣的,說法不同而已.2.對充分條件的理解

(1)充分條件是某一個結(jié)論成立應(yīng)具備的條件,當(dāng)命題具備此條件時,就可以得出此結(jié)論或使此結(jié)論成立.(2)只要具備此條件就足夠了,當(dāng)命題不具備此條件時,結(jié)論也有可能成立,例如x=6?x2=36,但是,當(dāng)x≠6時,x2=36也可以成立,“x=-6”也是“x2=36成立”的充分條件.3.對必要條件的理解

(1)必要條件是在充分條件的基礎(chǔ)上得出的,真命題的條件是結(jié)論成立的充分條件,但不一定是結(jié)論成立的必要條件;假命題的條件不是結(jié)論成立的充分條件,但有可能是結(jié)論成立的必要條件.(2)“p是q的必要條件”的理解:若有q,則必須有p;而具備了p,則不一定有q.微思考用恰當(dāng)?shù)恼Z言表示下列語句的意義.①一個人若驕傲自滿,則必然落后;②只有同心協(xié)力,才能把事情辦好.提示

①若不驕傲自滿,則可能不落后,也可能落后,驕傲自滿是落后的充分條件;②若不同心協(xié)力,則不能把事情辦好,同心協(xié)力是辦好事情的必要條件.微練習(xí)下列命題是真命題的是(

)①“x>3”是“x>4”的必要條件;②“x=”是“x2=5”的必要條件;③“a=0”是“ab=0”的必要條件.A.①②

B.②③C.②

D.①

答案

D解析

x>4?x>3,故①是真命題;x=?x2=5,x2=5x=,故②是假命題;a=0?ab=0,ab=0a=0,故③是假命題.知識點(diǎn)二:充要條件如果既有

p?q,又有q?p,就記作

p?q.即p既是q的充分條件,又是q的必要條件,此時我們稱p是q的充分必要條件,簡稱充要條件.當(dāng)然,此時q也是p的充分必要條件.換句話說,如果一個命題和它的逆命題都成立,則此命題的條件和結(jié)論互為充分必要條件.名師點(diǎn)析

常見的四種條件與命題真假的關(guān)系如果有命題“若p,則q”和“若q,則p”,那么p與q的關(guān)系有以下四種情形:命題“若p,則q”命題“若q,則p”p與q的關(guān)系真真p是q的充要條件q是p的充要條件真假p是q的充分而不必要條件q是p的必要而不充分條件假真p是q的必要而不充分條件q是p的充分而不必要條件假假p是q的既不充分又不必要條件q是p的既不充分又不必要條件微思考用定義法判斷充分條件和必要條件的一般步驟是什么?提示

(1)判定“若p,則q”和“若q,則p”的真假.(2)嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為充分條件,否則就不是充分條件.(3)嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為必要條件,否則就不是必要條件.微練習(xí)“x=0”是“x2=0”的(

)A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.既不充分又不必要條件D.充要條件答案

D解析

因為當(dāng)x=0時,x2=0,當(dāng)x2=0時,x=0,所以“x=0”是“x2=0”的充要條件.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一充分條件、必要條件的判斷例1判斷下列各題中,p是不是q的充分條件:(1)p:a∈Q,q:a∈R.(3)p:(a-2)(a-3)=0,q:a=3.(4)在△ABC中,p:∠A>∠B,q:BC>AC.分析逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.解

(1)由于Q?R,所以p?q,所以p是q的充分條件.所以p不是q的充分條件.(3)設(shè)A={a|(a-2)(a-3)=0},B={3},則B?A.因此pq,所以p不是q的充分條件.(4)由同一個三角形中大角對大邊可知,若∠A>∠B,則BC>AC.因此,p?q,所以p是q的充分條件.例2判斷下列各題中的q是不是p的必要條件:(2)p:-2≤x≤5,q:-1≤x≤5.(3)p:三角形是等邊三角形,q:三角形是等腰三角形.分析逐個判斷“若p,則q”是否為真命題.所以p?q,所以q是p的必要條件.(2)設(shè)A=[-2,5],B=[-1,5],則B?A,所以pq,所以q不是p的必要條件.(3)等邊三角形一定是等腰三角形.所以p?q,所以q是p的必要條件.反思感悟

充分條件、必要條件的兩種判斷方法(1)定義法:①確定誰是條件,誰是結(jié)論.②嘗試從條件推結(jié)論,若條件能推出結(jié)論,則條件為結(jié)論的充分條件,否則就不是結(jié)論的充分條件.③嘗試從結(jié)論推條件,若結(jié)論能推出條件,則條件為結(jié)論的必要條件,否則就不是結(jié)論的必要條件.(2)命題判斷法:①如果命題“若p,則q”為真命題,那么p是q的充分條件,同時q是p的必要條件.②如果命題“若p,則q”為假命題,那么p不是q的充分條件,同時q也不是p的必要條件.變式訓(xùn)練1對任意實數(shù)a,b,c,在下列命題中,真命題是(

)A.“ac>bc”是“a>b”的必要條件B.“ac=bc”是“a=b”的必要條件C.“ac>bc”是“a>b”的充分條件D.“ac=bc”是“a=b”的充分條件答案

B探究二充分而不必要條件、必要而不充分條件的判斷例3用“充分而不必要”“必要而不充分”“充要”和“既不充分又不必要”填空.分析從集合觀點(diǎn)“小范圍大范圍”進(jìn)行理解判斷→注意特殊值的使用

答案

(1)充分而不必要

(2)既不充分又不必要

反思感悟

充分而不必要條件、必要而不充分條件的判斷方法(1)判斷p是q的什么條件,實際上是判斷“若p,則q”和“若q,則p”的真假.若“若p,則q”為真,“若q,則p”為假,則p為q的充分而不必要條件;若“若p,則q”為假,“若q,則p”為真,則p為q的必要而不充分條件;若“若p,則q”為真,“若q,則p”為真,則p為q的充要條件;若“若p,則q”,“若q,則p”均為假,則p為q的既不充分又不必要條件.(2)在判斷時注意反例法的應(yīng)用.變式訓(xùn)練2判斷下列各題中,p是不是q的充要條件:(1)若a,b∈R,p:a2+b2=0,q:a=b=0;(2)p:|x|>3,q:x2>9.解

(1)若a2+b2=0,則a=b=0,即p?q;若a=b=0,則a2+b2=0,即q?p,故p?q,所以p是q的充要條件.(2)由于p:|x|>3?q:x2>9,所以p是q的充要條件.探究三充分條件與必要條件的應(yīng)用例4已知p:-2≤x≤10,q:1-m≤x≤1+m(m>0),若p

是q的必要而不充分條件,求實數(shù)m的取值范圍.分析根據(jù)條件的充分必要性構(gòu)建不等式組,解不等式組可得實數(shù)m的取值范圍.解

因為p是q的必要而不充分條件,反思感悟

由條件關(guān)系求參數(shù)的取值范圍的方法(1)化簡p,q;(2)根據(jù)p與q的關(guān)系(充分、必要、充要)轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系;(3)利用集合間的關(guān)系建立不等關(guān)系;(4)求解參數(shù)取值范圍.延伸探究若p是q的充分而不必要條件,其他條件不變,試求m的取值范圍.解得m≥9,所以實數(shù)m的取值范圍是[9,+∞).素養(yǎng)形成數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用在解答有關(guān)充分條件、必要條件的判斷,或者根據(jù)條件間的充分性、必要性求參數(shù)的取值范圍時,有時要借助于韋恩圖或數(shù)軸求解,可以比較形象、直觀地解決問題,培養(yǎng)我們直觀想象的核心素養(yǎng).1.韋恩圖的應(yīng)用(1)用列舉法表示集合,可以很清晰地判斷條件間的關(guān)系.(2)把條件用集合來表示,將抽象的條件具體化、形象化,方便判斷.典例1

已知集合A={1,2,3,4,5},B={3,4,5},則x∈A是x∈B的(

)A.充分而不必要條件B.充要條件C.必要而不充分條件D.既不充分又不必要條件分析作出韋恩圖,判斷集合A和集合B之間的關(guān)系,進(jìn)而做出判斷.解析

作出韋恩圖,如圖所示,可知x∈B?x∈A,但x∈Ax∈B,所以x∈A是x∈B的必要而不充分條件.答案

C2.數(shù)軸的應(yīng)用(1)判斷涉及集合的條件間的充分性、必要性時,如果集合中的實數(shù)為連續(xù)性的,則可用數(shù)軸表示集合做出判斷.(2)在根據(jù)條件間的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍時,一般轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系,用數(shù)軸法解決,這種解法更加的直觀形象,不易出錯.典例2

已知命題p:-1<x<3,命題q:-m<x<m(m>0),若p是q的必要條件,求實數(shù)m的取值范圍.分析

把條件間的充分性、必要性轉(zhuǎn)化為集合間的包含關(guān)系,在數(shù)軸上表示出來,列出不等式組,解不等式組可得參數(shù)的取值范圍.解

設(shè)A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m},因為p是q的必要條件,所以B?A,在數(shù)軸上標(biāo)出兩集合,如圖,所以m的取值范圍是(