高考沖刺資料

隆

中

高

考

數(shù)

學(xué)

沖

刺

資

料

三學(xué)生

5屆高

的200

招畢業(yè)

獻給即

上?A-A-

簞一

/fVQ

高中數(shù)學(xué)知識匯總

1.熟悉這些解題小結(jié)論，啟迪解題思路、探求解題佳徑，防止解題易誤點的產(chǎn)生，對

提升高考數(shù)學(xué)成績將會起到一定的積極作用.

2.所有定義、概念、公式、解題方法都就熟記，但對所有定理、公式、方法應(yīng)在弄清

它的來龍去脈后再熟記。

3.重要建議：在閱讀的同時結(jié)合做過的具體的題目進行反思(成功經(jīng)驗和錯誤教訓(xùn))

效果會更好。

一、集合與簡易邏輯

L集合的元素具有無序性和互異性.

2.對集合4B,/口8=0時，你是否注意到“極端”情況：4=0或8=0；求集

合的子集時是否注意到0是任何集合的子集、0是任何非空集合的真子集⑨

3.對于含有〃個元素的有限集合其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數(shù)依

次為2",2"—1,2"-i,2n-2.

4.“交的補等于補的并，即G；(Zn8)=Cu4UG；8”；“并的補等于補的交，即

GX/UBxqzncQ.

5.判斷命題的真假

關(guān)鍵是“抓住關(guān)聯(lián)字詞”；注意："不'或'即'且'，不'且'即'或.

6.“或命題”的真假特點是“一真即真，要假全假”；“且命題”的真假特點是"一假即

假，要真全真”；“非命題”的真假特點是“一真一假”.

7.四種命題中“，逆’者'交換'也"、"，否'者'否定'也”.

原命題等價于逆否命題，但原命題與逆命題、否命題都不等價.反證法分為三步：假設(shè)、

推矛、得果.

注意：斑題的透定是“命題的韭鯉，也就是’條件丕至僅查定結(jié)論’所得命題”，

但查命題是“既查定原俞超的條佳作.為條件八乂查定凰葩題的.結(jié)論隹為績論政所得余題"?.

8.充要條件三種判定方法：定義法，集合法，逆否命題轉(zhuǎn)化法

二、函數(shù)

1.指數(shù)式、對數(shù)式，

m1---_m

“"=行，/=41，…=N

an

/=Nolog,N=b(a>G,a#l,N>0),.

Q°=1,log.1=0,log。4=1,Ig2+lg5=1,logex=Inx,

log“6=…log/""=-log*-

log,am

2.(1)映射是“‘全部射出‘加'一箭喟曲"；映射中第一個集合Z中的元素必有像，但

第二個集合8中的元素不一定有原像(Z中元素的像有且僅有下一個，但5中元素的原像

可能沒有，也可任意個)：函數(shù)是“非空數(shù)集上的映射”，其中''值域是映射中像集8的子

集”.

(2)函數(shù)圖像與x軸垂線至多一個公共點，但與y軸垂線的公共點可能沒有，也可任意

個.

(3)函數(shù)圖像一定是坐標(biāo)系中的曲線，但坐標(biāo)系中的曲線不一定能成為函數(shù)圖像.

(4)原函數(shù)與反函數(shù)有兩個“交叉關(guān)系”：自變量與因變量、定義域與值域.求一個函數(shù)的

反函數(shù)，分三步：逆解、交換、定域(確定原函數(shù)的值域，并作為反函數(shù)的定義域).

注意：①=6=廣")=4,./LT(X)]=X,/T"(X)]=X，

但九廣(初土尸"(x)].

②?函數(shù)y=.f(x+l)的反函數(shù)是y=/T(x)-l，而不是y=/T(x+l).

3.單調(diào)性和奇偶性

(1)奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同.

偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反.

單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)和原函數(shù)有相同的性；如果奇函數(shù)有反函數(shù)，那么其反函數(shù)一定還

是奇函數(shù).

注意：(1)確定函數(shù)的奇偶性，務(wù)必先判定函數(shù)定義域是否關(guān)于原點對稱?.確定函

數(shù)奇偶性的常用方法有：定義法、圖像法等等.

對于偶函數(shù)而言有：/(-X)=/(X)=/(IXI).

(2)若奇函數(shù)定義域中有0,則必有/(0)=0.即0e/(x)的定義域時，/(0)=0是

/(X)為奇函數(shù)的必要非充分條件.

(3)確定函數(shù)的單調(diào)性或單調(diào)區(qū)間，在解答題中常用：定義法(取值、作差、鑒定)、

導(dǎo)數(shù)法；在選擇、填空題中還有：數(shù)形結(jié)合法(圖像法)、特殊值法等等.

(4)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的一個充分非必要條件.

(5)定義在關(guān)于原點對稱區(qū)間上的任意一個函數(shù)，都可表示成“一個奇函數(shù)與一個偶函

數(shù)的和(或差)”.

(6)函數(shù)單調(diào)是函數(shù)有反函數(shù)的充分非必要條件，奇函數(shù)可能反函數(shù)，但偶函數(shù)只有

/(x)=0(xe{0})有反函數(shù)；既奇又偶函數(shù)有無窮多個(/(x)=0,定義域是關(guān)于原點對

稱的任意一個數(shù)集).

(7)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性特點是：“同性得增，增必同性；異性得減，減必異性”.

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.

復(fù)合函數(shù)要考慮定義域的變化。(即復(fù)合有意義)

4.對稱性與周期性(以下結(jié)論要消化吸收，不必強記)

⑴函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=/(-x)的圖像關(guān)于直線x=0(歹軸)對稱.

推廣一：如果函數(shù)y=/(x)對于一切xeR,都有/g+x)=/(6-x)成立，那么

V=y(x)的圖像關(guān)于直線》=審(由“X和的一半x=(“+*):3_*)確定”)對稱.

推廣二：函數(shù)y=/(a+x),歹=/(b—x)的圖像關(guān)于直線》=與@(由a+x=b—x

確定)對稱.

(2)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=—/(x)的圖像關(guān)于直線夕=0(x軸)對稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)尸〃—/(x)的圖像關(guān)于直線八速對稱(山“y和的一

=Py=-----------------確定).

(3)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)歹=—/(—X)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點中心對稱.

推廣：函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=加一/(〃—x)的圖像關(guān)于點號,啰中心對稱.

(4)函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=廣(x)的圖像關(guān)于直線y=x對稱.

推廣：曲線/(x,y)=0關(guān)于直線y=x+b的對稱曲線是f(y-b,x+b)=Q;

曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=-x+b的對稱曲線是/(—y+b,-x+b)=0.

(5)曲線)(x,y)=0繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)90°,所得曲線是/(乂—x)=0(逆時針橫變再

交換).

特別：y=/(x)繞原點逆忖針旋轉(zhuǎn)90°,得—x=/(y),若夕=/(x)有反函數(shù)

y-f-'(x),則得卜=廣(-x).

曲線/(x,刃=0繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°,所得曲線是/(-y,x)=0(順時針縱變再交

換).

特別：y=/(x)繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90°，得x=/(—m，若夕=/(x)有反函數(shù)

y=f-'(x),則得歹=—尸(江

(6)類比“三角函數(shù)圖像”得：

若y=/(x)圖像有兩條對稱軸x=a,x=6(a*6),則y=/(x)必是周期函數(shù)，且一

周期為T=2|a-b|.

若歹=/(x)圖像有兩個對稱中心Z(a,0),83,0)(aw6),則歹=/(x)是周期函數(shù)，且

一周期為7=2|。一6|.

如果函數(shù)卜="X)的圖像有下一個對稱中心/(a,0)和一條對稱軸x=bm*b),則函數(shù)

y=/(x)必是周期函數(shù)，且一周期為7=4|。一6|.

如果y=/(x)是R上的周期函數(shù)，且一個周期為7,那么/(x±〃7)=/(x)(〃wZ).

特別：若/*+。)=-/'。)(。工0)恒成立，則T=2a.

若/(x+a)=」一(。豐0)恒成立，則T=2a.若/(x+a)=——(a豐0)恒

f(x)f(x)

成立，則T=2a.

如果y=/(x)是周期函數(shù)，那么y=/(x)的定義域“無界”.

5.圖像變換

(1)函數(shù)圖像的平移和伸縮變換應(yīng)注意哪些問題？

函數(shù)y=/(X)的圖像按向量)=伏,6)平移后，得函數(shù)v-//=-x-公的圖像.

(2)函數(shù)圖像的平移、伸縮變換中，圖像的特殊點、特殊線也作相應(yīng)的變換.

(3)圖像變換應(yīng)重視將所研究函數(shù)與常見函數(shù)(正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、一次函數(shù)、

二次函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)、“魚鉤函數(shù)y=x+1(左＞0)”及函數(shù)

N=x+§(左＜0)等)相互轉(zhuǎn)化.

注意：①形如y=ax2+bx+c的函數(shù)，不一定是二次函數(shù).

②應(yīng)特別重視“二次三項式”、“二次方程”、“二次函數(shù)”、“二次曲線”之間的特別聯(lián)系.

③形如歹=詈若匕*°標(biāo)豐6c)的圖像是等軸雙曲線，雙曲線兩漸近線分別直線

x=—4(山分母為零確定)、直線歹=旦(由分子、分母中x的系數(shù)確定)，雙曲線的中心是

CC

點(―③

三、數(shù)列

1.數(shù)列的通項、數(shù)列項的項數(shù)，遞推公式與遞推數(shù)列，數(shù)列的通項與數(shù)列的前〃項和公

式的關(guān)系：a,=3”?（〃>2）（必要時請分類討論）?

注意：an=（?！啊［）+（6”］一見_2）+…+（4-4）+4；

aa

〃EL.a

an---"---"-'\■

%an-2a\

2.等差數(shù)列｛4｝中：

（1）等差數(shù)列公差的取值與等差數(shù)列的單調(diào)性.

（2）an=ax+｛n-Y）d=am+（n-m）d；p+q=m+n=i>ap+aq=am+an.

（3）｛4+（"］）”,｝、｛左/｝也成等差數(shù)列?（4）兩等差數(shù)列對應(yīng)項和（差）組成的新數(shù)列仍成

等差數(shù)列.

（5）al+a2+---+am,ak+ak+i+…+0^5-1，…仍成等差數(shù)列，

（6）s“=；4）,Sa+嗎Dd，S“=y?2+（<7,，

⑺ap=q,a（/=p（p手q）=ap+q=0；Sp=q,Sq=p（pq）Sp+（1=-（p+q）；

S,“+,=Sm+Sn+mnd.

（8）“首正”的遞減等差數(shù)列中，前〃項和的最大值是所有非負(fù)項之和；

“首負(fù)”的遞增等差數(shù)列中，前〃項和的最小值是所有非正項之和；

（9）有限等差數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還

是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”一“奇數(shù)項和”=總項數(shù)的一半與其公差的

積；若總項數(shù)為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”一“偶數(shù)項和”=此數(shù)列的中項.

（10）兩數(shù)的等差中項惟一存在.在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，?？紤]選用“中項關(guān)

系”轉(zhuǎn)化求解.

（11）判定數(shù)列是否是等差數(shù)列的主要方法有：定義法、中項法、通項法、和式法、圖像

法（也就是說數(shù)列是等差數(shù)列的充要條件主要有這五種形式）.

3.等比數(shù)列｛4｝中：

（1）等比數(shù)列的符號特征（全正或全負(fù)或一正一負(fù)），等比數(shù)列的首項、公比與等比數(shù)列

的單調(diào)性.

nm

（1）an=a,q-'=amq"-；p+q=m+n^bp-bt/=bm-bn.

⑶｛以h｛4+（J）,J、｛總“｝成等比數(shù)列；｛/｝、｛4｝成等比數(shù)列成等比

數(shù)列.

(4)兩等比數(shù)列對應(yīng)項積(商)組成的新數(shù)列仍成等比數(shù)列.

(5)6+%+…+4+%+1+…+4+w-l，…成等比數(shù)列.

叫(7=1)陽(q=1)

(6)S=<q-a“q%(1W)色?？?/p>

n=("1)

.i-qi-q'

特別：a"-b"=(a-b\an-'+af+a^h2+???+abn-2+bn~').

n

⑺Sm+n=Sm+q'Sn=Sn+q"Sm.

(8)“首大于1”的正值遞減等比數(shù)列中，前〃項積的最大值是所有大于或等于1的項

的積；“首小于1”的正值遞增等比數(shù)列中，前〃項積的最小值是所有小于或等于1的項的

積；

(9)有限等比數(shù)列中，奇數(shù)項和與偶數(shù)項和的存在必然聯(lián)系，由數(shù)列的總項數(shù)是偶數(shù)還

是奇數(shù)決定.若總項數(shù)為偶數(shù)，則“偶數(shù)項和”=“奇數(shù)項和”與“公比”的積；若總項數(shù)

為奇數(shù)，則“奇數(shù)項和”=“首項”加上“公比”與“偶數(shù)項和”積的和.

(10)并非任何兩數(shù)總有等比中項.僅當(dāng)實數(shù)a,6同號時，實數(shù)存在等比中項.對同

號兩實數(shù)a,6的等比中項不僅存在，而且有?對G=±，石.也就是說，兩實數(shù)要么沒有等比

中項(非同號時)，如果有，必有一對(同號時).在遇到三數(shù)或四數(shù)成等差數(shù)列時，常優(yōu)先考

慮選用“中項關(guān)系”轉(zhuǎn)化求解.

(11)判定數(shù)列是否是等比數(shù)列的方法主要有：定義法、中項法、通項法、和式法(也就是

說數(shù)列是等比數(shù)列的充要條件主要有這四種形式).

4.等差數(shù)列與等比數(shù)列的聯(lián)系

(1)如果數(shù)列｛%｝成等差數(shù)列，那么數(shù)列｛1"｝(4%總有意義)必成等比數(shù)列.

(2)如果數(shù)列｛%｝成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛log/an||(?〉0,aW1)必成等差數(shù)列.

(3)如果數(shù)列｛4｝既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列，那么數(shù)列｛a,｝是非零常數(shù)數(shù)列；但數(shù)列

｛4｝是常數(shù)數(shù)列僅是數(shù)列既成等差數(shù)列又成等比數(shù)列的必要非充分條件.

(4)如果兩等差數(shù)列有公共項，那么由他們的公共項順次組成的新數(shù)列也是等差數(shù)列，

且新等差數(shù)列的公差是原兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù).

如果個等差數(shù)列與一個等比數(shù)列有公共項順次組成新數(shù)列，那么常選用“由特殊到

一般的方法”進行研討，且以其等比數(shù)列的項為主，探求等比數(shù)列中那些項是他們的公共項，

并構(gòu)成新的數(shù)列.

注意：(1)公共項僅是公共的項，其項數(shù)不一定相同，即研究?！?耙.但也有少數(shù)問題中

研究凡=”,這時既要求項相同，也要求項數(shù)相同.(2)且四吐數(shù)成筆差圜的史項轉(zhuǎn)化和

通項轉(zhuǎn)化法.

5.數(shù)列求和的常用方法：

（1）公式法：①等差數(shù)列求和公式（三種形式），②等比數(shù)列求和公式（三種形式），

③1+2+3+…+1）,12+22+32+---+?2=^/7（/7+1）（2?+1）,

26

1+3+5+—+（2〃-1）=”2,1+3+5+―+（2〃+1）=（〃+1）2.

（2）分組求和法：在直接運用公式法求和有困難時，常將“和式”中“同類項”先合

并在一起，再運用公式法求和.

（3）倒序相加法：在數(shù)列求和中，若和式中到首尾距離相等的兩項和有其共性或數(shù)列

的通項與組合數(shù)相關(guān)聯(lián)，則常可考慮選用倒序相加法，發(fā)揮其共性的作用求和（這也是等差

數(shù)列前〃和公式的推導(dǎo)方法）.

（4）錯位相減法：如果數(shù)列的通項是由?個等差數(shù)列的通項與一個等比數(shù)列的通項相

乘構(gòu)成，那么常選用錯位相減法，將其和轉(zhuǎn)化為“一個新的的等比數(shù)列的和”求解（注意：

一般錯位相減后，其中“新等比數(shù)列的項數(shù)是原數(shù)列的項數(shù)減一的差”!）（這也是等比數(shù)列

前〃和公式的推導(dǎo)方法之一）.

（5）裂項相消法：如果數(shù)列的通項可“分裂成兩項差”的形式，且相鄰項分裂后相關(guān)

聯(lián)，那么常選用裂項相消法求和.常用裂項形式有：

①-②

+n〃+1〃（〃+4）knn+k

=-（———）-

k2k2-12k-\k+l

_111111

kk+\（左+1）左k~（k一l）kk-\k

\37——IJ，7)—

"(〃一1)(〃+2)2n(n+1)(〃+l)(〃+2)(〃+l)!n\(n+1)!

⑥2(J〃+1-y/n)<—<2(VH-yjn-1),

yin

⑦%=S「S,,T(〃>2)，⑧c：i+c;==C：=C"c：;-'.

特別聲明：?運用等比數(shù)列求和公式，務(wù)必檢查其公比與1的關(guān)系，必要時分類討論.

（6）通項轉(zhuǎn)換法。

6.分期付款型應(yīng)用問題

（1）重視將這類應(yīng)用題與等差數(shù)列或等比數(shù)列相聯(lián)系.

（2）若應(yīng)用問題像“森林木材問題”那樣，既增長又砍伐，則常選用“統(tǒng)一法”統(tǒng)一到

“最后”解決.

（3）“分期付款”、“森林木材”等問題的解決過程中，務(wù)必“掰手指”，細心計算“年限”

作為相應(yīng)的“指數(shù)”.?

最后要弄清《數(shù)列第二輪專題復(fù)習(xí)講座》中有關(guān)的題型和方法。

四、三角函數(shù)

1.a終邊與。終邊相同（￡的終邊在。終邊所在射線上）=a=6+2%乃（％eZ）.

a終邊與。終邊共線（a的終邊在。終邊所在直線上）=.

a終邊與。終邊關(guān)于x軸對稱oa=-6+2左不（keZ）.

a終邊與0終邊關(guān)于y軸對稱oa=萬-。+2k兀（keZ）.

a終邊與。終邊關(guān)于原點對稱=a=7i+0+2k兀（kGZ）.

一般地：a終邊與。終邊關(guān)于角尸的終邊對稱=a=2/-e+2jbr/wZ）.

a與會的終邊關(guān)系山“兩等分各象限、一二三四”確定.

2.弧長公式：/=|c|R,扇形面積公式：5=2東=小團尺2,1弧度（lrad）a57.3°.

3.三角函數(shù)符號特征是：一是全正、二正弦正、三是切正、四余弦正.

注意：sin15。=cos75。=諉亍/,sin75。=cos15。=顯二顯，

44

tan15°=cot75°=2-百,tan75°=cot15°=2+6，sin18°-.

4.三角函數(shù)線的特征是：正弦線“站在x軸上（起點在x軸上”'、余弦線"躺在x軸上（起

點是原點）”、正切線“站在點/（1,0）處（起點是/）”.務(wù)必重視''三角函數(shù)值的大小與單位

圓上相應(yīng)點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，‘正弦'='縱坐標(biāo)‘、‘余弦'='橫坐標(biāo)'、'正切'=

'縱坐標(biāo)除以橫坐標(biāo)之商'”；務(wù)必記?。簡挝粓A中角終邊的變化與sina士cosa值的大小

變化的關(guān)系.a為銳角nsina<a<tana.

cosasina+cosasina-cosa

5.三角函數(shù)同角關(guān)系中，平方關(guān)系的運用中，務(wù)必重視''根據(jù)已知角的范圍和三角函數(shù)

的取值，精確確定角的范圍，并進行定號”；

6.三角函數(shù)誘導(dǎo)公式的本質(zhì)是：奇變偶不變，符號看象限.

7.三角函數(shù)變換主要是：角、函數(shù)名、次數(shù)、系數(shù)（常值）的變換，其核心是“角的變換”！

角的變換主要有：已知角與特殊角的變換、已知角與目標(biāo)角的變換、角與其倍角的變

換、兩角與其和差角的變換.

如a=3+￡)—4=(a—/7)+/?,2a=(a+￡)+(a—2)，2a=(7?+a)—(6一a)

a+B=2.爸,守=口一名卜（女一夕）等.

常值變換主要指“1”的變換：

1=sin2x+cos2x=sec2x-tan2x=tanx-cotx=tan'=sin「=cost）=…等.

三角式變換主要有：三角函數(shù)名互化（切割化弦）、三角函數(shù)次數(shù)的降升（降次、升次）、

運算結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)化（和式與積式的互化）.解題時本著“三看”的基本原則來進行：“看角、看函

數(shù)、看特征”，基本的技巧有:巧變角，公式變形使用，化切割為弦，用倍角公式將高次降次.

注意：和（差）角的函數(shù)結(jié)構(gòu)與符號特征；余弦倍角公式的三種形式選用；降次（升次）

公式中的符號特征.“正余弦'三兄妹一sinx±cosx、sinxcosx'的內(nèi)存聯(lián)系”（常和三角換

元法聯(lián)系在?起/=sinx±cosx

e[-V2,V2],sinxcosx=）.

輔助角公式中輔助角的確定：asinx+bcosx=+（其中。角所在的

象限由。，6的符號確定，。角的值由tan。=2確定）在求最值、化簡時起著重要作用.尤其

a

是兩者系數(shù)絕對值之比為1或G的情形.Nsinx+8cosx=C有實數(shù)解^A2+B2>C2.

8.三角函數(shù)性質(zhì)、圖像及其變換：

（1）三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、有界性和周期性

注意：正切函數(shù)、余切函數(shù)的定義域；絕對值對三角函數(shù)周期性的影響：一般說來，

某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶

函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變；其他不定.如y=Sil?=|sinx|的周期都是萬,

但^=|sinx|+|cosx|^=|sinx|+|cosx|的周期為%,y=|tanx|的周期不變，問函數(shù)

j=cos|x|,y=sinx2,y=sin|x|,y=cosVx>產(chǎn)cos|x|是周期函數(shù)嗎?

（2）三角函數(shù)圖像及其幾何性質(zhì)：

A

一?鄰中心軸相距于......

-鄰中心=T/2☆鄰軸lx產(chǎn)2—T72

令鄰中心匕-%/二7/2鄰漸近,線的-對二7

'★無對稱軸

無男對稱中心：無劣對稱軸：

無為對稱中心:任意一新率的垂線與正切

由y=0確定由或確定由y=0或y無意義確定函數(shù)圖象都柏文、旦相鄰兩

交疝的距南為一個周期！

（3）三角函數(shù)圖像的變換：兩軸方向的平移、伸縮及其向量的平移變換.

（4）三角函數(shù)圖像的作法：三角函數(shù)線法、五點法（五點橫坐標(biāo)成等差數(shù)列）和變換法.

9.三角形中的三角函數(shù)：

(1)內(nèi)角和定理：三角形三角和為萬，任意兩角和與第三個角總互補，任意兩半角和與

第三個角的半角總互余.銳角三角形=三內(nèi)角都是銳角=三內(nèi)角的余弦值為正值=任兩

角和都是鈍角fz任意兩邊的平方和大于第三邊的平方.

(2)正弦定理：&=/方=2R(R為三角形外接圓的半徑).

sinJsin5sine

注意：已知三角形兩邊一對角，求解三角形時，若運用正弦定理，則務(wù)必注意可能有兩

解.

(3)余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA,cosA=二Q=("2一——1等，

2bc2be

常選用余弦定理鑒定三角形的類型.

(4)面積公式：S=sinC=嘴.

2Z4K

10.反三角函數(shù)：

(1)反正弦arcsinx、反余弦arccosx、反正切arctanx的取值范圍分別是

[-y,y],[0^],(-py).

(2)異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角、向量的夾角的范圍依次是

TTTT

(0,1],幻,[0,幻.直線的傾斜角、/1到的角、4與，2的夾角的范圍依次是

兀

[0,^),[0,^),(0,-].

五、向量

1.向量運算的幾何形式和坐標(biāo)形式，請注意：向量運算中向量起點、終點及其坐標(biāo)的特

征.

2.幾個概念：零向量、單位向量(與在共線的單位向量是士垂_,平行(共線)向量(無

~\AB\

傳遞性，是因為有8)、相等向量(有傳遞性)、相反向量、向量垂直、以及一個向量在另一

向量方向上的投影(石在B上的投影是=|?|cos<￡[>=譽eR).

11M

3.兩非零向量平行(共線)的充要條件￡/力?！?&=(7力2=(內(nèi)歷|)2

<=>x[x2+y1y2=0.

兩個非零向量垂直的充要條件alb<^>a-b=O<=>\a+b\=\a-b\

=再々+%夕2=0?

特別：零向量和任何向量共線.1是向量平行的充分不必要條件!

4.平面向量的基本定理：如果0和02是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面

內(nèi)的任一向量a,有且只有一對實數(shù)不、22,使a=4ei+4e2.

5.三點4B、。共線o刀、配共線；

向量西、而、正中三終點48、C共線。存在實數(shù)￡使得：

方=a而+/e且a+￡=l.

6.向量的數(shù)量積：|a『=（a）2=a.a,a-b=\a\\b\cos0=x}x2+y,y2>

+乂為

一證一舊+j『"

￡在讓的投影=|11cos<￡）>=吧=號+必力.注:<a,b>指夾角，

⑸行7F

注意：夾角。為銳角u>a；>0且a、B不同向;

夾角6為直角=￡$=0且￡、書/6；

夾角。為鈍角=a?書<0且a、B不反向

>g<0是6為鈍角的必要非充分條件.

向量運算和實數(shù)運算有類似的地方也有區(qū)別：一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零

向量，這是題目中的天然條件，要注意運用；對于一個向量等式，可以移項，兩邊平方、兩

邊同乘以一個實數(shù)，兩邊同時取模，兩邊同乘以一個向量，但不能兩邊同除以一個向量，即

兩邊不能約去一個向量；向量的“乘法”不滿足結(jié)合律，即3日?辦工（3?1》，切記兩向

量不能相除（相約）.

7.||?|-|d||<|a±6|<|a|+|6|

注意：a、b同向或有0<z>|a+S|=|a|+|S|>||a|-|i||=|a-ft|；

a、B反向或有60而一3|=|￡|+|。2||￡|-|彼||=|￡+5|；

￡、B不共線=||ZHMI<N±4|<|￡|+|5|.（這些和實數(shù)集中類似）

8.平移與定比分點

（1）線段的定比分點坐標(biāo)公式

設(shè)尸（x,y）、Pl3必），尸2（乃,及），且肝=2兩，則.彳=2空

特別：分點的位置與九的對應(yīng)關(guān)系.

_xt+x2_____

中點坐標(biāo)公式.2,宓=孫+岫o尸為］舄的中點.

A1A2

2

A48C中，益+配過8c邊中點;

_.JP

與ZB共線的單位向量是±3.

\AB\

PG^i(PA+PB+PC)u>G為A48c的重心;

特別⑸+而+定=。=。為A48C的重心.

PAPB=PBPC=PCPA=P為MBC的垂心；

〃寓+酒異）（丸豐0）所在直線過MBC的內(nèi)心（是ZBAC的角平分線所在直線）;

|方|定+|元|西+|5|而=GoPA/I8C的內(nèi)心.

2

SABC=||1S|園sin/=；J可函2-（AB-AC）.

（2）平移公式：如果點尸（x,內(nèi)按向量a=g,與平移至P（x'j'）,則|x'=x+〃.

[y'=y+k

曲線/（x,y）=0按向量“=（〃，A）平移得曲線/。一九了一人）=0.

六、不等式

1。）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；不等式解集的端點值往

往是不等式對應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點值.

（2）解分式不等式?。?仿片（））的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母分解

g（x）

因式，x的系數(shù)變?yōu)檎?標(biāo)根及奇穿過偶彈回）；

（3）含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？（一般是根據(jù)定義分類討論、平方轉(zhuǎn)化或

換元轉(zhuǎn)化）;

（4）解含參不等式常分類等價轉(zhuǎn)化，必要時需分類討論.注意：按參數(shù)討論，最后揭參數(shù)

取值分別說明其解集，但若族未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集，特別提醒：要熟練掌握含叁

的二次不等式的解法【所考察的函數(shù)求導(dǎo)后多數(shù)均可轉(zhuǎn)化為二次型，至少是分子為二次型

如第一、第二次月考題一一不能光想（一知半解），最好練練?！?/p>

2.利用重要不等式622/茄以及變式abW（用也了等求函數(shù)的最值時，務(wù)必注

意a,6eR'（或。，b非負(fù)），且“等號成立”時的條件是積質(zhì)或和a+b其中之一應(yīng)是

定值（一正二定三等四同時）.

3.常用不等式有:>立尹>4^b>丁21（根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運算結(jié)構(gòu)

a+b

選用）“、b、ceR,a2+b2+c2>ab+be+ca（當(dāng)且僅當(dāng)a=6=c時，取等號）

4.比較大小的方法和證明不等式的方法主要有：差比較法、商比較法、函數(shù)性質(zhì)法、綜

合法、分析法和放縮法（注意：對“整式、分式、絕對值不等式”的放縮途徑,“配方、函

數(shù)單調(diào)性等”對放縮的影響）.

5.含絕對值不等式的性質(zhì)：

a、b同號或有0O\a+b\-\a\+\b\>||a|-|||=||；

a、6異號或有0O|a—b|=|a|+|6|2||4|-網(wǎng)|=|。+6|.

注意：不等式恒成立問題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用方程函數(shù)思想和“分離變量法”

轉(zhuǎn)化為最值問題）.

七、直線和圓

1.直線傾斜角與斜率的存在性及其取值范圍；直線方向向量的意義（3=或

A（0,l）（2^0））及其直線方程的向量式（（x-x0,y-%）=/1￡（￡為直線的方向向量））.應(yīng)用直

線方程的點斜式、斜截式設(shè)直線方程時，一般可設(shè)直線的斜率為k,但你是否注意到直線垂

直于x軸時，即斜率左不存在的情況？

2.知直線縱截距6,常設(shè)其方程為、=丘+6或x=0；知直線橫截距％,常設(shè)其方程為

》=叩+為（直線斜率先存在時，加為人的倒數(shù)）或歹=0.知直線過點（須）,盟），常設(shè)其方程

為y=左（》_/）+乂）或%=%.

注意：（1）直線方程的幾種形式：點斜式、斜截式、兩點式、截矩式、一般式、向量式.以

及各種形式的局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截矩式呢？）

與直線/:4c+圾+C=0平行的直線可表示為4x+8y+G=0；

與直線/:/x+圾+C=0垂直的直線可表示為Bx—4y+G=0；

過點P（//o）與直線/:Ax+By+C=0平行的直線可表示為：

A（x-xo）+B（y-yo）=O；

過點P（x。,%）與直線/:4c+圾+C=0垂直的直線可表示為：

B（x-xo）-A（y-yo）=O.

（2）直線在坐標(biāo)軸上的截距可正、可負(fù)、也可為0.直線兩截距相等。直線的斜率為-1或

直線過原點：直線兩截距互為相反數(shù)=直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值

相等=直線的斜率為±1或直線過原點.

（3）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關(guān)系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何

中一般提到的兩條直線可以理解為它們不重合.

3.相交兩直線的夾角和兩直線間的到角是兩個不同的概念：夾角特指相交兩直線所成的

較小角，范圍是而其到角是帶有方向的角，范圍是（0,萬）.相應(yīng)的公式是：夾角公

式tan。=|缶孕|=|［與—起|，直線4到（角公式.注：點

1+幺仁44+屬良/1+左匕44+

到直線的距離公式d=42+肛）1C|.

\IA2+B2

特別：/1=勺%2=T（%］、.都存在時）044+802=0；

—=也離22都存在時）。健:符

’1、’2重合"收=?6、包都存在時）O［%=麓或4c2=52C,,

4.線性規(guī)劃中幾個概念：約束條件、可行解、可行域、目標(biāo)函數(shù)、最優(yōu)解.

5.圓的方程：最簡方程/+產(chǎn)=火2；

標(biāo)準(zhǔn)方程（X—4）2+（y—b）2=R2；

一般式方程x2+y2+Dx+Ey+F=0（D2+爐一4尸>0）；

參數(shù)方程仁二真濡（夕為參數(shù)）；

直徑式方程（》_玉）。_々）+3_必）3_8）=0-

注意：（1）在圓的一般式方程中，圓心坐標(biāo)和半徑分別是

（一號一號,R=，D?+6_4球.

（2）圓的參數(shù)方程為“三角換元”提供了樣板，常用三角換元有：

x2+y2=l—>x=cos6j=sin。，

x2+y2=2->x=yflcose,y=V2sin0,

x2+y2<1x=rcosO^y-rsin6（0<r<1）,

x2+y2<2—>x=rcosO,y=rsin^（0<r<V2）.

6.解決直線與圓的關(guān)系問題有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種思路，等價轉(zhuǎn)

化求解，重要的是發(fā)揮“圓的平面幾何性質(zhì)（如半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形，切

線長定理、割線定理、弦切角定理等等）的作用!”

⑴過圓/+，=R2上一點p（/,比）圓的切線方程是：雙。+妙。=心，

過圓（》-4）2+（夕-6）2=火2上一點「小,九）圓的切線方程是：

2

(X-4)(%-a)+(y-a)(y0-a)=R,

過圓/+產(chǎn)+以+4+尸=0（￡>2+￡2-4F>0）±-點尸（X。,打）圓的切線方程是：

XX。+加+g（x+/）+5（y+夕°）+/=0?

如果點P（x。,%）在圓外，那么上述直線方程表示過點尸兩切線上兩切點的“切點弦”方

如果點尸（％,乳）在圓內(nèi)，那么上述直線方程表示與圓相離且垂直于0/（。為圓心）的

直線方程，|。仔卜4=&2（"為圓心q到直線的距離）.

7.曲線G:f（x,y）=0與C2：g（x/）=0的交點坐標(biāo)o方程組除案;的解；

過兩圓G:-）=0、6：g（x，F(xiàn)）=O交點的圓（公共弦）系為/（x,y）+，g（xj）=O，

當(dāng)且僅當(dāng)無平方項時，/（》,了）+/^。/）=0為兩圓公共弦所在直線方程.

八、圓錐曲線

1.圓錐曲線的兩個定義，及其“括號”內(nèi)的限制條件,在圓錐曲線問題中，如果涉及到

其兩焦點（兩相異定點），那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第一定義；如果涉及到其焦點、準(zhǔn)線（一定

點和不過該點的一定直線）或離心率，那么將優(yōu)先選用圓錐曲線第二定義；涉及到焦點三角

形的問題，也要重視焦半徑和三角形中正余弦定理等幾何性質(zhì)的應(yīng)用.

（1）注意：①圓錐曲線第?定義與配方法的綜合運用；②圓錐曲線第二定義是：”點點距

為分子、點線距為分母”，橢圓=點點距除以點線距商是小于1的正數(shù)，雙曲線=點點距

除以點線距商是大于1的正數(shù)，拋物線o點點距除以點線距商是等于1.③圓錐曲線的焦半

徑公式如下圖：

2.圓錐曲線的幾何性質(zhì)：圓錐曲線的對稱性、圓錐曲線的范圍、圓錐曲線的特殊點線、

圓錐曲線的變化趨勢.其中e=C,橢圓中力="下、雙曲線中力.重視“特征

aaa

直角三角形、焦半徑的最值、焦點弦的最值及其'頂點、焦點、準(zhǔn)線等相互之間與坐標(biāo)系

無關(guān)的幾何性質(zhì)'”，尤其是雙曲線中焦半徑最值、焦點弦最值的特點:注意:等軸雙曲線的

意義和性質(zhì).

3.在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，有“函數(shù)方程思想”和“數(shù)形結(jié)合思想”兩種

思路，等價轉(zhuǎn)化求解.特別是：

①直線與圓錐曲線相交的必要條件是他們構(gòu)成的方程組有實數(shù)解，當(dāng)出現(xiàn)一元二次方

程時，務(wù)必“判別式20"，尤其是在應(yīng)用韋達定理解決問題時,必須先有“判別式20”.

②直線與拋物線（相交不一定交于兩點）、雙曲線位置關(guān)系（相交的四種情況）的特殊性，

應(yīng)謹(jǐn)慎處理.@

③在直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題中，常與“弦”相關(guān)，“平行弦”問題的關(guān)鍵是“斜

率"、"中點弦”問題關(guān)鍵是“韋達定理”或“小小直角三角形"或“點差法”、“長度（弦長）”

問題關(guān)鍵是長度（弦長）公式

222

4/例=yl(xt-x2)+(yt-y2)，\AB|=V1+^\x2-x2

④如果在一條直線上出現(xiàn)“三個或三個以上的點”，那么可選擇應(yīng)用“斜率”為橋梁轉(zhuǎn)

化.

4.要重視常見的尋求曲線方程的方法

（待定系數(shù)法、定義法、直譯法、代點法、參數(shù)法、交軌法、向量法等），以及如何利用

曲線的方程討論曲線的幾何性質(zhì)（定義法、幾何法、代數(shù)法、方程函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、

分類討論思想和等價轉(zhuǎn)化思想等），這是解析幾何的兩類基本問題，也是解析幾何的基本出

發(fā)點.

注意：①如果問題中涉及到平面向量知識,那么應(yīng)從已知向量的特點出發(fā)，考慮選擇向

量的兒何形式進行''摘帽子或脫靴子”轉(zhuǎn)化，還是選擇向量的代數(shù)形式進行“摘帽子或脫靴

子”轉(zhuǎn)化.

②曲線與曲線方程、軌跡與軌跡方程是兩個不同的概念,尋求軌跡或軌跡方程時應(yīng)注意

軌跡上特殊點對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.

③在與圓錦曲線相關(guān)的綜合題中，常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合（如角平分線的

雙重身份）、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分

化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等.

5.建立形化數(shù)的思想：

常見的圖形特征如①直線和曲線相交；②點在曲線上；③曲線上的點和焦點相連；④平

行（共線）；⑤垂直；⑥等距離；⑦角平分（對稱）；⑧弦中點等的處理方法要熟練掌握。

九、直線、平面、簡單多面體

1.計算異面直線所成角的關(guān)鍵是壬移（補形）轉(zhuǎn)化為兩直線的夾角，注意使端點相連一一

多數(shù)情況下要補型。

2.計算直線與平面所成的角關(guān)鍵是作面的垂線找射影,或是直二面角的三面角公式

（cos。=cos4cos名），或先運用等積法求點到直線的距離，后虛擬直角三角形求解.注：一

斜線與平面上以斜足為頂點的角的兩邊所成角相等n斜線在平面上射影為角的平分線.

3.計算二面角的大小主要有：定義法（先作其平面角后計算大小）、公式法（cos，=娶）、

等價轉(zhuǎn)換法等等.二面角平面角的主要作法有：定義法（取點、作垂、構(gòu)角）、三垂線法（兩垂

一連，關(guān)鍵是第唾（過二面角一個面內(nèi)一點，作另一個面的垂線））、垂面法.

4.計算空間距離的主要方法有：定義法（先作垂線段后計算）、等積法、轉(zhuǎn)換法（平行換點、

換面）等.

5.空間平行垂直關(guān)系的證明，主要依據(jù)相關(guān)定義、公理、定理和空間向量進行，模式是：

線線關(guān)系。線血關(guān)系。面面關(guān)系，請重視線面平行關(guān)系、線面垂直關(guān)系（三垂線定理

及其逆定理）的橋梁作用.注意：書寫證明過程需規(guī)范.

特別聲明：①證明計算過程中，若