2024年中考數(shù)學壓軸題型-專題05 與反比例函數(shù)有關問題的壓軸題之三大題型(解析版)

專題05與反比例函數(shù)有關問題的壓軸題之三大題型目錄TOC\o"1-3"\h\u【題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題】 1【題型二實際問題與反比例函數(shù)綜合問題】 10【題型三反比例函數(shù)與幾何綜合問題】 18【典型例題】【題型一反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合問題】例題：（2023·浙江溫州·校聯(lián)考模擬預測）已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于點和點.

(1)求的值，并在圖中畫出函數(shù)的圖象；(2)直接寫出不等式的解集．【答案】(1)，畫圖見解析；(2)或．【分析】（）依據(jù)題意，將代入一次函數(shù)解析式可得，再將代入反比例函數(shù)解析式可以求得，然后即可畫出圖象；（）根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方時對應的自變量即可得解；本題考查了反比例函數(shù)和一次函數(shù)交點的問題，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質，一次函數(shù)的圖象和性質等知識是解題的關鍵．【詳解】（1）解：將點代入一次函數(shù)得，∴，∴點的坐標為，把點代入反比例函數(shù)得，解得∴反比例函數(shù)的解析式為，∴反比例函數(shù)的圖象如下圖；

（2）解：由，，根據(jù)函數(shù)圖象可得：不等式的解集為：或．【變式訓練】1．（2023·浙江杭州·模擬預測）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）的圖象交于，B兩點，與x軸交于點C．(1)求此反比例函數(shù)的表達式；(2)若點P在x軸的正半軸上，且，求點P的坐標．【答案】(1)(2)【分析】本題是一次函數(shù)和反比例函數(shù)綜合題：（1）利用點A在上求a，進而代入反比例函數(shù)求k．（2）聯(lián)立方程求出交點，設出點P坐標表示三角形面積，求出P點坐標．【詳解】（1）解：把點代入，得，∴把代入反比例函數(shù)（k為常數(shù)且）∴，∴反比例函數(shù)的表達式為；（2）解：聯(lián)立兩個函數(shù)的表達式得，解得或，∴點B的坐標為當時，得∴點設點P的坐標為∵∴解得，（舍去），∴點．2．（2023·浙江杭州·杭州市豐潭中學?？既＃┮阎淮魏瘮?shù)與反比例函數(shù)，(1)若函數(shù)與函數(shù)的圖像交于點，點，①求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式；②當時，直接寫出的取值范圍；(2)若點在函數(shù)的圖像上，求函數(shù)的圖像經過的定點．【答案】(1)①一次函數(shù)的表達式為，反比例函數(shù)解析式為，②或(2)【分析】（1）①把點代入即可求得，然后由反比例函數(shù)的解析式求得的坐標，最后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的表達式；②在同一平面直角坐標系中，畫出一次函數(shù)圖像與反比例函數(shù)圖像，根據(jù)圖像即可求得；（2）把點代入函數(shù)，得,然后把一次函數(shù)化為即可．【詳解】（1）解：①一次函數(shù)的圖像與反比例函數(shù)的圖像的相交于點，點，反比例函數(shù)解析式為，，，把點，點代入得，解得，一次函數(shù)的表達式為；②一次函數(shù)與反比例函數(shù)在同一平面直角坐標系中的圖像如圖，

由圖可知：當時，或；（2）解：點在函數(shù)的圖像上，得,,,當時，，即過定點．【點睛】本題是反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，函數(shù)與不等式的關系，數(shù)形結合是解題的關鍵．3．（2023·浙江杭州·?？既＃┮阎c在反比例函數(shù)圖象上．(1)求反比例函數(shù)的表達式和點A的坐標；(2)已知一次函數(shù)的圖象經過點A，，求一次函數(shù)的表達式；(3)直接寫出不等式的解集．【答案】(1)反比例函數(shù)解析式為，(2)(3)或【分析】（1）把點A坐標代入反比例函數(shù)解析式中求出m的值即可得到答案；（2）利用待定系數(shù)法求解即可；（3）利用圖象法求解即可．【詳解】（1）解：∵點在反比例函數(shù)圖象上，∴，∴，∴，∴反比例函數(shù)解析式為，；（2）解：把、代入中得：，∴，∴一次函數(shù)的表達式為（3）解：由函數(shù)圖象可得，當或時反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象的上方，∴不等式的解集為或．

【點睛】本題主要考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解題的關鍵．4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）設函數(shù)，函數(shù)（，b是常數(shù)，）．(1)若函數(shù)和函數(shù)的圖像交于點，點，①求b，n的值．②當時，直接寫出x的取值范圍．(2)若點在函數(shù)的圖像上，點C先向下平移1個單位，再向左平移3個單位，得點D，點D恰好落在函數(shù)的圖像上，求m的值．【答案】(1)①②或(2)【分析】（1）①采用待定系數(shù)法即可求出．②采用數(shù)形結合的方法，求出兩個解析式的交點，結合圖像即可求出．（2）結合題意，表示出點D的坐標，然后將C,D兩點代入到中即可求出．【詳解】（1）①把點代入到中，得把代入到中，得再把和代入到中，得解得：綜上：．②如圖所示：解得：結合圖像，當時，x的取值范圍是：或．（2）根據(jù)題意，把點C，D代入到中，得解得：綜上:．【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法，坐標的平移，反比例函數(shù)和一次函數(shù)的圖像和性質，巧妙的運用數(shù)形結合的方法是解題的關鍵．5．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考二模）平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（為常數(shù)，）和一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖像都經過點．(1)若，求的值．(2)若點是反比例函數(shù)與一次函數(shù)圖像的另一個交點，①求，的函數(shù)表達式．②若，直接寫出的取值范圍．【答案】(1)(2)，；或【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求出；（2）將，分別代入可得到，即可得到，再將分別代入，，即可得到，；畫出函數(shù)圖像，找出對應的的范圍即可．【詳解】（1）解：若，則，；（2）解：反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像經過點、點且也在一次函數(shù)（，為常數(shù)，）的圖像上，，解得，，，將分別代入，，可得，，，的函數(shù)表達式分別為，；當時，，畫出函數(shù)圖像如圖所示，

的取值范圍是或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式、反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點問題，掌握反比例函數(shù)和一次函數(shù)圖像與性質是解題關鍵．【題型二實際問題與反比例函數(shù)綜合問題】例題：（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）視力表中蘊含著很多數(shù)學知識，如：每個“E”形圖都是正方形結構，同一行的“E”是全等圖形且對應著同一個視力值，不同的檢測距離需要不同的視力表．素材1

國際通用的視力表以5米為檢測距離，任選視力表中7個視力值n，測得對應行的“E”形圖邊長b（mm），在平面直角坐標系中描點如圖1．探究1

檢測距離為5米時，歸納n與b的關系式，并求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．素材2

圖2為視網膜成像示意圖，在檢測視力時，眼睛能看清最小“E”形圖所成的角叫做分辨視角，視力值與分辨視角（分）的對應關系近似滿足．探究2

當時，屬于正常視力，根據(jù)函數(shù)增減性寫出對應的分辨視角的范圍．素材3

如圖3，當確定時，在A處用邊長為的I號“E”測得的視力與在B處用邊長為的Ⅱ號“E”測得的視力相同．探究3

若檢測距離為3米，求視力值1.2所對應行的“E”形圖邊長．【答案】探究檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；探究；探究3：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．【分析】探究1：由圖象中的點的坐標規(guī)律得到與成反比例關系，由待定系數(shù)法可得，將代入得：；探究2：由，知在自變量的取值范圍內，隨著的增大而減小，故當時，，即可得；探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，可得，即可解得答案．【詳解】探究由圖象中的點的坐標規(guī)律得到與成反比例關系，設，將其中一點代入得：，解得：，，將其余各點一一代入驗證，都符合關系式；將代入得：；答：檢測距離為5米時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為；探究，在自變量的取值范圍內，隨著的增大而減小，當時，，，；探究3：由素材可知，當某人的視力確定時，其分辨視角也是確定的，由相似三角形性質可得，由探究1知，，解得，答：檢測距離為時，視力值1.2所對應行的“”形圖邊長為．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的綜合應用，涉及待定系數(shù)法，函數(shù)圖象上點坐標的特征，相似三角形的性質等知識，解題的關鍵是讀懂題意，能將生活中的問題轉化為數(shù)學問題加以解決．【變式訓練】1．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考一模）如圖1，點光源射出光線沿直線傳播，將膠片上的建筑物圖片投影到與膠片平行的屏幕上，形成影像．已知，膠片與屏幕的距離為定值，設點光源到膠片的距離長為單位：，長為單位：，當時，．

(1)求的長．(2)求關于的函數(shù)解析式，在圖2中畫出圖像，并寫出至少一條該函數(shù)性質．(3)若要求不小于，求的取值范圍．【答案】(1)(2)，圖象及性質見解析(3)【分析】（1）根據(jù)得出，根據(jù)相似三角形的性質即可求解．（2）由(1)得，，進而求得解析式，畫出函數(shù)圖形，根據(jù)函數(shù)圖象寫出一條性質即可求解；（3）由，，解不等式即可求解．【詳解】（1）解∵，∴，∴，∴，解得．（2）由(1)得，，∴，∴或，畫出圖像如下：

性質：當時，隨的增大而減小；（3）由，，則，解得，∴的取值范圍為：．【點睛】本題考查了相似三角形的性質與判定，反比例函數(shù)的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．2．（2023·浙江臺州·統(tǒng)考二模）如圖1，將一長方體A放置于一水平玻璃桌面上，按不同的方式擺放，記錄桌面所受壓強與受力面積的關系如下表所示（與長方體A相同重量的長方體均滿足此關系）．桌面所受壓強P（Pa）100200400500800受力面積210.50.40.25

(1)求桌面所受壓強與受力面積之間的函數(shù)表達式；(2)現(xiàn)將另一長、寬、高分別為0.2m，0.3m，0.2m與長方體A相同重量的長方體B按如圖2所示的方式放置于該水平玻璃桌面上．若桌面所受壓強與受力面積之間的關系滿足（1）中的函數(shù)表達式，且該玻璃桌面能承受的最大壓強為，請你判斷這種擺放方式是否安全？并說明理由．【答案】(1)(2)安全，見解析【分析】（1）用待定系數(shù)法可得函數(shù)關系式即可；（2）算出S，即可求出P，比較可得答案．【詳解】（1）解∶由表格可知，壓強P與受力面積S的乘積不變，故壓強P是受力面積S的反比例函數(shù)，設，將代入得：，∴．（2）解∶這種擺放方式安全，理由如下：由圖可知，∴將長方體放置于該水平玻璃桌面上，，∵，∴這種擺放方式安全．【點睛】本題考查反比例函數(shù)的應用，解題的關鍵是讀懂題意，能列出函數(shù)關系式．3．（2023·浙江金華·統(tǒng)考二模）某氣球內充滿一定質量的氣體．通過測量，當溫度不變時，該氣球內氣體的壓強p（kPa）和氣體體積V（）的幾組對應值如下表．V（m3）p（kPa）(1)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)畫出函數(shù)圖象，并求出壓強p（kPa）關于體積V（）的函數(shù)表達式．（函數(shù)表達式中的數(shù)值精確到單位1）(2)當氣體體積為時，氣球內氣體的壓強是多少？(3)當氣球內氣體的壓強大于180kpa時，氣球就會爆炸．請問氣體的體積應不小于多少時，氣球才不會爆炸．【答案】(1)畫圖見解析；；(2)氣球內氣體的壓強是kPa；(3)【分析】（1）根據(jù)描點，連線即可畫出函數(shù)圖象；設函數(shù)解析式為，把點代入函數(shù)解析式求出k值即可；（2）將代入（1）中的反比例函數(shù)解析式即可求出；（3）由，再利用函數(shù)圖象可得答案．【詳解】（1）解：如圖，先描點，再連線即可；把代入，∴；∴函數(shù)關系式為：；（2）當氣體體積為2m3時，氣球內氣體的壓強是（kPa）；（3）當氣球內氣體的壓強大于180kpa時，氣球就會爆炸．即；∴，∴，即；【點睛】本題考查的是反比例函數(shù)的應用，畫反比例函數(shù)的圖象，利用反比例函數(shù)的圖象解決問題．4．（2023·浙江紹興·?？家荒＃└軛U原理在生活中被廣泛應用（杠桿原理：阻力×阻力臂=動力×動力臂），小明利用這一原理制作了一個稱量物體質量的簡易“秤”（如圖1）．制作方法如下：第一步：在一根勻質細木桿上標上均勻的刻度（單位長度1cm），確定支點，并用細麻繩固定，在支點左側2cm的A處固定一個金屬吊鉤，作為秤鉤；第二步：取一個質量為0.5kg的金屬物體作為秤砣．(1)圖1中，把重物掛在秤鉤上，秤砣掛在支點О右側的B處，秤桿平衡，就能稱得重物的質量．當重物的質量變化時，的長度隨之變化．設重物的質量為，的長為．寫出y關于x的函數(shù)解析式；若，求的取值范圍．(2)調換秤砣與重物的位置，把秤砣掛在秤鉤上，重物掛在支點О右側的B處，使秤桿平衡，如圖2．設重物的質量為，的長為，寫出y關于x的函數(shù)解析式，完成下表，畫出該函數(shù)的圖象．……0.250.5124………………【答案】(1)；(2)，表、圖見解析【分析】（1）根據(jù)阻力×阻力臂=動力×動力臂解答即可；（2）根據(jù)阻力×阻力臂=動力×動力臂求出解析式，然后根據(jù)列表、描點、連線的步驟解答．【詳解】（1）解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，∴重物×OA=秤砣×OB．∵OA=2cm，重物的質量為，的長為，秤砣為0.5kg，∴2x=0.5y，∴；∵4>0，∴y隨x的增大而增大，∵當y=0時，x=0；當y=48時，x=12，∴．（2）解：∵阻力×阻力臂=動力×動力臂，∴秤砣×OA=重物×OB．∵OA=2cm，重物的質量為，的長為，秤砣為0.5kg，∴2×0.5=xy，∴；當x=0.25時，；當x=0.5時，；當x=1時，；當x=2時，；當x=4時，；填表如下：……0.250.5124…………421……畫圖如下：【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用，反比例函數(shù)的應用，以及列表、描點、連線畫函數(shù)圖象的方法，求出函數(shù)解析式是解答本題的關鍵．【題型三反比例函數(shù)與幾何綜合問題】例題：（2023·浙江·一模）已知點在反比例函數(shù)的圖象上，點在軸正半軸上，若為等腰直角三角形，則的長為．【答案】或【分析】因為等腰三角形的腰不確定，所以分三種情況分別計算即可．【詳解】解：當時，此時；在函數(shù)上，，，即，；當時，此時；在函數(shù)上，，，即，，當時，點落在軸上，故不合題意，綜上所述，的長為或．故答案為：或．【點睛】本題考查了等腰三角形的性質，反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，考查分類討論的思想，當時，求出點的坐標是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·浙江溫州·校聯(lián)考三模）如圖，在平面直角坐標系中，反比例函數(shù)（）的圖象經過平行四邊形的頂點A，將該反比例函數(shù)圖象沿軸對稱，所得圖象恰好經過中點，則平行四邊形的面積為．

【答案】10【分析】設，根據(jù)平行四邊形對邊平行得到點B的縱坐標為，根據(jù)圖象沿軸對稱所得圖象為及中點性質得到，根據(jù)點O、A的水平距離為x及平行四邊形對邊平行且相等，推出點M、B的水平距離為，推出，得到，得到．【詳解】∵（）的圖象經過平行四邊形的頂點A，∴設，∵軸，∴點B的縱坐標為，∵圖象沿軸對稱所得圖象為，這個圖象恰好經過中點，∴，∵點O、A的水平距離為x，，，∴點B、C的水平距離也為x，∴點M、B的水平距離為，∴，∴，∴．故答案為：10．【點睛】本題主要考查了反比例函數(shù)，軸對稱，平行四邊形．解決問題的關鍵是熟練掌握反比例函數(shù)圖象上點的性質，關于y軸對稱的函數(shù)的性質，平行四邊形邊的性質，中點坐標的性質．2．（2023·浙江·一模）如圖，正方形的頂點分別在軸和軸的正半軸上，邊的中點正好在反比例函數(shù)的圖象上，則正方形的邊長為．

【答案】/【分析】設的中點為E，連接交于點F，根據(jù)對稱性得到，進而求得，勾股定理求出，然后，則，利用解方程求解即可．【詳解】如圖所示，設的中點為E，連接交于點F，

∵四邊形是正方形，邊的中點正好在反比例函數(shù)的圖象上，∴根據(jù)對稱性可得，是平分線∴，∵點E在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，，∴設，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，

∵，∴，∴解得．∴正方形邊長為：故答案為：．【點睛】此題考查了反比例函數(shù)與幾何綜合題，正方形和矩形的性質和判定，勾股定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握以上知識點．3．（2023·浙江衢州·統(tǒng)考中考真題）如圖，點A、B在x軸上，分別以，為邊，在x軸上方作正方形，．反比例函數(shù)的圖象分別交邊，于點P，Q．作軸于點M，軸于點N．若，Q為的中點，且陰影部分面積等于6，則k的值為．

【答案】24【分析】設，則，從而可得、，由正方形的性質可得，由軸，點P在上，可得，由于Q為的中點，軸，可得，則，由于點Q在反比例函數(shù)的圖象上可得，根據(jù)陰影部分為矩形，且長為，寬為a，面積為6，從而可得，即可求解．【詳解】解：設，∵，∴，∴，∴，在正方形中，，∵Q為的中點，∴，∴，∵Q在反比例函數(shù)的圖象上，∴，∵四邊形是正方形，∴，∵P在上，∴P點縱坐標為，∵P點在反比例函數(shù)的圖象上，∴P點橫坐標為，∴，∵，∴四邊形是矩形，∴，，∴，∴，故答案為：24．【點睛】本題考查反比例函數(shù)圖象的性質及正方形的性質及矩形的面積公式，讀懂題意，靈活運用所學知識是解題的關鍵．4．（2023·浙江·統(tǒng)考二模）如圖，放置在平面直角坐標系中，，的坐標為．將繞點順時針旋轉得到，使點落在邊的中點．若反比例函數(shù)的圖象經過點，則的值為．【答案】【分析】過點作軸于點，根據(jù)題意，得出，則，解，得出的坐標，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點作軸于點，∵的坐標為，則，將繞點順時針旋轉得到，使點落在邊的中點．∴，∴，在中，，∴根據(jù)旋轉的性質可得∴∴，，∴∵反比例函數(shù)的圖象經過點，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，解直角三角形，反比例函數(shù)的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．5．（2023·浙江寧波·校聯(lián)考三模）如圖，在中，頂點A的坐標是，軸，交y軸于點E，交x軸于點F，頂點C的縱坐標是，的面積是24，反比例函數(shù)的圖象經過點B和D，則k的值為，四邊形的面積．

【答案】8【分析】根據(jù)題意得出，結合平行四邊形的面積得出，繼而知點坐標，即可確定k的值；先根據(jù)反比例函數(shù)解析式求出點的坐標，得出，再利用待定系數(shù)法得出直線的解析式為，求出，最后根據(jù)梯形的面積公式求解即可．【詳解】解：∵頂點的坐標是，頂點的縱坐標是，∴，又的面積是24，∴，則，∴，∴反比例函數(shù)解析式為；由題意知的縱坐標為，∴其橫坐標為，則，∴，∴，設直線的解析式為，將，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當時，，解得，∴∴四邊形的面積為：，故答案為：①8；②．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式，解題的關鍵是掌握平行四邊形的面積公式及待定系數(shù)法求反比例函數(shù)和一次函數(shù)解析式的方法．6．（2023·浙江湖州·統(tǒng)考二模）如圖，已知在平面直角坐標系中，的頂點A在x軸上，對角線交于點D，反比例函數(shù)的圖象經過C，D兩點，延長交y軸于點E，則；若為菱形，則．【答案】【分析】根據(jù)反比例函數(shù)設，由點D是的中點推出，，從而得到，，再計算即可；根據(jù)為菱形推出，利用勾股定理求出，利用，證明，從而得到．【詳解】解：不妨設，在中，點D是的中點，，∴，∴，令得：，∴，∴，，∴；∵為菱形，∴，，∴，∵，，∴，∴，故答案為：；．【點睛】本題考查平行四邊形的性質，反比函數(shù)的圖象與性質，勾股定理，菱形的性質，相似三角形的性質與判定，前一空設點坐標、后一空推導三角形相似是解題的關鍵．7．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考二模）如圖，點A在x軸上，以為邊作矩形，反比例函數(shù)的圖象經過的中點E，交邊于點D，連結．若，，則k的值為．

【答案】/【分析】設，求得，，，根據(jù)題意列出，即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∵，點E是的中點，∴，設，則，，∴，∴，，∵點、在反比例函數(shù)的圖象上，∴，解得，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與幾何綜合，掌握反比例函數(shù)圖象上的點的坐標的特征，矩形的性質，是解題的關鍵．8．（2023