數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念-高一數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊(cè)同步學(xué)考筆記

第七章復(fù)數(shù)

［數(shù)學(xué)文化］——了解數(shù)學(xué)文化的發(fā)展與應(yīng)用

復(fù)數(shù)的發(fā)展史

1545年，意大利數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家卡爾丹在其所著《重要的藝術(shù)》一書(shū)中提出

將10分成兩部分，使其積為40的問(wèn)題，即求方程x(10—x)=40的根，他求出的

根為5+0-15和一15,積為25—(—15)=40.

卡爾丹

但由于這只是單純從形式上推廣而來(lái)，并且人們?cè)染鸵褦嘌载?fù)數(shù)開(kāi)平方是沒(méi)有

意義的.因此復(fù)數(shù)在歷史上長(zhǎng)期不被接受.

直到18世紀(jì)，達(dá)朗貝爾、歐拉和高斯等人逐步闡明了復(fù)數(shù)的幾何意義及物理意

義，建立了系統(tǒng)的復(fù)數(shù)理論，從而使人們終于接受并理解了復(fù)數(shù).復(fù)變函數(shù)的理

論基礎(chǔ)是在19世紀(jì)奠定的，主要是圍繞柯西、魏爾斯特拉斯和黎曼三人的工作

進(jìn)行的.

到本世紀(jì)，復(fù)變函數(shù)論是數(shù)學(xué)的重要分支之一，隨著它的領(lǐng)域不斷擴(kuò)大而發(fā)展成

一門龐大的學(xué)科，在自然科學(xué)的其他分支(如空氣動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)、電學(xué)、熱

學(xué)、理論物理等)及數(shù)學(xué)的其他分支(如微分方程、積分方程、概率論、數(shù)論等)

中，復(fù)變函數(shù)論都有著重要應(yīng)用.

［讀圖探新］——發(fā)現(xiàn)現(xiàn)象背后的知識(shí)

問(wèn)題1：1545年，數(shù)學(xué)家卡爾丹在《重要的藝術(shù)》中出了這么一個(gè)題目：把10

分為兩部分，使其乘積為40.他按照自己的習(xí)慣，設(shè)其中一部分為x,列出方程

為M10—x)=40.但求出的根令他大為不解，甚至感到有些恐慌.你知道這是為什

么嗎？

問(wèn)題2：根據(jù)你的經(jīng)驗(yàn)，你認(rèn)為怎么辦就可以解決卡爾丹的問(wèn)題？在正數(shù)范圍內(nèi)，

方程x+2=0有解嗎？我們是怎樣讓它有解的？類似的，在有理數(shù)范圍內(nèi)，

2有解嗎？我們又是怎樣讓它有解的？

問(wèn)題3：為了使負(fù)數(shù)能夠開(kāi)方，你覺(jué)得應(yīng)該引進(jìn)一個(gè)什么樣的新數(shù)？這個(gè)新數(shù)應(yīng)

該服從什么規(guī)則？

鏈接：由有理數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，我們知道“引進(jìn)一種新的數(shù)，就要定義相應(yīng)的運(yùn)算；

定義一種運(yùn)算，就要研究它滿足怎樣的運(yùn)算律”.另外，根據(jù)數(shù)系擴(kuò)充的原則，

定義關(guān)于它們的加法和乘法，要使得原來(lái)關(guān)于實(shí)數(shù)的運(yùn)算律保持不變.

7.1復(fù)數(shù)的概念

7.1.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念

課標(biāo)要求素養(yǎng)要求

通過(guò)方程的解，了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，

通過(guò)理解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等的有關(guān)

認(rèn)識(shí)復(fù)數(shù)，理解復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等

知識(shí)，體會(huì)數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

的充要條件.

課前預(yù)習(xí)知識(shí)探究

自主梳理

1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

(1)定義：形如OCR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫做虛數(shù)單位，全體復(fù)數(shù)所

構(gòu)成的集合C={a+歷|a,6GR}叫做復(fù)數(shù)集.

(2)復(fù)數(shù)通常用字母2表示，代數(shù)形式為z=a+歷(a,h&R),其中。與人分別叫

做復(fù)數(shù)z的實(shí)部與虛部.

2.復(fù)數(shù)的分類

(1)設(shè)復(fù)數(shù)z=a+歷(a,86R).

①z為實(shí)數(shù)ob=0,

②z為虛數(shù)

③z為純虛數(shù)oa=0且「W0.

(2)集合表示：

?點(diǎn)睛

兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

3.復(fù)數(shù)相等

設(shè)zi=a+/?i,Z2=c+di(a,b,c,t/GR).

貝Izi=Z2Oa=c且b=d.

自主檢驗(yàn)

1.思考辨析，判斷正誤

(1)若a,b為實(shí)數(shù),貝ijz=a+〃i為虛數(shù).(X)

(2)若復(fù)數(shù)zi=3i,Z2=2i,則zi>Z2.(X)

(3)如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部的差和虛部的差都等于0,那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.(J)

(4)實(shí)數(shù)集與復(fù)數(shù)集的交集是實(shí)數(shù)集.(J)

提示(1)當(dāng)時(shí)，z=a+/為虛數(shù).

(2)兩個(gè)虛數(shù)Z1與Z2不能比較大小.

2在2+小，亍，8+5i,(1一小)i,0.68這幾個(gè)數(shù)中，純虛數(shù)的個(gè)數(shù)為()

A.OB.1

C.2D.3

答案C

解析由純虛數(shù)的定義可知今，(l—4)i為純虛數(shù).

3.以3i一啦的虛部為實(shí)部，以一3+啦i的實(shí)部為虛部的復(fù)數(shù)是()

A.3-3iB.3+i

C.~yj2+yl2iD.yf2+y/2i

答案A

解析3i一姬的虛部為3,—3+啦i的實(shí)部為一3.

；?所求的復(fù)數(shù)z=3—3i.

4.若(x—2y)i=2x+l+3i,則實(shí)數(shù)x—y的值為.

答案|

[2x+l=0,

解析由復(fù)數(shù)相等，得..

[x-2y=3,

175

故

-且y---%-y=-

2甲4

課堂互動(dòng)r------------------------------------題型剖析

題型一復(fù)數(shù)的概念

【例1】給出下列命題：①若(/—l)+(/+3a+2)i(aeR)是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)a

=±1；②l+i2是虛數(shù)；③復(fù)數(shù)，”十〃i的實(shí)部一定是利其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.OB.1

C.2D.3

答案A

解析①若(7—l)+(/+3a+2)i(aeR)是純虛數(shù)，則/—1=0且a2+3a+2:#:0,

解得。=1,所以錯(cuò)誤；②l+i2=l—1=0是實(shí)數(shù)，所以錯(cuò)誤；③復(fù)數(shù)中〃2,〃未

指明是實(shí)數(shù)，故錯(cuò)誤.因此三個(gè)命題都是假命題.

思維升華1.對(duì)于復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，不但要把復(fù)數(shù)化為。十方的形式，更要注

意這里a,人均為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部.

2.虛數(shù)不能比較大小，但實(shí)數(shù)可以.若兩個(gè)復(fù)數(shù)具有確定的大小關(guān)系(不含相等)，

則說(shuō)明兩個(gè)復(fù)數(shù)均為實(shí)數(shù).

【訓(xùn)練1】下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)是()

①若x,yWC,則x+yi=l+i的充要條件是x=y=l；

②若a,且a>b,則a+i>b+i；

③若f+y2=o,則％=y=o.

A.OB.l

C.2D.3

答案A

解析①由于x,yec,所以x+yi不一定是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，不符合復(fù)數(shù)相等

的充要條件，所以①是假命題.②由于兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，所以②是假命題.③

當(dāng)x=l,y=i時(shí)，f+y2=0成立，所以③是假命題.故選A.

題型二復(fù)數(shù)的分類

〃廣m-6

【例2】實(shí)數(shù)機(jī)取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)一十(加2—2機(jī))i是(1)實(shí)數(shù)；(2)虛

數(shù)；(3)純虛數(shù)？

m2—2〃2=0,

解(1)當(dāng)，,、即〃2=2時(shí)，復(fù)數(shù)Z是實(shí)數(shù).

、次中0,

m2—2mWO,

(2)當(dāng)々一八即mWO且加W2時(shí)，復(fù)數(shù)z是虛數(shù).

、團(tuán)齊0,

序+—―6

(3)當(dāng)<-m—="即機(jī)=—3時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù).

思維升華1.利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，應(yīng)將復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+歷(a,

0GR).特別注意z為純虛數(shù)，則。NO,且a=0.

2.要注意確定使實(shí)部、虛部有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解.

【訓(xùn)練2】(1)若(/—3y)+yi(yGR)是純虛數(shù)，則()

A.y=3B.y=3或y=0

C.yWOD.y#3

(2)已知復(fù)數(shù)2=吉+(次一l)i是實(shí)數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值等于.

答案(1)A(2)-1

解析(1)由(V—3y)+>i(yeR)是純虛數(shù)，

.?.y2—3y=0且yWO,因此y=3.

(2)因?yàn)閺?fù)數(shù)2=占+(/—1)1是實(shí)數(shù)，且。為實(shí)數(shù),

a2—1=0,

則io,解彳"T

題型三兩個(gè)復(fù)數(shù)相等

【例3】⑴已知/+松+2+(2。+"2>=0("2?2成立，求實(shí)數(shù)a的值;

(2)若關(guān)于x的方程3f—全一1=(10—x—2/)i有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的值.

解(1)因?yàn)閍,機(jī)CR,

所以由a2+ma+2+(2a+m)i=0,

a2+am+2=0,

可得

2。+777.=0,

"=隹或，a=—y[2,

解得

m=-2^/2m=2y/2,

所以a=±\l2.

(2)設(shè)方程的實(shí)根為x=m,

貝!]3a2———1=（10—m—2加2）i,

,a

3m1=0,

所以2

,10—w—2m2=0,

71

解得a=ll或a=—^.

思維升華解決復(fù)數(shù)相等問(wèn)題的基本步驟：

(1)等式兩邊整理為。十萬(wàn)m,z?￡R)的形式；

(2)由復(fù)數(shù)相等的充要條件可以得到由兩個(gè)實(shí)數(shù)等式所組成的方程組；

⑶解方程組，求出相應(yīng)的參數(shù).

【訓(xùn)練3】求解下列各題：

⑴若(4x—2y)i=_r+l,求實(shí)數(shù)九，y的值；

rn-2

2

(2)若不等式nv—(m—2m)i<9+mi成立，求實(shí)數(shù)m的值.

解(1)由兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，

0=x+1,%=-1,

得,一八解得

、,J=一2，

故實(shí)數(shù)x,y的值分別為一1,-2.

'"<9'，然=0或加=2,

(2)依題意〈0，得〈加=2,加工0,

m~2??

------=0,1一3<m<3.

Im

因此m=2.

■課堂小結(jié)?

1.區(qū)分實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)與復(fù)數(shù)的關(guān)系，特別要明確：實(shí)數(shù)也是復(fù)數(shù)，要把復(fù)

數(shù)與實(shí)數(shù)加以區(qū)另山對(duì)于純虛數(shù)歷(6W0,OdR)不要只記形式，還要注意。W0.

2.應(yīng)用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件時(shí)，首先栗把等號(hào)左右兩邊的復(fù)數(shù)寫(xiě)成代數(shù)形式,

即分離實(shí)部與虛部，然后列出等式求解.

3.若兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)，則可以比較大小.反之，若兩個(gè)復(fù)數(shù)能比較大小，則它們

a>0,

必是實(shí)數(shù)，即a+Oi〉O(a,/?GR)=1

b=0.

4.復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化是求解復(fù)數(shù)的基本思想方法.

分層訓(xùn)練素養(yǎng)提升

i基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)I

一'選擇題

1.若復(fù)數(shù)z=(a2—2a)+(a2—a—2)i(aGR)是純虛數(shù)，則()

A.a=O或a=2B.a=O

C.aW1且a#2D.a#1或a#2

答案B

cr—2a=0,

解析由題意得<解得a=0.

.a2—a—2^0,

2.設(shè)a,b《R,i是虛數(shù)單位，則“必=0”是“復(fù)數(shù)。一歷為純虛數(shù)”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案B

解析若復(fù)數(shù)a一萬(wàn)為純虛數(shù)，則a=0且8#0,故必=0.而由H?=0不一定能

得到復(fù)數(shù)a一萬(wàn)是純虛數(shù)，故“出7=0”是“復(fù)數(shù)。一萬(wàn)為純虛數(shù)”的必要不充分

條件.

3.以一幣+2i的虛部為實(shí)部，以下i+2i2的實(shí)部為虛部的新復(fù)數(shù)是（）

A.2—2iB.—^5+"^5i

C.2+iD.小+小i

答案A

解析設(shè)所求新復(fù)數(shù)z=a+折（a,b￡R）,由題意知：復(fù)數(shù)一小+2i的虛部為2,

復(fù)數(shù)小i+2i2=^i+2X（—1）=-2+小i的實(shí)部為一2,則所求的z=2-2i.故選

A.

4.已知2-ai=/?+3i(a,beR)(i為虛數(shù)單位)，則a+0=()

A.5B.6

C.lD.-1

答案D

解析依題意6=2且3=—a.；.a+〃=—1.

5.若復(fù)數(shù)x=m+（加2—i）i（mGR）滿足％<0,則根的值為（）

A.1B.-1

C.+lD.任意實(shí)數(shù)

答案B

[m<0,

解析由復(fù)數(shù)X="z+0"2-]》<0,得42,c解得〃2=-1.

"—1=0,

二'填空題

6.若實(shí)數(shù)x,y滿足x+y+（x~y）i=2,則xy的值是.

答案1

fx+y=2,

解析因?yàn)閤+y+（x—y）i=2,可得彳

lx—y=0,

所以x=y=l,所以孫=1.

7.如果z=m（加+1）+（"及一l）i為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值為.

答案0

\m（m+1）=0,

解析由題意知彳？一,、.?."2=0.

[次一1W0,

8.若復(fù)數(shù)3+（能2—9）i20,則實(shí)數(shù)m的值為.

答案3

/加一320,['機(jī)23,

解析依題意知2c八解得—

〔〃?2—9=0,l〃2=—3或3,

即"2=3.

三'解答題

9.當(dāng)實(shí)數(shù)m為何值時(shí)，復(fù)數(shù)z=（加2+加一6）i+—〃二J?是:（1）實(shí)數(shù)？（2）虛數(shù)？

(3)純虛數(shù)?

[m2+w-6=0,

解⑴由1得"2=2.

“十3￥0,

???當(dāng)〃2=2時(shí)，Z是實(shí)數(shù).

⑵由彳,得1

“+370,〔mW—3.

「?當(dāng)且—3時(shí)，z是虛數(shù).

/n2+m-6^0,

m+3W0,

{加2—7m+12=0,

加工^且加士一？，

機(jī)#一3,

{加=3或加=4,

即m=3或m=4.

當(dāng)m=3或m=4時(shí)，z是純虛數(shù).

10.已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i),尸={-1,1,4i},若MUP=P,求

實(shí)數(shù)m的值.

解"：MUP=P,：.MQP,

(〃，一2根)+(也2+加-2)i=-1或("P—2/?2)+(/712+/??-2)i=4i.

由(???—2〃?)+(機(jī)2+機(jī)-2)i=—■1得

m2-2m=-1,

由(m2—2m)+(m2+優(yōu)-2)i=4i得

zn2—2/72=0,

綜上可知m—l或m=2.

能力提升I

11.(多選題)下列命題，其中不正確的是()

人.若2=a+",a,"GR,則僅當(dāng)0W0時(shí)z為純虛數(shù)

B.若zf+zg=0,則zi=Z2=0

C.若“dR,則ai為純虛數(shù)

D.復(fù)數(shù)z=a2—〃+(a+|a|)i(a,R)為實(shí)數(shù)的充要條件是aWO

答案ABC

解析A中，當(dāng)”=0,且8WO,z為純虛數(shù),A錯(cuò)；

B中，當(dāng)Z1=1,Z2=i時(shí)，z?+z^=O,但Z|#Z2,B錯(cuò)；

C中，當(dāng)aWO時(shí)，ai為純虛數(shù)，C不正確；

D中，zGR,則a+|a|=O,.'.a