2020屆湖南省懷化市高三(上)期末數(shù)學(xué)試卷(文科)(解析版)

2019-2020學(xué)年湖南省懷化市高三（上）期末

數(shù)學(xué)試卷（文科）

題號(hào)一二三總分

得分

一、選擇題（本大題共12小題，共60.0分）

1.已知集合4=&|（x+1）（x-2）>0},B={x|l<x<3},（）

A.（-1,3）B.（2,3）C.（1,2）D.［2,3）

2.已知復(fù)數(shù)z滿足（l-i）z=i（i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）

A.B.\C.D.}

3.某學(xué)校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)分別為900、900、1200人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從該校高中

三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取容量為50的樣本，則應(yīng)從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）

A.15B.20C.25D.30

4.過點(diǎn)（-1,3）且平行于直線x-2y+3=0的直線方程為（）

A.x-2y+7=0B.2x+y-l=0C.x-2y-5=0D.2r+y-5=0

5.我國古代數(shù)學(xué)名著《孫子算經(jīng)》中有雞兔同籠問題：“今有雉兔同籠，上叵回

有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？”據(jù)此繪制如圖所示的程序ZEI

框圖，其中雞x只，兔y只，則輸出x,y的分別是（）

A.12,23■彳

B.23,123川：?

C.13,22.

D.22,13

/UHlx.xZ

而

6.已知/（X）=sinA,在區(qū)間［_}兀］任取一個(gè)實(shí)數(shù)xo,則使得了（沖）W的概率為（）

A.|B.JC.1D.|

7.如圖是2018年第一季度五省GDP情況圖，則下列陳述中不正確的是（）

MSJ2

-V*T-與去年同閑相比4t長隼

A.2018年第一季度GOP增速由高到低排位第5的是浙江省

B.與2017年同期相比，各省2018年第一季度的GOP總量實(shí)現(xiàn)了增長

C.2017年同期河南省的GCP總量不超過4000億元

D.2018年第一季度GAP總量和增速由高到低排位均居同一位的省只有1個(gè)

8.已知函數(shù)，(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(x+2)=/(x),且xc(-2，0)時(shí)，/(x)=k)g2(-3x+l),

則/(-2019)=()

A.4B.2C.-2D.log25

9.已知命題p：使sinx^；命題q：都有/+欠+]>(),給出下列結(jié)論：

①命題"PW是真命題；

②命題"pALq)"是假命題;

③命題"Lp)Vq”是真命題；

④命題"Lp)VLq)”是假命題.

其中正確的是()

A.②④B.②③C.③④D.①②③

10.已知等差數(shù)列｛如｝的前“項(xiàng)和為S”若OB=。2仍+%99”，且A、B、C三點(diǎn)共線(該直線不過原點(diǎn)O),

貝(15200=()

A.100B.101C.200D.201

11.若向量-=(sing,病，“=(cosg,cos2》，函數(shù)/。)=：]，則,(x)的圖象的一條對稱軸方程是()

mnmn

A.x=3B?%=不C.x=-3D.%=2

12.對于函數(shù)/(x)=ax2+hx2+cx+d(〃彳0),定義：設(shè)/(x)是/(x)的導(dǎo)數(shù)，/(x)是函數(shù)/(x)的導(dǎo)

數(shù),若方程/'(x)有實(shí)數(shù)解X0,則稱點(diǎn)(X0,/(的))為函數(shù)月>(X)的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：

任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)g(X)=93_92+3x-3則g(/)

+g(京7+…+g(1^)的值為()

A.2017B.2018C.2019D.2020

二、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

/2x4-y-2>0

13.設(shè)變量x,y滿足約束條件卜一2乙+/30,則目標(biāo)函數(shù)后3x+2)，的最大值為____.

IX—1<U

14.函數(shù)產(chǎn)log.（x+3）-1（存1,Q>0）的圖象恒過定點(diǎn)A,若點(diǎn)4在直線次x+〃y+l=O上，其中加>0,n

>0,則打：的最小值為.

15.《九章算術(shù)》中將四個(gè)面都是直角三角形的四面體稱為鱉儒，在如圖所示的鱉儒

ABC。中，4B1平面BCD,h.AB=BD=CD=\,則此鱉儒的外接球的表面積為

22

16.如圖，已知雙曲線？？1（。>0,6>0）上有一點(diǎn)A,它關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為8,點(diǎn)F為是雙曲線的

ab

右焦點(diǎn)，且滿足A/山?凡設(shè)乙4BF=a,ae后，芻，則該雙曲線離心率e的取值范圍為

三、解答題（本大題共6小題，共70.0分）

17.已知等比數(shù)列｛?。沁f減數(shù)列，am*,a2+a3=l.

（1）求數(shù)列｛?。耐?xiàng)公式；

（2）若b”=-（n+1）log2a?,求數(shù)列｛；｝的前〃項(xiàng)和G.

18.已知AABC中，內(nèi)角4,B,C所對邊分別為a,b,c,若(2?-c)cos8-bcosC=0.

(1)求角8的大?。?/p>

(2)若b=2,a+c=2^,求AABC的面積S.

19.如圖四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形,P4_L平面ABCD,且PA=48=2,

E為PD中點(diǎn).

(1)求證:P例平面EACi

(2)求三棱錐C-ABE的體積.

20.近年來，共享單車已經(jīng)悄然進(jìn)入了廣大市民的日常生活，并慢慢改變了人們的出行方式.為了更好地

服務(wù)民眾，某共享單車公司在其官方APP中設(shè)置了用戶評(píng)價(jià)反饋系統(tǒng)，以了解用戶對車輛狀況和優(yōu)惠

活動(dòng)的評(píng)價(jià)，現(xiàn)從評(píng)價(jià)系統(tǒng)中選出300條較為詳細(xì)的評(píng)價(jià)信息進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，車輛狀況和優(yōu)惠活動(dòng)評(píng)價(jià)的

2x2列聯(lián)表如下：

對優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)對優(yōu)惠活動(dòng)不滿意合計(jì)

對車輛狀況好評(píng)15050200

對車輛狀況不滿意6040100

合計(jì)21090300

(1)能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系？

(2)為了回饋用戶，公司通過APP向用戶隨機(jī)派送騎行券，用戶可以將騎行券用于騎行付費(fèi)，也可

以通過APP轉(zhuǎn)贈(zèng)給好友某用戶共獲得了5張騎行券，其中只有2張是一元券現(xiàn)該用戶從這張騎行券中

隨機(jī)選取2張轉(zhuǎn)贈(zèng)給好友，求選取的2張中至少有1張是一元券的概率.

附：下面的臨界值表僅供參考：

P(A?>Ao)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

(參考公式：/一+-“其中〃="b+c+d)

21.已知橢圓。：(+，=1(￡1〉/?〉0)的右焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為M,直線FM的斜率為當(dāng)且原點(diǎn)到直線

FM的距離為

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若不經(jīng)過點(diǎn)尸的直線/：y=kx+m(k<0,m>0)與|陶圓C交于A,B兩點(diǎn)，且與圓/+y=］相切.試

探究的周長是否為定值，若是，求出定值；若不是，請說明理由.

22.設(shè)函數(shù)/(x)(-x+lnx)(。為常數(shù)).

(1)當(dāng)〃=1時(shí)，求曲線y=^(x)在x=l處的切線方程：

(2)若函數(shù)g(x)=fCx)+：在(0,1)內(nèi)存在唯一極值點(diǎn)mxo,求實(shí)數(shù)〃的取值范圍，并判斷x=xo

是/(%)在(0,1)內(nèi)的極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn).

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：4={可爛-1或應(yīng)2},B={x|l<x<3},

.-.AnB=[2,3).

故選：D.

可以求出集合A,然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可.

本題考查了描述法、列舉法和區(qū)間的定義，一元二次不等式的解法，交集的運(yùn)算，考查了計(jì)算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

2.【答案】B

【解析1解：由(1-i)z=z,得l-l(a上"：一：：+I〉)=-?Z4

:,z的虛部為:

故選：B.

把已知等式變形，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化筒得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】【分析】

本題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，根據(jù)條件確定抽取比例是解決本題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題.

根據(jù)分層抽樣的定義即可得到結(jié)論.

【解答】

解：三個(gè)年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比例為3：3：4,

按分層抽樣方法，在高三年級(jí)應(yīng)該抽取人數(shù)為50X冷”=20人，

故選：B.

4.【答案】A

【解析】解：由題意可設(shè)所求的直線方程為x-2y+c=0

???過點(diǎn)(-1,3)

代入可得-l-6+c=0則c=7

；.x-2y+7=0

故選：A.

由題意可先設(shè)所求的直線方程為x-2y+c=0再由直線過點(diǎn)(-1,3),代入可求c的值，進(jìn)而可求直線的方程

本題主要考查了直線方程的求解，解決本題的關(guān)鍵根據(jù)直線平行的條件設(shè)出所求的直線方程x-2y+c=0.

5.【答案】B

【解析】解：模擬程序的運(yùn)行過程知，

該程序運(yùn)行后是解方程組但才二點(diǎn)二y，

解得日:名

所以雞23只，兔12只.

故選：B.

分析程序的運(yùn)行過程知該程序運(yùn)行后是解方程組，求出方程組的解即可.

本題考查了利用程序框圖的運(yùn)行過程解方程組的問題，是基礎(chǔ)題.

6.【答案】C

【解析】解：在區(qū)間［，，淚任取一個(gè)實(shí)數(shù)次，使得〃出)對，即sinxoN；，

解得各

SnrJr

???在區(qū)間［蘭，網(wǎng)任取一個(gè)實(shí)數(shù)X0,使得6%)2期率=下今

故選：C.

在區(qū)間［一提，溝任取一個(gè)實(shí)數(shù)X0,使得-出)21即siMN：解得X0范圍.利用幾何概率計(jì)算公式即可得

出.

本題考查了幾何概率計(jì)算公式、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

7.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查命題真假的判斷，考查折線圖、條形統(tǒng)計(jì)圖等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力，是

基礎(chǔ)題.

由圖可知2018年第一季度GDP總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，即可得解.

【解答】

解：由2018年第一季度五省GCP情況圖，知：

在A中，2018年第一季度GQP增速由高到低排位第5的是浙江省，故A正確.

在2中，與去年同期相比，2018年第一季度五個(gè)省的GAP增長率都大于0,即總量均實(shí)現(xiàn)了增長，故2

正確；

在C中，去年同期河南省的GOP總量為黑篙23815.6,不超過4000億元，故C正確；

在。中，2018年第一季度GAP總量和增速由高到低排位均居同一位的省有江蘇和河南，共2個(gè)，故。錯(cuò)

誤；

故選。.

8.【答案】C

【解析】解：函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足/(x+2)=V(x),

(x+4)=-f(x+2)=f(x),

xG(-|,0)時(shí)，f(X)=log2(-3x+l),

(-2019)=-f(2019)=-f(-1)=-log24=-2.

故選：C.

推導(dǎo)出f(x+4)=-f(x+2)-f(x),利用x€(—0)時(shí)，f(x)=log2(-3x+1),f(-2019)=-f(2019)=-f

(-1),能求出結(jié)果.

本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

9.【答案】B

【解析】解：???IsiMSl,.?.：BxeR,使Siiu=^昔誤，即命題P是假命題，

判別式△=l-4=-3<0,WxeR,都有x?+x+l>0恒成立，即命題<?是真命題，

則①命題“PM”是假命題；故①錯(cuò)誤，

②命題“p/\(2”是假命題；故②正確，

③命題"O)V,'是真命題；故③正確，

④命題“(「p)V(「q)”是真命題.故④錯(cuò)誤，

故選：B.

先判斷命題p,q的真假，結(jié)合復(fù)合命題真假關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

本題主要考查復(fù)合命題真假關(guān)系的應(yīng)用，根據(jù)條件先判斷命題p,?的真假是解決本題的關(guān)鍵.

10.【答案】A

【解析】解：由題意，A、B、C三點(diǎn)共線，故“2+099=1.

?$00=2。。(。；+%oo)=]00.(。2+。199)=100.

故選：A.

本題根據(jù)共線定理可得02+099=1.再根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)及等差數(shù)列的求和公式可得結(jié)果.

本題主要考查等差數(shù)列與向量的綜合問題，考查了共線定理和等差中項(xiàng)性質(zhì)的應(yīng)用.本題屬中檔題.

11.【答案】B

【解析】解：(I)J。)W=sin|cos1+仔os21=今ior+%os%-翼sin(x+j)

令戈+亞攵兀+卜尤=E+g,keZ9

當(dāng)k=0時(shí)=*43；

(x)的圖象的一條對稱軸方程是

故選：B.

由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用可得函數(shù)解析式為f(x)=sin(x+"再代入正弦函數(shù)的對稱軸方程即可

求解.

本題主要考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)

題.

12.【答案】C

【解析】解：與題意可得，g'(x)=x2-x+3,g(x)=2x-l,

令g'(x)=2x-l=0可得，而g(1)=1,

故函數(shù)g(x)關(guān)于(|,1)對稱，即g(1-x)+g(x)=2,

/1、/2、2019.-2019-zc

貝ijp(---)(----)+…+父(z---)=2x---=2019.

八Jb202062020620202

故選：C.

由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)弓，1）對稱，即g（x）+g（1-x）=2,即可得到結(jié)論.

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒

序相加法

13.【答案】8

【解析】解：由z=3x+2y得）=-1+?

/2x+y-2>0

作出變量X,y滿足約束條件卜一2yg0（對應(yīng)的平面區(qū)域如圖（陰

影部分）：由｛%_2y+4=0解得A（L|），

平移直線產(chǎn)參+?由圖象可知當(dāng)直線尸步海過點(diǎn)A時(shí)，直線尸|嗚

的截距最大，

此時(shí)z也最大，將A（1,6代入目標(biāo)函數(shù)z=3x+2y,

得z=8.

故答案為：8.

作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，進(jìn)行求最值即可.

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決問題的關(guān)鍵，利用數(shù)形結(jié)合是解決問

題的基本方法.

14.【答案】8

【解析】解：?.?x=?2時(shí),,

函數(shù)產(chǎn)log”(x+3)?1(a>0,t#l)的圖象恒過定點(diǎn)(-2,-1)即A(-2,-1),

??,點(diǎn)A在直線mx+〃y+l=0上，

??-2m-n+1=0,即2m+n=1,

v/w>0,〃>0,

...u=(旱)(2〃7+〃)=2+，％+2>4+2?1~.^=8,

mnmnmny/mn

當(dāng)且僅當(dāng)，〃=封取等號(hào).

故答案為：8

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)先求出A的坐標(biāo)，代入直線方程可得〃人〃的關(guān)系，再利用1的代換結(jié)合均值不等式

求解即可.

本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和均值不等式等知識(shí)點(diǎn)，運(yùn)用了整體代換思想，是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容.

15.【答案】3兀

【解析】解：由題意知，BDVCD,將該三棱錐放在長方體中，由題意知長方體的長寬高

都是1,既是棱長為1的正方體，則外接球的直徑等于正方體的對角線，設(shè)外接球的半

徑為R,則2/?=值，

所以外接球的表面積S=4TTR2=3兀，

故答案為：3兀

三棱錐放在長方體中高級(jí)外接球的直徑等于長方體的對角線求出外接球的半徑，進(jìn)而求

出體積.

考查三棱錐的外接球直徑與棱長的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】[柩73+1J

【解析】解：如圖所示，

設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為F',連接A尸，BF'.

則四邊形AFB尸為矩形.

因此|AB=|FF\=2C.

\AF'\-\AF]=2a.

|AF|=2csina,\BF]=2ccosa.

??.2ccosa-2csina=2?.

i_i

**cosa—sina代cos(a+3‘

?；a嗚，J],

7T7T5兀,

?.?a+fr3迅，

：.eE[yj2,腎1].

故答案為：[根，^+1].

如圖所示，設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為P,連接AF',BF'.則四邊形AFBF'為矩形.因此|AB=|FF'|=2c.而

11

\AF'\-\AF\=2a.|AF|=2csina,\BF'|=2ccosa.可得0=必《_$"1:笠"sg+7求出即可.

本題考查了雙曲線的定義及其性質(zhì)、兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力,

屬于難題.

17.【答案】解：(1)等比數(shù)列｛如｝是遞減數(shù)列，設(shè)公比為外

。34,a2+a3~?可得33弓，

解得“2=；,43=，，滿足。2＞。3,

qo

解得0二行;，則。尸(|)"；

(2)bn=-("+1)log2〃"=-(/?+1)?(-〃)=n(n+1),

匚i_ii

bnn(n+1)nn+1*

可得前〃項(xiàng)和7；尸1^4)?可什1?什普?

【解析】(1)運(yùn)用等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式，求得公比和首項(xiàng)，可得所求通項(xiàng)公式；

(2)由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得為，；=島寧彳冷，運(yùn)用數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和.

本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式、數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

18.【答案】解：(1)v(2a-c)cosB-Z?cosC=0,

???(2sinA-sinC)cosB-sinBcosC=0,

/.2sin74cosB-sin(8+C)=0,

^A+B+C=nf

/.sin(B+C)=sin(n-A)=sin>4,

.,.2sinAcosB-sinA=0,

vsinA>0,

-,.cosB=1,

-BE（0,兀）,

??若；

⑵b=2,Q+C=2點(diǎn),

Q

.??由余弦定理按=。2+/_2。80$8,可得4=。2+。2_改=（a+c）2-3ac=n-3ac,可得acq,

??.△ABC的面積S=iacsinB=|x聲《=竽.

【解析】(1)由正弦定理把己知等式邊化角，再由A+B+C=n,利用兩角和的正弦函數(shù)公式得cosB=g,結(jié)

合8的范圍可求8的值.

(2)由已知利用余弦定理可求好的值，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.

本題考查三角形的解法，考查了正弦定理、余弦定理、三角形面積公式以及三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，考

查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

19.【答案】解：(1)求證：連結(jié)AC、8D,交于點(diǎn)。，連結(jié)OE,

?.?底面A8CC是正方形，二。是B。中點(diǎn)，

???E為尸。中點(diǎn)，.?.OE||P8,

仁平面EAC,OEu平面EAC,平面EAC.

(2)解：???四棱錐P-A2CZ)中，底面ABCD是正方形，

PA1平面A8CD,且PA=4B=2,E為PD中點(diǎn)、.

.if到平面ABC的距離d=|pA=l,

三棱錐C-4BE的體積為:

,,,,1112

VC-ABE=VE-ABC=^XS△abcxd=jxx2x2x1=5.

【解析】(1)連結(jié)AC、BD,交于點(diǎn)O,連結(jié)0E,推導(dǎo)出0臼尸8,由此能證明「B||平面E4C.

(2)三棱錐C-ABE的體積為MCFV&ABC,由此能求出結(jié)果.

本題考查線面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)

知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.

20.【答案】解：⑴由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)，計(jì)算蜉=3。；：￡5黑以6：鎮(zhèn)騫M.143Vl0.828,

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.001的前提下認(rèn)為優(yōu)惠活動(dòng)好評(píng)與車輛狀況好評(píng)之間有關(guān)系；

(2)設(shè)這5張騎行券分別為a、b、c、。、E,其中。、E是一元券；

現(xiàn)從中隨機(jī)選取2張，基本事件為：ab、ac.a。、aE、be,bD、bE、cD、cE、OE共10種不同取法，

選取的2張中至少有1張是一元券的事件為a。、aE、bD、bE、cD、cE、DE共7種，

故所求的概率為尸=高

【解析】(1)由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)計(jì)算心，對照臨界值得出結(jié)論;

(2)利用列舉法求出基本事件數(shù)，再計(jì)算所求的概率值.

本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的問題，也考查了列舉法求古典概型的概率問題，是基礎(chǔ)題.

21.【答案】解：(1)可設(shè)/(c,0),M(0,b),

可得上咯

直線FM的方程為bx+cy=bc,

即有?。郝暪獾胋=l,e也,a=平,

則橢圓方程為￡y=i；

(2)設(shè)A(xi,yi),B(X2,”).

(xi>0,X2>0),

連接OA,OQ,在△04。中,

2

|4QF=X12+y]2_]=X]2+1g