高中數(shù)學(xué)講義微54 數(shù)列求和含通項公式與求和習(xí)題

微專題54數(shù)列求和問題

數(shù)列求和問題是高考數(shù)列中的一個易考類型，在已知通項公式的前提下，要通過觀察通

項公式(或者項)的特點決定選擇哪種方法進行求和?？疾閷W(xué)生的觀察能力與辨析能力。所

以在復(fù)習(xí)的過程中要抓住每種求和方法相對應(yīng)的通項公式特點，并在練習(xí)中熟悉解法

一、基礎(chǔ)知識：

1、根據(jù)通項公式的特點求和：

(1)等差數(shù)列求和公式：5“=%="產(chǎn)；%.〃+g=〃+0

S?-a,n-\——------a

"12

(2)等比數(shù)列求和公式：S“=J\-q

=1

(3)錯位相減法：

通項公式特點：=等差x等比，比如凡=〃-2",其中〃代表一個等差數(shù)列的通項公式(關(guān)

于〃的一次函數(shù))，2”代表一個等比數(shù)列的通項公式(關(guān)于〃的指數(shù)型函數(shù))，那么便可以

使用錯位相減法

方法詳解：以a,,=(2〃—2”為例，設(shè)其前〃項和為S.

①先將S,寫成〃項和的形式S“=L2i+3"+…+(2〃—1>2"

②兩邊同時乘以等比部分的公比，得到一個新的等式，與原等式上下排列

S”=12+3"+…+(2〃-1>2"

2S,,=l-22+3-23+---+(2n-3)-2,,+(2n-l)-2,,+l,發(fā)現(xiàn)乘完公比后，對比原

式項的次數(shù)，新等式的每項向后挪了一位。

③然后兩式相減：-S“=L2i+2(22+23+...+2")-(2〃-l)-2"M除了首項與末項，中

間部分呈等比數(shù)列求和特點，代入公式求和，再解出S,即可

-S?=l-2,+2(22+23+.-.+2,,)-(2rt-l)-2n+'

=2+2?與，-伽-叱

=（3-2n）-2"+l-6

所以5“=（2〃—3）-2屆+6

對“錯位相減法”的深層理解：通項公式的特點在錯位相減法的過程中體現(xiàn)了怎樣的作用？

通過解題過程我們可以發(fā)現(xiàn)：等比的部分使得每項的次數(shù)逐次遞增，才保證在兩邊同乘公比

時實現(xiàn)了“錯位”的效果。而等差的部分錯位部分“相減”后保持系數(shù)一致（其系數(shù)即為等

差部分的公差），從而可圈在一起進行等比數(shù)列求和。體會到“錯位”與“相減”所需要的

條件，則可以讓我們更靈活的使用這一方法進行數(shù)列求和

（4）裂項相消：

通項公式特點：?！钡谋磉_式能夠拆成形如q=/（〃）—/（〃—%）的形式（女=1,2,…），從

而在求和時可以進行相鄰項（或相隔幾項）的相消。從而結(jié)果只存在有限幾項，達到求和目

的。其中通項公式為分式和根式的居多

方法詳解：以勺=二二為例

①裂項：考慮4=1—<=!]■!■——（這里/（〃）=1）,在裂項的過程中把握兩

點：一是所裂兩項要具備“依序同構(gòu)”的特點，比如這里的一結(jié)構(gòu)相同，且分母為相

n〃+1

鄰的兩個數(shù)；二是可以先裂再調(diào)：先大膽的將分式裂成兩項的差，在將結(jié)果通分求和與原式

112

進行比較并調(diào)整（調(diào)整系數(shù)），比如本題中--------——在調(diào)整系數(shù)使之符合通

n〃+2及（〃+2）

項公式即可

②求和：設(shè)｛q｝前〃項和為s“

.-.s?+-——,求和的關(guān)鍵在于確定剩下的項。通過

2（32435nn+2）

觀察可發(fā)現(xiàn)正項中沒有消去，負項中」一,二一沒有消去。

2〃+1〃+2

由a?G1JJ11）32〃+3

〃2（272+1n+2）42（〃+1）（〃+2）

一般來說，裂開的2〃項中有〃個正項，〃個負項，且由于消項的過程中是成對消掉。所以

保留項中正負的個數(shù)應(yīng)該相同。

(5)分類求和：如果通項公式是前幾種可求和形式的和與差，那么在求和時可將通項公式的

項分成這幾部分分別求和后，再將結(jié)果進行相加。

例：5=6+11+18+.一+(2”+3"+1)

可知通項公式為%=2"+3〃+1,那么在求和的過程中可拆成3部分：2”,3〃,1分別求和后

再相加

/.,、2(2"-1)+

S?=(2'+2?+…+2")+3(1+2+…+〃)+”=△------^+3--^——L+n

2—12

as

=2,,+l+-n2+-n-2

22

2、根據(jù)項的特點求和：

如果數(shù)列無法求出通項公式，或者無法從通項公式特點入手求和，那么可以考慮觀察數(shù)

列中的項，通過合理的分組進行求和

(1)利用周期性求和：如果一個數(shù)列的項按某個周期循環(huán)往復(fù)，則在求和時可將一個周期

內(nèi)的項歸為一組求和，再統(tǒng)計前〃項和中含多少個周期即可

(2)通項公式為分段函數(shù)(或含有(-1)”,多為奇偶分段。若每段的通項公式均可求和，

則可以考慮奇數(shù)項一組，偶數(shù)項一組分別求和，但要注意兩點：一是序數(shù)的間隔(等差等比

求和時會影響公差公比)，二是要對項數(shù)的奇偶進行分類討論(可見典型例題)；若每段的通

項公式無法直接求和，則可以考慮相鄰項相加看是否存在規(guī)律，便于求和

(3)倒序相加：若數(shù)列｛氏｝中的第2項與倒數(shù)第&項的和具備規(guī)律，在求和時可以考慮兩

項為一組求和，如果想避免項數(shù)的奇偶討論，可以采取倒序相加的特點，EP：

SH=+〃-+???+cin

StJ=%++???+4兩式相加可得：

2S”=(4+??)+(?2+??_1)+???+(??+4)=〃?+%)

二、典型例題

例i：已知函數(shù)〃無）=v［，求：

〔康卜??+嗎）+"）+”2）+““（2?！罚?/p>

思路：觀察可發(fā)現(xiàn)頭尾的自變量互為倒數(shù)，所以考慮其函數(shù)值的和是否具備特點。即

/（%）+|=1,所以考慮第九個與倒數(shù)第〃個放在一起求和，可用倒序相加法

初，/、111%2

解：（）

/x+/-=—2—+-=——+—2—=1

，x+1X+1￡+1x+1

x2

，S=f（去卜/〔募卜…+嗎＞，⑴+，（2）+?一+”2。15）

5=〃2015）+〃2014）+--+〃2）+〃1）+/，卜-+/（盛）

，=隹用+”20⑸卜隹舟+，（2。呻…+［小。⑸"藐）

=1x4029

。4029

S=-------

2

小煉有話說：此類問題要抓自變量之間的聯(lián)系，并嘗試發(fā)現(xiàn)其函數(shù)值的和是否有特點（常數(shù)

或者與〃相關(guān)），本題求和的項就呈現(xiàn)出倒數(shù)關(guān)系。另外在求和過程中倒序相加的方法可以

有效地避免項數(shù)的奇偶討論。

例2：設(shè)數(shù)列｛q｝滿足q=2,a,+「4=3?4"（〃eN*）

（1）求數(shù)列｛4｝的通項公式

（2）令2=〃+.“，求數(shù)列｛"｝的前〃項和S“

n

解：（1）an+]-a?=3-4

?—3?4”T

。1一?！耙?=3-4"一2

a2-a}=3-4

12(41

n

??.%—4=3?4+3?42+???+3?4〃T—i--------i=4-4

?.q=4"—2

(2)思路：由(1)可得：〃=〃+4"-2,盡管整個通項公式不符合任何一種求和特征，

但可以拆成(〃)+(4")+(-2),在求和的過程中分成三組分別求和，再匯總到一起。

解：=n+a”=幾十4"-2

.?.S,=(1+2+…+〃)+(41+4?+…+4")-2鹿

=地型+把心一2〃=?+*4"一1)

24-123、7

例3：已知數(shù)列｛%｝滿足q=1,。2=a“T+a“+。”+](“22,〃eN*),且對

于V〃GN*,a“%+1H1,設(shè)｛%｝的前〃項和為S,,則52015=

思路：原遞推公式=a“_1+?！?a”+|很難再有變化，考慮向后再寫一個式子進行

變形。anan+lan+2=an+an+l+an+2,兩式相減可得：(《標(biāo)-1)=0，由

可得：《,+2=區(qū)1，｛〃“｝為周期是3的數(shù)列，所以求和時可先求出一個周期中項

的和，再看S20”中含多少周期即可。

解：%—=??->+%+an+l①

??,4+14+2=+〃”+1+%+2②

①-②得：

?",4+1(%+2=“2-??-l=(4+2—%T)(4%+1-1)=。

為周期是3的數(shù)列在①中令〃=2qa2a3=4+4+/解得：4=3

§2015=(6+/+。3)+(4+%+。6)--------h<32OI5

而2015=3x671+2

S，oi5—671-（4+%+?）+a，oi4+%oi5=671?6++a,=4029

答案：4029

例4：己知｛an｝是等差數(shù)列，其前〃項和為S“，｛bn｝是等比數(shù)列，且

a、=b、=2,a4+b4-27,54-Z?4=10

（1）求數(shù)列｛a“｝與也,｝的通項公式

（2）記T.=a,瓦+4_也+…+a也eN*,求證：7；+12=-2a“+10〃

解：（1）設(shè)｛4｝的公差為d,也｝的公比為q

則4+a=27=>%+3d+-27

-2=10=>4al+6d-如3-io

2+3d+2/=27fd=3

即1,，解得：\

8+6d-2/=101q=2

:.an=3n-\,bn=2"

（2）思路：雖然7；所涉及數(shù)列通項公式不是“a“xb””形式，但觀察到7；中的項具備“等

差x等比”的特點，所以考慮利用錯位相減法求出7；,再證明等式即可

解：7；,=（3n-l）-2+（3n-4）-22+...+2-2n①

27；,=（3n-l）-22+（3n-4）-23+...+2-2,,+l②

②-①

23,,n+1

.-.7；i=-（3n-l）-2+3（2+2+.-.+2）+2-2

=2"+2_（3“_1>2+3.4（2-1）

、72-1

=10-2H-2（3?-l）-12

所證恒等式左邊=10-2"-2（3〃—1）

右邊=—2a“+10〃=—2（3〃—1）+10?2"即左邊=右邊

所以不等式得證

例5：已知數(shù)列｛氏｝為等差數(shù)列，其前〃項和為S“，且4=54=9,數(shù)列仇=聞

(1)求｛%｝的通項公式

(2)求數(shù)列6“的前〃項和7；

解：(1)S9=-...-?9=9a$-9:.4=1

a”=+(〃-3),(一2)——2〃+11

(2)思路:由(1)可得：bn=|ll-2n|=<,所以在求和時首先要考慮項數(shù)

2n-ll,n>5

是否大于5,要進行分類討論，其次當(dāng)〃>5,求和可分成2組分別求和再匯總

..[11—2n,n<5

解：b、=11—2/7=<

〃11[2H-ll,n>5

當(dāng)〃W5,〃wN*時，T婦芻+=

"22

當(dāng)〃>5,幾EN*時，Tn=(Z?j4---卜々)+他T----F2)

/__1+2幾-11/

?{ji-5)=25H----------—5)

=25+(〃-5)="-10〃+50

10〃一/〃<5

[〃2-10〃+50,”5

例6：(2014,桐鄉(xiāng)市校級期中)：設(shè)數(shù)列｛?！ú菲淝啊椇?〃=-3",也｝為單調(diào)遞增的

等比數(shù)列，bxb2b3=512,

(1)求數(shù)列｛4｝,他｝的通項公式

h

(2)若％=，求數(shù)列匕.｝的前〃項和，

〃(2-2媼)(2%-1-)

解：(1)〃之2時，a八二S“—S〃_]——3/?~—[—3(〃—1)=—6〃+3

〃=1時，a1=S]=-3符合上式

/.an=-6n+3

???｛〃｝為等比數(shù)列

/.b、b2b3=Z?2=512b2=S

bg

設(shè)｛2｝的公比為心則々=上=一也=優(yōu)夕=的

而生=-15

81

q+"i=。3+4-3—=-15+8q解得：夕=2或夕=—

q2

?.?{"}單調(diào)遞增:.q=2.??“=%2-2=2e

Q/Z+10”

（2）思路：由（1）可得：c?=~-~~蟲一■~二=[-----歹-_v，觀察到分母

"7（2n+1-2）（2n+1-l）（2"-1）（2,,+1-1）

（2"—1乂2"+|—1）為兩項乘積，且具備“依序同構(gòu)”的特點，所以聯(lián)想到進行裂項相消，考

112）,+|-1-（2"-1）2"

慮7-----\-7---；---\=7-----\7---;---r=7-----\7---i---V，岡U好為C,所以直接裂

（2,1-1）（2,,+|-1）（2"-1）（2,,+1-1）（2,1-1）（2,|+|-1）

項然后相消求和即可

n

2?+i211

,C------------------------------------------------——__________

''"-（2n+1-2）（2n+I-1）-（2（,-l）（2n+l-1）-（2"-1）（2"+|-1）

例7：已知等差數(shù)列的首項q=1,公差d>0,前〃項和為S,,

(1)若S”S2，S4成等比數(shù)列,求數(shù)列的前〃項和7；

(2)若」一+」一+」一+…+—^>二塵對一切恒成立，求d的取值范圍

aa

a}a2a2a3a3a4nn+[2016

(1)思路：先利用已知條件求出?！ǖ耐椆?，然后用錯位相減法求和

解：???E，S2，S4成等比數(shù)列

S；=S］'S4=>(2々］+d)2=a1(4q+6d),代入q=1可得:

(d+2)2=4+6dnd2—2d=o由d>o可得：d=2

/.an=2〃-1

2z-、3z［、〃z［、〃+1

+(2n-3)-

2\1)\Ly

①-②

京,=；+2［出+出+…+出_-(2"-1嗎’,

=%.峰1吁也

2

=汨等"嗎)=rQ+唱"’

??Z=3-(2"+3)出‘

(2)思路：雖然不知道｛4｝的通項公式,但根據(jù)其等差數(shù)列特征可得：an+l-an=d

所以------=-----------從而可將不等式的左邊通過裂項相消求和，然后根據(jù)不等

??+1；4

式恒成立解d的范圍即可

松1(11)1

解：--

??+1)&

11111<111111、

..1+++?"?+aaa

q4a2a3。3a4nn+\"(q出203%。八+1/

if.1}1(.1

—nd)d\\+nd)

\_>二竺對一切〃eN*均成立/.1，

1———

~d1+nd2016\+nd

5Imin

設(shè)/⑺=61-,由d>0可得：/(〃)為增函數(shù)

1+nd

.,./(?),=f(1)=—f1-----1=--—

-mmV>八1+jJ1+J

120151

nd<

~\+d20162015

:.de\0,——

I2015

例8：已知數(shù)列1,2,1,2,2,1,2,2,2,1,?一，其中相鄰的兩個1被2隔開，第〃對1之間有〃個2,

則該數(shù)列的前1234項的和為

思路：本題求和的關(guān)鍵是要統(tǒng)計一共有多少個1,多少個2相加。那么首先應(yīng)該確定第1234

的位置，(即位于第幾對1中的第幾個2),可將1個1與之后〃個2劃為一組，則第〃組數(shù)

八―2+(/?.+1)2+(n，+1).

中含有?+1個數(shù)。即----------n｝<1234<-----彳----2,可估算出〃1=48,n,=49,

2+5+1)2+(〃，+1)

所以一U_L.=1224<1234<-U~=1274即該數(shù)列的第1234項位于

2n'22

第49組第10個數(shù)?？煞治銮?8組中含有48個1,含有1+2+…+48=1176個2,在第

49組中有1個1,9個2,所以前1234項和為48+1176x2+1+9x2=2419

答案：2419

小煉有話說：對于這種“規(guī)律性”(不含通項公式)的數(shù)列，首先要抓住此數(shù)列中數(shù)排列的

規(guī)律，并根據(jù)規(guī)律確定出所求和的最后一項的位置。再將求和中的項進行合理分組使之可以

進行求和，再匯總即可。

2

例9：已知S“是數(shù)列｛4｝的前〃項和，S.S?=2an+n-3n-2,n=1,2,3...

(1)求證:數(shù)列｛。“一2"｝為等比數(shù)列

(2)設(shè)b“=a「cosn兀,求數(shù)列也｝的前n項和Tn

解：(1.)S“=2a“+—3〃—2①

2

.?.5?,1=2a?_,+(n-l)-3(H-l)-2②

①—②可得：=2冊—2a“_]+2〃-4

即a〃=2%-2〃+4

.,.a“-2〃=2a“T-4〃+4=2[%_1

.?.{4-2〃}為q=2的等比數(shù)列

(2)思路：若要求和，需要先求出2的通項公式。所以先利用(1)構(gòu)造等比數(shù)列求出。“，

從而得到“，對于coswr=(—l)",處理方式既可以將"進行奇偶分類，進而分組求和，

也可放入到通項公式中進行求和

解：由⑴可得：%—2〃=(4-2>2””

2

令”=1代入Sn=2an+n-3n-2

S、=2q—4「?q=4

/.an-2n=2"an=2"+2n

.,也=(2"+2〃)cosnji

方法一：直接求和

.../?〃=(2"+2〃卜0$〃萬=(2"+2〃)?(一1)〃=(一2)〃+2〃(一1)“

23，，+1

_^=1.(-1)+2-(-1)+...4-?(-1)

’2匕=(T)+(TJ+…+(-1)”一"(-1)'"=----[(：)]+〃(一]),

3可-(-1)1+卻"

n

.-.7；,=|[(-2)"-i]+i[i-(-i)]^(-iy

小煉有話說：本題雖然可以直接求和，但是過程和結(jié)果相對形式比較復(fù)雜

方法二：分組求和

二2=（2"+2〃）cos〃]=（2"+2”）?（一1）"=4'

、7、八）|2"+2〃,〃=2Z

當(dāng)〃為偶數(shù)時

“1+b?=-2"T—2（〃-1）+2"+2〃=2"-'+2

：工=（偽+62）+（4+4）+…+（包-1+仇）

（?、

242—1

-------<+n=--（2n-l）+n

4-13V7

當(dāng)〃為奇數(shù)時

9

fl

Tn=Tn_x+bn=-（2?-'-l）+?-l-2-2n

25

=-----2-〃----

33

--（2"-\）+n,n^2k

：.7；=|3

"25

-----2"-n——,n=2k-1

33

小煉有話說：本題在分組求和時要注意以下幾點

(1)相鄰兩項一組，如果項數(shù)為奇數(shù)，那么會留出一項，項數(shù)為偶數(shù)，那么剛好分組。所

以要對項數(shù)進行奇偶的分類討論

(2)在項數(shù)為偶數(shù)的求和過程中要注意力的取值變化不再是1,2,3,?一，而是2,4,6,…所以

求和時的公比和求和的項數(shù)會對應(yīng)發(fā)生改變。

(3)在項數(shù)為奇數(shù)的求和中可利用前面的結(jié)論，簡化求和過程

方法三：分奇數(shù)項偶數(shù)項分別求和

-2"-2n,n=2k-l

/.2=(2"+2〃)cos=(2"+2辦(-1)"=<

2"+2n,n=2k

當(dāng)〃為偶數(shù)時：

Tn=(4+4+4+…+"-l)+(A+/+%+???+〃)

優(yōu)+4+…+a_1=-(2+23+…+2"T)—2(1+3+…+〃一1)

fn\

245-l

n+l2

-A——2_.1+n-1-n-=---2----+-2----n--

4-1222332

24,,

Z?2+Z?4+.??+/??=（2+2+.--+2）+2（2+4+.--+?）

fn\

442-1

、,2+?i_442）

-------^+2——=r+2±

4-122332

2,+i2

-T?-----1-n

33

同理：當(dāng)〃為奇數(shù)時

9

d+d=*—）+〃T_2”2〃

25

=----Z-n—

33

2.（2"-1）+〃,〃=2Z

?u=25

---T-n--,n=2k-\

I33

例10：己知等差數(shù)列｛4｝的公差為2,前〃項和為S“，且E，S2，S4成等比數(shù)列

（1）求｛4｝的通項公式

（2）令”=（一1）"'六）求數(shù)列的也｝的前〃項和1

解：（1）$2,$4成等比數(shù)列

2

S；=5,S3（2q+d）2=4（4q+6d）即（2q+2）=4（4q+12）

解得：ax-1「.a”=4+（〃-l）d=2〃-l

（2）思路：由第（1）問可得：b=（-l\'~'-------------考慮相鄰項作和觀察規(guī)律：

"\'（277-1）（2/1+1）

n為偶數(shù)時，

（）〃〃

b+b—___4___n_-_l___________4_____—_______8___-4_______—______4_____

〃T〃（2/Z-3）（2H-1）（2n-l）（2n+l）（2n-3）（2n-l）（2n+l）（2/?-3）（2n+l）

11

然后再進行求和即可

2〃-32n+l

解：

〃為偶數(shù)時,

（）〃

b.+b,—____4__?_-_1___________4______

〃（2n-3）（2n-l）（2〃一1）（2〃+1）

4（〃—1）（2〃+1）-4〃（2〃-3）

（2H-3）（2H-1）（2H+1）

_______8〃-4________4__J______1

（2n-3）（2n-l）（2n+l）-（2〃-3）（2〃+1）-2〃-3-2>+1

7；=（々+4）+伍3+&）+???+（%+2）

4〃2（〃-1）（2〃+1）+4〃

〃為奇數(shù)時：

2（n-l）+l（2n-l）（2n+l）（2n-l）（2n+l）

2（2/+〃-1）2（2n-l）（n+l）2〃+2

（2〃-1）（2九+1）-（2〃-+-2〃+1

2n

,n=2k

綜上所述：7；,=2/2+1

2/1+2

,〃=2攵一1

2+1

小煉有話說：本題還可以直接從切入手:

—?—1

止"閉益下r"2n—1+1

盡管裂開不是兩項作差，但依靠(-1)"T在求和過程中也可達到相鄰項相消的目的。進而根

據(jù)項數(shù)的奇偶進行討論求和。

三、歷年好題精選

1、把等差數(shù)列｛凡｝依次按第一個括號一個數(shù)，第二個括號兩個數(shù)，第三個括號三個數(shù)，第

四個括號一個數(shù)……，循環(huán)分為（1）,（3,5）,（7,9,11）,（13）,（15,17）,（19,21,23）,（25）,…，則

第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為（）

A.390B.392C.394D.396

2、數(shù)列｛4｝滿足為+I+（-1）"見=2〃—1,則｛4｝的前60項和為（）

A.3690B.3660C.1845D,1830

1〃乃

3、（2016,山東青島12月月考）設(shè)。〃=—sin--,Sn=%+…，則在S1,邑,…,S]QQ

n25

中，正數(shù)的個數(shù)是（）

A.25B.50C.75D.100

4、（2016,長沙一中月考）已知數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列，數(shù)列｛2｝是等比數(shù)列，公比為q,

數(shù)列｛%｝中，c?=anbn,S“是數(shù)列｛q,｝的前〃項和。若S,“=ll,S2,“=7,S3,“=-201（加

為正偶數(shù)），則S.的值為（）

A.-1601B.-1801C.-2001D.-2201

5、若數(shù)列｛a,｝滿足%=一1,〃（見+]-%）=2—a,+1（〃GN*）,則數(shù)列｛an｝的通項公式為

6、（2015,新課標(biāo)H）設(shè)S“是數(shù)列｛%｝的前"項和，且％=T,a“+]=S,S“+|,則S“=

7、（2015,江蘇）數(shù)列｛%｝滿足q=1,且4+1—4="+1（〃GN*）,則數(shù)列<上>的前10

項和為_________

8、在等差數(shù)列｛6,｝中，q=3,其前〃項和為S“，等比數(shù)列｛a｝的各項均為正數(shù)，仇=1,

公比為q,且4+S,=12,夕=之

A

⑴求見也

（2）設(shè)數(shù)列匕｝滿足c,,=h—%|，求匕｝的前〃項和7；

35

9,（2015,廣東文）設(shè)數(shù)列｛3｝的前〃項和為S,,,〃eN*,已知弓=1,生=5,%=]，且

當(dāng)“22時，4Sn+2+5S?=8S?+1+S?.l

（1）求能的值

（2）證明：[。用-為等比數(shù)列

（3）求數(shù)列｛《,｝的通項公式

10、（2015,天津）已知數(shù)列｛%｝滿足%+2=啊,（401）,〃eN*,%=1.=2,且

a

a2+a3M3+。4，。4+5成等差數(shù)列

（1）求4的值和｛q｝的通項公式

（2）設(shè)b"="g2a2”，〃€2,求數(shù)列也｝的前〃項和

a2n-\

11、（2014,湖南）已知數(shù)列｛a“｝滿足4=l,|a“+]-a,J=p",〃wN*

（1）若｛%｝是遞增數(shù)列，且q,2a2,34成等差數(shù)列，求〃的值

⑵若〃=；,且｛%1｝是遞增數(shù)列，｛%,｝是遞減數(shù)列，求數(shù)列｛4｝的通項公式

12、（2014）全國卷）等差數(shù)列｛凡｝的前〃項和為S“，已知q=10,4為整數(shù)，且S.WS」

（1）求｛%｝的通項公式

（2）設(shè)2=—,求數(shù)列板｝的前〃項和T“

。網(wǎng)+i

13、（2015,山東）設(shè)數(shù)列｛q｝的前〃項和為S”，已知2s“=3"+3.

（1）求數(shù)列｛為｝的通項公式；

（2）若數(shù)列｛々｝滿足4也=log34,求數(shù)列也J的前〃項和北.

14、（2016）山東濰坊中學(xué)高三期末）在數(shù)列｛a,,｝,｛〃,｝中，已知4=1,乙=2,且一%,

bn,。，用成等差數(shù)列，-/，4,〃山也成等差數(shù)列.

（1）求證：｛4+4｝是等比數(shù)列；

（2）若q,=（2a“—3"）唾3[24-（一1）”],求數(shù)列｛c“｝的前〃項和T“.

an_]+=2k,kGN*

15、定義數(shù)列{a“}:q=1，且〃22時，a

n2a“_1,n=2k-l,keN*

(1)當(dāng)r=0時，S〃=%+/+…+4，求S〃

(2)若rNO,求證：Z------<4

〃=1a2k-}a2k

習(xí)題答案:

1、答案：B

解析：由前面幾組可得，組中項個數(shù)的循環(huán)周期為3,因為50+3=16--2,所以第50組

數(shù)含有兩個元素?？芍谝粋€周期中將占有｛風(fēng)｝中的6項，所以16個周期共占有96項，

從而第49個括號里為(%),第50個括號里含有的項為(a98M%)，因為q=2〃-1,

所以q)8=195M99=197,則“98+。99=392

2、答案：D

解析：〃=2左時，。2*+1+a2k=4Z-1

〃=2左一1時，“2A一。2*-1=4左一3

二4&+1+“2A-1=2二4*+3+。2*+1=2可得：％八3=。2&-1

'''a\~。61

二Sft)=4+%+…+。60=(%+。3)+(44+“5)+…+(460+a6l)

^3+7+ll+---+(2x60-l)^3+^19X3O^183O

3、答案：D

774

解析：/(〃)=sin元■的周期T=50,結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可知：a?a2,---,a24>0,?25=0,

且。26，。27,…，“49>。，%0=。，因為>=一單調(diào)遞減，所以l/el<4,1a27|<4，.一，|449|<生4

則S[,S?,…S?5為正，S26=(4+/6)+/+,,,+&4>0,同理可得：§26,527,…,S50也均

為正數(shù)，以此類推，可知S1,S2,…,Soo均為正數(shù)，共100個

4、答案：B

解析：令A(yù)=Sm,B=S2m-S?,,C=S3ffl-S2,?

.../'A=(a,bl+a2b2+---+ambm)q"'=a,bm+｝+a2bllt+2+…+amh2m

B-q"'A=&+「％)“+】+…=偌(％1+…+%”)，d為｛4｝的公

差

m

同理C—qB=md(b2m+x+b2m+2+…+b3m)=md(bm+x+…+b2mM

代入A=S,“=11,8=S2m-S?,=—4,C=S.m-S2m=-208可得:

2

11（力+87?-208=0,解得/"=4或qm=

設(shè)。=S4,,,-S3,“，同理可知.?.￡）—q"'C=d"（C—，3）,代入可得:

D=-208-4+4（-208-4-㈠）=-832-768=-1600

S4?,=D+S3m=-1600-201=-1801

2n-3

5、答案：a

nn

解析：〃(。,汁|

-a,,）=2-an+]=（〃+l）a“+|一陷,=2

設(shè)b“=na“，即仇+|一仇=2

也｝為等差數(shù)列白=4=一1

2n-3

2=4+2(〃-1)=2〃-3/.a----

nn

6^答案：---

n

解析：“e=s“s“+i=s向—s.=s“s,川，即!一一一=1,所以]?[為公差是T的

等差數(shù)列，所以‘-=-!-+(〃-1”=一〃，即s,=-,

S“S]n

7、答案：—

11

a

解析：?+i-??=?+!＞可得：一。"_]=〃，…,％-6=2,進行累加可得：

,、”+2/、_（〃+2）（〃一1）+

〃+---F2=--—（〃-1）,所以=-------------+1,

8、解析：（1）設(shè)｛凡｝,｛2｝的公差和公比分別為

:.b2+S2=btq+at+a2=btq+2at+d=q+6+d=12

夕=邑="&=/=4+6,所以解得：g=3或q=Y（舍）

“q

:.d=3

an=q+3(/7—1)=3n,b?=3"~

,|3,,'|-15,?>4

⑵J=|3"TT5=4

115-3"T,〃<3

GT

當(dāng)“W3時，7；=15〃—(l+3+...+3"T)=15n-^-------

2

234fl1

當(dāng)〃24時，7；(=45-(l+3+3)+(3+3+..-+3-)-15(?-3)

3-12

3Z,-1

15〃---------,n<3

2

3"+127

一15〃,〃>4

2

9、解析：(1)令〃=2,則4s4+5S?=8S3+E

.??4(1+|+：+①)+5[1+9]=8(1+|+：)+1，解得：

(2)4S“+2+5Sn=85n+l+S,in4Sn+2-45n+1+Sn-S,—=4S?+1-45?

^4aii+2+a?=4all+l

，*-；八斗…'J

L。,]是公比為」的等比數(shù)列

...〃22時，<a

ll+t2"]2

3511(1

當(dāng)〃=]時，由q=I,%=_，。3=—可驗證得：。3----4二一a2----a\

2422、2

???綜上可得：1%+]—gaj是公比為g的等比數(shù)列

(3)由(2)以及。2—萬"|=1口J得：

.?.｛2"4｝為公差是4的等差數(shù)列

/.2"a〃=2a]+（〃-1）?4=4〃-2

、riV門丫i

.?.%=（z4〃-2）.匕J=（2〃—1）.匕

10、解析：（1）依題意可知：=qax=q,a4=qa2-2q.a5-qa3=cf

???生+。3M3+〃4M4+1成等差數(shù)列

2（%+/）=%+。5+。2+々3

即2（鄉(xiāng)+2q）=2q+q2+2+q=>q2-3q+2=Q

二.夕=2或4=1（舍）

%+2=2a”

……,…\?,n+1

當(dāng)n=Zk—\\keNJHj,k=—

"i[n-1

=a「2i,即4=22=2V

當(dāng)”=2左一1（左eN*）時，k=—

k

a2k=a2-2-',即a,=2-2二'=

-n-1

2三，〃為奇數(shù)

綜上所述：an=\

2之〃為偶數(shù)

n

n（1Y"1c"

（2）由（1）可得：b,』°g2y

=—2⑶—=n-2

設(shè)｛〃,｝的前〃項和為T“

23

：.Tn=l-2+2-2+3-2+■■■+/■?2”

27；,=l-22+2-23+3-24+---+(n-l)-2,,+n-2,,+l

兩式相減可得：-7；=2+2?+…+2"—〃?2n+1=-n-2,,+l=(1-?)2n+l-2

,,+l

:.Tn=(n-l)2+2

11、解析：(1)因為｛%｝是遞增數(shù)列

aaaa

-"-\n+t-n\=n+l-n=P">其中P>0

/.由41=1可得：4=+〃=1+〃，〃3==1+〃+

???q,2a2,34成等差數(shù)列4%=q+3%

代入可得：4(l+4)=l+3(l+q+/)

解得：p=g或p=0(舍)

1

-p=-

3

(2)因為｛2,1｝為遞增數(shù)列

??a2n+\~a2n-\>,(%"+1。2")+(°2")>。①

因為「一<」_

22n22"-1

—。2"|<|°2"—"2"T|②

由①②可得：aln-a2n_t>0

=

：.a2n-a2n_tf^③

同理：因為｛%｝為遞增數(shù)列

-a2n~。2"-2(。1,'(。2"—。2"-1)+(%"-1一。2"-2)(°

因為」

r\2n—\2

,1%’?一。2〃一1|<|%?T-

%〃-1-a2n-2<0

④

a,+3<7>0

12、解析：（1）由S“WS4可知：a4>0,%<0,即，

q+4<7<0

?/a2為整數(shù)d-a2-a}=a2-10eZ

10+3420

結(jié)合不等式4可解得：。=—3

10+4J<0

an=?1+(n—l)t/=13—3〃

-

anan+,~(13-3H)(1O-3H)3U0-3/?13-3n,

1O___L

式10-3〃10

n

~10(10-3/1)

13、解析：(1)由2s“=3"+3可得q=4=g(3+3)=3,

a?=S?-S?_,=1(3"+3)-i(3“T+3)=3”T(〃22)

3,n—\,

3"T,〃>1.

I，〃=1,

3,n—\,唾34=3

⑵由。也=log3a,及%=<一可得勿

n-1

,n>1.

.1123n-1

%=§+§+?+不+???一l---------