高中數(shù)學(xué)必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題(高難度) 47(含答案解析)

必修二第八章《立體幾何初步》單元訓(xùn)練題（高難度）（47）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共7小題，共35.0分）

1.如圖，矩形ABCC中AB=1,4￡）=VL將△48。沿著8。折成^^8。,

使得4點(diǎn)在平面ABC。上的射影在ABC。內(nèi)部.設(shè)二面角4-BD-C

的平面角為a，&C與平面BCD所成角為0,乙4$D為y,則a,￡,y的

大小關(guān)系為（）

A.a>y>P

B.a>0>y

C.Y>p>a

D.y>a>p

2.已知三棱錐S-4BC各頂點(diǎn)均在球。上，SB為球。的直徑，若AB=BC=2,^ABC=y,三

棱錐S-ABC的體積為4,則球。的表面積為（）

A.12071B.647rC.327rD.167r

3.四邊形ABC。滿足=ND=90。，沿4c將翻折成△AD'C,設(shè)直線4D'與直線8c所

成的角為%,直線4D'與平面D'BC所成的角為。2，直線BD'與平面4CD'所成的角為。3，則（）.

A.e2<<%B.e2<e-i</c,eA<e2<e3D.e3<e2</

4.下列命題中:

①若46a,BCa,CEAB,則C6a；

②若anS=Z,bua,cu。，bC\c=A,則4e人

③4,B,Cea,A,B,且A,B,C不共線，則a與0重合;

④任意三點(diǎn)不共線的四點(diǎn)必共面.

其中真命題的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

在直三棱柱4BC-&B1C1中，乙4cB=90。，AC=12,BC=C￡=2近,P是直線BC1上一動(dòng)

點(diǎn)，則&P+PC的最小值是（）

A.5V2B.6+V2C.10V2D.12+2V2

6.在正方體48。。-4/傳1。1中，點(diǎn)加，N,尸分別在D?上，〃為的中點(diǎn)，氏=

籍=2,過點(diǎn)A作平面a,使得Bq1a,若an平面ABiGDi=m,an平面MNP=n,則直

線機(jī)與直線〃所成的角的正切值為（）

A越B.迎C.四D.匹

7772

7.己知正三棱柱48。-48停1的各棱長都相等，則直線與平面BCI所成角的正切值為

A.立B.小C.1D.叵

253

二、填空題（本大題共15小題，共75.0分）

8.我國古代有一種容器叫“方斗”，“方斗”的形狀是一種上大下小的正四棱臺(tái)（兩個(gè)底面都是正

方形的四棱臺(tái)），如果一個(gè)方斗的容積為7升（1升=1立方分米），上底邊長為4分米，下底邊長

為1分米，則該方斗外接球的表面積為平方分米.

（不計(jì)材質(zhì)厚度，丫棱臺(tái)

9.設(shè)P、A、B、C、D是表面積為367r的球的球面上五點(diǎn)，四邊形4BC。為正方

形，則棱錐P—4BCD體積的最大值為.

10.某種無底的圓錐形鐵罐是用鐵皮圍成的，已知圓錐形鐵罐的容積為遙兀立方米，則當(dāng)圓錐底面

半徑為米時(shí)，所需鐵皮最省.

11.在幾何體P-ABC中，Zk/MB是正三角形，平面P4B_L平面A8C,.且4B=BC=2,AB1BC,

則P-ABC外接球的表面積等于.

12.在長方體4BCD-4送16。1中，441=1,4G與側(cè)面鼻口5為所成的角為60。，B】C與底面48CZ）

所成的角為45。，則該長方體外接球的表面積為

13.如圖，在三棱錐4-BC0中，E、尸分別為A8、C。中點(diǎn)，并且4。=

BC=26,EF=y/10,則異面直線4。與BC所成的角的余弦值為

14.如圖是正方體的平面展開圖.在這個(gè)正方體中,

①8M〃平面OE；②CN〃平面A凡③平面8DM〃平面AFN；

④平面BDE//平面NCF.

以上四個(gè)命題中，正確命題的序號(hào)是.

15.已知正方體ABCD-4當(dāng)6。1的棱長為2,過點(diǎn)A及GQ中點(diǎn)作與直線

8。平行的平面a,則平面a與該正方體各面交線長度之和為

16.已知球O表面上的四點(diǎn)A,B,C,。滿足4c=BC=&,乙4cB=90。，若四面體A8CD體

積的最大值為|,則球。的表面積為.

17.己知邊長為4百的菱形ABCQ中，=60。，現(xiàn)沿對(duì)角線8。折起，使得二面角A-B。一C為

120。，此時(shí)點(diǎn)A,B,C,。在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為

18.如圖，在菱形48co中，ZB=1,乙4=60。，河是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，P是線段上的動(dòng)點(diǎn)，

將ZL4DM沿翻折至44'DM,使得二面角4一DM-B的大小為今則|AP|的最小值為.

19.長方體力BCD-&B1QD1的底面4BC。是邊長為3的正方形，側(cè)棱的長為4,在其內(nèi)放一個(gè)

棱長為x的正四面體，且該正四面體可以在長方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則x的最大值為.

20.在三棱錐P-ABC中，三條側(cè)棱PA,PB,PC兩兩垂直.PB=PA+1,PA+PC=4,則三棱

錐P-力BC外接球的表面積最小值為.

21.如圖，在長方體ABCD-AiBigDi中，P為8。上任意一點(diǎn)，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的序號(hào)為

B

①PC1與AA1異面

②PG與平面ABiDi相交

③PC1與平面ABiDi平行

22.用扇形鐵皮卷成一個(gè)圓錐筒(假設(shè)扇形半徑可變化)，已知扇形面積為定值S,要使卷成的圓錐筒

體積最大，則該扇形的半徑R為.

三、解答題(本大題共8小題，共96.0分)

23.如圖，在四棱錐P—4BCD中，A8CD為直角梯形，AD//BC,且8c=2AD=8,AB=4,AD1

平面PA8,M為PC上一點(diǎn).

(I)若P力〃平面求累的值;

(H)若△P4B為正三角形，M為PC的中點(diǎn)，求四棱錐P-4BCD截去三棱錐M-BCD后剩余部

分的體積.

24.如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面A8C。為矩形，平面P4B_L平面力BCD,PBLPD.

BEC

(1)證明：平面PBC1平面PAC；

(2)若24=PB,BE=EC,且AB=2,BC=4,求點(diǎn)E到平面PAD的距離.

25.如圖，在幾何體BiBC-PA。中，四邊形A8C。為矩形，BB11￥ffiABCD,PA_L平面ABC。,

且24=^88],E為直線C。上任意一點(diǎn).

(1)若DP〃平面B]4E,求證：E為C。中點(diǎn)；

(2)若SB】=BC=a,AB=2a,由平面ABiE、平面48止、平面PB]E、平面PDE、平面ADE,

平面尸4。圍成的幾何體的體積為生，求。E的長.

26.如圖，在四棱錐P-4BCD中，AB=AD=相,CB=CD=四,BD=2.

(1)若線段PO,BC上的點(diǎn)E,F分別滿足PE=：PD,CF=：CB，求證：EF〃平面PAB；

(2)若平面PBD_1_平面ABCD,且PD1PB,PD=PB.求平面PAB與平面尸3c所成的銳二面角

的余弦值.

27.如圖，在半徑為106cm的半圓形(。為圓心)鐵皮上截取一塊矩形材料A8CZ),其中點(diǎn)A、B在直

徑上，點(diǎn)C、O在圓周上，將所截得的矩形鐵皮A8CO卷成一個(gè)以A。為母線的圓柱形罐子的側(cè)

面(不計(jì)裁剪和拼接損耗)，記圓柱形罐子的體積為V(cm3).

(1)按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)=將V表示為x的函數(shù)；

②設(shè)41。。=6(rad),將V表示為。的函數(shù);

(2)請(qǐng)您用(1)問中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積.

28.如圖所示，四棱錐S-4BCD中，平面S/WJ■平面ABC。，ASDA=ABAD=^ABC90°,AB

*AD娛SD=^BC.

(I)求證：平面SBD，平面SAC；

(II)若點(diǎn)E在線段SB上，且BE=?SE,求直線AE與平面COE所成角的正弦值.

29.如圖，在幾何體BiBC—PAD中，四邊形ABCD為長方形，BB^ABCD,PAABCD,

且24=^881，E為直線CD上任意一點(diǎn).

(1)若。P〃平面Bp4E,求證：E為CO中點(diǎn)；

(2)若AB=&BB［，且平面POE與平面Bp4E所成的銳角為%求孤的值.

30.已知四棱錐S-ABCD中，底面ABCQ是菱形，AABC=120°,S4=SO=2,點(diǎn)N是線段A。

的中點(diǎn)，且SD1BN,點(diǎn)G在線段SC上.

(I)求證：SBLAD；

(口)若NSAD=60。，點(diǎn)M是線段8c上靠近C的四等分點(diǎn)，平面OGMJ_平面A2CQ,求三棱錐

D-CMG的體積.

【答案與解析】

1.答案：A

解析：

本題考查二面角，線面角，涉及利用面面垂直確定點(diǎn)在平面內(nèi)的射影的位置，利用角的余弦和正切

的大小比較角的大小，考查直角三角形中的有關(guān)計(jì)算，涉及不等式的基本性質(zhì)，數(shù)難題，過A作BO

的垂線AE交8。于￡,延長AE,交BC于F,利用面面垂直確定①在底面BCQ中的位置，同時(shí)得

到二面角的平面角和直線與平面所成角，可以判定有關(guān)角的三角函數(shù)的大小，進(jìn)而利用三角函數(shù)的

性質(zhì)得到相應(yīng)角的大小關(guān)系.

解：如圖所示，過A作8。的垂線4E交8力于E,延長AE,交BC于F,

連接&E,則4iE_LBD,

ArE,4Eu面AiEF,AEnArE=E,

則平面&EF1BD,

.,?平面為EF1平面BCD,交線為EF,

設(shè)占在平面8CQ上的射影為。，則。在直線EF上，

又?.?己知必點(diǎn)在平面A8CD上的射影在△BCO內(nèi)部，。在線段所內(nèi)部,

連接0C,則N&E。為二面角4-BD-C的平面角，乙％EO=a；

乙41co為&C與平面BCD所成角，△A[C0=B,

由已知得乙4/D=Z-A^E=/.ABE=Z-ABD=y.

由己知矩形A8CQ中AB=1,AD=y/2,

???BD=V5,

shiZ.ABD=—^.<-osZ.4Z?D=-y=.tnnZ.ABD=\/2,

5/3y/3

/Q11

AE=ABsinZ.ABE=",BE=AB<^Z.ABE=,BF=ABtanNBAF=

瓜瓜瓜

DE=y/3-^==EF=BEtnnZFBE=-^x

V337、叵瓜

U\u/LA[BE二tnnZ.ABE=\/5

0

逅

八ccAOA1EAiEAE

UnN4co—=-

tanZ-A^E>tanZ.A^O,???y=/.A^E>z.A1CO=0,

UnNAiEO=黑>翌>槳>黑=UnNAi（。，

EOEFCFOC

a=N&E。>乙4iC。=的大小比較可以省略）,

1

EC,EF春1

rose=cosZ.AiEO=---<----=----

A{EA{Ev/22

75

???a>y,

綜上所述，a>y>/?,

故選故

2.答案：B

解析：

本題考查了球的表面積和正弦定理，由三棱錐S-力BC的體積為4,得三棱錐S-4BC的高，設(shè)。，為

三角形A8C的外接圓的圓心，連接。。',則0。'，平面48C,因?yàn)镾3為該球的直徑，由勾股定理可得

球半徑，進(jìn)而得出球的表面積.

解：原題如下圖所示：由AB=BC=2,乙ABC=詈得：AC=2內(nèi)，則％4BC=-BCsin等=V3.

設(shè)44BC外接圓圓心為。，，

則。0'1。。'由正弦定理可知，ZL4BC外接圓半徑：。'4=丹=2.

2s,nT

設(shè)S到面ABC距離為d,

由SB為球。直徑可知：。。'=二V0_ABC=|xV3xd=4.

d=4V3則=2次.??球的半徑。4=7O'A2+OU=，4+12=4,

球。的表面積S=4?rx42=647r,

故選B.

3.答案：D

解析:

本題主要考查立體幾何的應(yīng)用以及利用空間向量求夾角，屬于中檔題.

考慮特殊情形，設(shè)四邊形A8C。是邊長為2的正方形，沿AC將AAOC翻折成△A〃C,使平面4D'C_L

平面4BC,通過空間向量求夾角即可.

解：考慮特殊情形，設(shè)四邊形ABC。是邊長為2的正方形，沿AC將△ADC翻折成使平面

AD'C1平面ABC,

?-AD;=(-1,1,V2)-BC=(-2,0,0).麗=(-1,-1,或)，CD1=(1,-1,V2)

21.n

COS0n1—-—?=-,.."1=

12X223

設(shè)平面O'BC的一個(gè)法向量為Q,y,z),

???_,/X_n，；?平面D'BC的一條法向量可取(0,a,1),

V,xy十vzzu

.?.疝。2=斗=漁6件當(dāng),

N2x733\2'2J

同理平面4CD'的一條法向量可取(1,1,0),

"$也。3=嘉=%=%

所以在此特殊情形下%<。2<%，

只有。選項(xiàng)滿足，

故選D.

4.答案:D

解析：解：對(duì)于①，若Aea,B&a,CEAB,根據(jù)平面的基本性質(zhì)得到Cea；故意正確；

對(duì)于②，若anS=1,baa,cc/?,bC\c=A,根據(jù)平面的基本性質(zhì)容易得到A同時(shí)在兩個(gè)平面

內(nèi)，即A6，；故②正確；

對(duì)于③，A,B,Cea,A,B,Ce?且A,B,C不共線，根據(jù)不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面，容易

得到a與S重合；故③正確；

對(duì)于④，任意三點(diǎn)不共線的四點(diǎn)不一定共面.比如空間四面體；故④錯(cuò)誤；

故選

利用平面的基本性質(zhì)對(duì)四個(gè)命題分別分析解答.

本題考查了平面的基本性質(zhì)的運(yùn)用；熟練掌握平面的性質(zhì)是關(guān)鍵.

5.答案：C

解析:

連接沿Bq將ACBG展開與△力iBC］在同一個(gè)平面內(nèi)，使得C落在C'的位置，貝UCP+P4的最

小值是4C',然后求解三角形得答案.

本題考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了余弦定理的應(yīng)用，是中檔題.

解：連&B,沿BQ將ACBG展開與AAiBCi在同一個(gè)平面內(nèi)，使得C

落在C'的位置，如圖所示，

連&C',則&C'的長度就是所求的最小值.

B,

VBC=CG=2V2,BC1=4,

又&G=12,ArB=4V10,則+BC/=4摳2,得乙41clp=90。,

又乙BC、C=45°,???441clC'=135°,

在△AiGC'中，由余弦定理可求得：

=J122+(2V2)2-2X12X2V2X(-y)=IOA/2-

故選：C.

6.答案：A

解析:

本題考查空間線線、線面、面面的平行與垂直關(guān)系，考查考生的空間想象能力、化歸轉(zhuǎn)化能力和直

觀想象能力.

補(bǔ)正方體484一4811/，，作平面同"與正方體48。0-48心。1的截面，設(shè)48=3,易知4E=

AF=2,即可證得BC】J■平面AB/H,可得乙4FG為直線，"與直線〃所成的角.設(shè)AG=x,GH=y,而

△AEGfHNG,計(jì)算可得x的值，從而可得直線機(jī)與直線〃所成的角的正切值.

解：如圖，補(bǔ)正方體4B/K作平面MNP與正方體4BC。-4B1GD1的截面，設(shè)4B=3,

易知4E=AF=2.

易證BCX1AB,BICAB=B,Bl,ABc5FffiAB1H,

所以BC】L平面AB///,即平面A8/H為平面a,

所以直線GF為"，直線，/為，小

又N4FG為直線機(jī)與直線”所成的角.

X+y=3V2,pr

設(shè)4G=x,GH=y,而AAEGTHNG,所以工=2解得久=史巴

在RtA4GF中，tanNAFG=^=N=越，

AF27

故選A.

7.答案：B

解析：

本題考查正三棱柱的性質(zhì)以及直線與平面所成角的求法，涉及線面垂直的判定，考查空間想象能力

以及計(jì)算能力，屬于中檔題.

由題意可得，NAB。是直線AB】與平面BG所成角，在RtAADBi中，求得正切值即可.

解：設(shè)48=2,8c的中點(diǎn)為。，則AO_L平面BCi，連結(jié)當(dāng)。，

則乙AB1。是直線力當(dāng)與平面所成角，在Rt△ADBi中，

tan乙4當(dāng)。AD_V3_V15

%￡>一時(shí)―5

故選反

2977r

8.答案:

解析：

本題主要考查正四棱臺(tái)外接球的表面枳的求法，屬中檔題.

根據(jù)正四棱臺(tái)的體積求得棱臺(tái)的高h(yuǎn)=1,然后根據(jù)題意得到關(guān)于外接圓半徑的方程求解即可.

解：據(jù)題意，正四棱臺(tái)的容積為7立方分米，

則了=g(S上+S/+Js上.S"

=1(42+I2+716x1)-h=7,

?,.九=1,

外接球的球心從上往下看應(yīng)該與兩個(gè)底面的中心重合，

故兩個(gè)底面對(duì)角線的一半，球心到底面的長度以及球的半徑組成的三角形是直角三角形，

又上底面對(duì)角線的一半為2口，下底面對(duì)角線的一半為必，

2

可設(shè)該方斗外接球的半徑為七球心到上底面的距離為九1，球心到下底面的距離為九2，

'(2v^)2+/ti2=#

則有，(彳產(chǎn)+廿二?，

、hi+尼=1

可解得R2=整

1O

/.S=4亓用=些.

4

故答案為2小97：7r

9.答案：y

解析:

本題考查棱錐結(jié)構(gòu)特征、棱錐體積公式、球表面積公式及利用基本不等式求最值，屬于基礎(chǔ)題.

設(shè)球心到四棱錐底面的距離為x,可得底面邊長為魚x停工運(yùn)，代入棱錐體積公式，再利用基本

不等式可得最大值.

解：由已知可得球的半徑r=3,設(shè)球心到四棱錐底面的距離為x,棱錐的高為八=3+x,

底面邊長為四x底2_郎,p-4BC0的體積V=|x2x(9-x2)(3+x)=1(3+x)(3+x)(6-

2%)

工1(3+外+(3；)+(6-2與3=停當(dāng)且僅當(dāng)X=1時(shí)等號(hào)成立.

故答案為

10.答案：V3

解析：

本題考查扇形的面積公式，圓錐的體積公式，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，屬于中檔題.

設(shè)圓錐的底面半徑為七母線長為/,根據(jù)題意建立凡/的關(guān)系，再求解出無底的圓錐的表面積S,

結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可求解.

解：設(shè)圓錐的底面半徑為R,母線長為/,則該圓錐的高為h=

則圓錐形鐵罐的容積為vMTT,

JJ

整理得，2=R2+暮

該無底的圓錐的表面積為s.92#?/rim,

則S2=次俎2@2+勖=M(R1+勖，

令/⑻=R4+W，(R>0),

則/R)=4R3一詈=中，

當(dāng)0</?<6時(shí)，/(/?)<0；

當(dāng)R>g時(shí)，fXR)>0；

所以函數(shù)f(R)在(0,百)上單調(diào)遞減，在(百,+8)上單調(diào)遞增,

故當(dāng)/?=遍時(shí)，f(R)取得最小值/(B),此時(shí)S取得最小值，

即則當(dāng)圓錐底面半徑R為g米時(shí)，所需鐵皮最省.

故答案為百.

11.答案:等

解析：

本題考查平面與平面垂直的判斷與性質(zhì)，幾何體的外接球的表面積的求法，大

考查空間想象能力和計(jì)算能力./V\

通過平面與平面垂直，判斷外接球的球心的位置，求出外接球的半徑，即G

可求解外接球的表面積.三'

解：APaB是正三角形，所以三棱錐的外接球的球心一定在三角形PABB

的過中心的垂線上，作出APAB的中心G,作GO_L平面PAB,因?yàn)?B_LBC,取AC的中點(diǎn)為E,外

接球的球心也在過E點(diǎn)的垂線上，AB=BC=2,。為外接球的球心，

由題意可知EC=，LGD=-x—x2

323

外接球的半徑為：OC=J弓)2+(煙2=

外接球的表面積為：47Tx(4)2=等.

故答案為：等.

12.答案:57r

解析：

本題考查幾何體外接球的面積計(jì)算，屬于中檔題.

分析出長方體外接球的直徑等于長方體的對(duì)角線長，由此即可求出半徑及長方體外接球的表面積.

解：據(jù)題設(shè)分析知，長方體ABC。-外接球的半徑R滿足

2R=Ji?+/+(V3)2=V5>

所以外接球的表面積S=47TR2=4兀=5TT.

故答案為5兀

13.答案：|

解析：略

14.答案：①②③④

解析：

本題考查了直線與平面、平面與平面平行的判定和性質(zhì)的應(yīng)用問題，也考查了幾何體的折疊與展開

以及空間想象能力，是中檔題.

還原得正方體4BCD-EFMN,可得8M在右側(cè)面與左側(cè)面平行，即可判斷①;

CN與BE平行，可判斷②；運(yùn)用面面平行的判定定理可判斷③④.

解：展開圖可以折成如圖(1)所示的正方體.

(1)⑵(3)

在正方體中，連接AN,如圖(2)所示，因?yàn)锳B〃MN,且4B=MN,所以四邊形是平行四邊

形.所以BM〃/1M因?yàn)锳Nu平面OE,BMC平面。E,所以BM〃平面0E.同理可證CN〃平面AF,

所以①②正確；如圖(3)所示，可以證明〃平面AFMBD〃平面AFN,進(jìn)而得到平面BCM〃平

面AFN,同理可證平面BDE〃平面NCF,所以③④正確.

故答案為：①②③④

15.答案：2g+或

解析:

本題考查簡單多面體(棱柱)及其結(jié)構(gòu)特征，線面平行的判定，考查學(xué)生的空間想象能力與計(jì)算能力,

屬于中檔題.

由題意畫出圖形，找出截面，從而即可求得平面a與該正方體各面交線長度之和.

解：根據(jù)題意作出如圖,

G為BiG的中點(diǎn)，則FG〃BiD"/BD,

且BDC平面AEFGK,FGC平面本

ABC〃平面AEFGK,

由4GCiFdHD#及4HD[EACE可得,

。送=扣為，則。道=|,DE=p

???平面a與該正方體4BCC-A/jCWi各面交線長度之和為竽+空+夜=2g+&，

故答案為2反+應(yīng).

16.答案：,

4

解析：

本題考查的知識(shí)點(diǎn)是球內(nèi)接多面體，球的表面積，其中分析出何時(shí)四面體48C。的體積最大，是解

答的關(guān)鍵.

根據(jù)幾何體的特征，判定外接球的球心，求出球的半徑，即可求出球的表面積.

解：根據(jù)題意知，AB=2,直角三角形△ABC的面積為1,

其所在球的小圓的圓心在斜邊AB的中點(diǎn)上，設(shè)小圓的圓心為Q,

若四面體ABCO的體積的最大值，由于底面積SMBC不變，高最大時(shí)體積最大，

所以，。。與面ABC垂直時(shí)體積最大，最大值為［SAABCX0Q=|，

B|j|x1xDQ=|,DQ=2,如圖：

設(shè)球心為。，半徑為R,則在直角AAQ。中,

0A2=AQ2+0Q2,即R2=督+Q-R)2,

4

則這個(gè)球的表面積為：S=4TTX($2=§7R.

故答案為個(gè)兀

4

17.答案：1127T

解析：

本題考查四面體的外接球的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確求出四面體的外接球的半徑是關(guān)鍵，

考查了空間想象能力，屬于中檔題.

分別取AC的中點(diǎn)M,N,連接由圖形的對(duì)稱性可知球心必在的延長線上，設(shè)球心為

0,半徑為R,ON=x,由勾股定理可得x,R2,再根據(jù)球的表面積公式計(jì)算即可求解.

解：由題意，如圖，分別取BD,4c的中點(diǎn)M,N,連接

則易得4M=CM=6,MN=3,MD=2曲,CN=3V3.

由圖形的對(duì)稱性可知球心必在MN的延長線上，

設(shè)球心為。，半徑為R,ON=x,

■信工卷+12,解得"L*28,

故該球的表面積為S=4兀/?2=1127r.

故答案為1127r.

18.答案：叵

8

解析：

本題考查二面角，考查立體幾何中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，求解立體幾何中翻折問題中最值問題，屬于困難題.

先求解出|A'P|取得最小值時(shí)P需滿足的條件，再根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)得出點(diǎn)4'在平面A8C。的投影，

的軌跡，根據(jù)其軌跡即可求解最值.

解：過A做4F1DM,垂足為F,設(shè)點(diǎn)H在平面ABC。的投影為“，連接4H,A'F,

過點(diǎn)〃作HEJ.CD,垂足為E,連接AE,

如圖所示:

Ar

???將△ADA/沿0M翻折得到44DM,A'F1DM,

又；A'HJL平面ABCD,DMu平面ABCD,A'H1DM,

又AHnA'F=A',1?.DM1平面A'FH,

又FHu平面AFH,DM1FH,

又???AF1DM,故點(diǎn)H在的延長線上.

其中NA'FH即為4一DM-B的二面角，

vA'H_L平面ABCD,

\A'P\2=\PH\2+\A'H\2>\A'H\2+\HE\2,當(dāng)尸與E重合時(shí)，|A'P|取得最小值,

又WEE=\A'D\2-\DE\2,

故當(dāng)點(diǎn)P與E重合，|CE|取得最大值時(shí)，14Pl取得最小值，

令4。4尸=仇設(shè)M位于點(diǎn)A處時(shí)，可得。=90。：當(dāng)M位于點(diǎn)B處時(shí)，可得0=30。,

可得。C[30°,90°),

在A/MF中，\AF\=|i4D|cos0=cos0,

TT11

在△A'F"中，F(xiàn)HA'Fcow*,,TF)cos。,

故14Hl=|cos0,

以4。為x軸建立對(duì)應(yīng)的直角坐標(biāo)系xAy,如圖所示：

其中點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)軌跡為以0（：,0）為圓心，半徑r=，的圓中一段圓弧AH'（不含4點(diǎn)）,

---AO=OH'=^,.-.OH'//DC,

故點(diǎn)”位于點(diǎn)H'時(shí)，作H'EIDC于E,此時(shí)|DE|取得最大值，

iDElmax=\DC\-\CH'\COS30°=1一日（遮一W）=￡

2

則WPlmin=J|4D|2-|DE1=Ji-g）=~

故答案為：運(yùn).

8

19.答案:V6

解析：

本題考查簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征，四面體的外接球，屬于中檔題.

依題意知，長方體4BCD-4/GD1的最大內(nèi)切球的半徑為|,即棱長為x的正四面體的外接球的半

徑為|,由正四面體的外接球的性質(zhì)求解即可.

解：依題意知，長方體ABCD-4&GD1的最大內(nèi)切球的半徑為|,正四面體可以在長方體內(nèi)任意轉(zhuǎn)

動(dòng)，

只需該正四面體為球的內(nèi)接正四面體，

換言之，棱長為x的正四面體的外接球的半徑為|,

設(shè)正四面體為P-ABC,過尸作P0，平面ABC.垂足為0,。為底面正AABC的中心，

則4。=-x—X=—%，

323

四面體的高為J/一生）2=%，

由于外接球半徑為李利用勾股定理得（簧一|）2+gx）2=（|）2,

解得X=V6.

故答案為傷.

20.答案：UTT

解析:

本題考查了棱錐與球的組合體，考查了立體幾何的空間感，屬于中檔題.

設(shè)PA=x,外接球半徑為r,表面積為S表，則PB=x+l,PC=4-x,三棱錐的外接球與長方體

的外接球相同，外接球的直徑為長方體的體對(duì)角線.

解：設(shè)P4=x,外接球半徑為r,表面積為S麥，

則PB=x+1,PC=4-K,

由PA,PB,PC兩兩垂直可得三棱錐P-ABC的三條棱尸4,PB,PC的棱長的平方和等于其外接球

的直徑的平方，

2r=J/+Q++(4-x)2=V3x2—6x+17,

當(dāng)x=l時(shí)，(2r)min-V14,rmin=

(S&min=47r(當(dāng))2=14TT.

故答案為147r.

21.答案：①②

解析：

本題主要考查空間中直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，難度一般.

①若尸為B。中點(diǎn)，則GP與力公共面，所以錯(cuò)誤.②③做出輔助線，根據(jù)兩個(gè)平面上的兩條相交

直線互相平行.得到兩個(gè)平面平行，根據(jù)一個(gè)平面上的直線一定平行于另一個(gè)平面.得到結(jié)論、

解：①若P為BD中點(diǎn),則C】P與共面，所以錯(cuò)誤.

連接BCi和DC1

???根據(jù)長方體的性質(zhì)可知AB\"DC],

又BDU平面ABD，Bi?！縰平面ABD，《平面ABR,u平面ABR,

二BD〃平面ABR,DC1〃平面ABD，

又BDCD6=D,BD、OQu平面BOQ,

平面BDCi〃平面ABiD],

而PG在平面8DG上，

???PG〃平面4%久

故②錯(cuò)③正確.

故答案為①②.

is

.答案:

22V3-n

解析:

本題主要考查扇形的面積公式，圓錐的體積公式，以及利用導(dǎo)數(shù)研究閉區(qū)間上的函數(shù)的最值，屬于

較難題.

根據(jù)題意得到V=畔=殍二■7=U(])2_r2=‘SMTN，再利用導(dǎo)數(shù)得到

，=看時(shí)，“取得最大值即可；

解：由題意知，圓錐母線長為凡設(shè)圓錐底面的半徑為廣，高為〃，

則r2+/i2=R2,且：.27!TR=S,R=—.

2nr

圓錐筒的體積V=—=—V/?2-r2

33

=</(—=1，S?/—開2博,

3V7rr3

令r2=tE(0,6，

i/=S2r2-7rV=S2f-7r￥,

令〃'S2—3TT2^=(),得t=W(0,^),

當(dāng)0<tV時(shí)，優(yōu)>

當(dāng)卷時(shí)，優(yōu)<0，

所以當(dāng)且僅當(dāng)t=卷，即Z=卷時(shí)，〃取得最大值，

即這個(gè)圓錐筒的體積最大，

此時(shí)扇形的半徑/?=2=遮?艮

nr7兀

故答案為”?JI

23.答案：解：(I)連接AC,設(shè)4CnBD=。，連接OM.

因?yàn)镻4〃平面BMD,平面PACn平面BMD=OM,

所以PA//0M.

則在APAC中，M=黑

MCOC

又△40D?△BOC，所以？=穿=2=3

UCoCoN

所以吧='

2'

(H)???AD_L平面PAB,ADu平面ABCD,

所以平面P4B_L平面ABCD.

取A8的中點(diǎn)G,連接PG.因?yàn)椤鱌4B為正三角形，

所以PG1.4B.

又因?yàn)槠矫鍼48n平面ABCD=4B,所以PG1平面48co.

因?yàn)镸為尸C的中點(diǎn)，所以M點(diǎn)到平面ABCZ)的距離6為點(diǎn)尸到平面ABC。的距離的一半，即九

|PG=V3.

根據(jù)直角梯形的幾何性質(zhì)，可得BDJ.CD,BD=CD=4V2.

所以VM-BCD=[h,SgiBCD=Xi(4V2)2=

所以=^PG-S棱形=；x2V3xix4x(4+8)=1673,

3釵個(gè)ABCD32

所以剩余部分的體積

解析：本題考查空間中線面位置關(guān)系、利用公式求幾何體的體積等相關(guān)知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力、

邏輯推理能力和空間想象能力，考查直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).

(I)連接AC,與8。相交，設(shè)出交點(diǎn)0,找到兩面的交線，利用線面平行的性質(zhì)定理得到P4//0M,

再根據(jù)三角形知識(shí)確定M的位置；

(11)取48的中點(diǎn)6,利用面面垂直的性質(zhì)定理，證明PGJL平面ABCD,確定M點(diǎn)到平面A8CO的

距離，求得力.BCD和/MBCD，得到所求幾何體的體積.

24.答案：證明：(1)因?yàn)樗倪呅蜛BC。是矩形，所以4D14B,又平面P4B1平面ABCC,

平面PABC平面ABCD=AB,ADu平面ABC。，所以AD_L平面PAB,所以PB1AD,

因?yàn)镻B1PD,PDHAD=D,PD,ADc^F?PAD,所以PB1平面尸40,

因?yàn)镻Bu平面PBC,所以平面PBC_L平面PAQ；

(2)如圖，取A8的中點(diǎn)為0,連接P0,由P8_L平面知P41PB,又PA=PB,AB=2,所以P。=1,

且P014B,貝UP。L平面A8CD,設(shè)點(diǎn)E到平面PAO的距離為兒則由%-PAD=律:SAPAD,

h=^S-P0,所以九=土變，

3hADE^hPAD

又由(1)知AO1APf所以SMM=171Z)-P71=|X4XV2=2或，

而PO=1,S^ADE=^AD->1B=|X4X2=4,所以左=第=V2,

所以點(diǎn)E到平面PAD的距離為近.'"

解析：本題考查面面垂直的判定以及空間中的距離.

(1)由已知可證AO1平面PAB,即可得PB1AD,又PB1PD,所以PB1平面PA。，從而可證平面

PBC1平面PAD；

(2)取4B的中點(diǎn)為0,連接P0,推導(dǎo)出PO1平面ABC。，設(shè)點(diǎn)E到平面PA。的距離為力，由等體

積法即可求解.

25.答案：(1)證明：取BBi的中點(diǎn)。，連接PQ,CQ,設(shè)PQn4Bi=R,連接ER.

p

因?yàn)镻A=：BBi，所以P4〃BiQ,PA=BtQ,

所以△0?!/?三AQBiR,所以R是的中點(diǎn)，

因?yàn)镈P〃平面44E,平面PQCCn平面//IE=RE,DPu平面PQCD,

所以PD//ER,

因?yàn)镻A〃BQ,PA=BQ,

所以四邊形尸48。為平行四邊形，所以PQ〃718,

因?yàn)榱//CD,所以PQ〃CD,所以四邊形PRE。是平行四邊形，

所以PR=DE,所以E為CD中點(diǎn).

(2)解：因?yàn)槠矫?BiE,ABrP,PB】E,PDE,ADE,PAD圍成的幾何體是由三棱錐E-PAB^E-PAD

組合而成的，

E到平面PABi的距離是AD,E到平面PAD的距離是DE,

所以平面ZB1E、平面ABF、平面P&E、平面POE、平面AOE、平面胡。圍成的幾何體的體積為

1/1a\.1/1a\73

-(---2QQ,Q+-----a-DnEr?]=-a。

3\22J3\22J36

解得，OE=g.

解析：本題考查了兒何體的體積問題和線面平行的性質(zhì)，是中檔題.

(1)由DP〃平面B】AE,根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得PD〃ER,再證明四邊形PREQ是平行四邊形，可

得E為C。中點(diǎn)；

(2)因?yàn)槠矫鍭B】E,AB/,PB]E,PDE,ADE,PAO圍成的幾何體是由三棱錐E-PAB1與E-PAD

組合而成的，根據(jù)數(shù)據(jù)計(jì)算即可.

26.答案：解：(1)設(shè)8。中點(diǎn)為。，連接OE,OF,

vAB=AD,CB=CD,

BD1OA,BD1OC,則4。,C三點(diǎn)共線，

OA=2,OB=OD=OC=

OC=-AC

3

^LOF//AB,OE//PB,且OFCOE=0,PBCAB=B,

可證平面OEF〃平面PAB,

于是EF〃平面PAB.

(口)連OP,因?yàn)镻O1PB,PD=PB,BD1OP

又平面PB。1平面ABCD,故OP，平面ABCD,

故04OB,OP兩兩互相垂直.

故分別以。4。以。尸為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.

vAB=AD=V5,CB=CD=^2,BD=2,

???OA=2,0B=OD=OC=1,又PD1PB,???OP=1.

故。(0,0,0),4(2,0,0),F(0,l,0),C(-l,0,0),D(0,-l,0),P(0,0,l).

設(shè)平面PAB的法向量為沅=(x,y,z),由于荏=(—2,0,1)，AB=(—2,1,0)，

[-2x+y=o,取x=L有沅=(1,2,2).

設(shè)平面PBC的法向量為元=(x,y,z),由于麗=(1,0,1)-麗=(0,-1,1).

^+^=0'取"1，有記=(LT，T).

mnI_3_y/3

則cos<m,n>=|m|x|n|l~3^~~

故平面PAB與平面P8C所成銳二面角的余弦值為當(dāng)

解析：本題考查線面平行的判定和二面角，屬于中檔題；

(1)設(shè)2D中點(diǎn)為0,連接OE,OF,先證。F〃AB,0E〃P8,

即可證平面OEF〃平面PAB,于是EF〃平面PAB.

(II)連0P,可證040B,0P兩兩互相垂直.以040S0P為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系.平面P4B

的法向量為布=(1,2,2).平面P8C的法向量為元=(1,—1,一1),則cos<而，記>=|哥N，即可求解;

|7n|X|n|

27.答案：解：(1)①AB=2J(10V3)2-x2=2"，二r=

AV=f(x)=7rd30：與2-X=i(-%3+300x).(0<x<1073),

@AD=10V3sin6?-AB=2OV3cos0=2?rr，r=小華漢

30006,7T

???V=-----------sindcos29(0<0<—);

n2

(2)選用f(x)：/'(x)=-+10)(x-10)(0<x<10V3),

令［(x)=0,則x=10,

列表得：

X(0,10)10(10,106)

+0—

/（X）單調(diào)增極大值單調(diào)減

2000

???fM=/(10)=——?

maxn

選用g(8)：令1=$加0,0<t<1,%(t)=30："?一f2)

—苧《+凈(V),

令九'(t)=0,則￡=日，

列表得:

V3V3V3

t(y,1)

(0，T)T

?(t)+0—

W)單調(diào)增極大值單調(diào)減

???K^max=樗)=等,即。⑹加心=

答：圓柱形罐子的最大體積為刎.

7T

解析：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合運(yùn)用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于

中檔題.

(1)先求出A8,可得，，即可求出匕

(2)分別選用這兩個(gè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，即可求圓柱形罐子的最大體積.

28.答案：解：(I)證明：^Rt/^ABC^Rt^ABD^,因?yàn)樾?烏絲=名所以第=第

AB2AD2ABAD

VZ.ABC=/.DAB=90°,艮ABC-A480.

所以NABD=4BCA.

因?yàn)?ABD+NCBD=90。，

所以NBC4+NCBD=90°,

所以AC1BD.

因?yàn)槠矫鍿4D，平面ABCD,/.SDA=90°,且平面￡4。n平面ABC。=AD,SD平面SAD，

故SDJ■平面ABCD,AC曝平面ABCD,所以SO1AC.

又BDCSD=D,所以4c_L平面SBD.

又AC基平^SAC，所以平面SB。JL平面SAC；

(H)以A為原點(diǎn)，AB,A。所在的直線為x,y軸，過點(diǎn)A且平行于SO的直線為z軸，建立如圖所示

的空間直角坐標(biāo)系；

不妨設(shè)4B=1,則力。=魚，BC詈,SD=V3.

所以4(0,0,