高中數(shù)學(xué)學(xué)案1：高中數(shù)學(xué)人教A版2019 選擇性必修 第三冊 獨(dú)立性檢驗(yàn)

8.3.2獨(dú)立性檢驗(yàn)導(dǎo)學(xué)案

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想、方法及其簡單應(yīng)用

2.理解判斷兩個分類變量是否有關(guān)系的常用方法、獨(dú)立性檢驗(yàn)中/的含義及其

實(shí)施步驟

【自主學(xué)習(xí)】

知識點(diǎn)獨(dú)立性檢驗(yàn)

(1)定義：利用隨機(jī)變量片來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢

驗(yàn).

n2

/\2（ad-be）廿j

⑵代（a+〃）（c、+d）（&+。）"+”），其中“=a+（g+c+1d

(3)獨(dú)立性檢驗(yàn)的具體做法

①根據(jù)實(shí)際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上

界。，然后查表確定臨界值k。.

②利用公式計(jì)算隨機(jī)變量片的觀測值k.

③如果包，就推斷“才與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過。，否

則就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過。的前提下不能推斷“才與Y有關(guān)系”，或

者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”.

1

【合作探究】

探究一有關(guān)“相關(guān)的檢驗(yàn)”

【例1】某校對學(xué)生課外活動進(jìn)行調(diào)查，結(jié)果整理成下表：

用你所學(xué)過的知識進(jìn)行分析，能否在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，認(rèn)為

“喜歡體育還是文娛與性別有關(guān)系”？

體育文娛總計(jì)

男生212344

女生62935

總計(jì)275279

解判斷方法如下：

假設(shè)其”喜歡體育還是喜歡文娛與性別沒有關(guān)系”，若叢成立，則/應(yīng)該很小.

Va=21,6=23,c=6,d=29,z?=79,

nQad-be)2

：.^=

(a+6)(c+◎(a+c)Cb+d)

79義(21X29—23X6)[

44X35X27X52七8.106.

且。(片27.879)-0.005即我們得到的片的觀測值^8.106超過7.879,這就

意味著：“喜歡體育還是文娛與性別沒有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可能性小于0.005,

即在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為“喜歡體育還是喜歡文娛與性別有

關(guān)”.

歸納總結(jié)：⑴利用求出土觀測值女

2

的值.再利用臨界值的大小來判斷假設(shè)是否成立.（2）解題時應(yīng)注意準(zhǔn)確代數(shù)與

計(jì)算，不可錯用公式，準(zhǔn)確進(jìn)行比較與判斷.

【練習(xí)1］為研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)，對某年級學(xué)生

作調(diào)查得到如下數(shù)據(jù)：

成績優(yōu)秀成績較差總計(jì)

興趣濃厚的643094

興趣不濃厚的227395

總計(jì)86103189

判斷學(xué)生的數(shù)學(xué)成績好壞與對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣是否有關(guān)?

解由公式得十的觀測值

189X(64X73-22X30),'

86X103X95X94

V38.459>10.828,.?.有99.9%的把握說學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與數(shù)學(xué)成績是有關(guān)

的.

探究二有關(guān)“無關(guān)的檢驗(yàn)”

【例2】為了探究學(xué)生選報文、理科是否與對外語的興趣有關(guān)，某同學(xué)調(diào)查了361

名高二在校學(xué)生，調(diào)查結(jié)果如下：理科對外語有興趣的有138人，無興趣的有

98人，文科對外語有興趣的有73人，無興趣的有52人.分析學(xué)生選報文、理

科與對外語的興趣是否有關(guān)？

解列出2義2列聯(lián)表

3

理文總計(jì)

有興趣13873211

無興趣9852150

總計(jì)236125361

代入公式得I的觀測值

361X(138X52-73X98)2.

k=------------------------七1871X10

236X125X211X150,

?.T.871XKTV2.706,...可以認(rèn)為學(xué)生選報文、理科與對外語的興趣無關(guān).

歸納總結(jié)：運(yùn)用獨(dú)立性檢驗(yàn)的方法：

(1)列出2X2列聯(lián)表，根據(jù)公式計(jì)算產(chǎn)的觀測值上

(2)比較A與氏的大小作出結(jié)論.

【練習(xí)2】第16屆亞運(yùn)會于2010年11月12日至27日在中國廣州進(jìn)行，為了

搞好接待工作，組委會招募了16名男志愿者和14名女志愿者，調(diào)查發(fā)現(xiàn)，男、

女志愿者中分別有10人和6人喜愛運(yùn)動，其余人不喜愛運(yùn)動.

(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成以下2X2列聯(lián)表：

喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動總計(jì)

男1016

女614

總計(jì)30

(2)根據(jù)列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認(rèn)為性

4

別與喜愛運(yùn)動有關(guān)?

解⑴

喜愛運(yùn)動不喜愛運(yùn)動總計(jì)

男10616

女6814

總計(jì)161430

(2)假設(shè)是否喜愛運(yùn)動與性別無關(guān)，由已知數(shù)據(jù)可求得:

30X(10X8-6X6)2

K==1.1575<2.706,

(10+6)(6+8)(10+6)(6+8)

因此，在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下不能判斷喜愛運(yùn)動與性別有關(guān).

探究三獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想

【例3】某企業(yè)有兩個分廠生產(chǎn)某種零件，按規(guī)定內(nèi)徑尺寸(單位：硒)的值落在

(29.94,30.06)的零件為優(yōu)質(zhì)品.從兩個分廠生產(chǎn)的零件中各抽出500件，量其

內(nèi)徑尺寸，結(jié)果如下表：

甲廠

[29.86[29.90[29.94[30.02

[29.98,[30.06,[30.10,

分組

30.02)30.10)30.14)

29.90)29.94)29.98)30.06)

頻數(shù)12638618292614

乙廠

5

[29.90[29.94[29.98[30.02[30.10

分[29.86,[30.06,

99

組29.90)30.10)

29.94)29.98)30.02)30.06)30.14)

頻

297185159766218

數(shù)

(1)試分別估計(jì)兩個分廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率；

(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面2X2列聯(lián)表，并問是否有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠

生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

甲廠乙廠總計(jì)

優(yōu)質(zhì)品

非優(yōu)質(zhì)品

總計(jì)

耐心____________〃(-____________

用：(a+6)(c+◎(a+c)(b+d)'

乙廠抽查的產(chǎn)品中有320件優(yōu)質(zhì)品，從而乙廠生產(chǎn)的零件的優(yōu)質(zhì)品率估計(jì)為苗

=64%.

⑵

6

甲廠乙廠總計(jì)

優(yōu)質(zhì)品360320680

非優(yōu)質(zhì)品140180320

總計(jì)5005001000

1OOOX(360X180—320X140)2,,

353>6,635

K=500X500X680X320刃，*

所以有99%的把握認(rèn)為“兩個分廠生產(chǎn)的零件的質(zhì)量有差異”.

歸納總結(jié)：(1)解答此類題目的關(guān)鍵在于正確利用r=

(上八、小上小計(jì)算k的值，再用它與臨界值的大小作

(a十(c+(7；(,a2+c；(b+a)

比較來判斷假設(shè)檢驗(yàn)是否成立，從而使問題得到解決.

(2)此類題目規(guī)律性強(qiáng)，解題比較格式化，填表計(jì)算分析比較即可，要熟悉其計(jì)

算流程，不難理解掌握.

【練習(xí)3］下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：

得病不得病總計(jì)

干凈水52466518

不干凈水94218312

總計(jì)146684830

(1)這種傳染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；

(2)若飲用干凈水得病5人，不得病50人，飲用不干凈水得病9人，不得病22

7

人.按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體

時的差異.

解（1）假設(shè)傳染病與飲用水無關(guān).把表中數(shù)據(jù)代入公式得：］的觀測值k

830X(52X218-466X94)2

--54.21,V54,21>10.828,所以拒絕兒

146X684X518X312

因此我們有99.9%的把握認(rèn)為該地區(qū)這種傳染病與飲用不干凈水有關(guān).

（2）依題意得2X2列聯(lián)表：

得病不得病總計(jì)

干凈水55055

不干凈水92231

總計(jì)147286

?…86X(5X22-50X9)2

此時‘"的觀瀏值k=-14X72X55X31―%5'785-

由于5.785>5.024,

所以我們有97.5%的把握認(rèn)為該種疾病與飲用不干凈水有關(guān).

兩個樣本都能統(tǒng)計(jì)得到傳染病與飲用不干凈水有關(guān)這一相同結(jié)論，但（1）中我們

有99.9%的把握肯定結(jié)論的正確性，（2）中我們只有97.5%的把握肯定.

8

課后作業(yè)

A組基礎(chǔ)題

一、選擇題

1.經(jīng)過對r的統(tǒng)計(jì)量的研究，得到了若干個臨界值，當(dāng)尤的觀測值43.841時，

我們（）

A.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下可認(rèn)為乃與Y有關(guān)

B.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下可認(rèn)為才與V無關(guān)

C.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下可認(rèn)為乃與V有關(guān)

D.沒有充分理由說明事件￥與Y有關(guān)系

【答案】A

2.用獨(dú)立性檢驗(yàn)來考察兩個分類變量x與y是否有關(guān)系，當(dāng)統(tǒng)計(jì)量/的觀測值

（）

A.越大，與y有關(guān)系”成立的可能性越小

B.越大，“x與y有關(guān)系”成立的可能性越大

C.越小，'”與y沒有關(guān)系”成立的可能性越小

D.與“x與y有關(guān)系”成立的可能性無關(guān)

【答案】B

3.在一個2X2列聯(lián)表中，由其數(shù)據(jù)計(jì)算得產(chǎn)的觀測值左=7.097,則這兩個變

量間有關(guān)系的可能性為（）

A.99%B.99.5%

C.99.9%D.無關(guān)系

【答案】A

9

解析/的觀測值6.635<K7.879,

所以有99%的把握認(rèn)為兩個變量有關(guān)系.

4.對兩個分類變量48的下列說法中正確的個數(shù)為（）

①/與6無關(guān)，即力與6互不影響；

②/與夕關(guān)系越密切，則芯的值就越大；

③尤的大小是判定A與8是否相關(guān)的唯一依據(jù)

A.0B.1C.2D.3

【答案】B

解析①正確，/與6無關(guān)即/與6相互獨(dú)立；②不正確，V的值的大小只是用

來檢驗(yàn)/與6是否相互獨(dú)立；③不正確，例如借助三維柱形圖、二維條形圖等.故

選B.

5.考察棉花種子經(jīng)過處理跟生病之間的關(guān)系得到下表數(shù)據(jù)：

種子處理種了?未處理總計(jì)

得病32101133

不得病61213274

總計(jì)93314407

根據(jù)以上數(shù)據(jù)，可得出（）

A.種子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān)

B.種子是否經(jīng)過處理跟是否生病無關(guān)

C.種子是否經(jīng)過處理決定是否生病

D.以上都是錯誤的

10

【答案】B

407X(32X213-61X101)2

解析由/=-^o.164<2.706,即沒有把握認(rèn)為種

93X314X133X274

子是否經(jīng)過處理跟是否生病有關(guān).

二、填空題

6.根據(jù)下表計(jì)算:

不看電視看電視

男3785

女35143

/的觀測值k七（保留3位小數(shù)）.

【答案】4.514

300X(37X143-85X35),2

e4.514.

122X178X72X228

7.如果矛的觀測值為6.645,可以認(rèn)為'”與y無關(guān)”的可信度是

【答案】1%

解析查表可知可信度為1%.

8.為了解高中生作文成績與課外閱讀量之間的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了60

名高中生，通過問卷調(diào)查，得到以下數(shù)據(jù)：

作文成績優(yōu)秀作文成績一般總計(jì)

課外閱讀量較大221032

課外閱讀量一般82028

11

總計(jì)303060

由以上數(shù)據(jù)，計(jì)算得到/的觀測值A(chǔ)-9.643,根據(jù)臨界值表，有把握

認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān).

【答案】99.5%

解析根據(jù)臨界值表，9.643>7.879,在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下，

認(rèn)為課外閱讀量大與作文成績優(yōu)秀有關(guān)，即有99.5%的把握認(rèn)為課外閱讀量大與

作文成績優(yōu)秀有關(guān).

9.為研究某新藥的療效，給50名患者服用此藥，跟蹤調(diào)查后得下表中的數(shù)據(jù):

無效有效總計(jì)

男性患者153550

女性患者64450

總計(jì)2179100

設(shè)打：服用此藥的效果與患者的性別無關(guān)，則/的觀測值幺心（小數(shù)點(diǎn)

后保留三位有效數(shù)字），從而得出結(jié)論：服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，這

種判斷出錯的可能性為.

【答案】4.8825%

解析由公式計(jì)算得萬的觀測值4^4.882,?.Z>3.841,...我們有95%的把握認(rèn)

為服用此藥的效果與患者的性別有關(guān)，從而有5%的可能性出錯.

三、解答題

10.高中流行這樣一句話“文科就怕數(shù)學(xué)不好，理科就怕英語不好”.下表是一

次針對高三文科學(xué)生的調(diào)查所得數(shù)據(jù)，試問：在出錯概率不超過0.025的前提下,

能否判斷“文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)成績不好有關(guān)系”？

總成績不好總成績好總計(jì)

12

數(shù)學(xué)成績不好47812490

數(shù)學(xué)成績好39924423

總計(jì)87736913

解依題意，計(jì)算隨機(jī)變量/的觀測值:

913義(478X24—399X12)2

k=490X423X877X36-^6.233>5.024,

所以在出錯概率不超過0.025的前提下，可以判斷“文科學(xué)生總成績不好與數(shù)學(xué)

成績不好有關(guān)系”.

11.吃零食是中學(xué)生中普遍存在的現(xiàn)象，吃零食對學(xué)生身體發(fā)育有諸多不利影響,

影響學(xué)生的健康成長.下表是性別與吃零食的列聯(lián)表：

男女總計(jì)

喜歡吃零食51217

不喜歡吃零食402868

總計(jì)454085

請問喜歡吃零食與性別是否有關(guān)？

盧______________________nQad—be)’__________

解(a+8)(c+◎(a+c)(8+d)'

把相關(guān)數(shù)據(jù)代入公式，得

85X(5X28-40X12)2

窗的觀測值-^4.722>3.841.

k=17X68X45X40

因此，在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為“喜歡吃零食與性別有

關(guān)

13

12.在某校對有心理障礙學(xué)生進(jìn)行測試得到如下列聯(lián)表:

焦慮說謊懶惰總計(jì)

女生5101530

男生20105080

總計(jì)252065110

試說明在這三種心理障礙中哪一種與性別關(guān)系最大?

解對于題中三種心理障礙分別構(gòu)造三個隨機(jī)變量搭，度，底其觀測值分別為

k\,kz，A3.

由表中數(shù)據(jù)列出焦慮是否與性別有關(guān)的2X2列聯(lián)表

焦慮不焦慮總計(jì)

女生52530

男生206080

總計(jì)2585110

-UOX(5X60-25X20)2

可待k'=30X80X25X85七°，863<2'7°6,

口皿，U0X(10X70-20X10)2

同理，卜尸30X80X20X90七6.366>5.024,

UOX(15X30-15X50)2

依=30X80X65X45-^1.410<2.706.

因此，在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下，認(rèn)為說謊與性別有關(guān)，沒有充分

的證據(jù)顯示焦慮、懶惰與性別有關(guān).

14

B組能力提升

一、選擇題

1.千百年來，我國勞動人民在生產(chǎn)實(shí)踐中根據(jù)云的形狀、走向、速度、厚度、顏

色等的變化，總結(jié)了豐富的“看云識天氣”的經(jīng)驗(yàn)，并將這些經(jīng)驗(yàn)編成諺語，如

“天上鉤鉤云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜后”……小波同學(xué)為了驗(yàn)

證“日落云里走，雨在半夜后”，觀察了所在地區(qū)/的100天日落和夜晚天氣，

得到如下2義2列聯(lián)表：

夜晚天氣

下雨未下雨

日落云里走

出現(xiàn)255

未出現(xiàn)2545

臨界值表

20.010

PCK>k())0.100.050.001

k。2.7063.8416.63510.828

并計(jì)算得到犬,19.05,下列小波對地區(qū)4天氣判斷不正確的是（）

A.夜晚下雨的概率約為:

B.未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為之

15

C.有99.9%的把握認(rèn)為“，日落云里走’是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)

D.出現(xiàn)“日落云里走”，有99.9%的把握認(rèn)為夜晚會下雨

【答案】:D

【分析】

把頻率看作概率，即可判斷的正誤；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷C,0的正誤，

即得【答案】.

【詳解】由題意，把頻率看作概率可得：

夜晚下雨的概率約為彳祟=；,故A正確；

255

未出現(xiàn)“日落云里走”夜晚下雨的概率約為=~了=77,故B正確；

由女a(chǎn)19.05>10.828,根據(jù)臨界值表，可得有99.9%的把握認(rèn)為“'日落云里走'

是否出現(xiàn)”與“當(dāng)晚是否下雨”有關(guān)，故。正確；

故。錯誤.

故選：D.

2.為了判斷英語詞匯量與閱讀水平是否相互獨(dú)立，某語言培訓(xùn)機(jī)構(gòu)隨機(jī)抽取了

100位英語學(xué)習(xí)者進(jìn)行調(diào)查，經(jīng)過計(jì)算V的觀測值為7,根據(jù)這一數(shù)據(jù)分析，下

列說法正確的（）

附：

2

P（K>k0）0.0500.0100.0050.001

3.8416.6357.87910.828

A.有99%以上的把握認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平無關(guān)

16

B.有99.5%以上的把握認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)

C.有99.9%以上的把握認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān)

【答案】:D

【分析】

由題意P(K26.635)=0.01,由獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理即可得解.

【詳解】由題意K?=7,P(/C2>6.635)=0.01,

所以在犯錯誤的概率不超過1%的前提下，可以認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān),

有99%的把握認(rèn)為英語詞匯量與閱讀水平有關(guān).

故選：D.

3.通過隨機(jī)詢問110名性別不同的大學(xué)生是否愛好某項(xiàng)運(yùn)動，得到如下的2x2列

聯(lián)表：

男女總計(jì)

愛好402060

不愛好203050

總計(jì)6050110

由2二〃(a4—bc)22_110x(40x30-20x20)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)*60x50x60x50

附表：

17

忌）0.0500.0100.001

z23.8416.63510.828

參照附表，得到的正確結(jié)論是（）

A.在犯錯誤的概率不超過0.設(shè)的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”;

B.在犯錯誤的概率不超過0.1%的前提下，認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”;

C.有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān)”；

D.有9996以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別無關(guān)”.

【答案】:C

【分析】

根據(jù)給定的V的值，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論.

110x(40x30-20x20)2

【詳解】由Z2?7.8>6.635

60x50x60x50

所以有99%以上的把握認(rèn)為“愛好該項(xiàng)運(yùn)動與性別有關(guān).

故選：C.

4.在一次獨(dú)立性檢驗(yàn)中得到如下列聯(lián)表:

A,A2總計(jì)

Bi2008001000

B2180a180+a

18

總計(jì)380800+a1180+a

若這兩個分類變量A和B沒有關(guān)系，則a的可能值是（）

A.200B.720

C.100D.180

【答案】：B

【分析】

令公的觀測值為零，解方程即得解.

【詳解】當(dāng)a=720時，k=0,易知此時兩個分類變量沒有關(guān)系.

故【答案】為B

5.（多選題）針對時下的“抖音熱”，某校團(tuán)委對“學(xué)生性別和喜歡抖音是否有

關(guān)”作了一次調(diào)查，其中被調(diào)查的男女生人數(shù)相同，男生喜歡抖音的人數(shù)占男生

人數(shù)的女生喜歡抖音的人數(shù)占女生人數(shù)《，若有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖

音和性別有關(guān)則調(diào)查人數(shù)中男生可能有（）人

附表：

P（K2>k.）0.0500.010

k3.8416.635

附:K'…黑篙…

A.25B.45C.60D.75

【答案】：BC

19

【分析】

設(shè)男生的人數(shù)為5〃(〃€N*),列出2x2列聯(lián)表，計(jì)算出爛的觀測值，結(jié)合題中

條件可得出關(guān)于〃的不等式，解出〃的取值范圍，即可得出男生人數(shù)的可能值.

【詳解】設(shè)男生的人數(shù)為根據(jù)題意列出2x2列聯(lián)表如下表所示：

男生女生合計(jì)

喜歡抖,4n3n7〃

不喜歡抖音n2n3n

合計(jì)5n5n10〃

則片_10"X(4"X2〃-3"X〃)~_10〃

5〃x5〃x7〃x3〃21

由于有95%的把握認(rèn)為是否喜歡抖音和性別有關(guān)，則3.841?K?<6.632,

即3.841W與<6.632,得8.0661<n<13.9272,

?.?neN：則〃的可能取值有9、10、11、12,

因此，調(diào)查人數(shù)中男生人數(shù)的可能值為45或6().

故選：BC.

二、填空題

6.某手機(jī)運(yùn)營商為了拓展業(yè)務(wù)，現(xiàn)對該手機(jī)使用潛在客戶進(jìn)行調(diào)查，隨機(jī)抽取國

內(nèi)國外潛在用戶代表各100名，調(diào)查用戶對是否使用該手機(jī)的態(tài)度，得到如圖所

示的等高條形圖.根據(jù)等高圖，(填“有”或“沒有”)99.5%以上的把握

20

認(rèn)為持樂觀態(tài)度和國內(nèi)外差異有關(guān).

n[ad-bey

K2=

(參考公式與數(shù)據(jù)：(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),其中〃=〃+b+c+d)

pg%)0.050.010.0050.001

左03.8416.6357.87910.828

□不樂觀

0.8□樂觀

0.6

0.4

0.2

0國內(nèi)國外

代表代表

【答案】：有

依題意，可知國內(nèi)代表樂觀人數(shù)60人，不樂觀人數(shù)40人，國外樂觀人數(shù)40人，

不樂觀人數(shù)60人，總計(jì)樂觀人數(shù)100人，不樂觀人數(shù)100人，所以

220060x6040x402

K=(-)^8)而8>7.879,所以有99.5%以上的把握認(rèn)為持樂

100x100x100x100

觀態(tài)度和國內(nèi)外差異有關(guān).

21

7.給出下列說法:

①線性回歸方程y=以+。必過點(diǎn)（“'＞）；

②相關(guān)系數(shù)，越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱；

③相關(guān)指數(shù)收越接近1,表明回歸的效果越好；

④在一個2義2列聯(lián)表中，由計(jì)算得K?的觀測值F13.079,則有99%以上的把握

認(rèn)為這兩個變量之間沒有關(guān)系；

⑤設(shè)有一個線性回歸方程）=3-5汽則變量x增加一個單位時，y平均增加5個

單位.

其中正確的說法有（填序號）.

【答案工①③

對于②，應(yīng)該是相關(guān)系數(shù)r的絕對值越小，表明兩個變量相關(guān)性越弱.所以它是

錯誤的.對于④，應(yīng)該是有99%以上的把握認(rèn)為這兩個變量之間有關(guān)系.對于⑤,

應(yīng)該是變量x增加一個單位時，y平均減少5個單位.故填①③.

三、解答題

8.隨著現(xiàn)代教育技術(shù)的不斷發(fā)展，我市部分學(xué)校開辦智慧班教學(xué)，某校從甲乙兩

智慧班各隨機(jī)抽取45名學(xué)生，調(diào)查兩個班學(xué)生對智慧課堂的評價：“滿意”與“不

滿意”，調(diào)查中發(fā)現(xiàn)甲班評價“滿意”的學(xué)生人數(shù)比乙班評價“滿意”的學(xué)生人

數(shù)多9人，根據(jù)調(diào)查情況制成如下圖所示的2X2列聯(lián)表：

滿意不滿意總

甲班

乙班15

22

總計(jì)

（1）完成2X2列聯(lián)表，并判斷能否有97.5%的把握認(rèn)為評價與班級有關(guān)系？

（2）從甲乙兩班調(diào)查評價為“不滿意”的學(xué)生中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取

7人，現(xiàn)從這7人中選派3人到校外參加智慧課堂研究活動，求其中至少有2人

選自乙班學(xué)生的概率.

n(ad-bcY_,,

附：K"=---------------------,其中n=a+b+c+d.

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

2

P(K>k0)0.250.150.100.050.0250.0100.0050.001

1.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】：（1）表格見解析，有97.5%的把握認(rèn)為評價與班級有關(guān)系；（2）

【分析】

（1）首先根據(jù)題意填寫2x2列聯(lián)表，再計(jì)算X=5.031>5.024即可得到結(jié)論.

（2）首先根據(jù)題意得到甲班選取2人，乙班選取5人，再計(jì)算概率即可.

【詳解】（1）完成列聯(lián)表如下：

滿意不滿意總計(jì)

甲班39645

乙班301545

23

總計(jì)692190

90(39X15-30X6)2

K2=5.031>5.024.

45x45x69x21

所以有97.5%的把握認(rèn)為評價與班級有關(guān)系.

71

（2）抽樣比=）=§,甲班選取2人，乙班選取5人,

則夕

C；7

9.盲盒里面通常裝的是動漫、影視作品的周邊，或者設(shè)計(jì)師單獨(dú)設(shè)計(jì)出來的玩

偶.由于盒子上沒有標(biāo)注，購買者只有打開才會知道自己買到了什么，因此這種

驚喜吸引了眾多年輕人，形成了“盲盒經(jīng)濟(jì)”.某款盲盒內(nèi)可能裝有某一套玩偶

的/、B、。三種樣式，且每個盲盒只裝一個.

（1）若每個盲盒裝有從B、。三種樣式玩偶的概率相同.某同學(xué)已經(jīng)有了/樣

式的玩偶，若他再購買兩個這款盲盒，恰好能收集齊這三種樣式的概率是多少？

（2）某銷售網(wǎng)點(diǎn)為調(diào)查該款盲盒的受歡迎程度，隨機(jī)發(fā)放了200份問卷，并全

部收回.經(jīng)統(tǒng)計(jì)，有30%的人購買了該款盲盒，在這些購買者當(dāng)中，女生占：；

而在未購買者當(dāng)中，男生女生各占50%.請根據(jù)以上信息填寫下表，并分析是否

有95%的把握認(rèn)為購買該款盲盒與性別有關(guān)？

女生男生總計(jì)

購買

未購買

總計(jì)

24

參考公式：參=（〃+以;））g?c）e+o'其中…+—+”?

參考數(shù)據(jù)：

PQ%)0.100.050.0250.0100.0050.001

氏02.7063.8415.0246.6357.87910.828

（3）該銷售網(wǎng)點(diǎn)已經(jīng)售賣該款盲盒6周，并記錄了銷售情況，如下表:

周數(shù)x123456

盒數(shù)y16—23252630

由于電腦故障，第二周數(shù)據(jù)現(xiàn)已丟失，該銷售網(wǎng)點(diǎn)負(fù)責(zé)人決定用第4、5、6周的

數(shù)據(jù)求線性回歸方程，再用第1、3周數(shù)據(jù)進(jìn)行檢驗(yàn).

①請用4、5、6周的數(shù)據(jù)求出y關(guān)于x的線性回歸方程＞=法+0；

-￡（七一弓（y-y）

（注：3='T“/13="￡^—;務(wù)-—舐）

力Xx1~nx

i=]Z=1

②若由線性回歸方程得到的估計(jì)數(shù)據(jù)與所選出的檢驗(yàn)數(shù)據(jù)的誤差均不超過2盒,

則認(rèn)為得到的線性回歸方程是可靠的，試問①中所得的線性回歸方程是否可靠？

25

③如果通過②的檢驗(yàn)得到的回歸直線方程可靠，我們可以認(rèn)為第2周賣出的盒數(shù)

誤差也不超過2盒，請你求出第2周賣出的盒數(shù)的可能取值；如果不可靠，請你

設(shè)計(jì)一個估計(jì)第2周賣出的盒數(shù)的方案.

【答案】：（1）（2）表格見解析，有95%把握認(rèn)為購買該款盲盒與性別有關(guān);

（3）①y=2.5x+14.5：②是可靠的；③第2周賣出的盒數(shù)的可能值為18、19、

20、21.

【分析】

（1）用列舉法寫出所有基本事件，再從中找出滿足要求的基本事件，用古典概

型的公式即可求得結(jié)果；

（2）通過計(jì)算，完成列聯(lián)表，再計(jì)算出觀測值左2a4.714，比表中0.05所對應(yīng)

的數(shù)據(jù)3.841大，故得出結(jié)論“有95%把握認(rèn)為購買該款盲盒與性別有關(guān)”；

（3）①將第4、5、6周的數(shù)據(jù)代入公式，計(jì)算出務(wù)和〃，寫出回歸直線方程；

②將第1、3周的數(shù)據(jù)代入①所求出的回歸直線方程進(jìn)行檢驗(yàn)，該方程可靠；

③將x=2代入①所求出的回歸直線方程，解得y=19.5,根據(jù)可靠性的要求，以

及該應(yīng)用題的實(shí)際要求，得出第2周賣出的盒數(shù)的可能取值.

【詳解】解：（1）由題意，基本事件空間為

C={（A,A）,（A,5）,（A（民A）,（及3）,（氏C）,（C,A）,（C,8）,（C,0},

其中基本事件的個數(shù)為9,

設(shè)事件。為：“他恰好能收集齊這三種樣式”，則

=其中基本事件的個數(shù)為2,

則他恰好能收集齊這三種樣式的概率尸=右

26

(2)

女生男生總計(jì)

購買402060

未購買7070140

總計(jì)11090200

2

,2200(40x70-20x70)

k—___________________“4.714,

110x90x60x140

又因?yàn)?.714>3.841,

故有95%把握認(rèn)為“購買該款盲盒與性別有關(guān)”;

(3)①由數(shù)據(jù)，求得嚏=5，］=27,

由公式求得

r(4-5)(25-27)+(5-5)(26-27)+(6-5)(30-27)5

b=------------------------------------------------------------------------=——

(4-5>+(5-5)2+(6-5)22

0=27-9x5=14.5,

2

所以N關(guān)于*的線性回歸方程為y=2,5x+14.5；

②當(dāng)x=l時，>=2.5x1+14.5=17，|17-16|<2,

同樣，當(dāng)x=3時，y=2.5x3+14.5=22，|22-23k2,

所以，所得到的線性回歸方程是可靠的；

27

③由②可知回歸直線方程可靠，

x=2時^=2.5x2+14.5=19.5，

設(shè)第二周賣出的盒數(shù)為GN）,

17.5<n<21.5,

，〃能取18、19、20、21,

即第2周賣出的盒數(shù)的可能值為18、19、20、21.

【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率計(jì)算，獨(dú)立性檢驗(yàn)的實(shí)際應(yīng)用，線性回歸直

線方程的求解及實(shí)際應(yīng)用問題，綜合性較強(qiáng).

10.阿基米德是古希臘偉大的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家，對幾何學(xué)、力學(xué)等學(xué)

科作出過卓越貢獻(xiàn)