北京市延慶區(qū)2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題含解析

PAGEPAGE20延慶區(qū)2024—2025學(xué)年其次學(xué)期期末試卷高二數(shù)學(xué)第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.設(shè)全集，集合，，則集合（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】依據(jù)補(bǔ)集以及并集概念干脆求解.【詳解】因?yàn)椋?，因?yàn)椋怨蔬x：A【點(diǎn)睛】本題考查集合的補(bǔ)集與并集，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.2.焦點(diǎn)在軸的正半軸上，且焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)焦點(diǎn)位置確定拋物線方程形式，再依據(jù)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離確定結(jié)果.【詳解】因?yàn)榻裹c(diǎn)在軸的正半軸上，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為，因?yàn)榻裹c(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以故選：D【點(diǎn)睛】本題考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.3.已知向量，.若，則的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算，求得，再求即可.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，所?故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查向量垂直時的坐標(biāo)運(yùn)算，向量模的求解，是基礎(chǔ)題.4.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小.【詳解】，由，所以，，，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了利用指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式、對數(shù)式的大小，屬于基礎(chǔ)題.5.在下列函數(shù)中，定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集的奇函數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析】利用奇函數(shù)定義進(jìn)行驗(yàn)證可得.【詳解】選項(xiàng)A:定義域?yàn)?滿意所以是奇函數(shù)；正確選項(xiàng)B:定義域?yàn)?滿意所以是偶函數(shù)；解除選項(xiàng)C:定義域不為,解除；選D:定義域?yàn)?所以是非奇非偶函數(shù)；故選：A【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)奇偶性問題.其解題思路：常利用函數(shù)奇偶定義或圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱進(jìn)行推斷．6.圓截軸所得弦的長度等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】在圓方程中令，解得，即可求出弦長.【詳解】在圓方程中令，得因此弦長為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查圓中弦長，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.7.已知兩條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中錯誤的為（）A.若，，則 B.若，，則C.若，且，則 D.若，，則【答案】D【解析】【分析】依據(jù)線面平行性質(zhì)定理以及面面垂直判定定理推斷A;依據(jù)平面法向量推斷B;依據(jù)線面平行判定定理與性質(zhì)定理推斷C;依據(jù)線面位置關(guān)系推斷D.【詳解】若，則,因?yàn)椋?，故A正確；若，所以法向量相同或平行，因?yàn)?，所以，故B正確；若，則；若，則,所以，進(jìn)而有，又，所以，則，故C正確；若，，則或，故D錯誤；故選：D【點(diǎn)睛】本題考查線面位置關(guān)系推斷、線面平行判定定理與性質(zhì)定理、面面垂直判定定理，考查空間想象實(shí)力以及推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.8.已知函數(shù)，則“在上單調(diào)遞減”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)在上單調(diào)遞減確定，再依據(jù)范圍包含關(guān)系確定充要關(guān)系.【詳解】因?yàn)椋以谏蠁握{(diào)遞減，所以即從而因?yàn)槭潜匾怀浞謼l件，所以“在上單調(diào)遞減”是“”的必要而不充分條件，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查充要關(guān)系推斷、由三角函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)范圍，考查基本分析求解推斷實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.9.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到的圖象的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先依據(jù)題意做平移變換，再利用誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡即可.【詳解】由題意知，將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得，所以函數(shù)解析式為：故選D【點(diǎn)睛】此題主要考查三角函數(shù)圖象的變換平移，屬于中低檔題，也是常考考點(diǎn).在此類問題中，由函數(shù)沿著軸向左平移個單位時“左加”，向右平移個單位時“右減”，即可得函數(shù)的圖象；沿著軸向上平移個單位時“上加”，向下平移個單位時“下減”，即可得函數(shù)的圖象.10.已知函數(shù)的定義域?yàn)?，且滿意下列三個條件：①對隨意的，且，都有；②；③是偶函數(shù)；若，，，則，，的大小關(guān)系正確的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由①可得函數(shù)在上單調(diào)遞減；由②可得函數(shù)的周期；由③由可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，從而可比較大?。驹斀狻竣僖?yàn)閷τ趯﹄S意的，且，都有，即函數(shù)在上單調(diào)遞減；②由可得函數(shù)的周期；③由是偶函數(shù)可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以，，，所以，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，周期性及對稱性在比較函數(shù)值大小中的應(yīng)用，屬于中檔試題．第Ⅱ卷（非選擇題，共110分）二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11.已知復(fù)數(shù)，則__________.【答案】【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長公式可求得.【詳解】，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模的計(jì)算，同時也考查了復(fù)數(shù)的除法，考查計(jì)算實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.12.已知雙曲線的離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為______．【答案】【解析】【分析】依據(jù)離心率公式和雙曲線的的關(guān)系進(jìn)行求解【詳解】由題知：，雙曲線的漸近線方程為故答案為【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線漸近線的求法，解題時要嫻熟駕馭雙曲線的簡潔性質(zhì)13.數(shù)列中，，，.若其前項(xiàng)和為，則________.【答案】5【解析】【分析】依據(jù)等比數(shù)列定義確定數(shù)列為等比數(shù)列，再依據(jù)等比數(shù)列求和公式列式求結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，，，所以?shù)列為首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，因此其前項(xiàng)和為故答案為：5【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列定義、等比數(shù)列求和公式，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.14.在中，，，則邊上的高等于________.【答案】【解析】【分析】先依據(jù)余弦定理求，即得，再依據(jù)直角三角形求邊上的高.【詳解】邊上的高為,故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查余弦定理、同角三角函數(shù)平方關(guān)系，考查基本分析求解實(shí)力，屬基礎(chǔ)題.15.已知函數(shù)：①函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；②若函數(shù)有且只有一個零點(diǎn)，則；③若，則，使得函數(shù)恰有2個零點(diǎn)，，恰有一個零點(diǎn)，且，.其中，全部正確結(jié)論的序號是_______.【答案】①③【解析】【分析】依據(jù)肯定值定義分類探討函數(shù)單調(diào)性，即可推斷①；結(jié)合函數(shù)圖象以及利用導(dǎo)數(shù)求切線斜率可推斷②；依據(jù)函數(shù)圖象得，即可確定，進(jìn)而可推斷③.【詳解】當(dāng)時單調(diào)遞增；當(dāng)時單調(diào)遞減，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；即①正確；由圖可知分別與以及相切時，有且只有一個零點(diǎn)，設(shè)與切點(diǎn)為，因?yàn)?；同理可得與相切時，，因此②錯誤；由圖可知,則，所以③正確；故答案為：①③【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性、函數(shù)圖象與零點(diǎn)、導(dǎo)數(shù)幾何意義，考查數(shù)形結(jié)合思想方法以及基本分析求解實(shí)力，屬中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.16.已知是公差為的無窮等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為.又，且，是否存在大于的正整數(shù)，使得？若存在，求的值；若不存在，說明理由.【答案】存在，8【解析】【分析】利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求出,再建立方程求值.【詳解】存在正整數(shù)，使得.理由如下：在等差數(shù)列中，又，.所以由得所以.令，即.整理得.解得或.因?yàn)?，所?所以當(dāng)時，.【點(diǎn)睛】本題考查解決等差數(shù)列基本量求值問題.等差數(shù)列基本量計(jì)算問題的思路：與等差數(shù)列有關(guān)的基本運(yùn)算問題，主要圍圍著通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式，在兩個公式中共涉及五個量：，已知其中三個量，選用恰當(dāng)?shù)墓?，利用方?組)可求出剩余的兩個量．17.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當(dāng)時，關(guān)于的不等式有解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）.【解析】【分析】（Ⅰ）先依據(jù)二倍角正弦與余弦公式、協(xié)助角公式化簡，再依據(jù)正弦函數(shù)周期與單調(diào)性求結(jié)果；（Ⅱ）先依據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求在最大值，再依據(jù)不等式有解得結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?所以函數(shù)的最小正周期.因?yàn)楹瘮?shù)的的單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是.（Ⅱ）由題意可知，不等式有解，即.由（Ⅰ）可知.當(dāng)時，，故當(dāng)，即時，取得最大值，最大值.所以.故實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查二倍角正弦與余弦公式、協(xié)助角公式、正弦函數(shù)性質(zhì)、不等式有解問題，考查綜合分析求解實(shí)力，屬中檔題.18.在天貓進(jìn)行6.18大促期間，某店鋪統(tǒng)計(jì)了當(dāng)日全部消費(fèi)者的消費(fèi)金額（單位：元），如圖所示：（Ⅰ）將當(dāng)日的消費(fèi)金額超過2000元的消費(fèi)者稱為“消費(fèi)達(dá)人”，現(xiàn)從全部“消費(fèi)達(dá)人”中隨機(jī)抽取3人，求至少有1位消費(fèi)者，當(dāng)日的消費(fèi)金額超過2500元的概率；（Ⅱ）該店鋪針對這些消費(fèi)者舉辦消費(fèi)返利活動，預(yù)設(shè)有如下兩種方案：方案1：按分層抽樣從消費(fèi)金額在不超過1000元，超過1000元且不超過2000元，2000元以上的消費(fèi)者中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”賜予嘉獎金，每人分別為100元、200元和300元.方案2：每位會員均可參與線上翻牌嬉戲，每輪嬉戲規(guī)則如下：有3張牌，背面都是相同的喜羊羊頭像，正面有1張笑臉、2張哭臉，將3張牌洗勻后背面朝上擺放，每次只能翻一張且每翻一次均重新洗牌，共翻三次.每翻到一次笑臉可得30元嘉獎金.假如消費(fèi)金額不超過1000元的消費(fèi)者均可參與1輪翻牌嬉戲；超過1000元且不超過2000元的消費(fèi)者均可參與2輪翻牌嬉戲；2000元以上的消費(fèi)者均可參與3輪翻牌嬉戲（每次、每輪翻牌的結(jié)果相互獨(dú)立）.以方案2的嘉獎金的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，請你預(yù)料哪一種方案投資較少?并說明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案1，理由見解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由圖可知，消費(fèi)金額在內(nèi)的有8人，在內(nèi)的有4人，利用組合可得這12人中抽取3人，共有種不同方法，再求出抽取的3人中沒有1位消費(fèi)者消費(fèi)超過2500元，共有種不同方法，依據(jù)古典概型的概率計(jì)算公式即可求解.（Ⅱ）方案1按分層抽樣抽取“幸運(yùn)之星”中的人數(shù)，從而求出嘉獎的總金額；設(shè)表示參與一輪翻牌嬉戲所獲得的嘉獎金，的可能取值為0，30，60，90，利用二項(xiàng)分布求出分布列，求出數(shù)學(xué)期望即可.【詳解】（Ⅰ）解：記“在抽取的3人中至少有1位消費(fèi)者消費(fèi)超過2500元”為事務(wù)A.由圖可知，去年消費(fèi)金額在內(nèi)的有8人，在內(nèi)的有4人，消費(fèi)金額超過2000元的“消費(fèi)達(dá)人”共有8+4=12（人），從這12人中抽取3人，共有種不同方法，其中抽取的3人中沒有1位消費(fèi)者消費(fèi)超過2500元，共有種不同方法.所以，.（Ⅱ）解：方案1按分層抽樣從消費(fèi)金額在不超過1000元，超過1000元且不超過2000元，2000元以上的消費(fèi)者中總共抽取25位“幸運(yùn)之星”，則“幸運(yùn)之星”中的人數(shù)分別為，，，依據(jù)方案1嘉獎的總金額為（元）.方案2設(shè)表示參與一輪翻牌嬉戲所獲得的嘉獎金，則的可能取值為0，30，60，90.由題意，每翻牌1次，翻到笑臉的概率為，所以，，.所以的分布列為：0306090

數(shù)學(xué)期望為（元），依據(jù)方案2嘉獎的總金額為（元），因?yàn)橛桑允┬蟹桨?投資較少.【點(diǎn)睛】本題主要考查了組合數(shù)、古典概型、離散型隨機(jī)變量的分布列、均值，考查了考生的分析實(shí)力，屬于中檔題.19.如圖，在四棱錐中，平面，，，，為線段上一點(diǎn)（不是端點(diǎn)），________.從①；②平面；這兩個條件中選一個，補(bǔ)充在上面問題中，并完成解答；注：假如選擇多個條件分別解答，按第一個解答計(jì)分.（Ⅰ）求證：四邊形是直角梯形；（Ⅱ）求直線與平面所成角正弦值；（Ⅲ）是否存在點(diǎn)，使得直線平面，若存在，求出的值，若不存在，請說明理由.【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（I）選擇①，利用勾股定理求，再證明，結(jié)合即可得證；選擇②用勾股定理求，再證明，再依據(jù)線面平行性質(zhì)定理即可解決.（Ⅱ）先在平面內(nèi)過作，再以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，寫坐標(biāo)，計(jì)算即可；（Ⅲ）先假設(shè)存在，則，再依據(jù)線面平行與空間向量的運(yùn)算關(guān)系求解即可.【詳解】（Ⅰ）選擇①，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，，所以因?yàn)椋?，所以，所?因?yàn)椋?，所以四邊形是直角梯?選擇②，連結(jié)，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋砸驗(yàn)?，，所以，所?因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，所以，所以四邊形是直角梯?（Ⅱ）在平面內(nèi)過作，則平面，由（Ⅰ）知，所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，，.則，，設(shè)平面的一個法向量，則即令，則，，，則.設(shè)直線與平面PCD所成的角為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.（Ⅲ）設(shè)，則.所以，若平面，則，即，所以.因?yàn)?，所以，線段上不存在點(diǎn)使得直線平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的性質(zhì)定理，線面所成的角，存在性問題等，考查邏輯推理實(shí)力和運(yùn)算求解實(shí)力，是中檔題.20.已知函數(shù).（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）求證：當(dāng)時，；（Ⅲ）當(dāng)時，若曲線在曲線的下方，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）求得函數(shù)的定義域和導(dǎo)數(shù)，分析導(dǎo)數(shù)的符號改變，可得出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間和遞減區(qū)間；（Ⅱ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析出函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，可得出，由此可證得結(jié)論成立；（Ⅲ）由題意可知，對隨意的恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求得該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分、兩種狀況探討，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，驗(yàn)證不等式在區(qū)間上是否恒成立，由此可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，定義域，所以.令，解得，令，解得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）令，其中，，由得，，于是，故函數(shù)在上是增函數(shù).所以當(dāng)時，，即；（Ⅲ）若曲線在曲線的下方，則.令，則.①當(dāng)時，則對隨意的，，，則，所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則，合乎題意；②當(dāng)時，由于，則，令，可得.當(dāng)時，，當(dāng)時