初中數(shù)學(xué)銳角函數(shù)的增減項強化練習(xí)

初中數(shù)學(xué)銳角函數(shù)的增減項強化練習(xí)1

學(xué)校:姓名：班級:考號：

一、單選題

1.如果銳角4的度數(shù)是25。，那么下列結(jié)論中正確的是（）

A.0<sinA<《B.0<cosA<—

22

c.B<tanA<1D.l<cotA<>/3

3

2.如圖，撬釘子的工具是一個杠桿，動力臂4="cosa,阻力臂4=/.cos￡,如果

動力尸的用力方向始終保持豎直向下，當(dāng)阻力不變時，則杠桿向下運動時的動力變化

情況是（）

A.越來越小B.不變C.越來越大D.無法確定

3.已知NA為銳角，且sinAV；,那么乙4的取值范圍是（）

A.00<ZA<30°

B.30°<ZA<60°

C.60°<ZA<90°

D.30°<ZA<90°

4.如圖，在RtZkABC中,ZACB=90°,DE是AABC的中位線，連結(jié)CD.下列各組

線￡段的比值一定與cosA相等的是()

C

DEDECCECE

A.----B.----

ADAEBDBC

5.若NA為銳角，且cosA=g，則(

)

A.0°<ZA<30°B.30°<ZA<45°

C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

6.若0。</4<45。，那么sinA-cosA的值()

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能確定

7.己知cosa=13,則銳角。的取值范-圍是()

4

A.0°<?<30°B.30°<a<45°C.45°<a<60°D.60°<a<90°

8.己知△回(?是銳角三角形，若AB>AC,則()

A.sinA<sinBB.sinB<sinCC.sinA<sinCD.sinC<sinA

二、填空題

9.比較大?。簊in54°cos35°(填

10.已知sina<cosa,則銳角a的取值范圍是.

11.比較大?。簊in80°―sin50°(填“>''或"V").

12.在直角三角形A8C中，角。為直角，銳角A的余弦函數(shù)定義為,寫出

sin70。、cos40°>cos50°的大小關(guān)系.

13.用不等號連接下面的式子.

(1)cos50°cos20°(2)tan18°tan21°

14.函數(shù)y=(cos6)f—4(sin6)x+6對任意實數(shù)x都有y>0,且。是三角形的內(nèi)角,

則。的取值范圍是

15.比較大小：sin40°cos50°(填“>"、"<”或"=")

16.已知/B是4ABC中最小的內(nèi)角，貝ItanB的取值范圍是.

三、解答題

17.已知：如圖，C41AO,E、尸是AC上的兩點，ZAOF>ZAOE.

(1)求證：tanZAOr>tanZAOE；

(2)銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而.

18.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知AABC的三個頂點坐標(biāo)分別是41,1),

B(4,l),C(3,3).

(1)將AABC向下平移4個單位后得到AA/B,G,請畫出&4/B/G；

(2)將AABC繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到△&鳥G，請畫出△&&G，并直接寫

出sinN&B2G的值；

19.如圖所示，在R/AACB中，ZC=90°,AC=3,BC=2,AD為中線.

(1)比較/BAD和NDAC的大小.

(2)求sinZBAD

20.已知：如圖，ZAOB=90°,AO=OB,C、D是弧AB上的兩點，ZAOD>

ZAOC,

(DO<sinZAOC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而；

(4)銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而.

0

21.如圖，已知/ABC和射線BD上一點P（點P與點B不重合），且點P到BA、

BC的距離為PE、PF.

（1）若NEBP=40,2FBP=2（r,PB=m,試比較PE、PF的大小；

（2）若NEBP=a,NFBP=p,a,B都是銳角，且a>|3.試判斷PE、PF的大小,

并給出證明.

22.我們知道，銳角的三角函數(shù)值都是隨著銳角的確定而確定、變化而變化的，如圖

所示.

（1）試探索隨著銳角度數(shù)的增大，它的三角函數(shù)值的變化規(guī)律；

（2）根據(jù)你探索到的規(guī)律，試分別比較18°,34°,62°,73°角的正弦，余弦，正切值

的大小.

參考答案:

I.A

【解析】

【分析】

根據(jù)“正弦值隨著角度的增大而增大”解答即可.

【詳解】

解：V0°<25°<30°

，0<sin25<-

2

0<sinA<—.

2

故選A.

【點睛】

本題主要考查了銳角三角形的增減性，當(dāng)角度在0°~90。間變化時，①正弦值隨著角度的增

大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；

③正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?

2.A

【解析】

【分析】

根據(jù)杠桿原理及cosa的值隨著a的減小而增大結(jié)合反比例函數(shù)的增減性即可求得答案.

【詳解】

解：?.?動力x動力臂=阻力x阻力臂，

...當(dāng)阻力及阻力臂不變時，動力x動力臂為定值，且定值>0,

.?.動力隨著動力臂的增大而減小，

?.,杠桿向下運動時a的度數(shù)越來越小，此時cosa的值越來越大，

又,動力臂乙=L,cosa,

,此時動力臂也越來越大，

...此時的動力越來越小，

故選：A.

【點睛】

本題主要考查了杠桿原理以及銳角三角函數(shù)和反比例函數(shù)的增減性，熟練掌握相關(guān)知識是

答案第1頁，共13頁

解決本題的關(guān)鍵.

3.A

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值求出sin3(T=g,根據(jù)當(dāng)NA是銳角時，其正弦隨角度的增大而增

大，

【詳解】

為銳角，且41130。=3，

又?.?當(dāng)NA是銳角時，其正弦隨角度的增大而增大，

.,.00<A<30°,

故選A.

【點睛】

考查了特殊角的三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)的增減性的應(yīng)用，注意：當(dāng)角是銳角時，其正

弦和正切隨角度的增大而增大，余弦和余切隨角度的增大而減小.

4.C

【解析】

【分析】

根據(jù)特殊角銳角三角函數(shù)的定義以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)即可求出答案.

【詳解】

ED是的中位線

.,.點。、E分別是48、AC的中點

ZACB=90°

，CD=BD=AD

：.ZA=ZDCE

..CECE

..cosA=cosZ-DCE=----=-----

CDBD

故選：C

【點睛】

本題考查三角形綜合問題，涉及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)，中位線的性質(zhì)以及特殊角

銳角三角函數(shù)的定義，本題屬于中等題型.

答案第2頁，共13頁

5.D

【解析】

【分析】

首先根據(jù)銳角余弦函數(shù)值，隨角度的增大而減小，然后根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，確定;

在哪兩個特殊值之間即可.

【詳解】

解：Vcos60°=-,cos90°=0,

2

32

cos90°<cosA<cos60°,

A60o<A<90°.

故選D.

【點睛】

本題考查了余弦函數(shù)的增減性，熟記特殊角的三角函數(shù)值，了解銳角三角函數(shù)的增減性是

解題的關(guān)鍵.

6.B

【解析】

【分析】

cosA=sin(90。-4),再根據(jù)銳角的正弦隨角度增大而增大進行分析即可.

【詳解】

V0o<ZA<45o,.,.45°<90o-ZA<90°,AZA<900~ZA.

VcosA=sin(90°-A),銳角的正弦隨角度增大而增大，.*.sinA<sin(90°-A),.*.sinA<

cosA,即sin4-cosA<0.

故選B.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，了解銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

7.B

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角余弦函數(shù)值在0°到90。中，隨角度的增大而減小進行對比即可；

答案第3頁，共13頁

【詳解】

銳角余弦函數(shù)值隨角度的增大而減小，

cos30°=—,cos45°=—,

22

,若銳角a的余弦值為且立<3（且

4242

則30°<a<45°；

故選B.

【點睛】

本題主要考查了銳角三角函數(shù)的增減性，掌握銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

8.B

【解析】

【分析】

大邊對大角，可得NC>NB,當(dāng)角度在0。?90。間變化時，正弦值隨著角度的增大（或減

小）而增大（或減?。灰来思纯汕蠼?

【詳解】

解：△ABC是銳角三角形，若AB>AC,

則/C>/B,

則sinB<sinC.

故選：B.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)的增減性，當(dāng)角度在0°?90。間變化時，①正弦值隨著角度的增大

（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）；②余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；③

正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p小）.

9.<

【解析】

【分析】

把余弦化成正弦,再通過角度大小比較正弦值的大小即可.

【詳解】

cos35°=sin（90°—35°）=sin55°.

在銳角范圍內(nèi)，sina隨a的增大而增大，

答案第4頁，共13頁

:.sin540<sin55°,

sin540<cos35°.

故答案為：<.

【點睛】

本題考查三角函數(shù)值的大小比較，利用正弦余弦的關(guān)系進行大小比較即可.

10.0°<a<45°.

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的增減性即可求解.

【詳解】

解：由sina<cosa,得

00<a<45°,

故答案為：0°<a<45°.

【點睛】

同角三角函數(shù)的關(guān)系、銳角三角函數(shù)的增減性是解題的關(guān)鍵.

11.>

【解析】

【分析】

根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)可知，銳角的角度越大，它的正弦值越大即可判斷.

【詳解】

解：V00<500<800<90°,

sin80°>sin50°

故答案為：>.

【點睛】

本題主要考查銳角三角函數(shù)的性質(zhì)：銳角的角度越大，它的正弦和正切值越大，余弦值越

小.熟記相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

AC

12.cosA=---------sin70°>cos40°>cos50°

AB

【解析】

答案第5頁，共13頁

【分析】

根據(jù)余弦的定義即可確定答案；根據(jù)sin7(r=cos20。且正弦隨角度的增大而增大，余弦隨角

度的增大而減小即可確定大小關(guān)系.

【詳解】

解：：直角三角形ABC中，角C為直角

為斜邊，AC為直角邊且為NA的一邊

工余弦的定義為COS4=

AB

?.?sin70o=cos20。且正弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增大而增大，余弦在銳角范圍內(nèi)隨角度的增

大而減小

sin70°==cos20°>cos40°,cos40°>cos50°

/.sin70°>cos40°>cos50°.

AC

故答案為8s4=——,Sin70°>cos40°>cos50°.

AB

【點睛】

本題考查了余弦函數(shù)的定義和正弦、余弦函數(shù)的增減性，掌握正弦在銳角范圍內(nèi)為增函數(shù)

、余弦在銳角范圍內(nèi)為減函數(shù)是解答本題的關(guān)鍵.

13.<<

【解析】

【分析】

根據(jù)余弦函數(shù)在0到90。之間是遞減的，正切函數(shù)在0到90。之間是遞增的解答即可.

【詳解】

當(dāng)a為銳角時，其余弦值隨角度的增大而減小，cos50°<cos20°；

當(dāng)a為銳角時，其正切值隨角度的增大而增大，,tanl8°<tan21°.

故答案為<;<.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的大小比較，熟知三角函數(shù)值的變化規(guī)律是解決問題的關(guān)鍵.

14.0<0<60

【解析】

【分析】

因為cos0>0,所以只要△<(),函數(shù)值恒為正.由△<(),得到三角函數(shù)不等式，再把正弦

答案第6頁，共13頁

轉(zhuǎn)化為余弦，解不等式，最后利用三角函數(shù)的增減性求出。的取值范圍.

【詳解】

解：由題意得：

jcos0>O

[△=16sin20-24cos8vo

Jcos0>O

即：[2(1-CW26?)-3C<?56?<0'

(2cos0-l)(cosG+2)>0,

解得cosO>g,

又因為o°ve<i8o。，

所以。的取值范圍為0°<0<60°.

故答案是：0°<0<60°.

【點睛】

考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a#),a,b,c為常數(shù))根的判別式.當(dāng)△>0,方程有

兩個不相等的實數(shù)根；當(dāng)仆=0,方程有兩個相等的實數(shù)根：當(dāng)4<0,方程沒有實數(shù)根.同

時考查了銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，銳角的余弦隨著角度的增大而減??；同角的正余弦的平方

和為1.記住特殊角的三角函數(shù)值.

15.=

【解析】

【分析】

直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出答案.

【詳解】

解：Vcos50°-sin(90°-50°)=sin40。，

sin400=cos500.

故答案為：=.

【點睛】

本題考查了銳角三角函數(shù)關(guān)系，正確轉(zhuǎn)換正余弦關(guān)系是解題的關(guān)鍵.

16.0<tanB<V3

【解析】

答案第7頁，共13頁

【分析】

在三角形中，最小的內(nèi)角應(yīng)不大于60度，找到相應(yīng)的正切值即可，再根據(jù)tan6(r=Q和一

個銳角的正弦值隨著角的增大而增大，進行分析.

【詳解】

解：根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，易知三角形的最小內(nèi)角不大于60。.

根據(jù)題意,知：

00<ZB<60°.

又tan60°=G,

.*.0<tanB<75.

故答案為：0<tanBW石

【點睛】

此題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理、特殊角的銳角三角函數(shù)值和銳角三角函數(shù)值的變化

規(guī)律，得出0°<NBW60。是解題關(guān)鍵.

17.(1)證明見解析；(2)增大.

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義進行比較即可；

(2)由(1)可總結(jié)出規(guī)律.

【詳解】

解：(1)CAVAO,

二和均為直角三角形，

ApPA

：.tanZAOF=—,tanZAOE=——,

OAOA

tanZAOF>tanZAOE；

(2)由(1)可知銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而增大.

【點睛】

本題考查銳角三角函數(shù)的增減性.

18.(1)見解析；(2)圖見解析，半

【解析】

答案第8頁，共13頁

【分析】

(1)將A,B,C的向下平移4個單位后得到AyB,,G坐標(biāo)，依次連接即可；

(2)將A,B,C三點繞繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到A2,B2,C2,依次連接即可得到

△4鳥G，作C?D，B2c2,求出層C?=遙，即可求出sinN&B2c2的值.

【詳解】

解：(1)將A,B,C的向下平移4個單位后得到AyB|tG坐標(biāo)，依次連接即可得到

M4G如圖所示；

(2)將A,B,C三點繞繞原點。逆時針旋轉(zhuǎn)90。后得到A?,B2,C2,依次連接即可得到

△4與a如圖所示，

作C?D，B2c2,

在RtADB2a中，

BG=42+2,=B

【點睛】

本題是對圖形平移旋轉(zhuǎn)的考查，熟練掌握圖形平移，旋轉(zhuǎn)的作法及三角函數(shù)知識是解決本

題的關(guān)鍵.

答案第9頁，共13頁

19.(1)ZBAD<ZDAC<9Q°;(2)sinABAD=2^22

130

【解析】

【詳解】

試題分析：（1）、過點D做AB的垂線，垂足記為E,分別求出sinNBAD和sin/DAC的

值，然后根據(jù)三角函數(shù)進行比較大小得出答案；（2）、根據(jù)勾股定理求出AB和AD的長

度,然后根據(jù)△BAD的面積法得出DE的長度，最后求出sin/BAD的大小.

試題解析：（1）過點D做AB的垂線，垂足記為E,貝Ijsin/BAD=^

AD

DC

sin/DAC=—,???ED<BD=DC,sin—BAD<sin/DAC,/BAD<NDAC<90°.

AD

（2）由勾股定理求出AB=JT5,AD=Jid,而崛2='冊D?

即：^xM3=ixV13?,DE=-^=,:.sin/BAD=動型

20.（1）見解析（2）見詳解；（3）增大；（4）減小.

【解析】

【分析】

第（1）（2）問作輔助線,分別在RtAOEC和RSDFO中利用三角函數(shù)定義表示出所求三

角函數(shù)，再利用不等式的性質(zhì)：不等號兩邊同時除以同一個不為零的正數(shù)時不等號仍成立即

可解題；第（3）（4）兩問根據(jù)特殊三角函數(shù)值,總結(jié)規(guī)律即可解題.

【詳解】

解：（1）如圖所示，作CELOA與E,作DFLOA與E

CEDF

VsinZAOC=—,sinZAOD=—,0<CE<DF<OC=OD,

OCOD

.,.0<sinZAOC<sinZAOD<1；（不等式性質(zhì)）

OEOF

（2）VcosZAOC=,cosZAOD=,0<OF<OE<OC=OD,

OCOD

：.\>cosZAOC>cosZAOD>0；（不等式性質(zhì)）

（3）由特殊的直角三角函數(shù)值，總結(jié)規(guī)律，即可發(fā)現(xiàn)對于銳角而言，銳角的正弦函數(shù)值隨角

答案第10頁，共13頁

度的增大而增大；

（4）由特殊的直角三角函數(shù)值，總結(jié)規(guī)律，即可發(fā)現(xiàn)對于銳角而言，銳角的余弦函數(shù)值隨角

度的增大而減小.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的大小比較,不等式的性質(zhì)，中等難度，熟悉三角函數(shù)定義，表示出三角函

數(shù)是解題關(guān)鍵.

21.（1）PE>PF；（2）PE>PF.

【解析】

【分析】

（1）利用三角函數(shù)的定義，根據(jù)兩個角的正弦的大小進行比較即可得到結(jié)果；

（2）運用兩個角的正弦函數(shù)，根據(jù)正弦值的變化規(guī)律進行比較.

【詳解】

PF

解：（1）在心△5PE中，sinZEBP=—=sin40^

在Rt^BPF中，sinZFBP==sin20,

又sin40>sin20

:.PE>PF\

（2）根據(jù)⑴得

PEPF

sin/EBP=---=sina,sinZFBP=---=sin/?

BPBP

又,：a>B

...sin。>sin/7

:.PE>PF.

【點睛】

考查了銳角的正弦值的變化規(guī)律：在銳角的范圍內(nèi)，正弦值隨著角的增大而增大.

22.（1）銳角的正弦值隨著