2023屆廣東省梅州市數(shù)學高三上期末聯(lián)考試題含解析

2022-2023學年高三上數(shù)學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果．哥德巴赫猜想是“每個大于2的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)（即質數(shù)）的和”，如，．在不超過20的素數(shù)中，隨機選取兩個不同的數(shù)，其和等于20的概率是（）A． B． C． D．以上都不對2．已知雙曲線的焦距為，若的漸近線上存在點，使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．閱讀如圖所示的程序框圖，運行相應的程序，則輸出的結果為（）A． B．6 C． D．4．已知雙曲線的漸近線方程為，且其右焦點為，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)，存在實數(shù)，使得，則的最大值為（）A． B． C． D．6．年初，湖北出現(xiàn)由新型冠狀病毒引發(fā)的肺炎.為防止病毒蔓延，各級政府相繼啟動重大突發(fā)公共衛(wèi)生事件一級響應，全國人心抗擊疫情.下圖表示月日至月日我國新型冠狀病毒肺炎單日新增治愈和新增確診病例數(shù)，則下列中表述錯誤的是（）A．月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢B．隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)C．月日至月日新增確診人數(shù)波動最大D．我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)在月日左右達到峰值7．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．8．命題“”的否定是（）A． B．C． D．9．某工廠利用隨機數(shù)表示對生產的600個零件進行抽樣測試，先將600個零件進行編號，編號分別為001，002，……，599,600.從中抽取60個樣本，下圖提供隨機數(shù)表的第4行到第6行：若從表中第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，則得到的第6個樣本編號是（）A．324 B．522 C．535 D．57810．已知純虛數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則實數(shù)等于（）A． B．1 C． D．211．在中，“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件12．已知集合，則元素個數(shù)為()A．1 B．2 C．3 D．4二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．函數(shù)在內有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍是________.14．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）15．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：），則該幾何體的體積是_____；最長棱的長度是_____．16．在的展開式中，的系數(shù)等于__．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{1Sn}的前18．（12分）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調遞增，求實數(shù)的值；（2）定義：若直線與曲線都相切，我們稱直線為曲線、的公切線，證明：曲線與總存在公切線．19．（12分）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，且經過點，斜率為的直線經過點，與橢圓交于，兩點.（1）求橢圓的方程；（2）在軸上是否存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出的取值范圍，如果不存在，請說明理由.20．（12分）在本題中，我們把具體如下性質的函數(shù)叫做區(qū)間上的閉函數(shù)：①的定義域和值域都是；②在上是增函數(shù)或者減函數(shù).（1）若在區(qū)間上是閉函數(shù)，求常數(shù)的值；（2）找出所有形如的函數(shù)（都是常數(shù)），使其在區(qū)間上是閉函數(shù).21．（12分）已知數(shù)列滿足，且.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；（2）求數(shù)列的前項和.22．（10分）已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，且，，.（1）求數(shù)列與的通項公式；（2）求數(shù)列的前n項和.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

首先確定不超過的素數(shù)的個數(shù)，根據(jù)古典概型概率求解方法計算可得結果.【詳解】不超過的素數(shù)有，，，，，，，，共個，從這個素數(shù)中任選個，有種可能；其中選取的兩個數(shù)，其和等于的有，，共種情況，故隨機選出兩個不同的數(shù)，其和等于的概率．故選：.【點睛】本題考查古典概型概率問題的求解，屬于基礎題.2、B【解析】

由可得；由過點所作的圓的兩條切線互相垂直可得,又焦點到雙曲線漸近線的距離為,則,進而求解.【詳解】,所以離心率,又圓是以為圓心,半徑的圓,要使得經過點所作的圓的兩條切線互相垂直,必有,而焦點到雙曲線漸近線的距離為,所以,即,所以,所以雙曲線的離心率的取值范圍是.故選:B【點睛】本題考查雙曲線的離心率的范圍,考查雙曲線的性質的應用.3、D【解析】

用列舉法，通過循環(huán)過程直接得出與的值，得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖，可得，，滿足條件，，，滿足條件，，，滿足條件，，，由題意，此時應該不滿足條件，退出循環(huán)，輸出S的值為.故選D．【點睛】本題主要考查了循環(huán)結構的程序框圖的應用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關鍵,難度較易.4、B【解析】試題分析：由題意得，，所以，，所求雙曲線方程為．考點：雙曲線方程.5、A【解析】

畫出分段函數(shù)圖像，可得，由于，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究單調性，分析最值，即得解.【詳解】由于，,由于，令，，在↗，↘故.故選：A【點睛】本題考查了導數(shù)在函數(shù)性質探究中的應用，考查了學生數(shù)形結合，轉化劃歸，綜合分析，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.6、D【解析】

根據(jù)新增確診曲線的走勢可判斷A選項的正誤；根據(jù)新增確診曲線與新增治愈曲線的位置關系可判斷B選項的正誤；根據(jù)月日至月日新增確診曲線的走勢可判斷C選項的正誤；根據(jù)新增確診人數(shù)的變化可判斷D選項的正誤.綜合可得出結論.【詳解】對于A選項，由圖象可知，月下旬新增確診人數(shù)呈波動下降趨勢，A選項正確；對于B選項，由圖象可知，隨著全國醫(yī)療救治力度逐漸加大，月下旬單日治愈人數(shù)超過確診人數(shù)，B選項正確；對于C選項，由圖象可知，月日至月日新增確診人數(shù)波動最大，C選項正確；對于D選項，在月日及以前，我國新型冠狀病毒肺炎新增確診人數(shù)大于新增治愈人數(shù)，我國新型冠狀病毒肺炎累計確診人數(shù)不在月日左右達到峰值，D選項錯誤.故選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表的應用，考查數(shù)據(jù)處理能力，屬于基礎題.7、D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設，，所以，當時，的最小值，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.8、D【解析】

根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題，所以命題“,”的否定是：，．故選D．【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.9、D【解析】

因為要對600個零件進行編號，所以編號必須是三位數(shù)，因此按要求從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，大于600的，重復出現(xiàn)的舍去，直至得到第六個編號.【詳解】從第6行第6列開始向右讀取數(shù)據(jù)，編號內的數(shù)據(jù)依次為:，因為535重復出現(xiàn)，所以符合要求的數(shù)據(jù)依次為，故第6個數(shù)據(jù)為578.選D.【點睛】本題考查了隨機數(shù)表表的應用，正確掌握隨機數(shù)表法的使用方法是解題的關鍵.10、B【解析】

先根據(jù)復數(shù)的除法表示出，然后根據(jù)是純虛數(shù)求解出對應的的值即可.【詳解】因為，所以，又因為是純虛數(shù)，所以，所以.故選：B.【點睛】本題考查復數(shù)的除法運算以及根據(jù)復數(shù)是純虛數(shù)求解參數(shù)值，難度較易.若復數(shù)為純虛數(shù)，則有.11、D【解析】

通過列舉法可求解，如兩角分別為時【詳解】當時，，但，故充分條件推不出；當時，，但，故必要條件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【點睛】本題考查命題的充分與必要條件判斷，三角函數(shù)在解三角形中的具體應用，屬于基礎題12、B【解析】

作出兩集合所表示的點的圖象，可得選項.【詳解】由題意得，集合A表示以原點為圓心，以2為半徑的圓，集合B表示函數(shù)的圖象上的點，作出兩集合所表示的點的示意圖如下圖所示，得出兩個圖象有兩個交點:點A和點B，所以兩個集合有兩個公共元素，所以元素個數(shù)為2，故選：B.【點睛】本題考查集合的交集運算，關鍵在于作出集合所表示的點的圖象，再運用數(shù)形結合的思想，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

設，，設，函數(shù)為奇函數(shù)，，函數(shù)單調遞增，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)，解得答案.【詳解】，設，，則.原函數(shù)等價于函數(shù)，即有兩個解.設，則，函數(shù)為奇函數(shù).，函數(shù)單調遞增，，，.當時，易知不成立；當時，根據(jù)對稱性，考慮時的情況，，畫出簡圖，如圖所示，根據(jù)圖像知：故，即，根據(jù)對稱性知：.故答案為：.【點睛】本題考查了函數(shù)零點問題，意在考查學生的轉化能力和計算能力，畫出圖像是解題的關鍵.14、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點睛】排列、組合問題由于其思想方法獨特，計算量龐大，對結果的檢驗困難，所以在解決這類問題時就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時解答組合問題時必須心思細膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.15、【解析】

由三視圖還原原幾何體，該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側棱底面，由棱錐體積公式求棱錐體積，由勾股定理求最長棱的長度．【詳解】由三視圖還原原幾何體如下圖所示：該幾何體為四棱錐，底面為直角梯形，，，側棱底面，則該幾何體的體積為，，，因此，該棱錐的最長棱的長度為.故答案為：；.【點睛】本題考查由三視圖求體積、棱長，關鍵是由三視圖還原原幾何體，是中檔題．16、7【解析】

由題，得，令，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，令，得x的系數(shù).故答案為：7【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，屬基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）an=2n【解析】

(1)先設出數(shù)列的公差為d，結合題中條件，求出首項和公差，即可得出結果．(2)利用裂項相消法求出數(shù)列的和．【詳解】解：(1)設公差為d的等差數(shù)列{an}且a1+a則有：a1解得：a1=3，所以：a(2)由于：an所以：Sn則：1S則：Tn=1【點睛】本題考查的知識要點：數(shù)列的通項公式的求法及應用，裂項相消法在數(shù)列求和中的應用，主要考查學生的運算能力和轉化能力，屬于基礎題型．18、（1）；（2）見解析.【解析】

（1）求出導數(shù)，問題轉化為在上恒成立，利用導數(shù)求出的最小值即可求解；（2）分別設切點橫坐標為，利用導數(shù)的幾何意義寫出切線方程，問題轉化為證明兩直線重合，只需滿足有解即可，利用函數(shù)的導數(shù)及零點存在性定理即可證明存在.【詳解】（1），函數(shù)在上單調遞增等價于在上恒成立．令，得，所以在單調遞減，在單調遞增，則．因為，則在上恒成立等價于在上恒成立；又，所以，即．（2）設的切點橫坐標為，則切線方程為……①設的切點橫坐標為，則，切線方程為……②若存在，使①②成為同一條直線，則曲線與存在公切線，由①②得消去得即令，則所以，函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，，使得時總有又時，在上總有解綜上，函數(shù)與總存在公切線．【點睛】本題主要考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的恒成立問題，導數(shù)的幾何意義，利用導數(shù)證明方程有解，屬于難題.19、（1）（2）存在；實數(shù)的取值范圍是【解析】

（1）根據(jù)橢圓定義計算，再根據(jù)，，的關系計算即可得出橢圓方程；（2）設直線方程為，與橢圓方程聯(lián)立方程組，求出的范圍，根據(jù)根與系數(shù)的關系求出的中點坐標，求出的中垂線與軸的交點橫，得出關于的函數(shù)，利用基本不等式得出的范圍．【詳解】（1）由題意可知，，．又，，，橢圓的方程為：．（2）若存在點，使得以，為鄰邊的平行四邊形是菱形，則為線段的中垂線與軸的交點．設直線的方程為：，，，，，聯(lián)立方程組，消元得：，△，又，故．由根與系數(shù)的關系可得，設的中點為，，則，，線段的中垂線方程為：，令可得，即．，故，當且僅當即時取等號，，且．的取值范圍是，．【點睛】本題主要考查了橢圓的性質，考查直線與橢圓的位置關系，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力．20、（1）；（2）.【解析】

（1）依據(jù)新定義，的定義域和值域都是，且在上單調，建立方程求解；（2）依據(jù)新定義，討論的單調性