高中數(shù)學(xué)必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題 (三)(含答案解析)

必修二第六章第2節(jié)《平面向量的運(yùn)算》解答題(3)

一、解答題(本大題共30小題，共360.0分)

1.設(shè)向量五=(cos2x,cosx),b=(2sinx,V3)-c=(1—2sinx,—3>/3)>xG[0,.

(1)若五〃8,求|2五+人的值;

(2)設(shè)/(x)=限(3+0，求/(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

2.設(shè)。為回力BC內(nèi)任一點(diǎn)，且滿足&+2b+3e=0,若。，E分別是BC,G4的中點(diǎn).

(1)求證：D,E,。共線；

(2)求圈48。與440C的面積之比.

3.已知或二⑶一2)，b=(2,1),0為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若山&+%與展_2了的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

(2)設(shè)&OB=b'求回。AB的面積.

4.如圖，在固4BCD中，CF=2FD，CE=3EB，若前=xA€+y壽，f

則％+y的值為：.

AB

5.如圖，在同一平面內(nèi)，Z.A0B=150°,AAOC=120°,\0A\=2,\0B\=3,\0C\=4.

AD

C

(1)用旗和灰表示瓦?；

(2)若初=a前，荏，前，求；i的值.

6.如圖，在中，已知C4=1,CB=2,4ACB=60°.

c

⑴求府

(2)已知點(diǎn)力是AB上一點(diǎn)，滿足同=/L4B，點(diǎn)E是邊CB上一點(diǎn)，滿足就=4阮.

①當(dāng)；1=泄，求荏.前；

②是否存在非零實(shí)數(shù)人使得屈1而？若存在，求出的4值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

7.如圖，在AOAB中，已知P為線段A8上的一點(diǎn)，OP=xOA+yOB.

(1)若麗=萬(wàn)求x，y的值：

(2)若前=2前，|0A|=4.|而|=2，且就與麗的夾角為60。時(shí)，求麗?麗的值.

8.已知單位向量”，n?且眄-可=V3,求:

(1)向量m，n的夾角;

(2)12nl-n|；

(3)若向量2藍(lán)-曾與向量蔡+k■垂直，求實(shí)數(shù)A的值.

9.已知三點(diǎn)0(0,0),4(-2,1),8(2,1),曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足|拓？+說(shuō)|=麗.(瓦？+

0B)+2.

(1)求曲線C的方程;

(2)點(diǎn)(2(4,小)(-2<與<2)是曲線C上動(dòng)點(diǎn)，曲線C在點(diǎn)。處的切線為/,點(diǎn)P的坐標(biāo)是(0,-1),

i與PA,P8分別交于點(diǎn)￡),E,求AQAB與APDE的面積之比.

10.在44BC中，AC=2,BC=6,zACB=60。，點(diǎn)。為2MBC所在平面上一點(diǎn)，滿足流：=加后+

nOBfjn,nGR且瓶+n彳1).

(1)證明：CO=二一。4+-^—CB;

m+n-1m+n-1

(2)若點(diǎn)。為44BC的重心，求〃?、〃的值;

⑶若點(diǎn)。為zUBC的外心，求加、〃的值.

11.△48。的面積5=2值，且布?瓦^(guò)4

(1)求角B的大小;

(2)若|荏|=2|比I，且同=2沆，求而?喬.

12.求證:

(1)對(duì)于任意兩個(gè)向量而，n,恒有|記?元||記||元|,并確定等號(hào)成立的條件；

(2)對(duì)于任意的a,b,c,deR,恒有(ac+bd)2<(a24-h2)(c2+d2),并確定等號(hào)成立的條件.

13.已知向量五、E滿足|卸=|1|=1，且|"+1|=遮|五一已辦(k￡R)

(1)求五?方關(guān)于k的解析式/(k)

(2)若正〃3且方向相同，試求k的值

14.如圖在平行四邊形A8C。中，AB=4,AD=2,^BAD=60°,E為CD的中點(diǎn)，H為線段8E

上靠近點(diǎn)E的四等分點(diǎn)，記/=1AD=b-

(1)用房了表示4E,AH<

(2)求線段A”的長(zhǎng).

(3)求麗與同夾角的余弦值.

15.如圖，在平面斜坐標(biāo)系xOy中，ArOy60,平面上任一點(diǎn)P在該斜坐標(biāo)系中的斜坐標(biāo)是這

樣定義的：若赤=x^+y石(其中可、五分別為與x軸、y軸正方向同向的單位向量)，則P點(diǎn)

斜坐標(biāo)為(x,y).

y

人60。_

/o*

(1)若尸點(diǎn)斜坐標(biāo)為(2,-2),求P到。的距離|P0|；

(2)若AABC三個(gè)頂點(diǎn)的斜坐標(biāo)分別為4(1,4),8(4,2),C(3,5),求三角形的內(nèi)角NA.

16.已知向量萬(wàn)？=(4cosa,As譏a)(2w0),OB=(<—sinp,cosp)<其中。為坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)若夕=aj,求向量力?與面的夾角；

(2)若|荏|22|布|對(duì)任意實(shí)數(shù)a,0恒成立，求實(shí)數(shù)4的取值范圍.

17.在平面直角坐標(biāo)系中，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,B,C三點(diǎn)滿足元=：雨+|麗.

(1)求證：A,B,C三點(diǎn)共線.

(2)已知4(l,cosx),fi(l+sinx,cosx),xG[0,,/'(x)=市?小一(2病+|).|四|的最小值

為;,求實(shí)數(shù)機(jī)的值.

18.已知橢圓C：,+日=l(a>b>0)過(guò)點(diǎn)律,J,離心率為圣

(1)求橢圓C的方程；

(2)已知點(diǎn)”(竽,4)，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若橢圓C的弦AB的中點(diǎn)在線段OM(不含端點(diǎn)O,M)

上，求初?南的取值范圍.

19.已知向量蒞=(1,2),b=(-3,/c).

(1)若有〃a求?石?的值；

(2)若百10+2W，求實(shí)數(shù)k的值；

(3)若五與B的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

20.已知，同=1,同=2且向量五與石不共線

⑴若4與方的夾角為45。，求(21一至)?0+尤)

(2)若向量上口一3與%日+石的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)k的取值范圍

21.如圖，在ACMB中，已知P為線段4B上的一點(diǎn)，OP=x-OA+y-OB.

B

(1)若前=詞，求x,y的值；

(2)若麗=3同，|雨|=4，|而|=2，且65與面的夾角為60。時(shí)，求赤?而的值.

22.已知△ABC的面積S滿足再<S<3,且而?BC=6,近與灰的夾角為。.(I)求。的取值范圍；

(II)求函數(shù)/(0)=sin20+2sin0cos0+3cos的最值及相應(yīng)的。的值.

23.已知向量捅夾角為120。，且鬲=i,|b|=2,當(dāng)向量a+助與花+%的夾角為鈍角B寸，求4的

取值范圍.

24.如圖所示，在小”。中，OC=\OA,00=108,A。與BC相交于點(diǎn)M.設(shè)瓦？=之，而=%.

(1)試用向量2,7表示而；

(2)在線段AC上取點(diǎn)E,在線段8。上取點(diǎn)凡使E尸過(guò)點(diǎn)M,設(shè)屈=4成，而=林林,求"押

值.

25.己知圓C的圓心在y軸上，且圓C與直線\：y=x相切于點(diǎn)(1,1).

(1)求圓C的方程；

(2)若線段AB為圓C的直徑，點(diǎn)P為直線％:4%一3丁+21=0上的動(dòng)點(diǎn)，求同?麗的最小值.

26.在①V5cosA(ccosB+bcosC)=asinA,②cos24-cos2B=2sinC(sinB-sinC),③沅=

(2,1),n=(2cos2p—cos2/l+l),m-n=|

這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充到下面問(wèn)題中，并解答問(wèn)題.

在ZL4BC中，內(nèi)角4,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且.

⑴求4

(2)若a=3,求2L4BC周長(zhǎng)的取值范圍.

注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

27.已知|弓|=1,|B|=四.

⑴若向量行與向量方的夾角為135。，求|8+石|及方在之上的投影向量；

(2)若向量方-方與向量五垂直，求向量五與石的夾角.

28.如圖，在AOAB中，己知2.=2x/3)NAOB=90。，單位圓。與OA交于C,

Abf［五入€(().1)，P為單位圓。上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若元+訶=而，求4的值；

(2)記］而|的最小值為f(4),求/(A)的表達(dá)式及/(4)的最小值.

29.已知點(diǎn)力(m,2),C(2,4).

(1)若|石？+而|最小，求實(shí)數(shù)，"的值：

(2)若方與方夾角的余弦值為管，求實(shí)數(shù)m的值.

30.在團(tuán)ABC中，CA=CB=2,記2==8,且|k五+B|=百|(zhì)百一k瓦(k為正實(shí)數(shù)),

(1)求證：(Z+b)l(a—b)；

(2)將五與石的數(shù)量積表示為關(guān)于k的函數(shù)/Xk)；

(3)求函數(shù)f(k)的最小值及此時(shí)角A的大小.

【答案與解析】

1.答案:解：(1)因?yàn)橄蛄縜=(cos2居cos%),b=(2sinx,V3)，且五〃至，

所以\；：L=2sin/cos?r,即、=si“2/?

若cos2x=0,則sin2x=0,與sin‘2/+coe/lr1矛盾，故cos2%H0.

于是tan2x=V3.

又xeJo,],

所以2x=p%=p

所以2a=(1,V3),c=(1-2sinx,-3V3)=(0,-3①

則2為+3=(l,-2V3),|2a+c|="+12=713.

(2)因?yàn)镋=(2sinx,遮)，c=(1—2sinx,—3V3),所以E+蕓=(1,—2次)，

f(x)=a-(b+c)=(cos2x,cosx)■(1,—273)=cos2x—275cosx

?,?2>/3?5

=2rsF—2v3cosJ*—1=2(cusT.....-)--

又XC閡

所以cosxe[I，ij,

所以當(dāng)cosx=與即X=軟寸，/(x)取到最小值一*

V3V31

V1----<------

222

???當(dāng)COST=：,即X=g時(shí)，/(%)取到最大值一:一遍.

解析：本題考查向量的數(shù)量積的應(yīng)用，三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，考查轉(zhuǎn)化思想以及沖算能力.

(1)通過(guò)3〃石，推出百cos2x=sin2x.得到tan2x=瘋求解X,然后求解|2五+4的值.

(2)通過(guò)/(x)=a.(K+c)=2(cosx-^)2-1,然后利用三角函數(shù)的最值求解即可.

2.答案：(1)證明：如圖，OB+OC20D，OA+OC=20F.

?■?OA+2OB+3OC=(OA+OC)+2(0B+OC)=2(0E+2OD)=0>

即2而+癥=d,.?.而與癥共線.

又時(shí)與旗有公共點(diǎn)。，

-■D,E,。三點(diǎn)共線.

(2)解：由⑴知2|彷|=|赤卜

SAA℃=2S&COE=2x-ShCDE=2x-x-S&ABC=-S&ABC,

.SA48c_3

S"OC

解析：本題考查平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，三點(diǎn)共線的證明，利用向量的模的關(guān)系求三角形面積

的比.

(1)由平面向量的加減、數(shù)乘運(yùn)算，結(jié)合題意可得2證+癥=6,證明而與灰共線，而與旗有公

共點(diǎn)O,從而證明D、E、。三點(diǎn)共線；

(2)由(1)知2|前|=|0E|?根據(jù)三角形面積之間的關(guān)系可得S—OC=2sAeOE=2x|SACDE=2X|X

:SAABC=：SAA"，即可得出△ABC與△40C的面積之比?

3.答案：解：(1),:a=(3,-2),b=(2,1)，

Ama+K=(3m+2,—2m+1),a—2b=(—1,—4)，

令(m五4-K)?(a-2K)<0，

即一3TTI-2+87n—4V0,解得mV->

?.,當(dāng)m=-U^,ma+b=一旨+3,6五+B與日-2至方向相反，夾角為平角，不合題意，m+一；，

???若znE+石與五一23的夾角為鈍角，m的取值范圍為(—X,-：)U(—：?

(2)a.—(3,—2),b-(2,1)>

|a|=V32+(-2)2=V13,\b\=V22+I2=V5.a-b=6-2=4.

設(shè)NAOB-0,△0A3面積為S,

則S=^|a|?間sin9,

萬(wàn)"h

sin29=1—cos26=1—(同.面)?,

4s2=\a\2\b\2-sm2e

=\a\2\b\2-(a-b)2=65-16=49.

?S=2

2

解析：本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

(1)若m五+石與五一2萬(wàn)的夾角為鈍角，則(m為+B)?@-23)<0且兩向量不共線即可求出"，的范圍;

(2)根據(jù)數(shù)量積定義結(jié)合三角形面積公式即可求解.

4.答案：<

解析：

本題考查平面向量基本定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于中檔題.

運(yùn)用平面向量基本定理和平行向量的知識(shí)可解出.

解：由而=2而，CE=3EB-

可得麗工前=工和DF=-DC=-AB,

4433

所以荏=超+而=四+;而，①

AF=AD+DF=AD+^AB,②

由①②可解得荏=得（4荏_而），而=（（_荏+3肝），

因此而=而+而=（（4荏一而）+2（-荏+3前）=卷荏+^AF,

又因?yàn)辂?%麗+、養(yǎng)，可得x=V，y=《，

所以x+y=1，

故答案為*

5.答案：解：由題意，得NBOC=90。，以0C所在的直線為x軸，以80所在的直線為），軸建立平

面直角坐標(biāo)系，

如圖所示，貝10（0,0）,71（-1,73）,8（0,-3）,C（4,0）.

(1)設(shè)市=%函+%元，

則(-1,次)=21(0,-3)+A2(4,0)=(4心,一3/11)，

■-.0A=--0B--0C.

34

(2)設(shè)。(%,y),

vAV=AAC，,(x+1,y-V3)=2(5,—V3)?

(x=SA—1,

ly=-V3A+V3,

:.0(5"1,-圖+遮),

FD=(5A-1,3-V3A+V3).

?-?AC-JD=O,A(5A-1)x5+(3+V3-V3A)x(一遮)=0，

解得4=8+3V3.

28

解析：本題考查向量的坐標(biāo)表示及坐標(biāo)運(yùn)算，考查向量的垂直與數(shù)量積的關(guān)系，難度屬于中檔.

求解可以先根據(jù)OB與OC垂直的條件建立平面直角坐標(biāo)系，得到OA為終邊的角的大小，利用三角

函數(shù)定義，求出A點(diǎn)坐標(biāo)，在此基礎(chǔ)上，

(1)可以利用基本定理，用待定系數(shù)法，用而和云表示函完成求解；

(2)先設(shè)。點(diǎn)坐標(biāo)，利用A,D,C三點(diǎn)共線，完成參數(shù)轉(zhuǎn)移，再利用向量垂直，則數(shù)量積為0,列

式求出2的值.

6.答案：解：(1)A4BC中，CA=1,CB=2,44cB=60。，

由余弦定理得，

AB2=CA2+CB2-2CA-CB-cos^ACB

=12+22-2xlx2xcos60°

=3.

:.AB=V3>

即|畫二V3;

(2)①4=凱寸，AD^^AB,BE=^BC,

??.￡>、E分別是BC,AB的中點(diǎn)，

,'一,一，，>1,

AE=AC+CE=AC+-CB,

2

CD=；(C4+CB),

1]__?__?

.??荏.而=(前+-CF)--(CX+CB)

1—>—>1—>—?1—>—>1—>2

=~AC,CA+~AC,CB+—CB,CA+—CB

2244

191

=--xl24--xlx2xCOS120°

22

11

+-x2x1xcos6004--x22

44

———1.

4，

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)人使得荏1而，

由而=2四，得而=4(詼—石?)，

.-.CD=CA+AD=CA+A(CB-麗

=ACB+(1-A)C^;

又屁=ABC>

?.AE=AB+BE=(CB-CA)+A(-CB)

=(1-A)CB-6^4;

AAE-CD=A(1-A)CB2-ACB-

2

+(1-A)2CB-CX-(1-A)CA，

=4A(1—A)—4+(1—4)2—(1—A)

=-3A2+22=0,

解得;1=1或；l=0(不合題意，舍去)；

即存在非零實(shí)數(shù)4=|,使得荏±CD.

解析：本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，是綜

合性題目.

(1)利用余弦定理求出AB的長(zhǎng)即得|荏|；

(2)①;1=］時(shí)，。、E分別是BC,A8的中點(diǎn)，求出荏、而的數(shù)量積即可；

②假設(shè)存在非零實(shí)數(shù)人使得荏JL前，利用方、方分別表示出而和荏，求出荏?前=0時(shí)的2值

即可.

7.答案：解：(1)由喬=百?，得麗-而=就-而,

所以前=*市+而)=^OA+^OB,

所以x=y=1；

(2)由就=2萬(wàn)，得而-麗=2畫-而),

所以而=|a+［而；

又|瓦？|=4，|而|=2，且次與函的夾角為60。，

則麗?AB=(|o7+■(OB-OA)

2―a1——>21—>——，

=--0A+-0B+-0A-OB

333

211

=——X424--X224--X4X2XCOS600

333

=-8.

解析：本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題.

(1)由前=方得而一而=就一聲，用成、而表示而即可；

(2)由喬=2萬(wàn)得加-胡=2(瓦？一赤)，求出赤，再計(jì)算赤?南的值.

8.答案：解：(1)設(shè)向量沅,五的夾角為仇由己知得，|玩|=|元|=1；

???\m-n\2=(m—n)2=m2—2m-n+n2=2-2m-n=3s

—>->1

Am-n=--；

八mn1

:.cose=———=——；

I河同2'

V0<0<7T；

2n

?.?(n7---,

3

(2)v\2m-n\2=(2m—n)2=4rn2—4m-n4-n2=44-2+1=7;

???|2沆一五|=V7

(3),向量2沅一為與向量沆+k丘垂直，

:.(2m—n)-(m4-kn)=0.

???2rn+(2/c-l)m-n-kn2=2+(2/c-1)(-1)-fc=0,

解得

k=p4

解析：本題考查向量的模、向量的夾角、向量垂直的判斷與證明以及向量的數(shù)量積，屬于中檔題;

(1)設(shè)向量記，元的夾角為。：由已知得，I記I=I元I=1;

由I沆一五I=百可得沅?乃=一：，再由cos。=言三=一：；即可求解；

N1叫1叫N

(2)|2m-n|2=(2m-n)2=4m2-4m-n+n2=4+2+1=7;即可求解;

(3)向量2沆一元與向量記+k記垂直，可得(2沅-?麻+kH)=0.即可求解；

9.答案：解：(1)由而7=(-2-x,l—y)，AW=(2-x,l-y)>

可得拓？+MB=(-2x,2-2y).

|AM+MB|=，(-2x)2+(2-2y)2,

OM-(0A+0B)+2=(x,y)-(0,2)+2=2+2y，.

由題意可得'(-2x)2+(2-2y)=2+2y,化簡(jiǎn)可得/=4y.

(2)由題意可得直線PA,尸8的方程分別為y=-x-l、y=x-l,且％=［詔，Qx2)^^%

曲線C在點(diǎn)Q(xo，yo)(-2<%0<2)處的切線斜率為k=|%0,

曲線C在點(diǎn)Q(X0,y())(-2<x0<2)處的切線方程為y=1xox-^XQ,且與y軸的交點(diǎn)G(0,-］裾).

y=-X—1

1就求得出=”，

{y=2x°x~^

(y=x-1

由|V_*。支就求得=美

(y-■7%一12

故|沖一孫1=2,\GP\=1—

2

11x24-x

故SAPOE=］|PG||HE-XD|=2(1一半？.。，

而SAQ4B=：X4X(1-今=誓,

2,即AQAB與APDE的面積之比等于2.

SGPDE

解析：本題重點(diǎn)考查數(shù)量積、直線與拋物線的位置關(guān)系和與拋物線有關(guān)的面積問(wèn)題，屬于較難題.

(1)利用數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算代入|前X+加|=0而?(e+而)+2,化簡(jiǎn)整理

即可；

(2)求出曲線C在點(diǎn)Q(出,yo)(-2<x0<2)處的切線方程，求得%。和也，得4PDE^AQAB的面積,

即可得面積比.

10.答案：解：(1)OC=mOA+nOB=m(0C+CA')+n(0C+CBy

.-.Cd=-^-CA-^—CB,

m+n-1+m+n-1

(2)點(diǎn)。為△ABC的重心，

o7+oe+oc=o>

???m=—1,n=—1；

(3)點(diǎn)。為△ABC的外心，

CO-CB=1|CB|2=18,CO-CX=||G4|2=2,

CA-CB=2x6xl=6,

■.■Cd-CB=-^-CA-CB+-^—CB-CB,

m+n-1n+m-1

Cd.CA-^CA.CA_^.CA.CB,

=m+n-1n+m-1+

.(2m-3n=3

tm+2n=-1，

(3

m=-

-75?

解析：本題考查向量的加減運(yùn)算和數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)運(yùn)算能力，屬于一般題.

(1)由配=mOA+nOB=m(OC+CA)+n(0C+CBy整理即可求解;

(2)由三角形重心性質(zhì)可知力+而+記=6,代入即可求解；

⑶由0為△ABC的外心，可求而.方函之=18,CO-CA=^\CA\2=2,CA-~CB=2X6X^=

6,然后根據(jù)已知分別求方?由，COCA，根據(jù)平面向量的基本定理可求小，〃.

11.答案：解：(1)???△4BC的面積S=2百，且荏.瓦:=4,由題意知，

i|fi7||BC|sinF=2百，\BA\\BC\cos(n-=4.

即|瓦？||近|cosB=-4-

:,tanB=—V3,0<B<n,??B=張

(2)如圖所示:

lA^I=2|W|

聯(lián)立

|B^||W|-co?勺=-4

3

解得|明|=2\BC\=4，

"AD=2DC.■■-AD=l'AC,

-?--->--->7---?---?

???BD=AD-AB=-AC-AB,

3

又前=就一就

22

.■，AD-JD=-(BC-BAy\-(BC-BA)-AB]

?J

2’..,一—?、/.,?、2/.>2,一’2,,,■>

=g(BC-B4)?(2BC+BA)=g(2BC-BA-BA?BC)

=|(2X22-42+4)=-5.

解析：本題主要考查了三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積的定義及其運(yùn)算法則、向量的三角形法則,

屬于中檔題.

(1)利用三角形的面積計(jì)算公式和數(shù)量積的定義即可得出；

(2)由已知和數(shù)量積的定義可得|而|再利用三角形法則和數(shù)量積的運(yùn)算法則即可得出.

12.答案：證明:(1)①當(dāng)記，記為一個(gè)為6時(shí),顯然|沆?元|=0是|利同=0.

此時(shí)際?宿=I此II詞結(jié)論成立

②當(dāng)沅，元為非6時(shí)，若沆，云的夾角為。，?！闧0,初

則|記?宿=|m||n||cos0|

其中|cos6|<1,A|7n||n||cos0|<|m||n|

|m?n|<|m||n|.

當(dāng)|COS6|=1即8=0或7T時(shí)等號(hào)成立，即此時(shí)沆,元共線.

綜合①②知記，五恒立|記?元|<|沅||元

當(dāng)記，記共線時(shí)等號(hào)成立.

(2)設(shè)沆=Qb),記=(c,d),則布?詁=ac+bd,\m\?|n|=Va2+b2-Vc2+d2

由(1)知|沅?利<|rn||n|,則|ac+bd|<y/a2+b2-Vc2+d2

結(jié)論(ac+bd)2<(a2+b2)(c2+d2)

當(dāng)記〃記即Qd=be時(shí)取

.,?結(jié)論成立.

解析：本題重點(diǎn)考查向量的數(shù)量積，屬于一般題.

(1)分沅，記為一個(gè)為6時(shí)和南，元為非6時(shí)求證即可；

(2)設(shè)沅=(a,b),(=(c,d),利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和(1)即可求證.

13.答案：解：(1)平方得N+2L■?石+1=3—?石+

8ka-b=2k2+2,

(2)五〃石且方向相同,\a\=\b\=1.

所以3＜丁丁’=麗

所以k=2±V3.

解析：本題主要考查平面向量的數(shù)量積和共線的性質(zhì).

(1)平面向量的數(shù)量積的應(yīng)用，把生石+石|=6鼻-卜3|平方即可得到答案.

(2)平面向量共線的應(yīng)用，萬(wàn)〃3且方向相同，|闔=|另|=1，所以

co?<育，b>=1,即可求出答案.

14.答案：解：（1）由己知得荏=而+屁=/+：覺=赤+：而=3蒼+方，

AH^AB+JH^AB+-^E=AB+-（BC+CE）=a+-（b--a'）=-a+-b,

44、）4v2784

所以荏=三日+反AH=-a+-b；

284

⑵由⑴得第7=|五+洱

222

所以而2=（-a+-K）=-a+-b+2x-x-|a|-|K|xcos600=->

k84764168411114

所以線段AH的長(zhǎng)為：

⑶萬(wàn)T而=囹+濘）彳=為不+汕|2=gx4x2x*2x22=，3=l,

、）\84/841182422

設(shè)而與正夾角的余弦值為。，3。=磊=姜=*

解析：本題考查向量的幾何應(yīng)用，向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算，向量夾角，屬于中檔題.

(1)利用向量線性運(yùn)算即可求出結(jié)果；

(2)利用向量平方結(jié)合向量數(shù)量積即可求出結(jié)果；

(3)利用向量夾角公式求出結(jié)果.

15.答案：解：(1);P點(diǎn)斜坐標(biāo)為(2,-2),

.??赤=2司-2或二|兩2=Q/-2荀2=8-8區(qū)電=8-8xcos60°=4.

：.\OP\=2,即|OP|=2.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角乙4為荏，前的夾角，

又荏=(3,—2),正=(2,1).

所以荏=3百一2孩，近=2瓦+直，

,AB-AC(36]—2.2'),(2.1'+62')6eJ-Ze?2-

所以COSA=隔面i=扇而而兩=向，同二2陪鼠一，用五

=S=LNAe(().7T),所以乙4=：.

y/7Xy/72<5

解析：本題考查斜率的幾何運(yùn)用，考查斜率的數(shù)量積運(yùn)算。屬基礎(chǔ)題.

(1)依題意，加=2久一2￡,|訶|2=(2瓦一2日)2,計(jì)算即可.

(2)依題意，三角形的內(nèi)角乙4為通，前的夾角，求得荏=3百一2可，而=2瓦*+可,

(3久-2初?(2可+可)

根據(jù)cosA=ABAC,運(yùn)算即可.

iw?f13可一2可,|2可+藥|

16.答案：解：(1)設(shè)向量次與函的夾角為。,

OA^OB_Asin(a-0)_A

則cos。—\OA\\OB\~~W--2W

當(dāng)A>0時(shí)，cosO=p6=g;

當(dāng)A<0時(shí),cosd=-I，6=拳

故當(dāng)2>o時(shí)，向量而與面的夾角為條當(dāng)；i<o時(shí)，向量瓦5與成的夾角為早.

(2)1話I22]而I對(duì)任意的a,0恒成立，

即(一sin/?—Acosa)2+(cos￡—Asina)2>4對(duì)任意的a,0恒成立,

即於+1+2as出(/?-a)>4對(duì)任意的a,￡恒成立，

所噂」+1“啜工+124解撕？39W-3.

故所求實(shí)數(shù);I的取值范圍是(一8,-3]U[3,+8).

解析：本題考查向量的數(shù)量積的定義和坐標(biāo)表示，以及向量的平方即為模的平方，同時(shí)考查三角函

數(shù)的恒等變換公式的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題.

(1)由題意利用兩個(gè)向量的夾角公式求得向量

與

的夾角.

(2)先求出

AB

，再根據(jù)條件求得l+M+24sinGS—a)24,分類討論，求得2的范圍.

17.答案：解：???(1)元=：耐+|而，

，,，?'一‘?2—??，2,,一3”??>,,

AC=OC-OA=-—OA+—OB,AB=OB—OA>

------?7------*

??.AC=--AB

3t

???前7/四，即4,B,C三點(diǎn)共線.

(2)由4(1,cos%),8(1+sinx,cosx),xG[0,-],

??,AB=(sinx,0),

A|AB|=Vsin2%=sinxy

?.?OC=i0^4+|o^=(1+|sinx,cosx),

從而/(%)=OA-OC—(2m2+1)?|~ABI=1+|smx+cos2%—(2m2+|)smx

=—sin2%—2m2sinx+2=—(sinx+m2)2+m4+2.

又％6[。，自，則t=sinx6[04],/(%)=g(t)=-(￡+m2)24-m44-2.

由于一TH?<0,

??.g(￡)=-(t+m2)2+m44-2在[0,1]上是減函數(shù)，

當(dāng)t=1,即％=]時(shí)，/(x)=g(C)取得最小值為一(1+m2)2+m44-2=

解得m=i|,

綜上，m=±|.

解析：本題主要考查兩個(gè)向量共線的條件，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，兩個(gè)向量的坐標(biāo)形式的

運(yùn)算，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題.

⑴由條件求得四和前，可得而=|?四，從而得到就〃荏，即A,B,C三點(diǎn)共線.

(2)先求出四=(s譏%,0)，從而求得/(%)=1+sinx+cos2%-(2m2+|)sinx,由x的范圍求得sin%G

[0,1],利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出/(%)的最小值，即可求得實(shí)數(shù)m的值.

—+—=1

18.答案：解：(1)由條件知，廠2，

J-T

所以a-V2，b=1,

因此橢圓C的方程為9+必=1;

(2)設(shè)點(diǎn)A、(的坐標(biāo)為4(右,%),B(x2,y2),

則A8中點(diǎn)(空,左/)在線段0M上，且kOM=%

???Xt+x2=25+曠2)，

又9+資=1，:+以=1，

兩式相減得任以誓區(qū)+(為一先)(為+丫2)=0，

易知%1一%2H0，%+力工易

%一尸241+42

所以=-1.即JB

Xi-x22(%+及)

設(shè)AB方程為y=—x4-m,代入一+y2=1并整理得3/—4mx4-2m2—2=0,

2

由4=8(3一m)>0,解得瓶2<3,由韋達(dá)定理得與+犯=等，xrx2=迎上

33

又由警=爭(zhēng)(。,分

0<m<V3>

故瓦？-OB~xrx2+yry2=xrx2+(-x1+m)(—x2+m)

—222

=2x62譏Qi+x2)+m=4(工-?！猧y-+m=m—

而0<m<V3,

所以就.質(zhì)的取值范圍是(—土|).

解析：本題主要考查了向量的數(shù)量積、橢圓的性質(zhì)及幾何意義和直線與橢圓的位置關(guān)系，考查了學(xué)

生的計(jì)算能力，培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

(―+—=1

(1)由條件知,解方程組，進(jìn)而即可求出橢圓的方程；

LT

(2)設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為40：1，%)，fi(x2,y2),聯(lián)立橢圓方程，得3/一4mx+2/-2=0,4=8(3-

小)>0解得/<3,又由空=等6(0,卦由此能求出訓(xùn)?話的取值范圍.

19.答案：解:(1)：向量五=(1,2),b=(-3,k),且司〃b，

1x/c-2x(-3)=0,解得k=-6,

同=，(-3)2+(-6)2=3V5.

(2)a+2b=(-5,2+2k)，且五1(a+2b),

1x(-5)+2x(2+2k)=0,解得k=%

(3)???若為與方的夾角是鈍角，.?.港另<0，.?.1x(-3)+2k<0,

k<l，又k=—6時(shí)，a,方共線且反向，不合題意，

所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是k<|且k豐-6.

解析：本題考查的是平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，平面向量平行和垂直的性質(zhì)，平面向量的數(shù)量積，平面

向量的模.

(1)由乙〃B，可得Ixk—2x(-3)=。，即可解得A,從而得出石的模；

(2)因?yàn)槲?2G=(一5,2+2卜)，且11@+23)，所以lx(-5)+2x(2+2k)=0,即可得出A；

(3)因?yàn)榉脚c有的夾角是鈍角，則五不<0且蒼與石不共線，由平面向量數(shù)量積運(yùn)算即可得出答案.

20.答案:解：(1)?.?蒼與方的夾角為45。,

a-b=|a||h|cos45°=1-2-y=V2,

^2a-b)-(a+b)=2a2+a-b-b2

=2+V2—4=V2—2.

(2)???向量■+E與k五-通夾角為鈍角，

(ka-b)■(fca+K)<0,且不能反向共線，故k于0,

k2a2-b2=/C2-4<0>

解得一2<k<2.所以一2<k<2且k力0,

???實(shí)數(shù)k的取值范圍是(-2,0)U(0,2).

解析：本題考查了向量的數(shù)量積定義及其運(yùn)算，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

(1)由3與3的夾角為45。，可得日方的值，展開(2力_尤).0+石)=2片+日了_方2,代入即可得出；

(2)由向量k五+坂與卜五一方的夾角為鈍角，可得(卜五一3>0元+石)<0,且不能反向共線，即可得

出.

21.答案：解：(1)因?yàn)辂?同，所以P為線段AB的中點(diǎn).

所以前="罰+屈)=^OA+^OB.

所以x=y=1;

(2)因?yàn)閱?麗一南，PA=OA-OP.

又喬=3萬(wàn)，所以前一而=3(不？一聲).

解得赤=三a+二礪，

44

因?yàn)榍?而一萬(wàn)?，

所以前.而=(^OA+^OB)■(OB-OA)

1—>——>3—>21—>2

=-OAOB--OA-V-OB

244

=-x4x2x---xl6+-x4=-9.

2244

解析：本題考查了數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)、向量三角形法則、向量共線定理，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于中檔題.

(1)根據(jù)相等向量的定義及向量的運(yùn)算法則求出m，利用平面向量的基本定理求出X,y的值.

(2)利用向量的運(yùn)算法則將加，而用血與而表示，然后求解即可.

22.答案：解：(1)四?瓦|荏|?|比|-cos。=accosO=6，

故：cos9=總S4ABe=gacsinB=|acsin(?r-0)=3tan0；

又因?yàn)榘?lt;S<3.即百<3tan9<3-即，<tanO<1.

艮嗎工”也

所以。咪,*

(2)/(0)=sin204-2sin0cos6+3cos20

=sin20+1+2COS20

=sin20+1+(1+cos20)

=sin20+cos20+2

=V2sin(20+^)+2

OO4J.4*TT*

即當(dāng)e=E時(shí)，f(e)的最小值為3.

解析：本題主要考查解三角形、三角公式、三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查推理和運(yùn)算能力.屬

于中檔題.

(1)根據(jù)向量的數(shù)量積公式得出accos。=6,由三角形的面積得出SMBC=3tan0,然后求出。的取值

范圍；

(2)利用二倍角公式、兩角差的正弦函數(shù)，化簡(jiǎn)函數(shù)f(0)=si/。+2s譏。cos。+3cos2。為一個(gè)角的

一個(gè)三角函數(shù)的形式，根據(jù)(1)的范圍，求出函數(shù)最小值.

23.答案:解：因?yàn)橄?1,畝=2,a>湎夾角為120。，

所以a?b=|a||6|cosl20°=1x2x(—?=-1.

因?yàn)橄蛄恐?a；與4：+了的夾角為鈍角，

所以(a+Ab)-(2a+b)<0,且兩向量不共線.

又(a+又)?(2a+b)=Aa2+(A2+l)a?b+Ab2，

所以A—(A2+1)+4A<0>

解得％<匕"或%>壬包.

22

又；+應(yīng)與K+1共線時(shí),存在tER使得Q+勸=t(Aa+b),

所以{；：；'，解得4=±1，

綜上所述：A＜三百或;I＞史3紅且2豐-1

22

解析：本題考查求向量的模，向量的數(shù)量積，向量的夾角問(wèn)題，屬于中檔題.

求出兩向量的數(shù)量積為負(fù)時(shí)k的取值范圍，但要去除兩向量反向的情形.

24.答案：解：(1)由A,M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)而=m列+(1-m)而=?71元+等反

由B,M,C三點(diǎn)共線，可設(shè)礪=71元+(1-?2)布=9丘+(1-幾)反

因?yàn)槲澹还簿€，

m=-n[A

一m4，解得沆=an=

{產(chǎn)=1-n77

故兩=工方+三太

77

(2)因?yàn)镋,M,尸三點(diǎn)共線，

設(shè)麗=kOE+(1-k)OF=Ua+(1-k)/,

由(1)知=(1-k)n=I，

即：=7k,-=7-7k,

所以：+：=7,為定值.

解析：本題考查了平面向量基本定理，屬中檔題.

(1)由A,M,。三點(diǎn)共線，可設(shè)麗=ma+^b,由B,M,C三點(diǎn)共線，可設(shè)麗=^a+(l-n)K,

由平面向量基本定理即可解得m=號(hào)n=；,

(2)由向量表示三點(diǎn)共線得：設(shè)而=卜赤+(1—/0赤=-五+(1—外〃石，由(1)知kA=，(1-

k)fi=I，代入即可得解

25.答案:解：(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(O,b),則衿=-1,得b=2,

0—1

???C(0,2),半徑r=J(0—+(2-1下=近

???圓C的方程為％2+(y-2)2=2;

(2)?.?線段43為圓C的直徑，

\AC\=\BC\=r=y/2

.■.PA-'PB=(PC+CA)-(PC+CB}=(PC+CA')-(PC-CA)

=\PC\2-\CA\2=|畫2-2，

|正|的最小值就是點(diǎn)C(0,2)到直線l:4x-3y+21=。的距離，

即I定lmin=d=3,

PA■麗的最小值為IPCI3