2021屆高中數(shù)學(xué)知識(shí)過關(guān)學(xué)案（文理）模塊八 直線與圓（原卷版）

模塊人直線與圓知識(shí)點(diǎn)全面打描

（學(xué)生版）

目錄

第一節(jié)直線與方程..............................................................1

【知識(shí)一】直線的傾斜角......................................................1

【知識(shí)二】直線的斜率........................................................2

【知識(shí)三】直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用..........................................3

【探索1】三點(diǎn)共線問題...................................................3

【探索2】數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍...................................3

【知識(shí)四】?jī)蓷l直線(不重合)平行的判定........................................5

【知識(shí)五】?jī)蓷l直線垂直的判定................................................5

【知識(shí)六】直線的方程........................................................7

【探索1】直線的點(diǎn)斜式方程...............................................7

【探索2】直線的斜截式方程...............................................9

【探索3】直線的兩點(diǎn)式方程..............................................11

【探索5】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式............................................13

【探索7】一般形式下的平行與垂直問題....................................17

【提升與思考】..........................................................19

【知識(shí)八】?jī)牲c(diǎn)間的距離.....................................................22

【知識(shí)九】點(diǎn)到直線的距離...................................................24

【知識(shí)十】?jī)蓷l平行直線間的距離.............................................25

【單元測(cè)試題】直線與直線方程...................................................31

【疑難方法總結(jié)】直線與直線方程.................................................33

【知識(shí)十一】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程...................................................38

【探索1】求標(biāo)準(zhǔn)方程....................................................38

【探索2】待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程..........................................38

【探索3】思考提升......................................................39

【知識(shí)十二】點(diǎn)與圓的位置關(guān)系...............................................40

【知識(shí)十三】圓的一般方程...................................................40

【探索1】圓的一般方程的概念理解........................................41

【探索2】求圓的一般方程................................................41

【探索3】與圓有關(guān)的軌跡方程問題........................................42

【探索4】思考提升......................................................44

第三節(jié)直線、圓的位置關(guān)系.....................................................45

【知識(shí)十四】直線的+。=0與圓(x—a)?+(y—6)2=/的位置關(guān)系及判斷......45

【探索1】直線與圓的位置關(guān)系的判斷......................................45

【探索2】切線問題......................................................46

【知識(shí)十五】弦長(zhǎng)問題.......................................................46

【探索3】思考提升......................................................48

第四節(jié)圓與圓的位置關(guān)系.......................................................50

【知識(shí)十六】?jī)蓤A位置關(guān)系的判斷.............................................50

【探索1】?jī)蓤A的位置關(guān)系的判斷..........................................50

【探索2】公切線問題....................................................52

【探索3】?jī)蓤A的公共弦問題..............................................52

【探索4】圓系方程及應(yīng)用（思考）..........................................53

【探索5】提升與思考....................................................53

第五節(jié)直線與圓的方程的應(yīng)用（能力提升篇）.....................................55

【知識(shí)十七】直線與圓的應(yīng)用.................................................55

【探索1】直線與圓位置關(guān)系中的轉(zhuǎn)化與劃歸思想............................55

【探索2】與圓有關(guān)的最值問題............................................55

［探索3）直線與圓的方程在實(shí)際問題中的應(yīng)用..............................57

【探索4】幾何中的證明問題（選做）......................................58

第一節(jié)直線與方程

【知識(shí)一】直線的傾斜角

1.傾斜角的定義

①在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與X軸相交的直線，把X軸所在的直線繞著交點(diǎn)按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到和直

線重合時(shí)所轉(zhuǎn)過的最小正角稱為這條直線的傾斜角.

②與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0。.

2.直線的傾斜角a的取值范圍為0°Wa<180°.

3.確定平面直角坐標(biāo)系中一條直線位置的幾何要素：直線上的一個(gè)定點(diǎn)以及它的傾斜角，二者缺一不可.

【例1】圖中a是直線/的傾斜角嗎？試用a表示圖中各條直線/的傾斜角.

【反思】(1)解答此類問題要注意傾斜角的概念及傾斜角的取值范圍.

(2)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論.

【練習(xí)1-1】已知直線/向上方向與y軸正向所成的角為30。，則直線/的傾斜角為.

【練習(xí)1-2】已知直線/i的傾斜角為60。，則直線L的傾斜角為.

【思考1】已知直線/2的傾斜角分別為a，B，則兩條直線所成的夾角為多少？

【知識(shí)二】直線的斜率

1.直線的斜率

把一條直線的傾斜角a的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即女=12116

2.斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系

y

i7

圖示AOra

0X71O-Xn

傾斜角(范圍)a=0°0°<a<90°a-=90°90°<a<180°

斜率(范圍)k=0k>0不存在k<0

(備注：提供給還沒學(xué)三角函數(shù)的同學(xué)參考：tan(l800-a)==-tana)

3.過兩點(diǎn)的直線的斜率公式

V2-V1

已知兩點(diǎn)尸(X1,yi),(2(X2,>2),如果的抄2,那么直線尸。的斜率為Z=J3-(為力2).

X2-X]

【例2】經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角a.

(1)4(2,3),B(4,5)；(2)C(—2,3),0(2,-1)；(3)P(—3,1),。(一3,10).

【反思】(1)利用斜率公式求直線的斜率應(yīng)注意的事項(xiàng)

①運(yùn)用公式的前提條件是“X|#X2"，即直線不與X軸垂直，因?yàn)楫?dāng)直線與X軸垂直時(shí)，斜率是不存在的:

②斜率公式與兩點(diǎn)P1,尸2的先后順序無關(guān)，也就是說公式中的為與X2,y與m可以同時(shí)交換位置.

(2)在(TWa<180。范圍內(nèi)的一些特殊角的正切值要熟記.

傾斜角a0°30°45°60°120°135°150°

斜率40亞1一小-1—巫

33

【練習(xí)2-1】如圖所示,直線/1,h，/3都經(jīng)過點(diǎn)尸(3,2),又筑12,13分別經(jīng)過點(diǎn)。1(-2,-1),02(4,-2),

。3(—3,2),計(jì)算直線/1,12,/3的斜率，并判斷這些直線的傾斜角是銳角還是鈍角.

2

【練習(xí)2-2】若經(jīng)過A(〃z,3),8(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45。，則m=.

【練習(xí)2-3】己知傾斜角為90。的直線經(jīng)過點(diǎn)4(2九3),8(2,-1),則機(jī)的值為

【知識(shí)三】直線的傾斜角、斜率的應(yīng)用

【探索1】三點(diǎn)共線問題

【例3-1】如果三點(diǎn)A(2,l),B(-2,m),C(6,8)在同一條直線上，求加的值.

【反思】斜率是反映直線相對(duì)于x軸正方向的傾斜程度的.直線上任意兩點(diǎn)所確定的方向不變，即同一直

線上任何不同的兩點(diǎn)所確定的斜率相等，這正是利用斜率相等可證點(diǎn)共線的原因.

【練習(xí)3-1】若三點(diǎn)A(2,3),B(3,2),c(；,加)共線，則實(shí)數(shù)機(jī)的值為.

【練習(xí)3-2】若三點(diǎn)A(2,2),B(a,0),C(0,份(〃6W0)共線，則［+［=.

【探索2】數(shù)形結(jié)合法求傾斜角或斜率范圍

【例3-2】已知直線/過點(diǎn)P(l,0),且與以A(2,l),8(0,小)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，求直線/的斜率和傾斜

角的范圍.

tana,0,2|口慘兀

【反思】(1)直線的傾斜角與斜率的關(guān)系k=<“

［不存在，［='

具體變化規(guī)律:

3

①當(dāng)傾斜角a為0。時(shí)，斜率k為0,直線平行于x軸或與x軸重合；

②當(dāng)傾斜角a為銳角時(shí)，斜率k為正且隨著傾斜角a的增大而增大；

③當(dāng)傾斜角a為90。時(shí)，斜率k不存在，直線平行于y軸或與y軸重合；

④當(dāng)傾斜角a為鈍角時(shí)，斜率攵為負(fù)且隨著傾斜角的增大而增大，其值可以由與之互補(bǔ)的銳角求得.

⑵研究直線的斜率的變化規(guī)律，通常先研究直線傾斜角的變化情況，再根據(jù)它們之間的關(guān)系求出斜率的范

圍.

(3)代數(shù)式二2的幾何意義表示動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)Q(xo,yo)連線的斜率.

X—X0

【練習(xí)3-3】已知A(3,3),B(—4,2),C(0,-2).若點(diǎn)。在線段BC上(包括端點(diǎn))移動(dòng)，求直線A。的斜率

的變化范圍.

【練習(xí)3-4】經(jīng)過A(〃?,3),8(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角a的取值范圍是(其中〃?21)

【方法小結(jié)】

直線的斜率和傾斜角反映了直線的傾斜程度，二者緊密相連，如下表:

y

-------1IX

直線情況0X

0X-TT

與X軸斗一行或重合垂直于X軸

a的大小0°0°<a<90°90°90°<a<180°

k的范圍0Q0不存在k<0

%的增減情況攵隨a的增大而增大k隨a的增大而增大

【思考與提升】

【思考3-1】已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)4(一1,1),C(2,小+1).若。為△ABC的邊48上一動(dòng)點(diǎn)，則直

線CD的斜率k的取值范圍為.

【思考3-2】已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)P(3,-1),M(6,2),M-小，小)，直線/過點(diǎn)只若直線/與線段MN相

交，求直線/的傾斜角的取值范圍.

4

【知識(shí)四】?jī)蓷l直線(不重合)平行的判定

類型斜率存在斜率不存在

前提條件?1=?2^90°?1=?2=90°

對(duì)應(yīng)關(guān)系h〃h曰\=k?/1〃/2<=兩直線的斜率都不存在

M

圖示

【類型一】?jī)蓷l直線平行的判定

［例4］下列直線/,與直線/2(/>與h不重合)平行的有.(填序號(hào))

①M(fèi)經(jīng)過點(diǎn)4(2,1),8(—3,5),，2經(jīng)過點(diǎn)C(3,-3),0(8,—7)；

②/i的斜率為2,，2經(jīng)過點(diǎn)41,1)，8(2,2)；

③的傾斜角為60。，/2經(jīng)過點(diǎn)M(l，小)，加(一2,一2小)；

④/1經(jīng)過點(diǎn)E(—3,2),F(—3,10),，2經(jīng)過點(diǎn)P(5,-2),。(5,5).

【反思】判斷兩條不重合的直線是否平行的方法

【練習(xí)4-1］已知411,一皆］,C(2-2a,l),。(一a,0)四點(diǎn)，若直線AB與直線CO平行，則a

4

【練習(xí)4-2】已知直線/i經(jīng)過點(diǎn)A(0,—1)和點(diǎn)1),直線6經(jīng)過點(diǎn)”(1,1)和點(diǎn)M0，-2),若(與6沒

有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為.

【知識(shí)五】?jī)蓷l直線垂直的判定

5

【例5-1】已知△ABC的頂點(diǎn)為4(5,-1),8(1,1),C(2,m),若△ABC為直角三角形，求，〃的值.

【反思】判斷兩條直線是否垂直的依據(jù)是：在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否

等于一1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線也垂直.

【練習(xí)5-1】若不同兩點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為①，與，(3—43一幻，則線段PQ的垂直平分線的斜率為.

【練習(xí)5-2】如果直線人的斜率為“，那么直線6的斜率為()

A.[B.C.一[D.一十或不存在

【練習(xí)5-3】已知△ABC的頂點(diǎn)B(2,l),C(—6,3),其垂心為4(-3,2),則其頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為()

A.(—19,-62)B.(19,-62)C.(-19,62)D.(19,62)

【練習(xí)5-4】若點(diǎn)尸(“，①與點(diǎn)Qg—1,。+1)關(guān)于直線/對(duì)稱，則直線/的傾斜角a為.

【例5-2】已知四邊形ABC。的頂點(diǎn)8(6,-1),C(5,2),力(1,2).若四邊形A8CD為直角梯形，求4點(diǎn)坐標(biāo).

(A,B,C,￡＞按逆時(shí)針方向排列)

6

【反思】(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測(cè)，然后利

用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定.

(2)由幾何圖形的形狀求參數(shù)(一般是點(diǎn)的坐標(biāo))時(shí)，要根據(jù)圖形的特征確定斜率之間的關(guān)系，既要考慮斜率是

否存在，又要考慮到圖形可能出現(xiàn)的各種情形.

【練習(xí)5-5】已知口ABCQ中,A(l,2),B(5,0),C(3,4).

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)試判定Q48CO是否為菱形？

【練習(xí)5-6】當(dāng)〃?為何值時(shí)，過兩點(diǎn)B(2〃P+1,加一2)的直線:

(1)傾斜角為135°；

(2)與過兩點(diǎn)(3,2),(0,一7)的直線垂直；

(3)與過兩點(diǎn)(2,一3),(—4,9)的直線平行.

【練習(xí)5-7】已知直線/的傾斜角為20。，直線小〃/,直線/2，/，則直線/i與，2的傾斜角分別是()

A.2O0,110°B.7O0,70°C,2O0,20°D.1IO0,20°

【知識(shí)六】直線的方程

【探索1】直線的點(diǎn)斜式方程

7

已知條件點(diǎn)P(xo,yo)和斜率k

圖示

方程形式y(tǒng)-vo=fc(x—xo)

適用條件斜率存在

【注意】若斜率不存在，且過點(diǎn)尸(①，四)的直線方程為x=%

【例6-1](1)直線y=2x+l繞著其上一點(diǎn)尸(1,3)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后得到直線/,則直線/的點(diǎn)斜式方程是—.

(2)一直線/,過點(diǎn)A(—1,-2),其傾斜角等于直線Z2：y=率的傾斜角的2倍，則/,的點(diǎn)斜式方程為一.

【反思】(1)求直線的點(diǎn)斜式方程

(2)點(diǎn)斜式方程y—/o=Z(x—xo)可表示過點(diǎn)P(jco,yo)的所有直線，但直線x=xo除外.

【練習(xí)6-1】寫出下列直線的點(diǎn)斜式方程.

(1)經(jīng)過點(diǎn)A(2,5),且與直線y=2x+7平行;

(2)經(jīng)過點(diǎn)C(—1,—1),且與x軸平行；

⑶經(jīng)過點(diǎn)0(1,2),且與x軸垂直；

(4)經(jīng)過點(diǎn)P(—2,3),。(5,—4)兩點(diǎn).

【練習(xí)6-2]若原點(diǎn)在直線/上的射影是P(—2,1),則直線/的點(diǎn)斜式方程為.

8

【練習(xí)6-3]方程y=k(x~~2)表示()

A.通過點(diǎn)(-2,0)的所有直線B.通過點(diǎn)(2,0)的所有直線

C.通過點(diǎn)(2,0)且不垂直于x軸的所有直線D.通過點(diǎn)(2,0)且除去x軸的所有直線

【探索2】直線的斜截式方程

【直線的斜截式方程】

已知條件斜率k和直線在y軸上的截距b

圖示

方程式y(tǒng)=fcr+Z?

適用條件斜率存在

對(duì)于直線/i：y=k\x-\-b\,h：y=kix-1-b2.

①h〃120kl=k2且b芹比,②八_Lgkik2=-1.

【什么是戰(zhàn)距】方程.y=fcv+b表示的直線在y軸上的截距即是與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為b。y軸上

的截距匕不是距離，可以是負(fù)數(shù)和零.

【例6-2](1)傾斜角為60。，與y軸的交點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為3的直線的斜截式方程是

(2)已知直線6的方程為y=-2x+3,b的方程為y=4x-2,直線/與人平行且與6在y軸上的截距相同,

求直線/的方程.

【練習(xí)6-4】已知直線的方程為y=—2x+3,，2的方程為y=4x—2,直線/與人垂直且與，2在y軸上的截

距互為相反數(shù)，求/的方程.

【反思】(1)斜截式方程的應(yīng)用前提是直線的斜率存在.當(dāng)6=0時(shí)，表示過原點(diǎn)的直線；當(dāng)上=0時(shí)，y

=b表示與x軸平行(或重合)的直線.

9

(2)截距不同于日常生活中的距離，截距是一個(gè)點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)，是一個(gè)實(shí)數(shù)，可以是正數(shù)，也可以是負(fù)數(shù)和

零，而距離是一個(gè)非負(fù)數(shù).

【練習(xí)6-5】已知直線/的斜率或，且和兩坐標(biāo)軸圍成面積為3的三角形，求/的斜截式方程.

【練習(xí)6-6】直線通過第一、三、四象限，則有()

A.QO,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b>QD.k<0,b<0

【練習(xí)6-7】已知直線/的方程為y—,〃=(%—l)(x+l),若/在)，軸上的截距為7,則機(jī)=.

平行與垂直的應(yīng)用

對(duì)于直線/i：y=k\x+b\,I2：y=k2x+b2.

①/]〃/2"尸比且仇孫2,②/4/2小布=一1.

【例6?3】⑴當(dāng)。為何值時(shí),直線6y=-x+2〃與直線為：y=(〃2—2)x+2平行?

(2)當(dāng)。為何值時(shí)，直線八：)=(2〃-1)%+3與直線方y(tǒng)=4x—3垂直？

【反思】設(shè)直線6和6的斜率對(duì)，攵2都存在，其方程分別為八：y=kix+hif/2：y=k^+b2,那么：

(1)/1〃/2臺(tái)卜=左2,且歷#歷；

(2)兩條直線重合0彌=%且"=歷；

(3必_1_/20心次2=—1.

【練習(xí)6-8](1)已知直線/：y=(?2—2)x+2a+9與直線y=—5+1垂直，且與直線y=3x+5在)，軸上的

截距相同，求“的值.

(2)已知直線/i：y=2x+3a,/2：y=(/+l)x+3,若h〃k，則。=.

10

【練習(xí)6-9】與直線y=2x+l垂直，且在），軸上的截距為4的直線的斜截式方程為（）

A.y=5+4B.y=2x+4C.y=—2x+4D.y=—yr+4

【練習(xí)6-10】將直線y=3x繞原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。，再向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，所得到的直線為（）

A.y=_；x+；B.y=—；x+lC.y—3x~3D.y=1x+1

【練習(xí)6-11】如果直線y=—與直線產(chǎn)卷七平行，則。等于（）

A.OB.-1C.0或一;D.0或1

【探索3】直線的兩點(diǎn)式方程

直線方程的兩點(diǎn)式

名稱已知條件示意圖方程使用范圍

斜率存在且

Pl(x\fyi),尸2(%2,y2),y-y\x-X]

兩點(diǎn)式

其中即工12,9#丫2y2-y\X2-X]不為0

【例6-4】已知A（—3,2）,8（5,—4）,C（0,一2）,在△ABC中,

⑴求BC邊的方程；

（2）求2C邊上的中線所在直線的方程.

（3）試求8c邊的垂直平分線所在的直線方程.

【反思】（1）當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩

點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸.若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程.

（2）由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會(huì)將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤，在記憶和使

用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即12與”是同一點(diǎn)坐標(biāo)，而即與yi是另一點(diǎn)坐標(biāo).

11

【練習(xí)6-12】若點(diǎn)尸(3,機(jī))在過點(diǎn)A(2,-1),8(—3,4)的直線上，則根=.

【練習(xí)6-13］經(jīng)過M(3,2)與N(6,2)兩點(diǎn)的直線方程為()

A.x=2B.y=2C.x=3D.x=6

【練習(xí)674】若直線/過點(diǎn)(一1,—1)和(2,5),且點(diǎn)(1009,份在直線/上，則6的值為()

A.2019B.2018C.2017D.2016

【練習(xí)675】一條光線從點(diǎn)處射到點(diǎn)8(0,1)后被y軸反射，則反射光線所在直線的方程為()

A.y=2x+1B.y——2x+lC.y=%一;D.y——5

【探索4】直線方程的截距式

直線方程的截距式

名稱已知條件示意圖方程使用范圍

在X,y軸上的截(0⑼斜率存在且

\義。)一

截距式距分別為6且/2不為0,不過

存0,厚0原點(diǎn)

【截距】直線在)，軸上的截距即是與y軸的交點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為b。同理，與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)叫

該直線在x軸上的截距。

注：截距不是距離，可以是負(fù)數(shù)和零.

【例6-5】求過點(diǎn)A(5,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)的直線/的方程.

［反思］(1)如果問題中涉及直線與兩坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用直線截距式的方程，用待定系數(shù)法確定其系

數(shù)即可.

(2)選用直線截距式的方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直.

【練習(xí)676】在x軸，y軸上的截距分別是一3,4的直線方程是()

人.官+|=1C.±—>1D%士=1

【練習(xí)6-17］過點(diǎn)P(2,3)且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有()

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A.1條B.2條C.3條D.無數(shù)多條

【練習(xí)6-18］過點(diǎn)尸(1,2)且在兩坐標(biāo)軸上截距的和為0的直線方程為.

【練習(xí)679】直線/過點(diǎn)(1,2)和第一、二、四象限，若直線/的橫截距與縱截距之和為6,求直線/的方程.

【練習(xí)6-20】直線/經(jīng)過點(diǎn)4(1,2)，在x軸上的截距的取值范圍是(一3,3),則其斜率的取值范圍是()

【探索5】線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式

「X\+X2

\x=29

若點(diǎn)P］,尸2的坐標(biāo)分別為(XI,yi),(X2,J2),設(shè)尸(占y)是線段尸產(chǎn)2的中點(diǎn)，則1

2.

【例6-6】已知點(diǎn)力(3,2),8(—1,4),則經(jīng)過點(diǎn)C(2,5)且經(jīng)過線段A8的中點(diǎn)的直線方程為.

【練習(xí)6-21］以A(l,3),8(—5,1)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線方程是()

A.3x—y—8=0B.3x+y+4=0C.3x—y+6=0D.3x+y+2=0

【練習(xí)6-22］過點(diǎn)P(l,3)的直線/分別與兩坐標(biāo)軸交于A,B兩點(diǎn)，若P為AB的中點(diǎn)，求直線/的截距式方程.

【練習(xí)6-23】在△ABC中，己知4(5，—2),8(7,3),且AC邊的中點(diǎn)M在y軸上，BC邊的中點(diǎn)N在x軸

上，求：

(1)頂點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)直線MN的截距式方程.

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【練習(xí)6-24】已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,4),8(—2,6),C(—8,0).

⑴求邊AC和AB所在直線的方程；

(2)求AC邊上的中線BD所在直線的方程；

(3)求AC邊上的中垂線的方程.

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【探索6】直線的一般式方程

1.直線的一般式方程

形式Ar+By+C=0

條件A,B不同時(shí)為0

2.直線的一般式與點(diǎn)斜式、斜裁式、兩點(diǎn)式、截距式的關(guān)系

點(diǎn)斜式斜截式

vj-yi一必一的

(xt^x2,yl^y2)

形式方程局限

點(diǎn)斜式y(tǒng)^yo=k(x-xo)不能表示斜率不存在的直線

斜極式y(tǒng)=kx+b不能表示斜率不存在的直線

y—y\x-x\

兩點(diǎn)式X\tX2,%分2

y2-y\X2~x\

截距式a+l=l不能表示與坐標(biāo)軸平行及過原點(diǎn)的直線

一般式Ax+By+C=0無

【例6-7］根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程:

(1)斜率是仍，且經(jīng)過點(diǎn)45,3)；

(2)斜率為4,在y軸上的截距為一2；

(3)經(jīng)過點(diǎn)4(一1,5),8(2,-1)兩點(diǎn)；

(4)在x軸，y軸上的截距分別為-3,—1；

⑸經(jīng)過點(diǎn)8(4,2),且平行于x軸.

【反思】⑴當(dāng)4/0時(shí)，方程可化為》+%+彳=0,只需求與，彳的值；若8/0,則方程化為房x+y+多=0,

Ar

只需確定石，缶的值，因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程.

UL>

(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選出四種特殊形式之一求方程,

然后可以轉(zhuǎn)化為一般式.

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【練習(xí)6-25］已知直線/經(jīng)過點(diǎn)A（2,l）,8（3,3）,求直線/的點(diǎn)斜式、斜截式和一般式方程，并根據(jù)方程指

出直線在x軸、y軸上的截距.

【練習(xí)6-26】在直角坐標(biāo)系中，直線x+小廠3=0的傾斜角是（）

A.30°B.60°C.150°D.120°

【例6-8］設(shè)直線/的方程為（機(jī)2—2機(jī)—3）x—（2/"2+nj—l）y+6—2m=0.

（1）若直線/在x軸上的截距為-3,則機(jī)=；

（2）若直線/的斜率為1,則m=.

【反思】（1）若方程Ar+8y+C=0表示直線，則需滿足A,8不同時(shí)為0.

（2）令x=0可得在y軸上的截距.令y=0可得在x軸上的截距.若確定直線斜率存在，可將一般式化為斜截式.

（3）解分式方程要注意驗(yàn)根.

【練習(xí)6-27］若方程Ax+By+C=（）表示直線，則4,B應(yīng)滿足的條件為（）

A.AW0B.BWOC.4BW0D.A2+B2^0

【練習(xí)6-28］若方程（次+5〃+6口+32+24?+1=0表示一條直線，則實(shí)數(shù)〃滿足.

【練習(xí)6-29］直線（2蘇一5，”+2）x-（川一4）y+5根=0的傾斜角為45°,則m的值為（）

A.12B.2C.—3D.3

【練習(xí)6-30］已知4b<0,bc<0,則直線通過（）

A.第一、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限D(zhuǎn).第二、三、四象限

【練習(xí)6-31】已知直線"+外-1=0在y軸上的截距為一1,且它的傾斜角是直線小l廠小=0的傾斜

角的2倍，則。，b的值分別為（）

A.一審，一1B.小，一1C.一小，1D.小,1

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【練習(xí)6-32]設(shè)直線/的方程為2x+(A—3)y-2k+6=0(AW3),根據(jù)下列條件分別確定k的值:

(1)直線/的斜率為一1；

(2)直線/在x軸，y軸上的截距之和等于0.

【例6-9】(恒過定點(diǎn)問題)直線3nj+2(M/dR)必過定點(diǎn).

【練習(xí)6-33]直線方程(2+a)x+(a—3)y—2—。=0恒過定點(diǎn).

【練習(xí)6-34】已知直線依一y+1—k=0恒過定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在直線1=0(〃?>0,”>0)上，則如?的

最大值為()

A，5B.；C.2D.4

【探索7】一般形式下的平行與垂直問題

一般形式下的平行與垂直問題

1.對(duì)于由直線的位置關(guān)系求參數(shù)的問題，有下列結(jié)論：

設(shè)直線/|與，2的方程分別為4x+BLy+G=0(A,囪不同時(shí)為0),A2x+B2y+C2=0(A2,陰不同時(shí)為0),

[AIB2—A2BI=0,

①/1〃，2臺(tái)

〔8C2-&GW0或4C2—A2GW0.

②/1_L/20A1A2+B|B2=O.

2.一般地，與直線Ar+By+C=0平行的直線可設(shè)為Ax+By+m=0(m^C),垂直的直線可設(shè)為Bx-Ay

+〃=0.

【例6-10](1)已知直線/i：x+，〃y—2巾一2=0,直線七：nvc+y—}—m=0,則當(dāng)/I_L/2時(shí)，m=；

當(dāng)八〃b時(shí)，，"=.

(2)已知直線/的方程為3x+4)，-12=0,求滿足下列條件的直線/'的方程：

①過點(diǎn)(一1,3),且與/平行；

②過點(diǎn)(-1,3),且與/垂直.

【練習(xí)6-35](1)如果直線人工+2沖-1=0與直線/2：(3。一1比一-一1=0平行，則a等于()

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A.OB,C.O或1D.O或(

⑵己知點(diǎn)A(2,2)和直線/：3x+4>-20=0.

求：①過點(diǎn)A和直線/平行的直線方程；②過點(diǎn)A和直線/垂直的直線方程.

【練習(xí)6-36］過點(diǎn)A(2,3)且垂直于直線2x+y-5=0的直線方程為()

A.x—2y+4=0B.2x+y—7=0C.x—2y+3=0D.x-2y+5=0

【練習(xí)6-37】已知兩直線/|：x+zny+6=0,I2：(m—2)x+3y-\-2m=0,

(I)若h〃h，則m=；(2)若則機(jī)=.

【練習(xí)6-38】?jī)蓷l直線3+y-〃=0和x+/ny+l=0互相平行的條件是()

\m=I,\m=\,［m=—\,

\.m=1B./M=±1C.ID.I或<

11

【練習(xí)6-39】求機(jī)，〃的值，使直線/i：y=(,"—l)x—〃+7滿足：

⑴平行于x軸；

(2)平行于直線，2：lx—y+15=0；

(3)垂直于直線/2：7x—y+15=0.

【練習(xí)6-40］如圖，在平行四邊形ABCO中，邊AB所在的直線方程為2%—)，-2=0,點(diǎn)C(2,0).

(1)求直線CD的方程；

(2)求AB邊上的高CE所在的直線方程.

【方法小結(jié)】

18

1.根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜橫式后，則由=依且"W岳；若都不存在，則還要判定不重合.

(2)可直接采用如下方法：

一般地，設(shè)直線/i：4|X+BD，+G=0,/2：A2x+B2y+C2=O.l\//l2^A］B2-A2Bi=O,且B\CI~B2C\^或

AiC2-A2Ci^O.

這種判定方法避開了斜率存在和不存在兩種情況的討論，可以減小因考慮不周而造成失誤的可能性.

2.根據(jù)兩直線的一般式方程判定兩直線垂直的方法

(1)若一個(gè)斜率為零，另一個(gè)不存在，則垂直；若兩個(gè)都存在斜率，化成斜截式后，則及的=一1.

(2)一般地，設(shè)八：4x+8i)，+G=0,/2：A2x+&y+C2=0,JJ2臺(tái)4A2+8182=。

這種判定方法可避免討論，減小失誤.

【提升與思考】

【思考6-1】已知直線Ar+B.v+C=O的斜率為5,且A—2B+3c=0,則該直線方程為()

A.15x-3y-7=0B.15x+3y-7=0C.3x-15y-7=0D.3x+15y-7=0

【思考6-2】若直線/：ax+y—2—a=0在x軸和y軸上的截距相等，則直線/的斜率為()

A.lB.-lC.-2或1D.—1或2

【思考6-3］在同一直角坐標(biāo)系中表示直線公一y=0與x—y+q=0(4W0)正確的是()

【思考6-4］已知A(3,0),8(0,4),直線A3上一動(dòng)點(diǎn)P(x,y),則孫的最大值是.

【思考6-5］若直線/與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形，且此三角形的面積為18,則直線/的方程為

【思考6-6］垂直于直線3x—4y—7=0,且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為6的直線I的方程為

【思考6-7】已知兩條直線aix+"y+4=0和。加+岳)，+4=0都過點(diǎn)A(2,3),則過兩點(diǎn)PiQ,歷),P2{a2,

歷)的直線方程為.

【思考6-8】已知直線(a2—1)x+ay—1=0,直線6：(a—l)x+(a2+a)y+2=0.若人〃5則“=.

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【思考6-9】已知直線/：x—y+3=0,一束光線從點(diǎn)A(l,2)處射向x軸上一點(diǎn)B,又從8點(diǎn)反射到/上的一

點(diǎn)C,最后從C點(diǎn)反射回A點(diǎn)，求直線8C的方程.

【思考6-10】已知RtaABC的頂點(diǎn)4(-3,0),直角頂點(diǎn)8(—1,一26)，頂點(diǎn)。在》軸上.

(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(2)求斜邊上的中線的方程.

【知識(shí)七】?jī)蓷l直線的交點(diǎn)

1.兩直線的交點(diǎn)

幾何元素及關(guān)系代數(shù)表示

點(diǎn)AA(afb)

I]:A]x+8iy+G=0

直線-h

h：A2x+&y+C2=0

點(diǎn)4在直線/i上4a+Bib+C=0

jA]〃+8b+G=0,

直線1\與h的交點(diǎn)是A

[Az。+B2b+C2=0

2.兩直線的位置關(guān)系

|Aix+Biy+Ci=0,

方程組的解一組無數(shù)組無解

A2X+82)，+C2=0

直線/|與，2的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)

直線/1與/2的位置關(guān)系相交重合平行

【例7-1]⑴己知直線(3x+4y—5=0與如3x+5y—6=0相交，則它們的交點(diǎn)是.

20

（2）已知直線5x+4y=2a+l與直線2x+3y="的交點(diǎn)位于第四象限，則。的取值范圍是.

【練習(xí)7-1】直線x=l和直線），=2的交點(diǎn)坐標(biāo)是.

【練習(xí)7-2］若集合{(x,y)pc+y—2=0且x—2y+4=0}={(x,y)|y=3x+b},則6=.

kx—6y—0,

【練習(xí)7-3】若方程組《1,1有且只有一組解，則Z的取值范圍是.

【練習(xí)7-4】若兩直線2x+3y—%=0和x—什+12=0的交點(diǎn)在y軸上，則k=.

【反思】?jī)蓷l直線相交的判定方法

方法一聯(lián)立直線方程解方程組，若有一解，則兩直線相交

方法二兩直線斜率都存在且斜率不相等

方法三兩直線的斜率一個(gè)存在，另一個(gè)不存在

【例7-21求過兩直線2r-3y-3=0和x+y+2=0的交點(diǎn)且與直線3x+y-1=0平行的直線方程.

【反思】求過兩條直線交點(diǎn)的直線方程，一般是先解方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程.

也可用過兩條直線Ajx+8iy+G=0與/2:A^+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程AIX+BI），+CJ+，A2X

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