高中數(shù)學(xué)必修5《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案

高中數(shù)學(xué)必修5《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案

高中數(shù)學(xué)必修5《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案【一】

教學(xué)準(zhǔn)備

教學(xué)目標(biāo)

熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率'存款利息等問題，提高

學(xué)生閱讀理解能力'抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化

應(yīng)用儀式。

教學(xué)重難點(diǎn)

熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率'存款利息等問題，提高

學(xué)生閱讀理解能力'抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題的能力，強(qiáng)化

應(yīng)用儀式。

教學(xué)過程

【復(fù)習(xí)要求】熟悉與數(shù)列知識(shí)相關(guān)的背景，如增長(zhǎng)率'存款利息

等問題，提高學(xué)生閱讀理解能力、抽象轉(zhuǎn)化的能力以及解答實(shí)際問題

的能力，強(qiáng)化應(yīng)用儀式。.com

【方法規(guī)律】應(yīng)用數(shù)列知識(shí)界實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是通過對(duì)實(shí)際

問題的綜合分析，確定其數(shù)學(xué)模型是等差數(shù)列，還是等比數(shù)列，并確

定其首項(xiàng)，公差（或公比）等基本元素，然后設(shè)計(jì)合理的計(jì)算方案，即

數(shù)學(xué)建模是解答數(shù)列應(yīng)用題的關(guān)鍵。

一'基礎(chǔ)訓(xùn)練

1.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次（一個(gè)分裂為兩

個(gè)），經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由1個(gè)可繁殖成（）

A、511B、512C、1023D、1024

2.若一工廠的生產(chǎn)總值的月平均增長(zhǎng)率為p,則年平均增長(zhǎng)率為

（）

A、B、

C、D、

二'典型例題

例1：某人每期期初到銀行存入一定金額A,每期利率為p,到

第n期共有本金nA,第一期的利息是nAp,第二期的利息是

（n-1）Ap……,第n期（即最后一期）的利息是Ap,問到第n期期末的

本金和是多少？

評(píng)析：此例來自一種常見的存款叫做零存整取。存款的方式為每

月的某日存入一定的金額，這是零存，一定時(shí)期到期，可以提出全部

本金及利息，這是整取。計(jì)算本利和就是本例所用的有窮等差數(shù)列求

和的方法。用實(shí)際問題列出就是：本利和二每期存入的金額［存期+1/2

存期（存期+1）利率］

例2：某人從1999到2002年間，每年6月1日都到銀行存入m

元的一年定期儲(chǔ)蓄，若每年利率q保持不變，且每年到期的存款本息

均自動(dòng)轉(zhuǎn)為新的一年定期，到2003年6月1日，此人到銀行不再存

款，而是將所有存款的本息全部取回，則取回的金額是多少元？

例3、某地區(qū)位于沙漠邊緣，人與自然進(jìn)行長(zhǎng)期頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到

1999年底全地區(qū)的綠化率已達(dá)到30%,從2000年開始，每年將出現(xiàn)

以下的變化：原有沙漠面積的16%將栽上樹，改造為綠洲，同時(shí)，原

有綠洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?問經(jīng)過多少年的努力才能使全

縣的綠洲面積超過60%.(lg2=0.3)

例4、.流行性感冒(簡(jiǎn)稱流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道

傳染病.某市去年11月分曾發(fā)生流感，據(jù)資料記載，11月1日，該

市新的流感病毒感染者有20人，以后，每天的新感染者平均比前一

天的新感染者增加50人，由于該市醫(yī)療部門采取措施，使該種病毒

的傳播得到控制，從某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染

著減少30人，到11月30日止，該市在這30天內(nèi)感染該病毒的患者

共有8670人，問11月幾日，該市感染此病毒的新的患者人數(shù)最多？

并求這一天的新患者人數(shù).

高中數(shù)學(xué)必修5《等比數(shù)列的前n項(xiàng)和》教案【二】

整體設(shè)計(jì)

教學(xué)分析

本節(jié)是數(shù)列一章的最后內(nèi)容，分兩課時(shí)完成，第一課時(shí)側(cè)重于公

式的推導(dǎo)及記憶，第二課時(shí)側(cè)重于公式的靈活應(yīng)用.等比數(shù)列的前n

項(xiàng)和是教材中很重要的一部分內(nèi)容，是等比數(shù)列知識(shí)的再認(rèn)識(shí)和再運(yùn)

用，它對(duì)學(xué)生進(jìn)一步掌握、理解等比數(shù)列以及數(shù)列的知識(shí)有著很重要

的作用.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，也是培養(yǎng)學(xué)生分析'發(fā)現(xiàn)、

類比等能力的很好的一個(gè)工具.在講求和公式推導(dǎo)時(shí)，應(yīng)指出其運(yùn)算

的依據(jù)是等式性質(zhì)和數(shù)運(yùn)算的通性（交換律'結(jié)合律'分配律）.培養(yǎng)

學(xué)生邏輯思維的習(xí)慣和代數(shù)運(yùn)算技能.

新大綱中對(duì)本知識(shí)有較高層次的要求，教學(xué)地位很重要，是教學(xué)

全部學(xué)習(xí)任務(wù)中必須優(yōu)先完成的任務(wù).這項(xiàng)知識(shí)內(nèi)容有廣泛的實(shí)際應(yīng)

用，很多問題都要轉(zhuǎn)化到等比數(shù)列的求和上來才能得到解決.如增長(zhǎng)

率、濃度配比、細(xì)胞分裂、儲(chǔ)蓄信貸、養(yǎng)老保險(xiǎn)、分期付款的有關(guān)計(jì)

算等許多方面均用到等比數(shù)列的知識(shí)，因而考題中涉及數(shù)列的應(yīng)用問

題屢見不鮮.掌握等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)建模和解模能力是解決

數(shù)列應(yīng)用問題的基本途徑.

等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中共涉及五個(gè)量，將兩個(gè)公

式結(jié)合起來，已知其中三個(gè)量可求另兩個(gè)量，即已知a1,an,q,n,

Sn五個(gè)量中的任意三個(gè)，就可以求出其余的兩個(gè)量，這其中滲透了

方程的思想.其中解指數(shù)方程的難度比較大，訓(xùn)練時(shí)要控制難度和復(fù)

雜程度，要大膽地摒棄“煩瑣的計(jì)算、人為技巧化的難題和過分強(qiáng)調(diào)

細(xì)枝末節(jié)的內(nèi)容”.

數(shù)列模型運(yùn)用中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想方法（如方程的思想'分

類討論思想'算法思想等），這些思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能

力'運(yùn)算能力和邏輯思維能力等基本能力有著不可替代的作用.教學(xué)

中應(yīng)充分利用信息和多媒體技術(shù)，還應(yīng)給予學(xué)生充分的探索空間.

三維目標(biāo)

1.通過本節(jié)學(xué)習(xí)，使學(xué)生會(huì)用方程的思想認(rèn)識(shí)等比數(shù)列前n項(xiàng)和

公式，會(huì)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式及有關(guān)知識(shí)解決現(xiàn)實(shí)生活中存在著

的大量的數(shù)列求和的問題，將等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)

公式結(jié)合起來解決有關(guān)的求解問題.

2.通過啟發(fā)'引導(dǎo)'分析、類比'歸納，并通過嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)的解題

思想和解題方法的訓(xùn)練，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

3.通過解決生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中的實(shí)際問題了解社會(huì)'認(rèn)識(shí)社

會(huì)，形成科學(xué)的世界觀和價(jià)值觀.

重點(diǎn)難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)及靈活運(yùn)用，及生產(chǎn)實(shí)

際和社會(huì)生活中有關(guān)的實(shí)際問題.

教學(xué)難點(diǎn)：建立等比數(shù)列模型，用等比數(shù)列知識(shí)解決有關(guān)的生產(chǎn)

實(shí)際及社會(huì)生活中的熱點(diǎn)問題.

課時(shí)安排

2課時(shí)

教學(xué)過程

第1課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.（故事導(dǎo)入）國際象棋起源于古代印度，相傳有位數(shù)學(xué)家

帶著畫有64個(gè)方格的木盤，和32個(gè)雕刻成六種立體形狀，分別涂黑

白兩色的木制小玩具，去見波斯國王并向國王介紹這種游戲的玩法.

國王對(duì)這種新奇的游戲很快就產(chǎn)生了濃厚的興趣，一天到晚興致勃勃

地要那位數(shù)學(xué)家或者大臣陪他玩.高興之余，他便問那位數(shù)學(xué)家，作

為對(duì)他忠心的獎(jiǎng)賞，他需要得到什么賞賜呢?數(shù)學(xué)家開口說道：請(qǐng)您

在棋盤上的第一個(gè)格子上放1粒麥子，第二個(gè)格子上放2粒，第三個(gè)

格子上放4粒，第四個(gè)格子上放8?！疵恳粋€(gè)次序在后的格子中

放的麥粒都必須是前一個(gè)格子麥粒數(shù)目的2倍，直到最后一個(gè)格子第

64格放滿為止，這樣我就十分滿足了.“好吧!”國王揮揮手，慷慨

地答應(yīng)了數(shù)學(xué)家的這個(gè)謙卑的請(qǐng)求.國王覺得，這個(gè)要求太低了，問

他：“你怎么只要這么一點(diǎn)東西呢?”數(shù)學(xué)家笑著懇求道：“陛下還

是叫管理國家糧倉的大臣算一算吧!”第二天，管理糧倉的大臣滿面

愁容地向國王報(bào)告了一個(gè)數(shù)字，國王大吃一驚：“我的天!我哪來這

么多的麥子?”這個(gè)玩具也隨著這個(gè)故事傳遍全世界，這就是今日的

國際象棋.假定千粒麥子的質(zhì)量為40g,那么，數(shù)學(xué)家要求的麥粒的

總質(zhì)量究竟是多少呢？由此傳說向?qū)W生發(fā)問：怎樣算出小麥的總質(zhì)量

呢？

思路2.（問題導(dǎo)入）買24枚釘子，第一枚14分錢，第二枚12分

錢，第三枚1分錢，以此類推，每一枚釘子的錢是前一枚的2倍，共

要多少錢?請(qǐng)學(xué)生想一想，多數(shù)學(xué)生認(rèn)為大概沒有多少錢，結(jié)果一算

嚇一跳，大約要4萬2千元.事實(shí)上，這是等比數(shù)列的求和問題，即

S=14+12+1+2+…+22仁?那么怎樣求等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢?在學(xué)生急

于揭開謎底的強(qiáng)烈欲望下展開新課的探究.

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

(1)回憶等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推導(dǎo)

的？

(2)對(duì)任意數(shù)列{an},前n項(xiàng)和與通項(xiàng)an的關(guān)系是什么？

(3)對(duì)首項(xiàng)為1的等比數(shù)列{an},你能探究它的前n項(xiàng)和嗎？

(4)對(duì)任意等比數(shù)列{an},怎樣推導(dǎo)它的前n項(xiàng)和公式呢?你能聯(lián)

想到哪些推導(dǎo)思路？

(5)對(duì)于思路1中麥粒問題，國王應(yīng)發(fā)給數(shù)學(xué)家多少麥粒?對(duì)于

Sn=1+2+22+—+2n-1的兩邊為什么要乘以2而不是乘以3或4呢？

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶前面學(xué)過的等差數(shù)列前n項(xiàng)和問題，我

們用倒序相加法推得了它的前n項(xiàng)和公式，并且得到了求等差數(shù)列通

項(xiàng)公式的一個(gè)方法：an二a1,Sn-Sn-1,n=1,n22,還知道這個(gè)由

數(shù)列Sn來確定an的方法適用于任何數(shù)列，且a1不一定滿足由

Sn-Sn-1-an求出的通項(xiàng)表達(dá)式.

類比聯(lián)想以上方法，怎樣探究等比數(shù)列的前n項(xiàng)和呢?我們先來

探究象棋格里填麥粒的問題，也就是求S=1+2+…+263=?讓學(xué)生充分

觀察這個(gè)式子的特點(diǎn)，發(fā)現(xiàn)每一項(xiàng)乘以2后都得它的后一項(xiàng)，點(diǎn)撥學(xué)

生找到解決問題的關(guān)鍵是等式左右同乘以2,再相減得和.通過這個(gè)

問題的解決，先讓學(xué)生有一個(gè)感覺，就是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和可化為

一個(gè)比較簡(jiǎn)單的形式，關(guān)鍵的問題是如何簡(jiǎn)化.再讓學(xué)生探究首項(xiàng)為

1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，即1,q,q2,…，qn7的前n項(xiàng)和.觀察

這個(gè)數(shù)列，由于各項(xiàng)指數(shù)不同，顯然不能倒序相加減.但可發(fā)現(xiàn)一個(gè)

規(guī)律，就是次數(shù)是依次增加的，教師引導(dǎo)學(xué)生模仿等差數(shù)列寫出兩個(gè)

求和式子，給學(xué)生以足夠的時(shí)間讓其觀察'思考'合作交流'自主探

究.

經(jīng)過教師的點(diǎn)撥，學(xué)生的充分活動(dòng)，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)把兩個(gè)

Sn=1+q+q2+…+qn-1錯(cuò)一個(gè)位，兩邊再同乘以公比q,那么相同的指

數(shù)就對(duì)齊了.這一發(fā)現(xiàn)是突破性的智慧發(fā)現(xiàn)，是石破驚天的發(fā)現(xiàn).這樣

將Sn=1+q+q2+…+qn-1與qSn=q+q2+q3+…+qn兩式相減就有

(1-q)Sn=1-qn,以下只需討論q的取值就可得到Sn了.

在上面的特殊簡(jiǎn)單情形解決過程中，蘊(yùn)含著一個(gè)特殊而且重要的

處理問題的方法，那就是“錯(cuò)位相減，消除差別”的方法.我們將這

種方法簡(jiǎn)稱為“錯(cuò)位相減法”.在解決等比數(shù)列的一般情形時(shí)，我們

還可以使用“錯(cuò)位相減法”.

如果記Sn-a1+a2+a3+"-+an,

那么qSn=a1q+a2q+a3q+--,+anq,

要想得到Sn,只要將兩式相減，就立即有(1-q)Sn=a1-anq.

這里要提醒學(xué)生注意q的取值.

如果q于1,則有Sn=a1-anq1-q.

上述過程我們略加變化一下，還可以得到如下的過程:

如果記Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,

那么qSn=a1q+a1q2+…+a1qn-1+a1qn,

要想得到Sn,只要將兩式相減，就立即有（1-q）Sn=a1-a1qn.

如果q不1,則有Sn=a11-qn1-q.

上述推導(dǎo)過程，只是形式上的不同，其本質(zhì)沒有什么差別，都是

用的“錯(cuò)位相減法”.

形式上，前一個(gè)出現(xiàn)的是等比數(shù)列的五個(gè)基本量：a1,q,an,

Sn,n中a1,q,an,Sn四個(gè);后者出現(xiàn)的是a1,q,Sn,n四個(gè)，這

將為我們今后運(yùn)用公式求等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和提供了選擇的余地.

值得重視的是：上述結(jié)論都是在“如果q于1”的前提下得到的.

言下之意，就是只有當(dāng)?shù)缺葦?shù)列的公比q^1時(shí)，我們才能用上述公

式.

對(duì)于等比數(shù)列的一般情形，如果q=1會(huì)是什么樣呢?學(xué)生很快會(huì)

看出，若q=1,則原數(shù)列是常數(shù)列，它的前n項(xiàng)和等于它的任一項(xiàng)的

n倍，即Sn=na1.由此我們得到等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和的公式：

Sn=na1,q=1,a11-qn1-q,q1Sn=na1,q=1,a1-anq1-q,

q#：1.

教師進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生根據(jù)等比數(shù)列的特征和我們所學(xué)知識(shí)，還能

探究其他的方法嗎?經(jīng)過學(xué)生合作探究，聯(lián)想初中比例的性質(zhì)等，我

們會(huì)有以下推導(dǎo)方法：

思路一：根據(jù)等比數(shù)列的定義，我們有a2a仁a3a2=a4a3=…

二anan7=q,

再由合比定理，則得a2+a3+a4+…+ana1+a2+a3+…+an7=q,

即Sn-a1Sn-an=q,

從而就有(1-q)Sn=a1-anq.

當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1,當(dāng)qW1時(shí)，Sn=a1-anq1-q.

思路二：由Sn=a1+a2+a3+…+an,得

Sn=a1+a1q+a2q+…+an7q=a1+q(a1+a2+"-+an-1)=a1+q(Sn-an),

從而得(1-q)Sn=a1-anq.

(以下從略)

在思路二中，我們巧妙地利用了Sn-Sn-kan這個(gè)關(guān)系式，教師

再次向?qū)W生強(qiáng)調(diào)這是一個(gè)非常重要的關(guān)系式，應(yīng)引起足夠的重視，幾

乎在歷年的高考中都有它的影子.但要注意這里n》2,也就是n的取

值應(yīng)使這個(gè)關(guān)系式有意義，若寫SnT-Sn-2=an-1,則這里n23,以

此類推.

教師引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，并結(jié)合等比數(shù)列的

通項(xiàng)公式，從方程角度認(rèn)識(shí)這個(gè)公式，以便正確靈活地運(yùn)用它.(1)

在等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式中共有a1,an,n,q,Sn五

個(gè)量，只要知道其中任意三個(gè)量，都可以通過建立方程(組)等手段求

出其余兩個(gè)量；(2)在應(yīng)用公式求和時(shí)，應(yīng)注意到公式的使用條件q手

1,當(dāng)q=1時(shí)，應(yīng)按常數(shù)列求和，即Sn5al.在解含字母參數(shù)的等比

數(shù)列求和問題時(shí)，常應(yīng)分類討論q=1與q于1兩種情況.

討論結(jié)果：(1)倒序相加法；

(2)an=Sn-SnT(n》2);

(3)利用錯(cuò)位相減法；

(4)利用an=Sn-Sn-1(n^2);

(5)乘以2的目的是為了錯(cuò)位相減，共有麥粒2647(顆)，每千

粒麥子按40g計(jì)算，共約7000億噸.

應(yīng)用示例

例1求下列等比數(shù)列的前8項(xiàng)的和：

(1)12,14,18,■■■;

(2)a1=27,a9=1243,q<0.

活動(dòng)：本例目的是讓學(xué)生熟悉公式，第⑴小題是對(duì)等比數(shù)列的

前n項(xiàng)和公式的直接應(yīng)用；第⑵小題已知a1=27,n=8,還缺少一個(gè)

已知條件，由題意顯然可以通過解方程求得公比q.題目中要求q<0,

一方面是為了簡(jiǎn)化計(jì)算，另一方面是想提醒學(xué)生q既可為正數(shù)，又可

為負(fù)數(shù).本題中由條件可得為:a9al=1243X27,再由q<0可得q=-13.

將所得的值代入公式就可以了.本例可由學(xué)生自己探究解答.

解:(1)因?yàn)閍1=12,q=12,所以當(dāng)n=8時(shí)，S8=12[1-12

811-12=255256.

（2）由a1=27,a9=1243,可得q8=a9al=1243X27,

又由q<0,可得q=73,

于是當(dāng)n=8時(shí)，S8=271-1243X271--13=164081.

點(diǎn)評(píng)：通過本例要讓學(xué)生熟悉方程思想，再次讓學(xué)生明確，等比

數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式中共五個(gè)量：a1,an,q,n,Sn,五

個(gè)量中已知任意三個(gè)就可以求出其余的兩個(gè)，其中a1,q為最基本的

兩個(gè)量.同時(shí)提醒學(xué)生注意，由于等比數(shù)列涉及到指數(shù)問題，有時(shí)解

題計(jì)算會(huì)很煩瑣，要注意計(jì)算化簡(jiǎn)中的技巧，靈活運(yùn)用性質(zhì).

例2（教材本節(jié)例2）

活動(dòng)：本例是等比數(shù)列求和公式的直接運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合方程

思想，按算法的思路來解答.本例可由學(xué)生自己完成.

點(diǎn)評(píng)：通過本例讓學(xué)生明確，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式共

涉及5個(gè)量：a1,q,an,n,Sn,已知其中3個(gè)量就可以求出另外的

2個(gè)量.

變式訓(xùn)練

設(shè)｛an｝是公比為正數(shù)的等比數(shù)列,若a1=1,a5是6,則數(shù)列｛an｝

前7項(xiàng)的和為（）

A.63B.64C,127D.128

答案：C

解析：?「a5=a1q4,.,.16=q4.

又〈q〉。，:.q=2.「.S7=a11-q71-q=127.

例3(教材本節(jié)例3)

活動(dòng)：本例仍屬等比數(shù)列求和公式的直接應(yīng)用.雖然原數(shù)列不是

等比數(shù)列，不能用公式求和，但可這樣轉(zhuǎn)化：9=107,99=1007,999=1

000-1,這樣就容易解決了.

點(diǎn)評(píng)：讓學(xué)生體會(huì)本例中的轉(zhuǎn)化思想.

變式訓(xùn)練

求和：2+22+222+…+.

解:原式=29(10-1)+29(102-1)+-+29(10n-1)

=29(10+102+-+10n-n)

=29[101-1On1-10-n]

=2081(1On-1)-29n.

例4求數(shù)列1,3a,5a2,7a3,…，(2nT)an-1的前n項(xiàng)的和.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察數(shù)列特點(diǎn)，其形式是｛an?bn｝型數(shù)列,

且｛an｝是等差數(shù)列，｛bn｝是等比數(shù)列.根據(jù)本節(jié)等比數(shù)列求和公式的

推導(dǎo)方法，可采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.教學(xué)時(shí)可讓學(xué)生自己獨(dú)立探

究，教師適時(shí)地點(diǎn)撥，要注意學(xué)生規(guī)范書寫.

解：當(dāng)a=1時(shí)，數(shù)列變?yōu)?,3,5,7,…,(2|1為),

則Sn=n[1+2n-1]2=n2.

當(dāng)aW1時(shí)，有

Sn=1+3a+5a2+7a3+…+(2n-1)an-1,①

aSn=a+3a2+5a3+7a4+…+(2n-1)an,②

①一②，得Sn-aSn=1+2a+2a2+2a3+-"+2an-1-(2n-1)an,

(1-a)Sn=1-(2n-1)an+2(a+a2+a3+…+an-1)

=1-(2n-1)an+2?a1-an-11-a

-1_(2n_1)an+2a-an1-a.

又1-a=A0,

Sn-1-2n-1an1_a_2a-an1-a2.

點(diǎn)評(píng)：通過本例，讓學(xué)生反思解題時(shí)要善于識(shí)別題目類型，善于

分類討論.在應(yīng)用錯(cuò)位相減時(shí)，寫出的“Sn”與“qSn”的表達(dá)式應(yīng)特

別注意將兩式“同項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確寫出“Sn-qSn”的表

達(dá)式.

變式訓(xùn)練

等差數(shù)列｛an｝中，a2=8,S6=66.

(1)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛Cn｝的通項(xiàng)為Cn=2n,求數(shù)列｛anCn｝的前n項(xiàng)和An.

解:(1)由已知，得a1+d=8a1+a662=66,解得a1=6,d-2.

an=2n+4.

(2)由題意，知anCn=(2n+4)?2n,

.?.An=6?21+8-22+10*23+…+(2n+4)?2n.①

在上式中兩邊同乘以2,得

2An=6*22+8*23+10-24+-+(2n+4)?2n+1.②

①一②,得-An=6?21+2?22+2?23+…+2?2n-(2n+4)-2n+1=4-(2n+2)

?2n+1,

.'.An=(n+1)?2n+2-4.

例5已知數(shù)列｛an｝中，a1,a2,a3,■-1,an,…構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列:

a1,(a2-a1),(an-an-1),此數(shù)列是首項(xiàng)為1,公比為13

的等比數(shù)列.

⑴求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng);

(2)求數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和Sn.

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察新數(shù)列的各項(xiàng)，不難發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)事實(shí):

新數(shù)列的前n項(xiàng)和恰為an,這樣即可將問題轉(zhuǎn)化為首項(xiàng)為1,公比為

13的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式求出后，計(jì)算其前n

項(xiàng)和Sn就容易多了.

解:(1)an-a1+(a2-a1)+(a3-a2)+■,■+(an-an-1)

=1+13+(13)2+-+(13)n-1=32[1-(13)n].

(2)Sn=a1+a2+a3+,,,+an

=32(1-13)+32[1-(13)2]+-+32[1-(13)n]

=32｛n-[13+(13)2+…+(13)n]｝

=32n-34[1-(13)n]

=34(2n-1)+14(13)n-1.

點(diǎn)評(píng)：本例思路新穎，方法獨(dú)特，解完本例后教師引導(dǎo)學(xué)生反思

本例解法，注意平時(shí)學(xué)習(xí)中培養(yǎng)思路的靈活性.

知能訓(xùn)練

1.設(shè)等比數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S6：S3=1：2,則S9：

S3等于()

A.1：2B,2：3C,3：4D.1：3

2.在等比數(shù)列｛an｝中，

(1)已知a2=18,a4=8,求a1與q;

(2)已知a5-a1=15,a4-a2=6,求a3.

答案：

1.C解析：:S6：S3=1：2,

由a11-q61-q+a11-q31-q-12,得q3=-12.

.，S9s3=1-q91-q3=34.

2.解：(1)由已知得a1q=18,a1q3=8.

解這個(gè)方程組，得a1=27,q=23或a1=-27,q=-23.

(2)根據(jù)題意,有a1q4-a1=15,a1q3-a1q=6.

方程兩邊分別相除，得a1q4-a1a1q3~a1q=156.

整理,得2q2-5q+2=0.

解這個(gè)方程，得q=2或q=12.

當(dāng)q=2時(shí),a1=1;當(dāng)q=12時(shí),a1=-16.

所以a3=4或a3=-4.

課堂小結(jié)

1.由學(xué)生總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容：等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，

特別是在推導(dǎo)過程中，學(xué)到了錯(cuò)位相減法;在運(yùn)用等比數(shù)列求和時(shí)，

注意q的取值范圍是很重要的一點(diǎn)，需要放在第一位來思考.

2.等比數(shù)列求和公式有兩種形式，在應(yīng)用中應(yīng)根據(jù)題目所給的條

件靈活選用，注意從方程的角度來觀察公式，并結(jié)合等比數(shù)列的通項(xiàng)

公式共5個(gè)量，知三可求二，并注意解題中的化簡(jiǎn)技巧.

作業(yè)

課本習(xí)題2—3B組2、3.[

設(shè)計(jì)感想

“探索是教學(xué)的生命線”，本教案設(shè)計(jì)體現(xiàn)以學(xué)生為本的思想.

為了讓學(xué)生較好掌握本課內(nèi)容，本節(jié)課主要采用觀察法'歸納法等教

學(xué)方法，同時(shí)采用設(shè)計(jì)變式題的教學(xué)手段進(jìn)行教學(xué).通過具體問題的

引入，使學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)源于生活.

本教案設(shè)計(jì)加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.因?yàn)閿?shù)列內(nèi)容幾乎滲透了

中學(xué)數(shù)學(xué)所有的數(shù)學(xué)思想方法，而數(shù)列模型運(yùn)用中更是蘊(yùn)含著豐富的

數(shù)學(xué)思想方法，這些思想方法對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的閱讀理解能力、運(yùn)算能

力和邏輯思維能力等有著不可替代的作用.教學(xué)中應(yīng)充分讓學(xué)生體會(huì)

這些思想方法的運(yùn)用.

“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，本教案設(shè)計(jì)注重了情境教學(xué).通過生動(dòng)

具體的現(xiàn)實(shí)問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇

氣和自信心，增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的心理體驗(yàn)，產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感，

體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得的成功.

（設(shè)計(jì)者：張曉君）

第2課時(shí)

導(dǎo)入新課

思路1.（情境導(dǎo)入）一個(gè)人為了積累養(yǎng)老金，他每個(gè)月按時(shí)到銀

行存100元，銀行的年利率為4%,假設(shè)可以任意分段按復(fù)利計(jì)算，

試問此人在5年后共積累了多少養(yǎng)老金?如果存款和復(fù)利按日計(jì)算，

則他又有多少養(yǎng)老金?如果復(fù)利和存款連續(xù)計(jì)算呢?銀行復(fù)利計(jì)息的

計(jì)算方法正是我們今天要探究的內(nèi)容，由此展開新課.

思路2.（習(xí)題導(dǎo)入）在等比數(shù)列｛an｝中,已知a1+a2+a3=8,

a4+a5+a6=-4,則數(shù)列前15項(xiàng)的和S15為（）

A.112B.312C.5D.15

本題如果運(yùn)用方程的思想，求數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1和公比q之后

再求S15,是一種常規(guī)思路，但運(yùn)算量較大.可將原數(shù)列按一定規(guī)律

重新組合成一個(gè)新的等比數(shù)列，S15又剛好是新數(shù)列前5項(xiàng)的和，新

數(shù)列的首項(xiàng)和公比又容易求得，使得小題巧解.具體解法如下：

解析：設(shè)bka1+a2+a3=8;b2=a4+a5+a6=-4;…；b5=a13+a14+a15,

則b1,b2,b3,b4,b5構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列,其首項(xiàng)為8,公比

為T2.

故S15=S5'=b1+b2+b3+b4+b5=112.選A.

由此展開本課的進(jìn)一步探究.

答案：A

推進(jìn)新課

新知探究

提出問題

1n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，是用什么方法推

導(dǎo)的?需要注意什么問題？

2和公式，從推導(dǎo)方法到應(yīng)用

有什么不同？怎樣從方程的角度理解等比數(shù)列的求和公式？

3?

4?

5?

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶上節(jié)課所學(xué)的等比數(shù)列的求和公式，通

過“錯(cuò)位相減”的思路方法很巧妙地將等式Sn=a1+a1q+…+a1qn7的

兩邊同乘以該數(shù)列的公比q,使得等式右邊各項(xiàng)都向右錯(cuò)了一位;然

后通過求Sn-qSn把相同項(xiàng)消去，達(dá)到簡(jiǎn)化的目的，最后解出Sn.這

種求和方法具有普通性，教師再次引導(dǎo)學(xué)生回顧這種求和方法的精

髓，注意的問題是必須注意q是否等于1,如果不確定，就應(yīng)分q=1

與q^1兩種情況或更多的情況進(jìn)行討論.

等比數(shù)列求和的關(guān)鍵與等差數(shù)列求和一樣，在于數(shù)列通項(xiàng)公式的

表達(dá)形式，由通項(xiàng)公式的形式特點(diǎn)確定相應(yīng)的求和方法.為了達(dá)到求

和時(shí)的簡(jiǎn)化運(yùn)算，應(yīng)充分利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的性質(zhì).（1）若某數(shù)

列的前n項(xiàng)和公式為Sn=an-1（a于0,1）,則｛an｝成等比數(shù)列.（2）若數(shù)

列｛an｝是公比為q的等比數(shù)列，則Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比數(shù)

列;若項(xiàng)數(shù)為2n（n￡N*）,則S偶S奇二q.

應(yīng)用等比數(shù)列可解決的實(shí)際問題有：產(chǎn)量增減'價(jià)格升降'細(xì)胞

繁殖、貸款利率、增長(zhǎng)率等方面的問題.解決方法是建立數(shù)列模型，

應(yīng)用數(shù)列知識(shí)解決問題，要讓學(xué)生明了數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用一直是全國各

地市高考的熱點(diǎn)'重點(diǎn)，考題的形式多種多樣，難度為中'高檔.

等比數(shù)列求和問題作為數(shù)列的重要內(nèi)容之一，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)

思想方法，教學(xué)時(shí)可與等差數(shù)列對(duì)比，歸納'總結(jié).

（1）求和問題可以利用等差'等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解決，在

具體問題中，既要善于從數(shù)列的通項(xiàng)入手觀察數(shù)列的特點(diǎn)與變化規(guī)

律，又要注意項(xiàng)數(shù).

（2）非等差（比）的特殊數(shù)列求和題通常的解題思路是：

①設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，這一思考方法往往通過通項(xiàng)

分解或錯(cuò)位相減來完成.

②不能轉(zhuǎn)化為等差(比)的特殊數(shù)列，往往通過裂項(xiàng)相消法'錯(cuò)位

相減法和倒序相加法求和.一般地，如果數(shù)列能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等

比數(shù)列就用公式法;如果數(shù)列項(xiàng)的次數(shù)及系數(shù)有規(guī)律，一般可用錯(cuò)位

相減法;如果每項(xiàng)可寫成兩項(xiàng)之差一般可用拆項(xiàng)法;如果能求出通項(xiàng)，

可用拆項(xiàng)分組法.

(3)數(shù)列求和的關(guān)鍵在于數(shù)列通項(xiàng)公式的表達(dá)形式，根據(jù)通項(xiàng)公

式的形式特點(diǎn)，觀察采用哪種方法是這類題的解題訣竅.

(4)通項(xiàng)公式中含有(7)n的一類數(shù)列，在求Sn時(shí)要注意需分項(xiàng)

數(shù)n的奇偶性討論.

討論結(jié)果：(1)(2)(3)(5)略.

(4)數(shù)列求和的常用方法有：公式法'倒序相加法、錯(cuò)位相減法

和裂項(xiàng)相消法，這也是高考?？嫉膸追N求和方法.

例1某商場(chǎng)今年銷售計(jì)算機(jī)5000臺(tái)，如果平均每年的銷售量比

上一年的銷售量增加10%,那么從今年起，大約幾年可使總銷售量達(dá)

到30000臺(tái)？(結(jié)果保留到個(gè)位)

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生探究，根據(jù)題意，從中發(fā)現(xiàn)等比關(guān)系，從中

抽象出等比數(shù)列模型，并明確這是一個(gè)已知Sn=30000求n的問題.

本例的解答應(yīng)先根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式列方程，再用對(duì)數(shù)的知

識(shí)解方程.

解：根據(jù)題意，每年的銷售量比上一年增加的百分率相同，所以,

從今年起，每年銷售量組成一個(gè)等比數(shù)列{an},

其中a1=5000,q=1+10%=1.1,Sn=30000.

于是得到50001-1.1n1-1.1=30000,

整理,得1.1n=1.6,

兩邊取對(duì)數(shù),得nlg1.1=lg1.6,

用計(jì)算器算得n=lg1.6lg1.1^0.20.041=5(年).

答：大約5年可以使總銷售量達(dá)到30000臺(tái).

點(diǎn)評(píng)：本例是一道關(guān)于等比數(shù)列模型的應(yīng)用題，需要從實(shí)際問題

中抽象出等比數(shù)列模型.從實(shí)際背景的角度講，本例的設(shè)計(jì)一方面是

想讓學(xué)生了解計(jì)算機(jī)日益普及，其銷量越來越大；另一方面，對(duì)于一

個(gè)商場(chǎng)來講，為實(shí)現(xiàn)一定的商品銷售目標(biāo)而制訂計(jì)劃也是一件自然的

事情.

變式訓(xùn)練

某市2003年共有1萬輛燃油型公交車.有關(guān)部門計(jì)劃于2004年

投入128輛電力型公交車，隨后電力型公交車每年的投入比上一年增

加50%,試問：

(1)該市在2010年應(yīng)該投入多少輛電力型公交車？

(2)到哪一年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車總量

的13?

解：(1)該市逐年投入的電力型公交車的數(shù)量組成等比數(shù)列{an},

其中a1=128,q=1.5,

則在2010年應(yīng)該投入的電力型公交車為a7=a1?q6=128X1.56=1

458（輛）.

（2）記Sn=a1+a2+…+an,依據(jù)題意，得Sn10000+Sn>13.

于是Sn是281-1.5n1-1.5>5000（輛）,

即1,5n>65732,貝lj有n-lg657321g1.5七7.5,

因此n28.

所以，到2011年底，電力型公交車的數(shù)量開始超過該市公交車

總量的13.

例2（教材本節(jié)例4）

活動(dòng)：這是本單元教材安排的最后一道例題.教師引導(dǎo)學(xué)生寫出

每個(gè)月的產(chǎn)值，建立等比數(shù)列的數(shù)學(xué)模型，通過數(shù)量分析理解任一月

份的計(jì)算表達(dá)式和求總和的計(jì)算方法.

例3某教師購買安居工程集資房72m2,單價(jià)為1000元/m2,

一次性國家財(cái)政補(bǔ)貼28800元,學(xué)校補(bǔ)貼14400元,余款由個(gè)人負(fù)

擔(dān).房地產(chǎn)開發(fā)公司對(duì)教師實(shí)行分期付款，每期為1年，等額付款.

簽訂購房合同后，1年付款1次，再過1年又付款1次等等，共付10

次，10年后還清.如果按年利率7.5%,每年復(fù)利1次計(jì)算，那么每年

應(yīng)付多少元？（計(jì)算結(jié)果精確到百元.下列數(shù)據(jù)供參考：1.0752、

1.921,1.07510%2,065,1.07511%2,221)

活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生理清問題中的基本數(shù)量關(guān)系，建立等比數(shù)列

的模型，然后按等比數(shù)列的知識(shí)就很容易解決了.本例由教師與學(xué)生

共同探究完成.

解：設(shè)每年應(yīng)付款X元，那么到最后1次付款時(shí)付款金額的本利

和為X(1+1.075+1.0752+1.0753+-+1.0759)元;

購房余款10年后的本利和為[1000X72-(28800+14400)]?

1.07510=28800X1.07510元,根據(jù)10年后還清,得

x(1+1.075+1.0752+-+1.0759)=28800X1.07510,

/.x=28800X1.07510X1,075-11.07510-1%4200(元)，

即每年應(yīng)付4200元.

點(diǎn)評(píng)：解決本例的關(guān)鍵是建立等比數(shù)列模型.分期付款以及新生

利息之和，應(yīng)等于購房個(gè)人分擔(dān)部分10年后的本息和.

變式訓(xùn)練

假如一個(gè)人得到了一條消息，他偷偷地告訴了兩個(gè)朋友，半小時(shí)

后這兩個(gè)朋友又各自偷偷地告訴了自己的兩個(gè)朋友.如果每個(gè)得到消

息的人在半小時(shí)內(nèi)把這一消息告訴兩個(gè)朋友，計(jì)算一下，24小時(shí)后

有多少人知道了這條消息？

解:按題意,半小時(shí)有1+2人,一小時(shí)有1+2+22人，…,設(shè)24

小時(shí)后有x人知道,則x=1+2+22+23+…+248,

2x=2+22+23+24+…+249,

兩式相減得x=249-1.

利用對(duì)數(shù)計(jì)算可知x%5.61X1014.

也就是說從第一個(gè)人知道消息開始，只過了一天時(shí)間，就有五百

六十一萬億人知道了這條消息.

例4某地現(xiàn)有居民住房的總面積為am2,其中需要拆除的舊住

房面積占了一半，當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定在每年拆除一定數(shù)量舊住房的情

況下，仍以10%的住房增長(zhǎng)率建新住房.

(1)如果10年后該地的住房總面積正好比目前翻一番，那么每年

應(yīng)拆除的舊住房總面積x是多少？(可取1.110^2.6)

(2)過10年還未拆除的舊住房總面積占當(dāng)時(shí)住房總面積的百分

比是多少？(保留到小數(shù)點(diǎn)后第1位)

解：(1)根據(jù)題意，可知

1年后住房總面積為1.1a-x;

2年后住房總面積為1.1(1.1a-x)-x=1.12a-1.1x-x;

3年后住房總面積為

1.1(1.12a-1.1x-x)-x=1.13a-1.12x~1.1x-x;

10年后住房總面積為1.110a-1.19x-1.18x---1.1x-x

=1.110a-1.110-11.1-1x=2.6a-16x.

由題意，得2.6a-16x-2a,解得x-380a(m2).

⑵所求百分比為a2-380aX102a=116^6.3%.

答：每年應(yīng)拆除的舊住房總面積為380am2,過10年還未拆除

的舊房總面積占當(dāng)時(shí)住房總面積的百分比是6.3%.

知能訓(xùn)練

1.已知數(shù)列｛an｝是等比數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)的和,求證:S7,

S14-S7,S21-S14成等比數(shù)列.設(shè)k￡N*,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等

比數(shù)列嗎？

2.家用電器一件，現(xiàn)價(jià)2000元，實(shí)行分期付款，每期付款數(shù)相

同，每月為一期，購買一個(gè)月付款一次，共付12次，購買后一年還

清,月利率為0.8%,按復(fù)利計(jì)算，那么每期應(yīng)付款多少？(1.00812=1.1)

答案：

1.證明：S14-S7=(a1+a2+…+a14)-(a1+a2+…+a7)

=a8+a9+…+a14

-a1q7+a2q7+…+a7q7

=S7?q7.

同理，S21-S14=q14*S7,

.,.S7(S21-S14)=(S14-S7)2.

可用同樣的方法證明Sk,S2k-Sk,S3k-S2k成等比數(shù)列.

2.解：設(shè)每期付款x元，則

第1期付款后還欠款2000(1+0.008)-x=2000-1.008-x,

第2期付款后還欠款欠000(1+0.008)-x]?1.008-x=2000-

1.0082-1.008x-x,

第12期付款后欠款應(yīng)為0,

所以有2000-1.00812-(1.00811+1.00810+-+1)x=0,

/.x=2000-1.008121.00812-11.008T2175.46(元),

即每期付款175.46元.

課堂小結(jié)

1.由學(xué)生自己總結(jié)本節(jié)所探究的內(nèi)容與方法：教育儲(chǔ)蓄中的計(jì)算

問題，用計(jì)算機(jī)程序計(jì)算數(shù)列的求和問題等.其中等比數(shù)列應(yīng)用問題

的解決是個(gè)重點(diǎn)，其特點(diǎn)是綜合性強(qiáng)'立意新'角度寬、難度大，因

而在解題中務(wù)必注重基礎(chǔ)'凸現(xiàn)能力，靈活掌握.

2.學(xué)完本節(jié)后，充分利用網(wǎng)絡(luò)資源，多方查找資料，進(jìn)一步拓展

數(shù)列在實(shí)際生活中的應(yīng)用問題，培養(yǎng)主動(dòng)探究問題、解決問題的能力，

提高我們的創(chuàng)新意識(shí)和團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神.

作業(yè)

1.課本習(xí)題2—3A組8、9、10;習(xí)題2—3B組，4選做.

2.利用網(wǎng)絡(luò)資源，探究分期付款問題.

設(shè)計(jì)感想

本教案注重知識(shí)過程的教學(xué)，要求學(xué)生通過自主地觀察'討論'

歸納'反思來參與學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)問題并嘗試解決問題，在活動(dòng)中進(jìn)

一步提升自己的能力.

本教案設(shè)計(jì)體現(xiàn)了本章教材設(shè)置理念.本章各節(jié)內(nèi)容均由“實(shí)例

分析”或“問題提出”創(chuàng)設(shè)問題情境，這些具有代表性和趣味性的問

題將內(nèi)容自然引入，再通過對(duì)問題的分析和解決，由特殊過渡至一般.

等比數(shù)列及其求和問題作為數(shù)列一章的最后一個(gè)內(nèi)容，蘊(yùn)含著極

大的寶藏，是一個(gè)進(jìn)行研究性學(xué)習(xí)的好題材.有人說“學(xué)情決定教法”，

但反過來“教法也能造就學(xué)情”.在教學(xué)中注意激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造熱情,

培養(yǎng)學(xué)生的主動(dòng)精神，以充分發(fā)揮本節(jié)內(nèi)容的教育功能.

備課資料

一'關(guān)于銀行利率問題的探究

問題：

(1)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)

或6年時(shí)一次可支取本息共多少元？

(2)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存a元，連續(xù)存3年，到期(3年)

或6年時(shí)一次可支取本息共多少元？

(3)依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存50元，連續(xù)存3年，到期(3年)

時(shí)一次可支取本息比同檔次的“零存整取”多收益多少元？

(4)欲在3年后一次支取教育儲(chǔ)蓄本息合計(jì)1萬元，每月應(yīng)存入

多少元?

⑸欲在3年后一次支取教育儲(chǔ)蓄本息合計(jì)a萬元，每月應(yīng)存入

多少元？

(6)依教育儲(chǔ)蓄方式，原打算每月存100元，連續(xù)存6年，可是

到了4年時(shí)，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元?

(7)依教育儲(chǔ)蓄方式，原打算每月存a元，連續(xù)存6年，可是到

了b年時(shí)，學(xué)生需要提前支取全部本息，一次可支取本息共多少元？

(8)不用教育儲(chǔ)蓄方式，而用其他的儲(chǔ)蓄方式，以每月可存100

元，6年后使用為例，探討以現(xiàn)行的利率標(biāo)準(zhǔn)可能的最大收益，將得

到的結(jié)果與教育儲(chǔ)蓄比較.

探究活動(dòng)：

這是一個(gè)關(guān)系到我國每一個(gè)家庭的社會(huì)生活中的實(shí)際問題，其中

大部分的計(jì)算都是用數(shù)列的知識(shí).在解決這個(gè)問題前，我們先熟悉一

下這方面的有關(guān)政策及銀行的業(yè)務(wù)知識(shí).

銀行關(guān)于教育儲(chǔ)蓄的管理辦法(節(jié)選)

管理辦法

第七條教育儲(chǔ)蓄為零存整取定期儲(chǔ)蓄存款?存期分為一年'三

年和六年.最低起存金額為50元，本金合計(jì)最高限額為2萬元.開戶

時(shí)儲(chǔ)戶應(yīng)與金融機(jī)構(gòu)約定每月固定存入的金額，分月存入，中途如有

漏存，應(yīng)在次月補(bǔ)齊，未補(bǔ)存者按零存整取定期儲(chǔ)蓄存款的有關(guān)規(guī)定

辦理.

第八條教育儲(chǔ)蓄實(shí)行利率優(yōu)惠.一年期'三年期教育儲(chǔ)蓄按開

戶日同期同檔次整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)息;六年期按開戶日五

年期整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)息.

第十一條教育儲(chǔ)蓄逾期支取，其超過原定存期的部分，按支取

日活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并按有關(guān)規(guī)定征收儲(chǔ)蓄存款利息所得

稅.

第十二條教育儲(chǔ)蓄提前支取時(shí)必須全額支取，提前支取時(shí)，儲(chǔ)

戶能提供“證明”的，按實(shí)際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期

儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并免征儲(chǔ)蓄存款利息所得稅;儲(chǔ)戶未能提供

“證明”的，按實(shí)際存期和支取日活期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并按

有關(guān)規(guī)定征收儲(chǔ)蓄存款利息所得稅.

銀行整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算公式是：

若每月固定存a元,連續(xù)存n個(gè)月，則計(jì)算利息的公式為a1+n

n2X月利率.若設(shè)月利率為q,則這個(gè)公式實(shí)際上是數(shù)列

aq,2aq,3aq,???,naq,…的前n項(xiàng)和.

用數(shù)學(xué)語言來說，這是個(gè)首項(xiàng)為aq,公差為aq的等差數(shù)列.從

這個(gè)公式中我們知道，銀行整存整取定期儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)算不是按復(fù)

利（利生息——利滾利）計(jì)算的.

我們把這樣的計(jì)算利息的方法叫做按單利（利不生息——利不滾

利）計(jì)算.

這是我們?cè)谟?jì)算時(shí)必須弄明白的，否則，我們計(jì)算的結(jié)果就會(huì)與

銀行計(jì)算的實(shí)際結(jié)果不一致.

我們還需要了解銀行的三年期'五年期的整存整取的存款利率,

以及三年期零存整取的存款利率和利息稅率：

三年期整存整取存款年利率為2.52%,月利率為0.21%;

五年整存整取存款年利率為2.79%,月利率為0.2325%;

三年期零存整取存款年利率為1.89%,月利率為0.1575%;

利息稅率為20%.

有了以上預(yù)備知識(shí)，我們來探究前面提出的八個(gè)問題：

（1）因?yàn)槿昶谡嬲〈婵钅昀蕿?.52%,月利率為0.21%,

故依教育儲(chǔ)蓄的方式，每月存入50元，連續(xù)存3年，到期一次可支

取本息共

50+50X36362X0.21%+1800=1869.93（元）.

因?yàn)槲迥暾嬲〈婵钅昀蕿?.79%,月利率為0.2325%,故

依教育儲(chǔ)蓄的方式，若每月存入50元，連續(xù)存6年，到期一次可支

取本息共

50+50X72722X0.2325%+3600=3905.50（元）.

（2）每月存入a元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共

a+aX36362X0.21%+36a（元）.

若每月存入a元，連續(xù)存6年，到期一次可支取本息共

a+aX72722X0.2325%+72a（元）.

（3）因?yàn)槿昶诹愦嬲〈婵钅昀蕿?.89%,月利率為0.157

5%,故每月存50元，連續(xù)存3年，到期一次可支取本息共

50+50X36362X0.1575%X80%+1800=1841.96（元）.

比教育儲(chǔ)蓄的方式少收益27.97（元）.

（4）設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲(chǔ)蓄的計(jì)算公式得

x+xX36362X0.21%+36x=10000.

解得x=267.39（元），即每月應(yīng)存入267.39（元）.

（5）設(shè)每月應(yīng)存入x元，由教育儲(chǔ)蓄的計(jì)算公式得

x+xX36362X0.21%+36x=10000a.

解得x=10000a37.3986=267.39a,即每月應(yīng)存入267.39a（元）.

（6）根據(jù)銀行出臺(tái)的教育儲(chǔ)蓄《管理辦法》，需要提前支取的，

在提供證明的情況下，按實(shí)際存期和開戶日同期同檔次整存整取定期

儲(chǔ)蓄存款利率計(jì)付利息，并免征儲(chǔ)蓄存款利息所得稅.故該學(xué)生支取

時(shí)，應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%,月利率為0.21%進(jìn)

行計(jì)算.由計(jì)算公式得

100+100X48482X0.21%+4800=5046.96（元）.

（7）與第⑹小題類似，應(yīng)根據(jù)實(shí)際存期進(jìn)行同檔次計(jì)算.

一到兩年的按一年期整存整取計(jì)息.一年期整存整取存款年利率

為1.98%,月利率為0.165%,故當(dāng)b=1或2時(shí)，由計(jì)算公式得

a+aX12b12b2X0,165%+12ab（元）.

當(dāng)b=3或4或5時(shí),應(yīng)按照三年期整存整取存款年利率為2.52%,

月利率為0.21%進(jìn)行計(jì)算.根據(jù)計(jì)算公式得

a+aX12b12b2X0.21%+12ab（元）.

（8）此題可以選擇多種儲(chǔ)蓄方式，學(xué)生可能提供多個(gè)結(jié)果，只要

他們計(jì)算方式符合規(guī)定的儲(chǔ)蓄方式即可.教師可以組織學(xué)生討論，然

后選擇一個(gè)最佳答案.

在上述探究問題的過程中，學(xué)到了許多課本上沒有的東西，增長(zhǎng)

了一些銀行存款的知識(shí).可以鼓勵(lì)學(xué)生用這些知識(shí)去規(guī)劃一下自己將

來接受教育的存款計(jì)劃，并與家長(zhǎng)商量，看能不能付諸現(xiàn)實(shí)；也可以

為身邊的親朋好友當(dāng)個(gè)小參謀，把學(xué)到的知識(shí)講解給他們聽一聽.

從生產(chǎn)實(shí)際和社會(huì)生活中，我們還能尋找到更多的探究題材，只

要我們做個(gè)有心人，我們學(xué)到的知識(shí)就能與生產(chǎn)實(shí)際與社會(huì)生活緊密

地結(jié)合起來.

以下實(shí)例供參考

銀行按規(guī)定在一定時(shí)間結(jié)算利息一次，結(jié)息后即將利息并入本

金，這種計(jì)算方法叫做復(fù)利，現(xiàn)在某企業(yè)進(jìn)行技術(shù)改造，有兩種方案:

甲方案-----次性貸款10萬元，第一年可獲利1萬元，以后每年比

前一年增加30%的利潤；乙方案——每年貸款1萬元，第一年可獲利1

萬元，以后每年卻比前一年增加利潤5千元，兩種方案使用期都是

10年，到期一次性還本付息，若銀行貸款利息均按年息10%的復(fù)利計(jì)

算，試比較兩方案的優(yōu)劣.(計(jì)算時(shí)，精確到千元，并取1.110七

2.594,1.310%13.79)

解:甲方案10年共獲利1+(1+30%)+…+(1+30%)9=1.31071.3-1

242.63,

到期時(shí)，銀行貸款本息為10(1+10%)10^25.94.

按甲方案扣除貸款本息后，凈收益為42.63-25.94=16.7(萬

元).

乙方案10年共獲利1+1.5+…+(1+9X0.5)=101+5.5

2=32.5,

到期時(shí)，銀行貸款本息為1+(1+10%)+-+(1+10%)9=1.110-11.1-1

-15.94.

按乙方案扣除貸款本息后，凈收益為32.5-15.94=16.6(萬元).

...甲方案略優(yōu)于乙方案.

當(dāng)貸款期限大于10年時(shí)，甲方案的優(yōu)越性更大；當(dāng)貸款期限小于

10年時(shí),則乙方案較優(yōu).

二'備用習(xí)題

1.已知集合An={x12n

()

A.792B.890C.891D.990

2.某種細(xì)菌在培養(yǎng)過程中，每20分鐘分裂一次(一個(gè)分裂為兩

個(gè))，經(jīng)過3小時(shí)，這種細(xì)菌由一個(gè)可以繁殖成()

A.511個(gè)B.512個(gè)C.1023個(gè)D.1024個(gè)

3.在等比數(shù)列｛an｝中，已知對(duì)任意自然數(shù)n,a1+a2+*"+an=2n-1,

則a21+a22+…+a2n等于()

A.(2n-1)2B.13(2n-1)2C.4n-1D.13(4n-1)

4.設(shè)f(x)=3x3x+3,則f(1101)+f(2101)+-

+f(100101)=.

5.數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)an=2n-12n,其前n項(xiàng)的和Sn二.

6.用磚砌墻，第一層(底層)用去了全部磚塊的一半多一塊，第二

層用去了剩下的一半多一塊，…，以此類推，每一層都用去了上次剩

下磚塊的一半多一塊，到第十層恰好把磚塊用完，問共有多少塊磚？

7.某縣位于沙漠邊緣地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到

1999年底全縣的綠化率已達(dá)到30%.從1999年開始，每年將出現(xiàn)這樣

的局面：原有沙漠面積的16%被栽上樹，改造成綠洲，而同時(shí)原有綠

洲面積的4%又被侵蝕，變?yōu)樯衬?

(1)設(shè)全縣面積為1,1999年底綠洲面積為a1=310,經(jīng)過一年(指

2000年底)綠洲面積為a2,經(jīng)過n年綠洲面積為an+1,求證：

an+1=45an+425.

(2)問至少經(jīng)過多少年的努力才能使全縣綠洲面積超過60%?(年

取整數(shù))(但2%。3010)

8.下圖是一個(gè)計(jì)算機(jī)裝置示意圖，J1、J2是數(shù)據(jù)入口，C是計(jì)算

結(jié)果的出口.計(jì)算過程是由J1、J2分別輸入自然數(shù)m和n,經(jīng)過計(jì)算

后得自然數(shù)k由C輸出，若此種計(jì)算機(jī)裝置完成的計(jì)算滿足以下三個(gè)

性質(zhì)：

①若J1、J2分別輸入1,則輸出結(jié)果是1;

②若J1輸入任何固定自然數(shù)不變，J