湘教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)綜合檢測(cè)卷含答案

綜合測(cè)評(píng)注意事項(xiàng)1.全卷滿分150分,考試用時(shí)120分鐘.2.考試范圍:第1章~第4章.一、單項(xiàng)選擇題(本題共8小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.過(guò)點(diǎn)P(3,-23)且傾斜角為135°的直線方程為()A.3x-y-53=0 B.x-y+3=0 C.x+y-3=0 D.x+y+3=02.已知圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-3)2+(y+4)2=36,則兩圓的位置關(guān)系為()A.相離 B.相交 C.內(nèi)切 D.外切3.“垛積術(shù)”是由北宋科學(xué)家沈括在《夢(mèng)溪筆談》中首創(chuàng),南宋數(shù)學(xué)家楊輝、元代數(shù)學(xué)家朱世杰豐富和發(fā)展的一類數(shù)列求和方法,有茭草垛、方垛、三角垛等.現(xiàn)有100根相同的圓柱形鉛筆,某同學(xué)要將它們堆放成橫截面為正三角形的垛,要求第一層為1根且從第二層起每一層比上一層多1根,并使得剩余的圓柱形鉛筆根數(shù)最少,則剩余的鉛筆的根數(shù)是()A.9 B.10 C.12 D.134.過(guò)點(diǎn)A(3,-2)且與橢圓x29+y2A.x215+y210=1 B.xC.x210+y215=1 D.5.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上,且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半,這條直線被后人稱為三角形的歐拉線.已知△ABC的頂點(diǎn)B(-1,0),C(0,2),|AB|=|AC|,則△ABC的歐拉線方程為()A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=06.過(guò)拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F作斜率為3的直線l,與拋物線C在第一象限交于點(diǎn)P,若|PF|=4,則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)是()A.3 B.13 C.127.在第二屆烏鎮(zhèn)互聯(lián)網(wǎng)大會(huì)中,為了提高安保的級(jí)別,同時(shí)又為了接待方便,將其中的五個(gè)參會(huì)國(guó)的人員安排入酒店住宿,這五個(gè)參會(huì)國(guó)人員要在a,b,c三家酒店選擇一家,各參會(huì)國(guó)人員不分住不同的酒店且每家酒店至少有一個(gè)參會(huì)國(guó)的人員入住,則這樣的安排方法共有()A.96種 B.124種 C.130種 D.150種8.已知數(shù)列{an}中,a1=2,且an+an-1=nan-an-1+2(n≥2),則數(shù)列1A.20211010 B.20211011 C.20191010二、多項(xiàng)選擇題(本題共4小題,每小題5分,共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中,有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分,部分選對(duì)的得2分,有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)F1,F2分別是雙曲線C:x2m+n-y2m-n=1的左、右焦點(diǎn),A.m=2B.當(dāng)n=0時(shí),C的離心率是2C.F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小D.當(dāng)n=1時(shí),C的實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的兩倍10.對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,則下列結(jié)論成立的是()A.a2=-144B.a0=1C.a121+a22D.a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=-3911.已知數(shù)列{an}滿足a1=1,an+2=2an+1-an(n∈N+),其前n項(xiàng)和為Sn,則下列說(shuō)法正確的是()A.{Sn}的通項(xiàng)公式可以是Sn=n2-n+1B.若a3,a7為方程x2+6x+5=0的兩根,則a6-12a7=-C.若S4S2=2,D.若S4=S8,則使得Sn>0的正整數(shù)n的最大值為1112.過(guò)直線x+y=4在第一象限上一點(diǎn)P作圓O:x2+y2=4的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,直線AB與x,y軸分別交于點(diǎn)M,N,則下列說(shuō)法正確的是()A.點(diǎn)O恒在以線段AB為直徑的圓上B.四邊形PAOB面積的最小值為4C.|AB|的最小值為22D.|OM|+|ON|的最小值為4三、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分)13.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an},a1a2=3,a7a8=27,則a4a5=.

14.已知直線l:(2a-1)x+(a-3)y+4-3a=0與圓(x-2)2+y2=9相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|的最小值為;此時(shí)a=.

15.某學(xué)校組織學(xué)生到某農(nóng)場(chǎng)參加勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng),其中有4名男生和2名女生參加,活動(dòng)結(jié)束后,農(nóng)場(chǎng)主人與6名同學(xué)站成一排合影留念,則2名女生互不相鄰,且農(nóng)場(chǎng)主人站在中間的概率為.(用數(shù)字作答)

16.已知雙曲線C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,過(guò)F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A,B兩點(diǎn).若F1A=AB,F四、解答題(本題共6小題,共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17.(10分)從①Sn=nn+a12;②S2=a3,a4=a1a2;③a1=2,a4是a2,a8的等比中項(xiàng)這三個(gè)條件中任選一個(gè),已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,公差d不等于零,.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;(2)若bn=S2n+1-S2n,數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Wn18.(12分)已知12x+2xn(1)若展開(kāi)式后三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于67,求展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng);(2)若n為滿足8<n<12的整數(shù),且展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng),試求n的值和常數(shù)項(xiàng).19.(12分)已知定點(diǎn)A(0,1),B(0,-1),C(1,0),D(2,2),動(dòng)點(diǎn)P滿足AP·BP=k|PC|2.(1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,并說(shuō)明方程表示的曲線類型;(2)當(dāng)k=2時(shí),求直線DP斜率的取值范圍.20.(12分)已知數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn=2n+1-2.(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式;(2)若an=2n-5,設(shè)cn=|an|·bn,求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.21.(12分)已知橢圓C:x2a2+y2b2(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)P作兩直線l1與l2,分別交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若直線l1與l2的斜率互為相反數(shù),求|AB|的最大值.22.(12分)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)A(2,1)是拋物線內(nèi)一點(diǎn),若該拋物線上存在點(diǎn)E,使得|AE|+|EF|有最小值3.(1)求拋物線C的方程;(2)設(shè)直線l:2x-y+4=0,點(diǎn)B是l與y軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)A作與l平行的直線l1,過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l2與拋物線相交于P,Q兩點(diǎn),直線PB,QB分別交直線l1于點(diǎn)M,N,證明:|AM|=|AN|.答案與解析1.D因?yàn)橹本€的傾斜角為135°,所以直線的斜率k=tan135°=-1,所以直線方程為y+23=-(x-3),即x+y+3=0,故選D.2.C易知圓心C1(0,0),半徑r1=1,圓心C2(3,-4),半徑r2=6,所以|C1C2|=32+(-4)2=5=r2-r1,3.A設(shè)只能堆放n層,則從最上層往下,每層鉛筆數(shù)組成首項(xiàng)為1,公差為1的等差數(shù)列,且余下的鉛筆數(shù)小于n+1,于是n(n+1)2≤100,且100-n(n+1)2<n+1,n∈N+,4.A解法一:易知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且坐標(biāo)為(-5,0),(5,0),即c=5,故可設(shè)所求的橢圓方程為x2a2+y2a2-5=1(a>0),將(3,-2)代入,得9a2+4a2-5=1,解得a2=3(舍去)解法二:設(shè)所求橢圓方程為x29+λ+y24+λ=1(λ>-4),將(3,-2)代入,得99+λ+44+λ5.D因?yàn)锽(-1,0),C(0,2),所以線段BC的中點(diǎn)的坐標(biāo)為-12,1,線段BC所在直線的斜率kBC=2,則線段BC的垂直平分線的方程為y-1=-12x+12,即2x+4y-3=0,因?yàn)閨AB|=|AC|,所以△ABC的外心、重心、垂心都在線段6.A因?yàn)橹本€l的斜率為3,所以直線l的傾斜角為60°,易知Fp2,0,所以xP=p2+2,yP=23,將p2+2,23代入y2=2px(p>0)中,得(23)2=2pp2+2,即p2+4p-12=0,解得p=2或p=-6(7.D分2步進(jìn)行分析:①把5個(gè)參會(huì)國(guó)人員按照1、1、3或1、2、2分成三組.當(dāng)按照1、1、3分時(shí),共有C53C21A22=10種方法;當(dāng)按照1、2、2分時(shí),共有C52C32A22=15種方法,則一共有10+15=258.B因?yàn)閍n+an-1=nan-an-1+2(n≥2),所以an2-an-12-2(an-an-1)=n,整理得(an-1)2-(an-1-1)2=n,所以(an-1)2-(a1-1)2=n+(n-1)+…+2.因?yàn)閍1=2,所以(an-1)2=n2021項(xiàng)和為21-12+12-13+…+12021-12022=21-120229.AC由雙曲線方程可得c2=a2+b2=m+n+m-n=2m,因?yàn)?c=4,所以c=2,所以c2=2m=4,可得m=2,A正確;當(dāng)n=0時(shí),雙曲線方程為x22-y22=1,此時(shí)a2=b2=2,c2=4,所以e=c2a2=2,B不正確;由A知m=2,故a2=2+n,b2=2-n,易知F1(-2,0),漸近線方程為y=±bax,則F1到漸近線的距離d=|-2b|4=b=2-n,所以F1到漸近線的距離隨著n的增大而減小,C正確;當(dāng)n=1時(shí),a=10.ACD(2x-3)9=[-1+2(x-1)]9,其展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=C9r(-1)9-r·[2(x-1)]r=(-1)9-r2rC9r(x-1)r,當(dāng)r=2時(shí),T3=(-1)722C92(x-1)2=-144(x-1)2,故a2=-144,A正確;當(dāng)r=0時(shí),T1=(-1)920C90(x-1)0=-1,故a0=-1,B錯(cuò)誤;ar2r=(-1)9-rC9r,則[(x-1)-1]9=a020+a121(x-1)+a222(x-1)2+…+a929(x-1)9,故當(dāng)x=2時(shí),a020+a121+a222+…+a929=0,又a0=-1,11.BD因?yàn)閍n+2=2an+1-an(n∈N+),所以an+2+an=2an+1,所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列,設(shè)公差為d,則Sn=dn2+(2-d)n2.對(duì)于A,若Sn=n2-n+1,則a2=S2-S1=3-1=2,a3=S3-S2=7-3=4,所以a3-a2≠a2-a1,數(shù)列{an}不是等差數(shù)列,與題意矛盾,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,易求得a3+a7=-6,即2a1+8d=-6,解得d=-1,則an=2-n,所以a6=-4,a7=-5,則a6-12a7=-4+52=-32,故B正確;對(duì)于C,S4S2=16d+4(2-d)4d+2(2-d)=2,解得d=0,所以S8S4=8a14a1=2,故C錯(cuò)誤;對(duì)于D,由S4=S8,得16d+4(2-d)2=64d+8(2-d)12.BCD對(duì)于A,在四邊形PAOB中,∠AOB不一定是直角,故A錯(cuò)誤;對(duì)于B,連接PO,由題易知Rt△PAO≌Rt△PBO,所以四邊形PAOB的面積S=2×12|PA|·|OA|=2|PA|=2|PO|2-4,又|PO|的最小值為點(diǎn)O到直線x+y=4的距離,即22,所以四邊形PAOB面積的最小值為28-4=4,B正確;設(shè)P(a,b),則以線段OP為直徑的圓的方程是x(x-a)+y(y-b)=0,與圓O的方程聯(lián)立,得ax+by=4,即直線AB的方程為ax+by=4,因?yàn)辄c(diǎn)P在直線x+y=4上,所以a+b=4,則b=4-a,代入直線AB的方程,得ax+(4-a)y=4,即a(x-y)+4y-4=0,令x=y,則4y-4=0,得x=1,y=1,所以直線AB過(guò)定點(diǎn)C(1,1),所以|OC|=2,數(shù)形結(jié)合可知|AB|的最小值為24-2=22,C正確;在ax+by=4中,分別令y=0,x=0,得M4a,0,N0,4b,所以|OM|+|ON|=4a+4b,因?yàn)辄c(diǎn)P(a,b)是直線x+y=4在第一象限上的點(diǎn),所以a+b=4且0<a<4,0<b<4,則4a+4b=(a+b)1a+1b=2+ba+a13.答案9解析由a1a7=a42,a2a8=a52,得a42a52=a1a7·a2a814.答案27;4解析∵直線l恒過(guò)定點(diǎn)(1,1),∴當(dāng)圓心(2,0)與點(diǎn)(1,1)的連線與直線AB垂直時(shí),|AB|最小.∵圓心(2,0)與點(diǎn)(1,1)間的距離為(2-1)2+(0-1)2=2,圓的半徑為3,∴|AB|的最小值為29-2=27.∵圓心(2,0)與點(diǎn)(1,1)連線所在直線的斜率為1-01-2=-1,∴當(dāng)|AB|最小時(shí),直線l的斜率為1,則-15.答案11解析農(nóng)場(chǎng)主人與6名同學(xué)站成一排,有A77=5040種不同的站法.若農(nóng)場(chǎng)主人站在中間,則有A66=720種不同的站法.若農(nóng)場(chǎng)主人站在中間,且兩名女生相鄰,則有4A22A44=192種不同的站法.故2名女生互不相鄰,且農(nóng)場(chǎng)主人站中間有16.答案2解析雙曲線x2a2-y2b∵F1B·F2B=0,∴F1B∴點(diǎn)B在☉O:x2+y2=c2上,不妨設(shè)點(diǎn)B在第一象限,如圖所示.由y=b∵F1A=AB,∴點(diǎn)A為線段F1B的中點(diǎn),∴A將其代入y=-bax,得b2=-ba×a-c217.解析(1)選①.易得a1=S1=1+a12,解得a1=2,即Sn=n所以S2=a1+a2=6,即a2=4,故d=a2-a1=2,(3分)所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)選②.易得2a1+d=a所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)選③.易得a42=a2a8,即(2+3d)2=(2+d)(2+7d),解得d=2(d=0舍去),(3所以an=2+2(n-1)=2n.(5分)(2)由(1)知Sn=n2+n,所以bn=S2n+1-S2n=(2n+1)2+2n+1-(2n)2-2n=3·4n所以Wn=3(4+42+43+…+4n)+(2+22+23+…+2n)=3·4(1-4n)1-4+2(1-2n)1-2=4n+1-4+218.解析(1)由已知得Cnn-2+Cnn-1+Cnn=整理得n2+n-132=0,即(n+12)(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(2分)則原式為12x+2x11,其展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第即T6=C115×126x-6×25x5T7=C116×125x-5×26x3=924x(2)12x+2xn的展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)r+1=Cnr12n-rx-(n-r)設(shè)第(r+1)項(xiàng)為常數(shù)項(xiàng),則3r-2n2=0,因?yàn)?<n<12,所以8<32r<12,即16又r∈N,所以r=6或r=7.(9分)當(dāng)r=6時(shí),n=9;當(dāng)r=7時(shí),n=212(不合題意,舍去),所以即當(dāng)n=9時(shí),展開(kāi)式中有常數(shù)項(xiàng),常數(shù)項(xiàng)為T(mén)7=C96×23=672.(1219.解析(1)設(shè)點(diǎn)P(x,y),則AP=(x,y-1),BP=(x,y+1),PC=(1-x,-y).因?yàn)锳P·BP=k|PC|2,所以x2+y2-1=k(1-x)2+ky2,即(k-1)x2+(k-1)y2-2kx+k+1=0.(2分)當(dāng)k=1時(shí),方程可化為x-1=0,此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為直線x=1;(4分)當(dāng)k≠1時(shí),方程可化為x2+y2-2kk-1x+k+1k-1=0,即此時(shí)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)kk-1,0為圓心,1|(2)當(dāng)k=2時(shí),點(diǎn)P的軌跡方程為(x-2)2+y2=1,此時(shí)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(2,0)為圓心,以1為半徑的圓.(8分)設(shè)直線DP的斜率為t,則直線DP的方程為y-2=t(x-2),即tx-y+2-2t=0,則直線tx-y+2-2t=0與圓(x-2)2+y2=1有公共點(diǎn),(10分)所以|2t+2-2t|t2+1≤1,解得t≤故直線DP的斜率的取值范圍是(-∞,-3]∪[3,+∞).(12分)20.解析(1)當(dāng)n=1時(shí),b1=S1=22-2=2;(2分)當(dāng)n≥2時(shí),bn=Sn-Sn-1=2n+1-2-(2n-2)=2n.(4分)經(jīng)檢驗(yàn),b1=2滿足bn=2n,所以bn=2n(n∈N+).(5分)(2)cn=|an|·bn=|2n-5|·2n.當(dāng)n=1或n=2時(shí),an<0;當(dāng)n≥3時(shí),an>0.當(dāng)n=1時(shí),T1=6;當(dāng)n=2時(shí),T2=10;(7分)當(dāng)n≥3時(shí),Tn=10+1·23+3·24+…+(2n-7)·2n-1+(2n-5)·2n,①2Tn=20+1·24+3·25+…+(2n-7)·2n+(2n-5)·2n+1,②①-②,得-Tn=-10+8+2(24+25+…+2n)-(2n-5)·2n+1=-2+2·16(1-2n-3)1-2-(2n-5)·2n+1,化簡(jiǎn)可得Tn=34+(2n-7)·經(jīng)檢驗(yàn),T1=6不滿足Tn=34+(2n-7)·2n+1,T2=10滿足Tn=34+(2n-7)·2n+1,所以Tn=6,n=1,34+(221.解析(1)由題意得ca=所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程