蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊第1章直線與方程1-3兩條直線的平行與垂直課件

1.3

兩條直線的平行與垂直知識(shí)點(diǎn)1

兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率都存在斜率都不存在圖示

對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1=k2兩直線斜率都不存在?l1∥l2知識(shí)點(diǎn)2

兩條直線垂直的判定類型斜率都存在一條直線的斜率不存在,另一條直線的斜率為0圖示

對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2?k1k2=-1

?l1⊥l2知識(shí)辨析1.若兩條直線平行,則這兩條直線的斜率一定相等嗎?2.若兩條直線垂直,則這兩條直線的斜率之積一定等于-1嗎?3.已知兩條直線l1,l2的傾斜角分別為α,β,若l1∥l2,則α,β滿足什么關(guān)系?若l1⊥l2呢?一語破的1.不一定.若這兩條直線的斜率都存在,則它們一定相等;也有可能這兩條直線的斜率都不存

在.2.不一定.當(dāng)兩條直線的斜率都存在時(shí),斜率之積是-1;也有可能其中一條直線的斜率不存在,

另一條直線的斜率為0.3.若l1∥l2,則α=β;若l1⊥l2,則|α-β|=90°.定點(diǎn)1兩條直線平行關(guān)鍵能力定點(diǎn)破

1.利用直線方程判定直線平行(1)已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1∥l2?k1=k2,且b1≠b2.(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1∥l2?

或

當(dāng)A2B2C2≠0時(shí),l1∥l2?

=

≠

.2.與已知直線平行的直線方程的設(shè)法(1)與直線y=kx+b平行的直線的方程可設(shè)為y=kx+m(m≠b).(2)與直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)平行的直線方程可設(shè)為Ax+By+m=0(m≠C).(3)已知直線l過點(diǎn)P(x0,y0),且與直線l1:Ax+By+C=0(P不在l1上)平行,其中A,B不全為0,則直線l的

方程可設(shè)為A(x-x0)+B(y-y0)=0.典例已知直線l1:(k-2)x+(3-k)y+1=0,l2:2(k-2)x-2y+4=0,則“k=4”是“l(fā)1∥l2”的

(

)A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件A解析

若l1∥l2,則(k-2)×(-2)-(3-k)×2(k-2)=0,解得k=2或k=4,經(jīng)檢驗(yàn)均滿足題意.因?yàn)閧k|k=4}?{k|k=2或k=4},所以“k=4”是“l(fā)1∥l2”的充分不必要條件.故選A.

1.利用直線方程判定直線垂直(1)已知直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則l1⊥l2?k1·k2=-1.(2)已知直線l1:A1x+B1y+C1=0(A1,B1不全為0),l2:A2x+B2y+C2=0(A2,B2不全為0),則l1⊥l2?A1A2+B1B2

=0.當(dāng)B1B2≠0時(shí),l1⊥l2?

·

=-1.2.與已知直線垂直的直線方程的設(shè)法(1)與直線y=kx+b(k≠0)垂直的直線的方程可設(shè)為y=-

x+m.(2)與直線Ax+By+C=0(A,B不全為0)垂直的直線的方程可設(shè)為Bx-Ay+m=0.(3)已知直線l過點(diǎn)P(x0,y0),且與直線Ax+By+C=0垂直,其中A,B不全為0,則直線l的方程可設(shè)為B(x-x0)-A(y-y0)=0.定點(diǎn)2兩條直線垂直典例在△ABC中,已知A(2,4),B(-2,1),C(8,-4),D,E分別為邊AB,AC的中點(diǎn),AH⊥BC于點(diǎn)H.(1)求直線DE的方程;(2)求直線AH的方程.解析

(1)由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得邊AB的中點(diǎn)D

,邊AC的中點(diǎn)E(5,0),則直線DE的斜率k=

=-

,所以直線DE的方程為y=-

x+

,即x+2y-5=0.(2)解法一:依題意得BC∥DE,則直線BC的斜率為-

,又AH⊥BC,因此直線AH的斜率為2,所以直線AH的方程為y-4=2(x-2),即2x-y=0.解法二:由題意得,直線BC的方程為

=

,即x+2y=0.因?yàn)锳H⊥BC,所以可設(shè)直線AH的方程為2x-y+m=0,將(2,4)代入,得m=0.所以直線AH的方程為2x-y=0.1.利用平行、垂直關(guān)系求參數(shù)已知兩條直線平行、垂直關(guān)系求參數(shù)時(shí),根據(jù)定點(diǎn)1、定點(diǎn)2中平行、垂直的判定條件建立方

程(組)求解.用點(diǎn)的坐標(biāo)表示斜率,通過斜率列關(guān)系式時(shí),要注意對(duì)參數(shù)的討論.2.利用平行、垂直判斷圖形形狀的步驟(1)描點(diǎn):在坐標(biāo)系中描出給定的點(diǎn).(2)猜測:根據(jù)描出的點(diǎn)猜測圖形的形狀.(3)求斜率:若斜率不存在,則直接說明;若斜率存在,則根據(jù)給定點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的斜率.(4)結(jié)論:由斜率之間的關(guān)系判斷圖形形狀.注意在求解過程中既要考慮斜率是否存在,又要考慮圖形可能出現(xiàn)的各種情形.定點(diǎn)3平行、垂直關(guān)系的應(yīng)用典例(1)已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),且四邊形ABCD為直角梯形,求

m和n的值;(2)已知A(1,3),B(5,1),C(3,7),A,B,C,D四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).思路點(diǎn)撥

(1)分析直角頂點(diǎn)的位置,利用兩底邊所在直線平行、直角腰與底垂直列方程組

求解.(2)點(diǎn)D位置不確定,平行四邊形形狀不固定,可分類討論,再由直線的斜率可求解.解析

(1)由四邊形ABCD是直角梯形,結(jié)合圖形得直角梯形有兩種情形:①AB∥CD,AB⊥AD,如圖1所示,易得A(2,-1),∴m=2,n=-1.②AD∥BC,AD⊥AB,如圖2所示,由圖可知

即

解得

綜上,

或

圖1

圖2(2)由題意得kAC=2,kAB=-

,kBC=-3,設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x,y),分以下三種情況:①當(dāng)BC為對(duì)角線時(shí),有kBD=kAC,kCD=kAB,所以kBD=

=2,kCD=

=-

,得x=7,y=5,即D(7,5).②當(dāng)AC為對(duì)角線時(shí),有kAD=kBC,kCD=kAB,所以kAD=

=-3,kCD=

=-

,得x=-1,y=9,即D(-1,9).③當(dāng)AB為對(duì)角線時(shí),有kBD=kAC,kAD=kBC,所以kBD=

=2,kAD=

=-3,得x=3,y=-3,即D(3,-3).所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(7,5)或(-1,9)或(3,-3).

1.到角與夾角的定義當(dāng)直線l1與l2相交時(shí),把l1繞著l1與l2的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2首次重合時(shí)所轉(zhuǎn)的角

記作θ,則θ叫作l1到l2的角,l2到l1的角就是π-θ,其中θ∈[0,π);當(dāng)直線l1與l2相交時(shí),直線l1與l2相交所

成的四個(gè)角中最小的正角,記作α,則α叫直線l1與l2的夾角,其中α∈

.2.到角公式與夾角公式若直線l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2,則(1)直線l1到l2的角θ滿足tanθ=

,θ∈[0,π),若tanθ不存在,則θ=

;(2)直線l1與l2的夾角α滿足tanα=

,α∈

,若tanα不存在,則α=

.定點(diǎn)4到角公式與夾角公式3.到角公式與夾角公式的應(yīng)用當(dāng)已知兩條直線之間的夾角和其中一條直線的方程,求另外一條直線方程時(shí),常常利用

這兩個(gè)公式來處理.若所求直線不唯一,就利用夾角公式,若利用夾角公式求出的只有一條,則

必然有一條斜率不存在;如果所求直線唯一,就利用到角公式,當(dāng)然也可以利用夾角公式,但求

出的兩條直線要根據(jù)條件舍去一條.解答此類問題時(shí),要注意數(shù)形結(jié)合,分析結(jié)果的可能個(gè)數(shù),

再?zèng)Q定取舍,同時(shí)還要注意斜率不存在的情況.典例在等腰三角形ABC中,已知腰AB所在直線的方程為x-2y-2=0,底邊BC所在直線的方程為x

+y-1=0,點(diǎn)(-2,0)在另一腰AC上,求腰AC所在直線的方程.解析

設(shè)直線