蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第一冊(cè)第2章圓與方程2-3圓與圓的位置關(guān)系練習(xí)含答案

2.3圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一圓與圓的位置關(guān)系1.(2024江蘇無(wú)錫江陰四校期中)若圓C1:x2+y2=1與圓C2:(x-4)2+(y-a)2=16有3條公切線,則a=()A.-3B.3C.3或-3D.52.(教材習(xí)題改編)已知圓C1:x2+y2=r2(r>0),圓C2:(x+3)2+(y-4)2=4,若C1與C2有公共點(diǎn),則r的最小值為()A.1B.3C.5D.73.(2024浙江寧波五校期中聯(lián)考)在坐標(biāo)平面內(nèi),與點(diǎn)A(1,2)的距離為3,且與點(diǎn)B(3,8)的距離為1的直線共有()A.1條B.2條C.3條D.4條4.(2024浙江紹興第一中學(xué)期中)已知點(diǎn)A(0,0),B(2,0),圓M:(x-4)2+(y-4)2=r2(r>0)上恰有兩點(diǎn)Pi(i=1,2)滿足PiA·題組二兩圓的公共弦與公切線5.(教材習(xí)題改編)(多選題)圓O1:x2+y2-2x+2y-2=0與圓O2:x2+y2-2ax-2ay+2a2-9=0的公共弦的長(zhǎng)為37A.±2B.±176.(多選題)(2024江西景德鎮(zhèn)一中期中)已知兩圓C1:x2+y2=4與C2:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),則下列說(shuō)法不正確的是()A.若兩圓相切,則r=3B.若兩圓的公共弦所在直線的方程為3x-4y-2=0,則r=5C.若兩圓的公共弦長(zhǎng)為23,則r=19D.若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則r=47.(2023江蘇連云港海州高級(jí)中學(xué)調(diào)研)已知圓C1:x2+y2-4x-16=0與圓C2:x2+y2+2y-4=0,則圓C1與圓C2的公切線方程是.

8.(2024江蘇常州高級(jí)中學(xué)期中)已知圓C:(x-2)2+y2=4,點(diǎn)P在直線x-y-1=0上運(yùn)動(dòng),過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線PA,PB,切點(diǎn)分別為A,B,若直線AB過(guò)定點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)為.

9.(2024四川雅安月考)已知圓M:x2+y2-2x-6y-1=0和圓N:x2+y2-10x-12y+m=0.(1)當(dāng)m取何值時(shí),兩圓外切?(2)當(dāng)m=45時(shí),求兩圓的公共弦所在的直線方程和公共弦的長(zhǎng).題組三圓與圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用10.(多選題)(2024江蘇連云港贛榆一中月考)已知圓C1:x2+y2-3x-3y+3=0與圓C2:x2+y2-2x-2y=0交于A,B兩點(diǎn),則()A.線段AB的中垂線方程為x+y=0B.直線AB的方程為x+y-3=0C.公共弦AB的長(zhǎng)為2D.所有經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓中,面積最小的圓是圓C111.(2024浙江溫州期中)已知圓C:(x-1)2+(y-1)2=4和兩點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0),若圓C上有且僅有一點(diǎn)P,使得∠APB=90°,則實(shí)數(shù)a的值是()A.2-2B.2+2C.2-2能力提升練題組一圓與圓的位置關(guān)系1.(多選題)(2024重慶南開中學(xué)期中)已知圓C1:x2+y2=1,C2:(x-3)2+(y-3)2=r2(r>0),則下列說(shuō)法正確的是()A.當(dāng)r=1時(shí),圓C1與圓C2有4條公切線B.當(dāng)r=2時(shí),直線y=1是圓C1與圓C2的一條公切線C.當(dāng)r=3時(shí),圓C1與圓C2相交D.當(dāng)r=4時(shí),圓C1與圓C2的公共弦所在直線的方程為y=-x+12.(2024山東適應(yīng)性聯(lián)考)已知直線l:x-2y-1=0與圓C:x2+y2+2ax+2y+45a2+1=0始終有公共點(diǎn),則圓C與圓M:x2+y2-ax+120aA.相交B.外離C.外切D.內(nèi)切3.(2024安徽合肥第一中學(xué)期中)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=9和兩點(diǎn)A(t,0),B(-t,0)(t>0),若圓C上至少存在一點(diǎn)P,使得PA·取值范圍是()A.(2,8)B.(2,+∞)C.(3,+∞)D.(1,3)4.(2023江蘇南京師范大學(xué)蘇州實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)若直線l:mx+y-3m-2=0與圓M:(x-5)2+(y-4)2=25交于A,B兩點(diǎn),則當(dāng)弦AB最短時(shí),圓M與圓N:(x+2m)2+y2=9的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.外離C.外切D.相交5.(2023浙江湖州六校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,若圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在點(diǎn)M,且點(diǎn)M關(guān)于直線x+y+1=0的對(duì)稱點(diǎn)N在圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,則r的取值范圍是()A.[17?2,C.[13?2,6.(2024江蘇蘇州中學(xué)期中)已知圓C:x2+y2-2x+m=0與圓(x+3)2+(y+3)2=4外切,點(diǎn)P是圓C上一動(dòng)點(diǎn),則點(diǎn)P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為.

7.(2024廣東廣州第十六中學(xué)期中)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)A(3,0),直線l:y=2x-4,設(shè)圓C的半徑為1,圓心C在直線l上.(1)若圓心C也在直線y=x-1上,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,求切線的方程;(2)若圓C上存在點(diǎn)M,使得MA=2MO,求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍.題組二兩圓的公共弦與公切線8.(2023江蘇常州十校聯(lián)考)已知圓C1:x2+y2-kx+2y=0與圓C2:x2+y2+ky-4=0的公共弦所在直線恒過(guò)點(diǎn)P,且點(diǎn)P在直線mx-ny-2=0上(m>0,n>0),則mn的最大值是()A.39.(多選題)(2023江蘇南京金陵中學(xué)河西分校調(diào)研測(cè)試)如圖,點(diǎn)A(2,0),B(1,1),C(-1,1),D(-2,0),CD是以O(shè)D為直徑的圓上的一段圓弧,CB是以BC為直徑的圓上的一段圓弧,BA是以O(shè)A為直徑的圓上的一段圓弧,三段弧構(gòu)成曲線Ω,則下列結(jié)論正確的是()A.曲線Ω與x軸圍成的圖形的面積為3B.CB與BA的公切線的方程為x+y-1-C.BA所在圓與D.CD所在圓截直線y=x所得弦的長(zhǎng)為210.(2023河南洛陽(yáng)洛寧第一高級(jí)中學(xué)月考)已知圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0與圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0.(1)證明圓C1與圓C2外切,并求過(guò)切點(diǎn)的兩圓公切線的方程;(2)求過(guò)點(diǎn)(2,3)且與兩圓相切于(1)中切點(diǎn)的圓的方程.題組三圓與圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用11.(2024黑龍江哈爾濱一中期中)已知M,N分別是圓C1:x2+y2-4x-4y+7=0,圓C2:x2+y2-2x=0上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),P為直線x+y+1=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),則PM+PN的最小值為()A.2B.12.(2023江蘇南京師范大學(xué)附屬中學(xué)階段檢測(cè))設(shè)點(diǎn)A(1,0),B(4,0),動(dòng)點(diǎn)P滿足2PA=PB,設(shè)點(diǎn)P的軌跡為C1,圓C2:(x+3)2+(y-3)2=4,C1與C2交于點(diǎn)M,N,Q為直線OC2上一點(diǎn)(O為坐標(biāo)原點(diǎn)),則MN·A.4B.2313.(2024山東德州月考)設(shè)點(diǎn)P為直線2x+y-2=0上的點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P作圓C:x2+y2+2x+2y-2=0的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,當(dāng)四邊形PACB的面積取得最小值時(shí),直線AB的方程為.

14.(2024河南頂尖名校聯(lián)盟期中)定義圓的反演點(diǎn):若點(diǎn)M在圓O外,過(guò)M作圓O的兩條切線,兩切點(diǎn)的連線與OM的交點(diǎn)就是M的反演點(diǎn);若點(diǎn)M在圓O內(nèi),則連接OM,過(guò)點(diǎn)M作OM的垂線,在該垂線與圓O的兩個(gè)交點(diǎn)處分別作圓O的切線,切線的交點(diǎn)即為M的反演點(diǎn).已知圓O:x2+y2=4,點(diǎn)M(1,3),則M的反演點(diǎn)的坐標(biāo)為.

15.(2024北京第四中學(xué)期中)已知圓C1:x2+y2+6x-2y+6=0和圓C2:x2+y2-8x-10y+41-r2=0(r>0).(1)若圓C1與圓C2相交,求r的取值范圍;(2)若直線l:y=kx+1與圓C1交于P,Q兩點(diǎn),且OP·(3)若r=2,設(shè)M為平面上的點(diǎn),且滿足:存在過(guò)點(diǎn)M的無(wú)窮多對(duì)互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓C1和圓C2相交,且直線l1被圓C1截得的弦長(zhǎng)與直線l2被圓C2截得的弦長(zhǎng)相等,試求所有滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo).

答案與分層梯度式解析2.3圓與圓的位置關(guān)系基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.C由題意得,圓C1:x2+y2=1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2:(x-4)2+(y-a)2=16的圓心為C2(4,a),半徑r2=4,因?yàn)閮蓤A有3條公切線,所以兩圓外切,則C1C2=r1+r2,即(4-0)2+(a規(guī)律總結(jié)圓與圓的位置關(guān)系與公切線條數(shù)位置關(guān)系內(nèi)含內(nèi)切相交外切外離公切線條數(shù)012342.B由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑為r,圓C2的圓心為C2(-3,4),半徑為2,則C1C2=(-3)∵C1與C2有公共點(diǎn),∴|r-2|≤C1C2≤r+2,又r>0,∴3≤r≤7,故r的最小值為3.故選B.3.D與點(diǎn)A(1,2)距離為3的點(diǎn)的軌跡是以A(1,2)為圓心,3為半徑的圓,與點(diǎn)B(3,8)距離為1的點(diǎn)的軌跡是以B(3,8)為圓心,1為半徑的圓,則所求直線即為兩圓的公切線,因?yàn)锳B=(3-1)所以兩圓外離,有4條公切線,所以符合題意的直線有4條.故選D.4.答案(3,7)解析設(shè)P(x,y),則PA·PB=(-x,-y)·(2-x,-y)=x2-2x+y2=3,變形得(x-1)2+y故點(diǎn)P在以點(diǎn)(1,0)為圓心,2為半徑的圓上,要使圓M上恰有兩點(diǎn)Pi(i=1,2)滿足Pi則圓(x-1)2+y2=4與圓M有兩個(gè)交點(diǎn),故|r-2|<(4-1)5.CD兩圓方程相減,得兩圓公共弦所在直線的方程為(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0,易得圓O1的圓心為O1(1,-1),半徑為2,因?yàn)辄c(diǎn)O1到直線(2a-2)x+(2a+2)y+7-2a2=0的距離d=22所以d=|2a解得a=±1或a=±344.故選CD6.ACD由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=2,圓C2的圓心為C2(3,-4),半徑為r,則C1C2=5,對(duì)于A,當(dāng)兩圓外切時(shí),C1C2=r1+r,即5=2+r,解得r=3;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),C1C2=r-r1,即5=r-2,解得r=7,故兩圓相切時(shí),r=3或r=7,故A中說(shuō)法錯(cuò)誤;對(duì)于B,兩圓方程相減,得公共弦所在直線的方程為6x-8y+r2-29=0,又因?yàn)楣蚕宜谥本€的方程為3x-4y-2=0,所以r2-29=-4,所以r=5,故B中說(shuō)法正確;對(duì)于C,圓心C1(0,0)到直線6x-8y+r2-29=0的距離d=|r因?yàn)閮蓤A的公共弦長(zhǎng)為23,所以23=2所以|r2-29|10=1,解得r2=19或r2=39,即r=19或r=39對(duì)于D,若兩圓在交點(diǎn)處的切線互相垂直,則滿足r2+r12=C1C22,即r2+4=25,所以r=21易錯(cuò)警示本題A選項(xiàng)容易出錯(cuò),當(dāng)已知兩圓相切時(shí),要分內(nèi)切和外切兩種情況討論.7.答案2x+y+6=0解析圓C1:x2+y2-4x-16=0,即(x-2)2+y2=20,圓心為C1(2,0),半徑r1=25,圓C2:x2+y2+2y-4=0,即x2+(y+1)2=5,圓心為C2(0,-1),半徑r2=5.因?yàn)閳A心距C1C2=5=r1-r2,所以兩圓內(nèi)切.聯(lián)立x2又kC所以公切線的方程為y-(-2)=-2(x+2),即2x+y+6=0.解題模板當(dāng)兩圓外切時(shí),有一條內(nèi)公切線,且垂直于兩圓的連心線;當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí),有一條外公切線,且垂直于兩圓的連心線.求切線方程時(shí),可先聯(lián)立兩圓方程求出切點(diǎn)坐標(biāo),再利用垂直關(guān)系求出公切線的斜率,進(jìn)而得到方程.8.答案(-2,4)解析由題意得圓C的圓心為C(2,0),半徑r=2,設(shè)P(t,t-1),由題意知A,B在以PC為直徑的圓上,該圓的方程為x-化簡(jiǎn)得x2+y2-(t+2)x-(t-1)y+2t=0,與圓C的方程(x-2)2+y2=4相減,得直線AB的方程為(2-t)x-(t-1)y+2t=0,即t(-x-y+2)+2x+y=0,由-所以直線AB過(guò)定點(diǎn)M(-2,4).9.解析設(shè)圓M的半徑為r1,圓N的半徑為r2.將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,分別為M:(x-1)2+(y-3)2=11,N:(x-5)2+(y-6)2=61-m(m<61),則圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為r1=11,r(1)當(dāng)兩圓外切時(shí),滿足MN=r1+r2,即(5-1)2+(6-3(2)當(dāng)m=45時(shí),61-m=4,則4-11則兩圓的公共弦所在直線的方程為x2+y2-2x-6y-1-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0,圓心M(1,3)到直線4x+3y-23=0的距離d=|4+9-23|42+10.BD設(shè)圓C1的半徑為r1,圓C2的半徑為r2.將兩圓方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為C1:x-322+y-圓心分別為C132,32,C2(1,1),半徑分別為r由圓的性質(zhì)可知,線段AB的中垂線過(guò)圓心C1,C2,則線段AB的中垂線的斜率為32將兩圓方程相減得直線AB的方程為x+y-3=0,B正確;圓心C2到直線AB的距離d=|1+1-3|1所以AB=2r2易知經(jīng)過(guò)A,B兩點(diǎn)的圓中,以AB為直徑的圓的面積最小,因?yàn)锳B=2r1,所以圓C1即是以AB為直徑的圓,故D正確.11.C圓C的圓心為C(1,1),半徑r=2,由點(diǎn)A(a,0),B(-a,0)(a>0)可得以AB為直徑的圓的方程為x2+y2=a2,設(shè)該圓為圓O,則圓心為O(0,0),半徑R=a,若點(diǎn)P滿足∠APB=90°,則P在圓O上,由圓C上有且僅有一點(diǎn)P使得∠APB=90°,得圓C與圓O相切,則兩圓內(nèi)切或兩圓外切易錯(cuò)點(diǎn),即OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2-a)2或OC2=(0-1)2+(0-1)2=(2+a)2,又a>0,所以a=2-2或a=2+2.故選C.能力提升練1.ABD由題意得圓C1的圓心為C1(0,0),半徑r1=1,圓C2的圓心為C2(3,3),半徑為r,故C1C2=32.當(dāng)r=1時(shí),C1C2>2=r1+r,所以兩圓外離,故有4條公切線,A正確;直線y=1是圓C1的切線,當(dāng)r=2時(shí),圓心C2到直線y=1的距離d=2=r,即直線y=1是圓C2的切線,B正確;當(dāng)r=3時(shí),C1C2>4=r1+r,即兩圓外離,C錯(cuò)誤;當(dāng)r=4時(shí),r-r1=3<C1C2<r1+r=5,即兩圓相交,故兩圓有公共弦,將兩圓方程作差得(x-3)2+(y-3)2-(x2+y2)=15,整理得2x+2y-1=0,即y=-x+12,D正確2.B由題意得圓C的圓心為C(-a,-1),半徑r1=55|a|(a≠0),圓M的圓心為M12a,0,半徑r因?yàn)橹本€l與圓C始終有公共點(diǎn),所以|-a+1|12因此CM=94所以圓C與圓M外離.故選B.3.B由題得圓C的圓心為C(3,4),半徑r=3,因?yàn)閳AC上至少存在一點(diǎn)P,使得PA·所以∠APB>90°,所以圓C與圓O:x2+y2=t2(t>0,O為坐標(biāo)原點(diǎn))相交、內(nèi)切或內(nèi)含,則OC<3+t,又因?yàn)镺C=32所以實(shí)數(shù)t的取值范圍是(2,+∞).故選B.4.B直線l的方程可變形為m(x-3)+y-2=0,所以直線l過(guò)定點(diǎn)(3,2),記為P,圓M的圓心M(5,4),半徑為5.因?yàn)?3-5)2+(2-4)2<25,所以P(3,2)在圓M內(nèi).當(dāng)弦AB最短時(shí),l⊥PM,又kPM=4-25-3此時(shí)圓N的方程是(x+2)2+y2=9,圓心為N(-2,0),半徑為3.則MN=(5+2)因?yàn)?5>5+3=8,所以圓M與圓N外離.故選B.5.D設(shè)圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱的圓為C0:(x-a)2+(y-b)2=4,則a故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.由題意可知,圓C0:(x+2)2+(y+3)2=4與圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交點(diǎn),圓C0與圓C2的圓心分別為C0(-2,-3),C2(-1,-1),半徑分別為2,r,則C0C2=(-2+1)則滿足|r-2|≤5≤r+2,解得5-2≤r≤5+2.∴r的取值范圍是[5?2,5+2].故選6.答案4解析將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+y2=1-m,圓心為C(1,0),半徑為1-m圓(x+3)2+(y+3)2=4的圓心為(-3,-3),半徑為2,因?yàn)閮蓤A外切,所以1-m所以圓C的半徑為3,因?yàn)閳A心C(1,0)到直線5x+12y+8=0的距離為|5+0+8|5所以點(diǎn)P到直線5x+12y+8=0的距離的最大值為3+1=4.7.解析(1)聯(lián)立y=2則圓C的方程為(x-3)2+(y-2)2=1,當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率不存在時(shí),直線方程為x=3,不是圓C的切線;當(dāng)過(guò)點(diǎn)A的直線的斜率存在時(shí),設(shè)其方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0,要想該直線為圓C的切線,則2k2+1所以切線方程為3x?y?33=0或(2)由題可得點(diǎn)C(a,2a-4),則圓C的方程為(x-a)2+[y-2(a-2)]2=1,設(shè)點(diǎn)M(x,y),因?yàn)镸A=2MO,所以(x-3)2+y2=2x所以點(diǎn)M在以點(diǎn)(-1,0)為圓心,2為半徑的圓上,設(shè)D(-1,0).因?yàn)辄c(diǎn)M(x,y)在圓C上,所以圓C與圓D有公共點(diǎn),所以|2-1|≤CD≤2+1,即1≤(a+1)2+(2a-4所以圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍為458.D將兩圓方程相減,得公共弦所在直線的方程為kx+(k-2)y-4=0,整理得k(x+y)-2y-4=0,令x+y=0,-2y-4=0,解得x=2,y=-2,9.BCCD,CB,BA所在圓的方程分別為(x+1)2+y2=1,x2+(y-1)2=1,(x-1)由題意得曲線Ω與x軸圍成的圖形的面積為π2設(shè)CB與BA的公切線的方程為y=kx+b(k<0,b>0),則|-1+b所以CB與BA的公切線的方程為y=-x+1+2,即x+y-1-2=0,故B由x2+(y-1)2=1與(x-1)2+y2=1作差得x-y=0,即公共弦所在直線的方程為x-y=0,故C中結(jié)論正確;CD所在圓的方程為(x+1)2+y2=1,圓心為(-1,0),圓心(-1,0)到直線y=x的距離d=|-1|2則所求弦長(zhǎng)為2×1-2故選BC.10.解析(1)由圓C1:x2+y2+4x-4y-5=0可得(x+2)2+(y-2)2=13,由圓C2:x2+y2-8x+4y+7=0可得(x-4)2+(y+2)2=13,因此兩圓的圓心分別為C1(-2,2),C2(4,-2),兩圓的半徑r1=r2=13,因?yàn)镃1C2=(-2-4)2+(2+2)2由x2(2)易知直線C1C2經(jīng)過(guò)切點(diǎn),且直線C1C2的方程為y-2由3x與兩圓相切于點(diǎn)M(1,0)的圓的圓心必在已知兩圓的圓心連線C1C2:2x+3y-2=0上,設(shè)圓心為P(a,b),半徑為r,則2所以r2=PM2=3259故所求圓的方程為(x+4)2+y-11.D將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式,分別為C1:(x-2)2+(y-2)2=1,C2:(x-1)2+y2=1.設(shè)圓C2關(guān)于直線x+y+1=0對(duì)稱的圓為C'2,其圓心為C'2(a,b).依題意得a+12因此,圓C'2:(x+1)2+(y+2)2=1.如圖所示.∵C1C'2=(-1-2)2∴(PM+PN)min=C1C'2-2=3,故選D.12.C設(shè)點(diǎn)P(x,y),則2(x化簡(jiǎn)得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C1的方程為x2+y2=4,聯(lián)立x解得x=-3,如圖所示,由平面幾何知