廣東省五校（華附省實(shí)深中廣雅六中）2022-2023學(xué)年高二年級(jí)上冊(cè)期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題解析期末試卷

2022學(xué)年上學(xué)期高二期末限時(shí)訓(xùn)練試卷

數(shù)學(xué)

本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁(yè)，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.開(kāi)考前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、班級(jí)、考號(hào)等相關(guān)信息

填寫(xiě)在答題卡指定區(qū)域內(nèi).

2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用

橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)的相

應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液.不

按以上要求作答的答案無(wú)效.

4.考生必須保持答題卡的整潔.

第一部分選擇題（共60分）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有

一項(xiàng)是符合題目要求的）

1集合A={x|2sinx=L%eR},8={x,-3x?0},則人口6=（*

A.[0,3]B.{技C.印制D.{建}

答案：D

根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出集合A，再解一元二次不等式求出集合B,即可求解.

ITT57r

解：由2sin%=l得sinx=一解得x=—+2&兀或一+2E,Z：￡Z,

266

7T5兀

所以A==k+2&?；虿?2E?wZ卜

又由爐一3彳<0解得0WxV3,所以8={川0?%<3},

所以AD8=

故選:D.

2.某地天氣預(yù)報(bào)中說(shuō)未來(lái)三天中該地下雪的概率均為0.6,為了用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)未來(lái)三天中恰有兩天

下雪的概率，用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1~5之間的隨機(jī)整數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1,2或3時(shí)，表示該天下雪，其概率為0.6,

每3個(gè)隨機(jī)數(shù)一組，表示一次模擬的結(jié)果，共產(chǎn)生了如下的20組隨機(jī)數(shù):

522553135354313531423521541142

125323345131332515324132255325

則據(jù)此估計(jì)該地未來(lái)三天中恰有兩天下雪概率為()

答案：B

分析】

根據(jù)條件找出三天中恰有兩天下雪的隨機(jī)數(shù)，再按照古典概型求概率.

解：20組數(shù)據(jù)中，其中522,135,531,423,521,142,125,324,325表示三天中恰有2天下雪，共有9組隨機(jī)數(shù),

9

所以P=—.

20

故選：B

3.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足2-1|=>-目，則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是()

A.兩條直線B.橢圓C.圓D.雙曲線

答案：A

設(shè)z=x+同，根據(jù)模長(zhǎng)相等列出方程，得到z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是兩條直線.

解：設(shè)2=》+其，則2=》一同，

|z—可得：(x-l)2+/=(2y)2,

化簡(jiǎn)得：(x—1)2=3洛

艮|J尤一1=3y或x—1=-3y,

則z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的圖形是兩條直線.

故選：A

7T

4.在“正。中，已知a=3,A=g,b=X,滿足此條件的三角形只有一個(gè)，則X滿足()

A.x=20B.xe(O,3)

C.xe{2V3}u(O,3)D.xe{2gu(0,3]

答案：D

結(jié)合正弦定理得x=26sinB，滿足條件的三角形只有一個(gè)，即X有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，即可確定B的范

圍，求得結(jié)果.

3_x則有=2氐in￡8?（o,?？?/p>

解：由正弦定理得.7isinB>

sin—

3T

???滿足條件的三角形只有一個(gè)，即X有唯一的角與其對(duì)應(yīng)，則曹

,故

x=2GsinB?(2碼(J(0,3〉

故選：D

5.圓內(nèi)接四邊形A8CD中49=2，CD=4,3。是圓的直徑，則就?訪=（）

A.12B.-12C.20D.-20

答案：B

根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)及數(shù)量積的定義即求.

由題知NBA￡)=NBCr)=90°，AD=2,CO=4

；?ACBb^(AD+DQBD^ADBb+DCBD

=|AD||BD|COSABDA-|/5C||BD|COSNBDC=|研-匹『=4-16=-12.

故選：B.

6.已知數(shù)列｛4｝為等差數(shù)列，若%+3/<0，<0,且數(shù)列｛《,｝的前〃項(xiàng)和有最大值，那么S“取

得最小正值時(shí)〃為()

A.IIB.12C.7D.6

答案：A

根據(jù)已知條件，判斷出4，%，&+%的符號(hào)，再根據(jù)等差數(shù)列前〃項(xiàng)和的計(jì)算公式，即可求得.

解：因?yàn)榈炔顢?shù)列的前〃項(xiàng)和有最大值，故可得4<0,

因?yàn)?+3。8<0,故可得4q+22d<0,即

所以生—耳4<0，可得/</￡/<(),

又因?yàn)??%<。，

故可得4>0，所以數(shù)列｛4｝的前6項(xiàng)和有最大值，

且4+%=24+1Id<0,

又因?yàn)镾%=12x-^1^-=6(4z6+tz7)<0,Su=/x(4+4J=1lx%>0,

故S〃取得最小正值時(shí)〃等于11.

故選：A.

2

yy2

7.已知過(guò)橢圓=l(a>匕>0)的左焦點(diǎn)尸(-1,0)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B,與y軸交

a瓦

于點(diǎn)。，點(diǎn)C,F是線段的三等分點(diǎn)，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是()

x2y2.222222

A.----1----=1B.二+二=1C.三+上=1D,三+二=1

65543243

答案：B

b2、

不妨設(shè)A在第一象限,由橢圓的左焦點(diǎn)b(—1,0)，點(diǎn)。,口是線段A3的三等分點(diǎn)，易得A1,—,

a)

b2、4h2

B-2,--代入橢圓方程可得三+」=1,又/=〃一〃=1,兩式相結(jié)合即可求解

Ia241

解:

不妨設(shè)A在第一象限，由橢圓的左焦點(diǎn)尸(-1,0),點(diǎn)C,/是線段AB的三等分點(diǎn),

[212

則C為A4的中點(diǎn)，耳為BC中點(diǎn)，所以乙=1,所以=則以=幺

a~b~a

“h2、b2}〃b2、

即A1,一,所以C0,——5-,B—2,——

a72a7\2a7

?2

nn4b,

將點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程得4+”=1即F+—7=1，

a24a2

a2b2

又"―Z?2=l,所以c/=5，=4,

22

所以橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程是土+匕=1.

54

故選：B

8.定義在(0,+8)的函數(shù)y=/(x)滿足：對(duì)x,G(0,+CO),且大也n止生3〉o成

玉-x2

立，且/(3)=9,則不等式/(x)>3x的解集為()

A.（9,+oo）B.（0,9）C.（0,3）D.（3,+CO）

答案：D

構(gòu)造函數(shù)g(x)=3,討論單調(diào)性，利用單調(diào)性解不等式.

X

解：由豆㈤二空⑷

>0且\/司，G(0,+OO),

%一9

/（X）fM

則兩邊同時(shí)除以士工2可得3了2

X］一馬

令g（x）=y,則g（x）=￡^在（0,+8）單調(diào)遞增,

由/（x）＞3x得以6＞3且8（3）=皿=3,

x3

即g(x)>g(3)解得x>3,

故選：D.

二、多項(xiàng)選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)

選項(xiàng)是符合題目要求的，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）

2

9.已知雙曲線與_z＞0,方＞0）的右焦點(diǎn)為F（c,o）,在線段OF上存在一點(diǎn)使得M到漸

CT

3

近線的距離為士c,則雙曲線離心率的值可以為（）

4

-4

A.不B.2C.一D.叵

3

答案：AB

寫(xiě)出雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線距離列出不等式，得到￡＞上互，判斷出AB正確.

a7

22

解:廠y1的一條漸近線方程為法-④=0,

設(shè)M(/w,0),0<m<c,

3

=-c,整理得：|同=三二,

4114b

因?yàn)?<m<c,所以￡<c

,3c<4b=4\/c2-a2

4b

4a

解得:—>-----，

a7

因?yàn)?孚2W2五T

所以AB正確，CD錯(cuò)誤.

故選：AB

10.已知正實(shí)數(shù)。，匕滿足出?+a+匕=8,下列說(shuō)法正確的是()

A.ab的最大值為2B.a+8的最小值為4

l11]

C.a+2)的最小值為6夜—3D..」+])+7的最小值為:

答案：BCD

8—〃

利用基本不等式和解一元二次不等式可判斷人1,將5=——代入a+2》，化簡(jiǎn)，利用基本不等式求解可判

Q+1

斷C,利用基本不等式“1”的妙用可判斷D.

解：對(duì)于A,因?yàn)榇?+〃=82，

即(疝『+2疝-840,解得—4W而《2，

又因?yàn)檎龑?shí)數(shù)a，b,所以0〈瘋(2，

則有ah<4,當(dāng)且僅當(dāng)a=h=2時(shí)取得等號(hào)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,ab+a+b=S<+(a+6),

即(a+h)2+4(a+0)—32N0,解得a+hW—8(舍)a+b>4,

當(dāng)且僅當(dāng)a=〃=2時(shí)取得等號(hào)，故B正確；

對(duì)于C,由題可得/a+l)=8-a所以匕=互區(qū)>0,解得0<。<8,

Q+1

?個(gè)8-。18c118八—I、18、￡大、

ci+2b=a+2---—ci------2=。+1H------322j(a+l)-----3—6>Z2—3,

Q+1Q+1a+1VQ+1

[8

當(dāng)且僅當(dāng)。+1=——即a=30—1時(shí)取得等號(hào)，故C正確;

a+1

111

對(duì)于D,-------1—=一------1--\a(b+\)+b\

〃(Z?+1)h8ag+I)/?JL」

b-S+l)

-ZH-------1------->1(2+2)=1

8670+1)bo2

ba(b+l)biA

當(dāng)且僅當(dāng)心丁t="笄T八4,a=《時(shí)取得等號(hào)’故D正確,

故選:BCD.

11.已知正方體ABC。-AAG"的邊長(zhǎng)為2,E為正方體內(nèi)（包括邊界）上的一點(diǎn)，且滿足

sinZfDZ）,則下列說(shuō)正確的有（）

15

7F

A.若足為面481GA內(nèi)一點(diǎn)，則E點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為5

B.過(guò)A3作面a使得。E_L&，若Ewa,則E的軌跡為橢圓的一部分

C.若尸，G分別為AR，8cl的中點(diǎn)，Ee面尸G45,則E的軌跡為雙曲線的一部分

V103V10

D.若尸，G分別為4A，SG的中點(diǎn)，DE與面FG45所成角為。，則sin。的范圍為lo-510

答案：ABD

對(duì)于A項(xiàng)，sinZEDD,=監(jiān)轉(zhuǎn)化為tanNEDR=1,得到￡的軌跡再求解.

對(duì)于BC項(xiàng)，根據(jù)平面截圓錐所得的曲線的四種情況解決.

對(duì)于D項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系解決.

解：對(duì)于A項(xiàng)，正方體ABC。一AAGR中，。2_1平面4耳62,若E為面44GA內(nèi)一點(diǎn)，所以

DD、_L*.

又因?yàn)閟inZEDD.=—，所以tanNEDD、=

'52

在RIAEDD］中tanNEDD1=金=號(hào)=；,所以￡＞盧=1

11兀

故點(diǎn)E的軌跡是以A為圓心1為半徑的一個(gè)圓弧，所以E點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為一—

442

故A正確.

對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)閟inNEZ)2=半，即乙口4為定值，線段?？谝矠槎ㄖ担?A的中點(diǎn)。一故點(diǎn)E的

軌跡是以。2為軸線，。旦為母線的圓錐的側(cè)面上的點(diǎn).設(shè)平面a即為下圖的圓。面，過(guò)點(diǎn)H作。4的平

行線交圓錐底面于點(diǎn)”i，交。。于點(diǎn)M,從圖形可得NDMH=NRDA=NEDR,易得

ZDOH>ZHMO=ZEDD],故E的軌跡為橢圓的一部分，所以B正確.

對(duì)于C項(xiàng)，平面a與軸線所成的角即為平面a與A4所成的角，Z^AF是平面a與軸線DD,所成的

AF1

角，在RtAdAF中tanN4AF=^-=j,而母線。尸與軸線。鼻所成的角為NEDq,在RtAED。中

FD1

tanZFDD,=-^-=-,即母線與軸線所成的角與截面a與軸線所成的角，所以點(diǎn)E的軌跡應(yīng)為拋物線，

故C不正確.

對(duì)于D項(xiàng)，以。為原點(diǎn)，方,方&力瓦分別為％y,z軸的非負(fù)半軸建立如圖所示的坐標(biāo)系，

Tt

連接DE并延長(zhǎng)交上底面4gG。于點(diǎn)g,設(shè)NA。&0,-,則

￡）（0,0,0）Ex（cosy,siny,l）A（2,0,0）B（2,2,0）F（l,0,2）,DEX=（cosy,sin/,1）

則AB=（0,2,0）礪=（-1,0,2）,設(shè)面ABGF的法向量為7=（x,y,z）

n-AB=02y=0/.

所以《n元=（2,0,1）

iiAF=0—x+2z=0'）

收?0司|2COS/+1||2COS/+1|

所以與面/GAB所成角的正弦值為sin(9=

同|西「75x72-Vio

71

又因?yàn)閥e0,-2cos/+le[l,3]

b,2cosy+IVio3M,丁

LH

所以---T=~~e—z-,——-,故D正確.

V10[1010

故選：ABD

【點(diǎn)睛】用平面去截圓錐所得的曲線可能為，圓、橢圓、拋物線、雙曲線.

截面與圓錐軸線成角等于軸線與母線所成的角，截面曲線為拋物線；

截面與圓錐軸線成角大于軸線與母線所成的角，截面曲線為橢圓；

截面與圓錐軸線成角小于軸線與母線所成的角，截面曲線為雙曲線；

截面與軸線垂直得到截面曲線為圓.

12.已知函數(shù)y(x)=ln(T),g(x)=ln(4+x),則()

A.函數(shù)y=/(2-x)+g(x-2)為偶函數(shù)

B.函數(shù)y=f(x)-g(x)為奇函數(shù)

C.函數(shù)y=/(x-2)—g(x-2)為奇函數(shù)

D.%=-2為函數(shù)函數(shù)y=/(x)+g(x)圖像的對(duì)稱軸

答案：CD

根據(jù)函數(shù)的的奇偶性定義可判斷A,B,C,根據(jù)對(duì)稱軸的性質(zhì)判斷D.

解：對(duì)于A,y=/(2-x)+g(x-2)=ln(x-2)+ln(x+2),

定義域?yàn)?2,+8),所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故A錯(cuò)誤;

對(duì)于B,y=/(x)-g(x)=ln(-x)-ln(x+4)定義域?yàn)?T,0),

所以函數(shù)為非奇非偶函數(shù)，故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,y=/(》-2)-g(x-2)=ln(2-x)-ln(2+x),

定義域?yàn)?一2,2),設(shè)〃(x)=ln(2-x)+ln(2+x),

h(-x)=ln(2+x)-ln(2-x)=-h(x),所以函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；

對(duì)于D,設(shè)?x)=/(x)+g(x)=ln(-%2-4%)定義域?yàn)?一4,0),

——]n[-(T-x)?-4(T-x)]=ln(-X?_4X)=?(%),

所以x=-2為函數(shù)函數(shù)y=/(x)+g(x)圖像的對(duì)稱軸，故D正確，

故選:CD.

第二部分非選擇題(共90分)

三、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分)

13.已知首項(xiàng)為2的數(shù)列｛4｝對(duì)滿足。,用=3%+4,則數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式。“=.

答案：4x3"-'-2

構(gòu)造用+2=3(4+2),得至1」｛。,,+2｝是等比數(shù)列，求出通項(xiàng)公式，進(jìn)而得到%=4X3"T—2.

解：設(shè)4m+；1=3(%+；1),即可M=3《,+2/1,故24=4,解得：2=2,

故4+1=34+4變形為+2=3(%+2),q+2=2+2=4,

故｛4+2｝是首項(xiàng)為4的等比數(shù)列，公比為3,

則a“+2=4x3"T,

所以a,,=4X3"T-2,

故答案為：4x3"-'-2

14.已知直線/的方向向量為1=(1,0,2),點(diǎn)4(0,1,1)在直線/上，則點(diǎn)P(l,2,2)到直線/的距離為

答案：叵

5

求出而與直線/的方向向量的夾角的余弦，轉(zhuǎn)化為正弦后可得點(diǎn)到直線的距離.

解：而=(1,1,1),

/--*\n,AP1+0+2

5

所以sin(〃,AP)=

點(diǎn)P（l,2,2）到/的距離為d=網(wǎng)sin值型=6x乎=等.

故答案為：叵.

5

15.函數(shù)/（x）=J5cosWx+0）（＜y＞（）,]＜網(wǎng)＜兀）的部分圖象如圖所示，直線丁=加（加＜0）與

這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為毛，巧，七，則sin（2玉+&一毛）=.

由圖象求得參數(shù)，由交點(diǎn)及余弦函數(shù)的對(duì)稱性結(jié)合sin（2X1+w-毛）=sin（2（4+X2）-（々+&））即可求值

5兀(5兀即COS^-co+(p也

解：由圖可知，fV2c<：OSI—69+^9

5兀兀…

—&+0=—+2E

82

5兀7兀八，

—co+(P=---F2攵兀3兀故〃x)=0cos(2x—弓)

則《44,解得8=2,(p———

?！?4

恭時(shí)＜兀

27r

-1,/（X）最小正周期為；-=兀.

直線y=m(m<0)與這部分圖象相交于三個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)從左到右分別為為，巧，不，則由圖可知

%1+w_5兀兀_3兀x2_5兀+兀_7兀

22~~8~4~~8~

/.sin（2xj+赴-A3）=sin（2（x1+&）一（馬+X3））=sin［"^^_^^）=sin1_：）=_sin：=--

故答案為：一受

2

16.已知實(shí)數(shù)x、y滿足3^—y|y|=l,則上-2y+石］的取值范圍是.

答案:（后,2發(fā)+石］.

討論入，了得到其圖象是橢圓，雙曲線的一部分組成圖形，根據(jù)圖象可得z=x-2y+逐的取值范圍，進(jìn)而

可得卜-2y+兩的取值范圍.

rIrI

解：因?yàn)閷?shí)數(shù)蒼V滿足"-yl)，l=l,

4

2

當(dāng)x〉0,y>0時(shí)，方程為三一>2=1的圖象為雙曲線在第一象限的部分；

4

2

當(dāng)x>0,y<0時(shí)，方程為r上+;/=1的圖象為橢圓在第四象限的部分；

4

2

當(dāng)x<0,y>0時(shí)，方程為—二r—:/=］的圖象不存在；

4

2

當(dāng)x<0,y<0時(shí)，方程為-三r+丁=1的圖象為雙曲線在第三象限的部分；

4-

在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)的圖象如圖所示,

卜-2)，+逐|表示點(diǎn)(x,y)到直線x_2y+百=()的距離的加倍

根據(jù)雙曲線的方程可得，兩條雙曲線的漸近線均為y=±gx,

令z=x-2y+J?,即y-2+@，與雙曲線漸近線平行,

-222

觀察圖象可得，當(dāng)過(guò)點(diǎn)(％y)且斜率為g的直線與橢圓相切時(shí),點(diǎn)(x,y)到直線x-2y+V?=0的距離最大,

即當(dāng)直線z=*-2y+逐與橢圓相切時(shí)，z最大，

7

-

——X+V2=11

聯(lián)立方程組《4-得2x2-（2z-26）x+z2-2括z+l=O,

1zV5

y=-x——+——

-222

△=（2z-2南-4x2x卜2一2底+1）=0,

解得z=\[5±2-72，

又因?yàn)闄E圓的圖象只有第四象限的部分,

所以z=^+20.

又直線x-2y+石=()與%-2丁=0的距離為1，故曲線上的點(diǎn)到直線的距離大于1,

所以z〉

綜上所述，石＜zK行+2&,

所以6＜|z|＜右+2及，

即|x+2_y-4|G^\/5,V5+2V2J,

故答案為：(6,2夜+6j.

四、解答題(本題共6小題，共70分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)

17.已知函數(shù)/(x)=2sin卜-;卜n[+聿)+2V§cos，卜-gJ+G.

(1)求函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間；

⑵求，圖+，閡+情卜借卜唱”閨+，益的作

7T

答案：(1)——+^71,——+Z：7T(kGZ)

(2)14>/3

(1)由三角恒等變換化簡(jiǎn)，由整體法結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間列不等式求解即可；

(2)令g(x)=2sin(2x-■!),分析得g(x)關(guān)于j器,0對(duì)稱，根據(jù)對(duì)稱性化簡(jiǎn)求值.

【小問(wèn)1詳解】

V32cos之

兀

x——+273

3

=sin2（x-1）+Gcos2（x-1）+26

=2sin（2x一與+^）+26

=2sin（2x-yj+2百

令2x一工e-—+2kTt,—+2kTt（kwZ）,ijiiJxG--+kn,—+kit（ZeZ）.

22V'11221122V7

故函數(shù)/(x)的單調(diào)增區(qū)間為+.+E(^eZ).

【小問(wèn)2詳解】

/(JC)=2sin(2x-1J+26,令g(x)=2sin(2x-]J,

由2x-(=Eg?Z)得兀=(+當(dāng)=4(3；；1)兀(女？Z),故g(x)關(guān)于;滬U，0(/Z)對(duì)稱,

故當(dāng)左=0時(shí)，g（x）關(guān)于篇，°對(duì)稱?

=0+0+0+0+1473

=14"

Q

18.已知等比數(shù)列｛?！埃龑?duì)任意的“eN+滿足an+an+l=—.

（1）求數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S,,定義min｛a,可為“，力中較小的數(shù)，2=min,S,,log|,,求

數(shù)列｛2｝的前〃項(xiàng)和T..

…2

答案：（1）R

一〃<4

+3〃-嗎〃“

18

Q

（1）由遞推公式得為T(mén)+4=R,結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)與條件等式兩式相處，即可求得q,再令〃=i由

等式求得％,即可根據(jù)公式法得通項(xiàng)公式:

（2）化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式得log1〃-1,分析S“與n-1的大小，即可根據(jù)min｛。，可定義得么的分段函數(shù),

即可分段求和.

【小問(wèn)1詳解】

%+4+1=4(i+q)=三

1-+--4-」——.!

設(shè)等比數(shù)列｛4｝公比為g,則有，(8兩式相除化簡(jiǎn)得1+，3,解得4=§，

q一

8

又q+4=4(1+4)=§，可得q=2.

(A、〃-1

數(shù)列｛為｝的通項(xiàng)公式q=2x上2

13,

【小問(wèn)2詳解】

3

(2]]

〃,=min<3一擊Jogj號(hào)，=min<3一擊Jogj]，=min’一擊，〃—11.

^vZ

令3一擊>〃-1,即4一擊>鞏，?.?4一擊€(3,4),.?.當(dāng)“<4時(shí)，4一擊>〃，即3一擊>“-1；

當(dāng)〃24時(shí)，4——r<n,即3——r<n—1；

3“T3”T

(-]]n-1,n<4

.?心=叫3-F'l'

,,,Q+(n-H?n2-n

故當(dāng)〃<4,T=—^——J-=---

"22

…3(*3)+|/

當(dāng)“24時(shí),

n2-n

〃<4

2

故(=?

1(1y-1r109.

—?—+3n------,?>4

2⑶18

19.已知平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F（O,1）的距離比它到x軸的距離多1.

（1）求P點(diǎn)的軌跡方程C；

（2）過(guò)點(diǎn)。（0,5）作直線/與曲線C交于A5（A點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)），求SOBF+SA.的最小值.

答案：（1）x?=4y或.x=0（y<0）

（2）20

（1）設(shè)P（x,y）,得Jf+（y_i）2=3+]即可解決;⑵設(shè)直線/為曠=丘+5,4%,乂）,3（工2，）2），聯(lián)

-20

立方程，結(jié)合韋達(dá)定理得玉=——，由基本不等式解決即可.

【小問(wèn)1詳解】

由題知，動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)尸（0,1）的距離比它到X軸的距離多I，

設(shè)尸（羽田,

所以|尸目=3+1,

當(dāng)》20時(shí)，&+。_1）2=.+1，化簡(jiǎn)得f=4y,

當(dāng)y<。時(shí)，Jf+（y_l）2=]_y,化簡(jiǎn)得x=0,

所以P點(diǎn)的軌跡方程為C:x2=4y,或.x=0（），<0）.

【小問(wèn)2詳解】

由題得，過(guò)點(diǎn)。（0,5）作直線/與曲線C交于A,3（A點(diǎn)在8點(diǎn)左側(cè)），

所以由（1）得C:/=4y,

設(shè)直線/為y=Ax+5,A（xl,yl）,B（x2,yt）,

將丁="+5代入。：爐=4y中得f一4"—20=0，

所以△=16^+80>0，即攵eR,

-20

玉+工2=4k,xtx2=-20,即玉=----,

工2

所以^^ABF+^AFO=SMQF+^BQF+SCFO

=g|。印后一/1+I=2（/-%）一;西

=2%+竺+3=2%+絲22展

—=20

%x2%

c50

當(dāng)且僅當(dāng)2%2=一，即赴=5時(shí)，取等號(hào),

X2

所以（SjBF+S扒FOL=2。

所以s》"+s△人尸O的最小值為20.

20.已知正項(xiàng)數(shù)列｛風(fēng)｝滿足一"”+14=2”,用,且4=4=1，設(shè)“=

（1）求證：數(shù)列｛5｝為等比數(shù)列并求｛%｝的通項(xiàng)公式；

（2）設(shè)數(shù)列｛〃｝的前〃項(xiàng)和為S“，求數(shù)列，丁的前〃項(xiàng)和《,?

Is〃,S”+],

l,n=1

答案：⑴4i12x32x72*…X（2"T-1）2,“22

⑵…含

（1）利用sjan+2an=2a向+向高化簡(jiǎn)導(dǎo)可得數(shù)列抄,｝是以3為公比3為首項(xiàng)的等比數(shù)列，求出4可

得牛=（2”一1丫，再利用累乘法求通項(xiàng)公式可得答案；

（2）求出‘一利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.

【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)槲?/a/，所以2+i=-i,

因?yàn)镸+24-也+4=2a“M，所以”,+2%=2%M+>

+河4+i7W+i

4，+i+€，M"+I_1且人=V^i'=1

2a“+i+2ja“a“+|2,'瘋+向2

所以數(shù)列｛d｝是以g為公比，g為首項(xiàng)的等比數(shù)列，即4=（，、

\2>

所以〃22時(shí)，-^x二x—…x—=1-x3-x71x…x（2””一1）,

4a24an-\

即a,,=『x32x72X…*（2"T-1了,

而此時(shí)〃=1時(shí)，4=01—1）2=0,

1,71=1

所以=<

Z,2

12X32X72X...X（2-'-1）,H>2

【小問(wèn)2詳解】

由⑴八出二所以s.=3i早

~2

21.已知四棱錐E—43CD中，AB=4Cr>=4,AE=2,CD//AB,AD=2五,ZQ48=45°,面

ABC。工面ME,C￡=V17

（1）求證：AE1CB；

（2）求面ADE與面BOE所成的二面角的余弦值.

答案：（1）見(jiàn)解析（2）0

（1）根據(jù)勾股定理得AE_LAC,面面垂直性質(zhì)定理得OO_L面4組，得。OJ.AE,可得平面

ABCD,即可解決；（2）建立以A為原點(diǎn)，分別以荏，福，正的方向?yàn)閤軸，＞軸，z軸正方向得空間直

角坐標(biāo)系A(chǔ)-型，空間向量法解決二面角的余弦值即可.

【小問(wèn)1詳解】

DC

E

由題知，AB-4CD=4,AE=2>CD//AB,AO=20，

ZZMB=45°,而ABCDI面ABE,CE=V17.

過(guò)。作OO_LAB,過(guò)C作CFIAB,^DOUCF,連接AC交。。于G,

因?yàn)镃D//AB,

所以四邊形OFC。平行四邊形，

所以O(shè)F=CD,OD=FC,

因?yàn)樵贏A。。中，AD=2^,ZDAO=45°,DOVAO,

所以。O=AO=2,

所以CF=2,

因?yàn)锳B=4C￡)=4,CD//AB,OF=CD,

所以。9=CO=1

所以A尸=3,

因?yàn)镃VIAB,

所以AC=JX西元R=54=屈，

因?yàn)镃E=JI7，AE=2,

所以在△ACE中，以2=4￡2+4。2,即4￡，4。，

又因?yàn)镺OJLAB,平面ABC。_￡平面ABE且交于AB，

所以。0_1_面ABE,

因?yàn)锳Eu面4?E，

所以。OJ.AE,

因?yàn)椤?gt;onAC=G,。。ACu平面ABCO,

所以AEJ_平面ABC。，

因?yàn)镃8u平面ABC。，

所以AE_LCB.

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得，面ABE,AEJ_平面ABCQ,DO//CF,

作&//OO.

所以42_1_面他￡，AE±AB>

所以Az_LAE,Az_LAB,

所以建立以A為原點(diǎn)，

分別以荏，而，否的方向?yàn)閄軸，y軸，z軸正方向得空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-Jtyz,

因?yàn)椤?gt;O=AO=2,AB=4，AE=2,

所以A(0,0,0),0(0,2,2),EQ,0,0),5(0,4,0),

所以通=(2,0,0),尻=(2,—2,-2),BD=(0,-2,2),

設(shè)面ADE與面8DE的法向量分別為加=(x，x，Z]),〃=(w，y2，Z2)>

所以

m-AE=O2x=0

}令y=i,得而=(o,i,—i),

m-DE=O2x]-2y-2Z]=0

n-BD=Q即廠2%+24=0

令%=1，得葭=(2,1,1),

n-DE=02%—2y—2Z1=0

設(shè)面ADE與面8DE所成的二面角為。，

m*n

所以面ADE與面8DE所成的二面角的余弦值為cos0

所以面A￡>E與面8OE所成的二面角的余弦值為0.

22.換元法在數(shù)學(xué)中應(yīng)用較為廣泛,其目的在于把不容易解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化