2022屆山西省太原市高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

2022屆山西省太原市高三第一次模擬數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)除法運算求出復(fù)數(shù)，再由共軛復(fù)數(shù)的意義求解作答.【詳解】依題意，，所以.故選：A2．已知全集為，集合，，集合和集合的韋恩圖如圖所示，則圖中陰影部分可表示為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】圖中陰影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素.【詳解】圖中陰影部分是表示不在集合中，但在集合中的元素，根據(jù)題意，，故選：A3．設(shè)為非零向量，，則下列命題為真命題的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)向量垂直的數(shù)量積表示判斷A，由向量共線判斷BC，利用數(shù)量積的運算判斷D．【詳解】對于A，，結(jié)論不成立，命題為假；對于B，當(dāng)與方向相反時，結(jié)論不成立，命題為假；對于C，當(dāng)與共線時，結(jié)論不成立，命題為假；對于D，若，則，即，則，所以，命題為真．故選：D．4．南北朝時期數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家祖暅提出了著名的祖暅原理：冪勢既同，則積不容異，其中“冪”指截面積，“勢”指幾何體的高.意思是說：兩個等高幾何體，若在每一等高處截面積都相等，則兩個幾何體體積相等，已知某不規(guī)則幾何體與一個由正方體和三棱錐組成的幾何體滿足“冪勢同”，組合體的三視圖如圖所示，則該不規(guī)則幾何體的體積為（

）A． B．10 C．12 D．【答案】A【分析】根據(jù)三視圖還原得該幾何體為一個正方體與一個三棱錐的組合體，結(jié)合正方體和三棱錐的體積公式計算即可.【詳解】由三視圖還原得該幾何體為一個正方體與一個三棱錐的組合體，由題意可得，．故選：A．5．的內(nèi)角的對邊分別為.若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用余弦定理可構(gòu)造方程求得，利用三角形面積公式可求得結(jié)果.【詳解】由余弦定理可得：，解得：，，.故選：C.6．為了促進邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)的發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了3名男教師和2名女教師去支援新疆教育，要求這5名教師被分派到3個學(xué)校對口支教，每名教師只去一個學(xué)校，每個學(xué)校至少安排1名教師，其中2名女教師分派到同一個學(xué)校，則不同的分派方法有（

）A．18種 B．36種 C．68種 D．84種【答案】B【分析】由題意：2名女教師分派到同一個學(xué)?？紤]該校是否分配男教師，即可求出答案.【詳解】根據(jù)題意，分派方案可分為兩種情況:①2名女教師和1名男教師分派到同一個學(xué)校，則有種方法.②2名女教師分派到同一個學(xué)校，且該學(xué)校沒有分配沒有男教師，則有：種方法.故一共有：36種分配方法.故選：B.7．下列函數(shù)圖象中，函數(shù)的圖象不可能的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】當(dāng)時，驗證正確.當(dāng)時，驗證正確.當(dāng)時，驗證正確.【詳解】當(dāng)時，，定義域為關(guān)于原點對稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時，.則即函數(shù)在上單調(diào)遞增，則函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時函數(shù)的圖象可能為選項.當(dāng)時，，定義為且關(guān)于原點對稱.，則為偶函數(shù).當(dāng)時，.則當(dāng)時，即函數(shù)在上單調(diào)遞減當(dāng)時，即則函數(shù)在上單調(diào)遞增.根據(jù)對稱性可知，此時函數(shù)的圖象可能為選項.當(dāng)時，，定義為關(guān)于原點對稱.，則為奇函數(shù).當(dāng)時，.則令，則即并且在上單調(diào)遞增，并且在上單調(diào)遞增.根據(jù)對稱性可知，此時函數(shù)的圖象可能為選項.故選：C【點睛】本題考查函數(shù)的圖象，判斷函數(shù)的奇偶性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，屬于較難的題.8．設(shè)，是橢圓：的左、右焦點，過點斜率為的直線交橢圓于點，若，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)給定條件求出，由橢圓半焦距為c表示，然后利用橢圓定義列式計算作答.【詳解】因過點斜率為的直線交橢圓于點，則有，，因此，在中，，令橢圓半焦距為c，于是得，，由橢圓定義得：，，所以橢圓的離心率是.故選：B9．已知α為銳角，且，則α的值為（

）A．70° B．60° C．50° D．40°【答案】D【分析】直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換求出即得解.【詳解】解：由可得，即，所以，又為銳角，故.故選：D.10．在平面直角坐標系中，從軸上點向圓作一條切線，設(shè)切線長為，點到直線的距離為，當(dāng)取最小值時，的值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】B【分析】利用切線長定理求出m的表達式，結(jié)合幾何意義將問題轉(zhuǎn)化為點P到定點距離與到定直線距離的和最小求解作答.【詳解】圓的圓心，半徑，過點P作圓的切線PA，A為切點，連接PC，AC，如圖，

則有，，表示動點P到定點的距離，令直線為l，過P作于點R，則，過M作于N，交x軸于點Q，連PM，MR，，當(dāng)且僅當(dāng)P，Q重合時取“=”，直線的斜率為，其方程為：，令，得，則，當(dāng)取最小值時，的值為3.故選：B11．已知實數(shù)，滿足，，則（

）A．112 B．28 C．7 D．4【答案】B【分析】等式化為：，構(gòu)造函數(shù)并探討其單調(diào)性，求出x，y的關(guān)系推理計算作答.【詳解】由得：，即，顯然有，令，則有，即有在上單調(diào)遞增，依題意，，即得：，又，則，解得，所以.故選：B【點睛】思路點睛：涉及含有不同變量的兩個等式，細心挖掘問題的內(nèi)在聯(lián)系，構(gòu)造函數(shù)，分析并運用函數(shù)的單調(diào)性求解作答.12．已知函數(shù)，若函數(shù)恰有三個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】令，易知0是其中一個零點，當(dāng)時，轉(zhuǎn)化為，令，作出函數(shù)的圖象，由有兩個不同的交點求解.【詳解】解：令，當(dāng)時，成立，當(dāng)時，可化為，令，當(dāng)時，，則，令，則，所以遞減，則即，所以在上遞增，作出函數(shù)的圖象，如圖所示：因為函數(shù)恰有三個零點，且0是其中一個零點，所以有兩個不同的交點，由圖象知：，故選：C二、填空題13．的展開式中的系數(shù)為__________．【答案】【分析】根據(jù)二項展開式的通項公式可求得結(jié)果.【詳解】因為，又的展開式的通項所以的展開式中的系數(shù)為.故答案為：.14．已知雙曲線的左焦點為，點在雙曲線的漸近線上，是邊長為2的等邊三角形（為原點），則雙曲線的方程為___________．【答案】【分析】由題意可知，進而可得出，再結(jié)合可求得、的值，由此可得出雙曲線的方程.【詳解】由于是邊長為的等邊三角形，則，由題意可得，解得，因此，雙曲線的方程為.故答案為：.15．已知在三棱錐中，平面，，，若三棱錐的外接球體積為，則異面直線與所成角的余弦值為__________.【答案】0.5【分析】根據(jù)給定條件，確定出三棱錐外接球球心并求出球半徑，再借助空間向量計算作答.【詳解】在三棱錐中，因平面，平面，則，，而，，平面，因此，平面，又平面，則，取PC中點O，連接BO，AO，如圖，于是得，即有O是三棱錐的外接球球心，由得：，，而，則有，而，，則，從而有，所以異面直線與所成角的余弦值為.故答案為：16．設(shè)函數(shù)，給出下列四個結(jié)論：①的最小正周期為；

②的值域為；③在上單調(diào)遞增；

④在上有4個零點.其中所有正確結(jié)論的序號是__________.【答案】①②④【分析】討論的范圍去掉絕對值可得到，結(jié)合圖象逐項分析可得答案.【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以，的圖象如下所以的最小正周期為，①正確；

的值域為，②正確；在上有增有減，③錯誤；

在上有4個零點，④正確.故答案為：①②④.三、解答題17．設(shè)數(shù)列的前項和為，，數(shù)列滿足，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設(shè)數(shù)列，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）根據(jù)遞推公式，結(jié)合數(shù)列前項和與第項之間的關(guān)系、等比數(shù)列的定義進行求解即可；（2）根據(jù)遞推公式，結(jié)合（1）中的結(jié)論進行求解即可；（3）根據(jù)平方差公式，結(jié)合等差數(shù)列前項和公式進行即可.【詳解】(1)由因為，所以當(dāng)時，，得：，所以，當(dāng)時，也適合，因此；(2)因為，所以當(dāng)時，，兩式相減得：，由（1）可知：，所以，當(dāng)時，，也適合上式，故；(3)因為，所以，因此.18．某校從高三年級中選拔一個班級代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強國知識大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個班級進入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評判選擇由哪個班級代表學(xué)校參加大賽．每個班級4名選手，現(xiàn)從每個班級4名選手中隨機抽取2人回答這個問題．已知這4人中，甲班級有3人可以正確回答這道題目，而乙班級4人中能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩班級每個人對問題的回答都是相互獨立、互不影響的．(1)求甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率．(2)設(shè)甲、乙兩個班級被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為，，求隨機變量，的期望，和方差，，并由此分析由哪個班級代表學(xué)校參加大賽更好．【答案】(1)(2)，，，甲班級代表學(xué)校參加大賽更好.【分析】（1）根據(jù)相互獨立事件的概率計算公式即可求出答案；（2）結(jié)合超幾何分布和二項分布，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義依次求出，，，，由此可求出答案．【詳解】(1)解：甲、乙兩個班級抽取的4人都能正確回答的概率；(2)解：甲班級能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為1，2，，，則，．乙班級能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2．所以，∴，．由，可知，由甲班級代表學(xué)校參加大賽更好．19．已知一圓形紙片的圓心為，直徑，圓周上有、兩點.如圖，，，點是上的動點.沿將紙片折為直二面角，并連結(jié)，，，.(1)當(dāng)平面時，求的長；(2)當(dāng)三棱錐的體積最大時，求二面角的余弦值.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用線面平行可得，進而求出等腰的底角即可計算作答.（2）由已知證明平面，再由體積最大可得，然后作出二面角的平面角，借助直角三角形求解作答.【詳解】(1)因平面，平面內(nèi)，平面平面，則有，因此，，而，則，所以的長是.(2)因，平面平面，平面平面，平面ABC，則平面，三棱錐的體積，因此，三棱錐的體積最大，當(dāng)且僅當(dāng)，即，取PD中點M，連接OM，CM，由，可得，如圖，于是得，即是二面角的平面角，而，在中，，則，，所以二面角的余弦值是.20．已知拋物線的焦點為，點為坐標原點，一條直線過定點與拋物線相交于、兩點，且.(1)求拋物線方程；(2)連接，并延長交拋物線于、兩點，設(shè)和的面積分別為和，則是否為定值？若是，求出其值；若不是，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在定值，定值為.理由見解析.【分析】（1）根據(jù)題意設(shè)出直線方程，利用平面向量互相垂直的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系進行求解即可；（2）根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合（1）中的方法進行求解即可.【詳解】(1)設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立為：，設(shè)，所以，因為，所以，化簡得：，把代入得：，所以拋物線的方程為；(2)拋物線的焦點，設(shè)直線的方程為：，與拋物線方程聯(lián)立為：，設(shè)，所以，即，設(shè)，同理可得：，即，，因為，所以，因為，所以，而，，，所以，因此為定值，定值為.【點睛】關(guān)鍵點睛：利用一元二次根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.21．已知函數(shù).(1)求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)討論方程實根個數(shù).【答案】(1)最小值為，最大值為(2)答案見解析【分析】（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再分析函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值；(2)構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出單調(diào)性、最值，結(jié)合圖像，即可求解.【詳解】(1)函數(shù)的定義域是，令則在上單調(diào)遞增.又時，，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增.故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又且顯然函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，最大值為(2)即為，得，即，令,易知在上單調(diào)遞增，故，構(gòu)造函數(shù)，則故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增..①當(dāng)時，恒成立，方程沒有實根；②當(dāng)時，當(dāng)時，；當(dāng)時，恒成立；方程有1個實根；③當(dāng)時，，先證：時，，令，即時，，當(dāng)時，即在上分別有一個零點，而在上單調(diào)遞遞減，在上單調(diào)遞遞增，所以在上分別有一個零點，因此方程有2個實根.22．在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，點的極坐標為.(1)求點的直角坐標和曲線的直角坐標方程；(2)若直線和曲線交于，兩點，求點到線段中點的距離.【答案】(1)；；(2).【分析】（1）利用極坐標與直角坐標互化公式求出點的直角坐標和曲線的直角坐標方程.（2）將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標方程，求出點M所對參數(shù)，再結(jié)合參數(shù)的幾何意義計算作答.【詳解】(1)點的極坐標為，由可得點P的直角坐標為，曲線：，即，于是得曲線的直角坐標方程：.(2)顯然點在直線上，將直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）代入方程得：，整理得：，設(shè)點，所對參