直線與圓的位置關(guān)系課件-2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第一冊

2.5.1直線與圓的位置關(guān)系一、課前回顧1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，會(huì)由方程求出圓心和半徑；已知圓x2+y2-4x+2y-4=0,則圓心坐標(biāo)和半徑分別是(

)A.(2,-1),3 B.(-2,1),3C.(-2,-1),3 D.(2,-1),9解析:圓的方程x2+y2-4x+2y-4=0可化為(x-2)2+(y+1)2=9.故其圓心坐標(biāo)為(2,-1),半徑為3.答案:A2、會(huì)用待定系數(shù)法求圓的方程.已知圓過A(2,2),C(3,-1)兩點(diǎn),且圓關(guān)于直線y=x對稱,求圓的一般方程.解:設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0.大海上初升的紅日,在冉冉升起的過程中,展現(xiàn)出迷人的風(fēng)采,同時(shí)也體現(xiàn)了直線與圓的三種位置關(guān)系:相交、相切、相離.我們知道，直線與圓有三種位置關(guān)系：(1)直線與圓相交，有兩個(gè)公共點(diǎn)；(2)直線與圓相切，只有一個(gè)公共點(diǎn)；(3)直線與圓相離，沒有公共點(diǎn)．思考在初中，我們怎樣判斷直線與圓的位置關(guān)系？根據(jù)上述定義，如何利用直線和圓方程判斷它們之間的位置關(guān)系？三、問題與例題問題1：直線與圓的位置關(guān)系有幾種？問題2：給定直線與圓的方程怎么判斷直線與圓的位置關(guān)系？代數(shù)法:幾何法:n=0n=1n=2直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交△<0△=0△>0利用圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系判斷：d>

rd=

rd<

r直線與圓相離直線與圓相切直線與圓相交直線l：Ax+By+C=0圓C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)分析：思路1：將判斷直線l與圓C的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為判斷由它們的方程組成的方程組有無實(shí)數(shù)解、有幾個(gè)實(shí)數(shù)解；若相交，可以由方程組解得兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求得弦長．思路2：依據(jù)圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系，判斷直線與圓的位置關(guān)系；若相交，則可利用勾股定理求得弦長．圓的弦長公式:OCBAryxd圖2.5-1我們還可以根據(jù)圓的方程求得圓心坐標(biāo)與半徑r，從而求得圓心到直線的距離d，通過比較d與r的大小，判斷直線與圓的位置關(guān)系若相交，則可利用勾股定理求得弦長．思考與初中的方法比較，你認(rèn)為用方程判斷直線與圓的位置關(guān)系有什么優(yōu)點(diǎn)？例1中兩種解法的差異是什么？【變式1】

已知直線方程mx-y-m-1=0,圓的方程x2+y2-4x-2y+1=0.當(dāng)m為何值時(shí),直線與圓(1)有兩個(gè)公共點(diǎn);(2)只有一個(gè)公共點(diǎn);(3)沒有公共點(diǎn).分析:直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)?直線與圓相交;直線與圓只有一個(gè)公共點(diǎn)?直線與圓相切;直線與圓沒有公共點(diǎn)?直線與圓相離.解法一:將直線方程y=mx-m-1代入圓的方程,化簡整理得(1+m2)x2-2(m2+2m+2)x+m2+4m+4=0,則Δ=4m(3m+4).解法二:圓的方程可化為(x-2)2+(y-1)2=4,即圓心C(2,1),半徑r=2.反思感悟

直線與圓的位置關(guān)系反映在三個(gè)方面:一是圓心到直線的距離與半徑的大小關(guān)系;二是直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù);三是兩方程組成的方程組解的個(gè)數(shù).因此,若給出圖形,可根據(jù)公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)判斷;若給出直線與圓的方程,可選擇用幾何法或代數(shù)法,幾何法計(jì)算量小,代數(shù)法可一同求出交點(diǎn).解題時(shí)可根據(jù)條件作出恰當(dāng)?shù)倪x擇.OPyx圖2.5-2OPyx圖2.5-2【變式2】

(1)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b=(

)A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或12(2)過點(diǎn)P(2,1)引圓x2+(y-2)2=1的切線,則切線長為

.

解析:(1)易知圓心坐標(biāo)為(1,1),半徑r=1,∵直線與圓相切,答案:(1)D

(2)2例3.已知圓M:(x-1)2+(y-1)2=4,直線a過點(diǎn)P(2,3)且與圓M交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,求直線a的方程.錯(cuò)解:設(shè)直線a的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.以上解題過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?提示:錯(cuò)解忽略了直線a的斜率不存在的情況.正解:①當(dāng)直線a的斜率存在時(shí),設(shè)直線a的方程為y-3=k(x-2),即kx-y+3-2k=0.如錯(cuò)解中的圖所示,作MC⊥AB交AB于點(diǎn)C,所以,直線a的方程為3x-4y+6=0.【變式3】

已知圓C的方程為x2+y2=4.(1)求過點(diǎn)P(1,2),且與圓C相切的直線的方程;(2)若直線l過點(diǎn)P(1,2),與圓C交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=2,求直線l的方程.解:(1)畫出圓C與點(diǎn)P的大致圖象(圖略)知切線的斜率存在,設(shè)切線方程為y-2=k(x-1).故所求的切線方程為y=2或4x+3y-10=0.(2)當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí),直線l的方程為x=1,故直線l的方程為3x-4y+5=0.綜上所述,直線l的方程為3x-4y+5=0或x=1.【例4】

已知實(shí)數(shù)x,y滿足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1)的最大值和最小值;(2)y-x的最大值和最小值;(3)x2+y2的最大值和最小值.分析:本題可將

和y-x轉(zhuǎn)化成與直線斜率、截距有關(guān)的問題,x2+y2可看成是點(diǎn)(x,y)與點(diǎn)(0,0)間的距離的平方,然后結(jié)合圖形求解.解:方程x2+y2-4x+1=0可化為(x-2)2+y2=3,(2)設(shè)y-x=b,則y=x+b表示經(jīng)過圓上一點(diǎn)(x,y),斜率為1,在y軸上的截距為b的直線.當(dāng)直線與圓相切時(shí),b取得最大、最小值.(3)x2+y2表示圓上一點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方,由平面幾何知識知,在原點(diǎn)和圓心的連線與圓的兩個(gè)交點(diǎn)處,圓上的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離取得最大值和最小值.以上解題過程中都有哪些錯(cuò)誤?出錯(cuò)的原因是什么?你如何改正?你如何防范?防范措施

有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系問題,要看清運(yùn)動(dòng)中的不變量,例如本例中直線的平行關(guān)系,并注意方程中變量的取值范圍.1.直線x-y-4=0與圓x2+y2-2x-2y-2=0的位置關(guān)系是(

)A.相交

B.相切C.相交且過圓心 D.相離解析:圓的方程可化為(x-1)2+(y-1)2=4.答案:D四、目標(biāo)檢測答案:C3.直線x-y-5=0截圓x2+y2-4x+4y+6=0所得的弦長等于

.

故所求圓的方程為(x-2)2+(y+1)2=4.答案:(x-2)2+(y+1)2=44.圓心坐標(biāo)為(2,-1)的圓被直線x-y-1=0截得的弦長為2,則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

.

5.a為何值時(shí),直線2x-y+1=0與圓x2+y2=a2(a>0)相離、相切、相交?解:由圓的方程x2+y2=a2(a>0),知圓心為O(0,0),圓的半徑r=a,五、小結(jié)直線Ax+By+C=0(A,B不同時(shí)為0)與圓(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)的位置關(guān)系直線l截圓C的弦長公式:九、配餐作業(yè)A組題3.4.直線y=kx+1與圓x2+y2=4的位置關(guān)系是(

)A.相離 B.相切 C.相交 D.不確定解析:直線y=kx+1過點(diǎn)(0,1),因?yàn)樵擖c(diǎn)在圓x2+y2=4內(nèi),所以直線與圓相交.答案:C解析:直線(a+1)x+(a-1)y+2a=0恒過定點(diǎn)(-1,-1).∵