橢圓的簡單幾何性質（第一課時）課件-2024-2025學年高二上學期數學人教A版（2019）選擇性必修第一冊

3.1.2橢圓的簡單幾何性質與利用直線的方程、圓的方程研究它們的幾何性質一樣，我們利用橢圓的標準方程研究橢圓的幾何性質，包括橢圓的范圍、形狀、大小、對稱性和特殊點等．通過對曲線的范圍、對稱性及特殊點的討論，可以從整體上把握曲線的形狀、大小和位置，所以，本章對幾種圓錐曲線都是從范圍、對稱性、頂點及其他特性等方面研究它們的幾何性質．OA1A2B2B1bcaxyF1F2圖3.1-7OA1A2B2B1bcaxyF1F2圖3.1-71．范圍思考觀察圖3.1-7，容易看出橢圓上的點都在一個特定的矩形內，你能利用方程（代數方法）確定出它的具體邊界嗎？2．對稱性探究觀察橢圓的形狀，可以發(fā)現橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，如何利用方程說明橢圓的對稱性？xyO綜上，橢圓關于x軸、y軸都是對稱的．這時，坐標軸是橢圓的對稱軸，原點是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心．A1B1B2A2xyO圖3.1-83．頂點研究曲線上某些特殊點的位置，可以確定曲線的位置．A1B1B2A2xyO圖3.1-8問題1填表:橢圓的幾何性質

做一做:(1)橢圓6x2+y2=6的長軸的端點坐標是(

)(2)因為a=5,所以-5≤m≤5.答案:(1)D

(2)[-5,5]圖3.1-94．離心率思考觀察圖3.1-9，我們發(fā)現，不同形狀的橢圓的扁平程度不同，相同形狀的橢圓的扁平程度相同．扁平程度是橢圓的重要形狀特征，你能用適當的量定量刻畫橢圓的扁平程度嗎？圖3.1-10xyOOPxyF1F2越圓越扁做一做:若直線x+2y-2=0經過橢圓(a>b>0)的一個焦點和一個頂點,則該橢圓的離心率e=

.

解析:由題意知橢圓焦點在x軸上,在x+2y-2=0中,令y=0得x=2,從而得c=2;變式1：

求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)長軸長是短軸長的5倍,且過點A(5,0);(2)離心率e=,焦距為12.分析:焦點位置不確定,分兩種情況利用待定系數法求解.反思感悟

根據幾何性質求橢圓標準方程的一般方法及步驟(1)基本方法:待定系數法.(2)一般步驟:【例2】

設橢圓mx2+4y2=4m(m>4)的離心率為,試求橢圓的長軸長和短軸長、焦點坐標及頂點坐標.分析:先將橢圓方程化為標準形式,用m表示出a,b,c,再由e=求出m的值,然后求2a,2b、焦點坐標、頂點坐標.反思感悟

用標準方程研究幾何性質的步驟:(1)將橢圓方程化為標準形式;(2)確定焦點位置;(焦點位置不確定的要分類討論)(3)求出a,b,c;(4)寫出橢圓的幾何性質.提醒:長軸長、短軸長、焦距不是a,b,c,而應是2a,2b,2c.【變式訓練2】

已知橢圓x2+my2=1的離心率為,求m的值及橢圓的長軸長.【例3】

(1)已知F1,F2是橢圓的兩個焦點,過F1且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于A,B兩點,若△ABF2是正三角形,則該橢圓的離心率是

.解析:不妨設橢圓的焦點在x軸上,因為AB⊥F1F2,且△ABF2為正三角形,所以在Rt△AF1F2中,∠AF2F1=30°.1.你能標出圖中橢圓焦點的位置嗎？依據是什么？四、當堂檢測A1B1B2A2xyOF1F22.求下列橢圓的焦點坐標：5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為什么？5.比較下列每組中橢圓的形狀，哪一個更圓，哪一個更扁？為什么？A.a2=15,b2=16B.a2=9,b2=25C.a2=25,b2=9D.a2=25,b2=9或a2=9,b2=25答案:CA.8 B.7 C.5 D.4解析:由題意得m-2>10-m,且10-m>0,于是6<m<10,再由(m-2)-(10-m)=22,得m=8.答案:A3.已知F1,F2是橢圓C的兩個焦點,P是C上的一點,若PF1⊥PF2,且∠PF2F1=60°,則C的離心率為(

)解析:不妨設橢圓方程為