《數(shù)學(xué)》復(fù)習(xí)人教A（新高考）-第8節(jié)　微課4　探索性問題及證明問題

微課四探索性問題及證明問題題型分類突破題型跟蹤訓(xùn)練內(nèi)容索引12//////////////題型分類突破1題型一探索性問題///////【例1】(2)過拋物線焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)A，B處作拋物線的切線，兩條切線交于P點(diǎn)，則△PAB的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由． 解由拋物線方程x2＝4y知，F(xiàn)(0，1)． 易知直線l的斜率存在，則設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1. Δ＝(－4k)2－4×(－4)＝16k2＋16>0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.此類問題一般分為探究條件、探究結(jié)論兩種．若探究條件，則可先假設(shè)條件成立，再驗(yàn)證結(jié)論是否成立，成立則存在，否則不存在；若探究結(jié)論，則應(yīng)先求出結(jié)論的表達(dá)式，再針對(duì)其表達(dá)式進(jìn)行討論，往往涉及對(duì)參數(shù)的討論．感悟升華聯(lián)立a＝2b，解得a＝2且b＝1.題型二證明問題///////所以Δ＝4－t2＞0，即－2＜t＜2，又t≠0，所以t∈(－2，0)∪(0，2)，法一要證明|AM|＝|AN|，可轉(zhuǎn)化為證明直線AQ，AR的斜率互為相反數(shù)，即證明kAQ＋kAR＝0.圓錐曲線中的證明問題常見的有：(1)位置關(guān)系方面的：如證明直線與曲線相切，直線間的平行、垂直，直線過定點(diǎn)等．(2)數(shù)量關(guān)系方面的：如存在定值、恒成立、相等等．在熟悉圓錐曲線的定義與性質(zhì)的前提下，一般采用直接法，通過相關(guān)的代數(shù)運(yùn)算證明，但有時(shí)也會(huì)用反證法證明．感悟升華【訓(xùn)練2】(2020·景德鎮(zhèn)一模)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，C，D是拋物線上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)，△ECD是面積為4的直角三角形．

(1)求拋物線的方程；【訓(xùn)練2】(2020·景德鎮(zhèn)一模)拋物線x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，C，D是拋物線上關(guān)于y軸對(duì)稱的兩點(diǎn)，點(diǎn)E是拋物線準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)，△ECD是面積為4的直角三角形．

(2)若A為拋物線上第一象限的一動(dòng)點(diǎn)，過F作AF的垂線交準(zhǔn)線l于點(diǎn)B，求證：直線AB與拋物線相切．題型跟蹤訓(xùn)練21．(2020·鄭州模擬)如圖，圓C與x軸相切于點(diǎn)T(2，0)， 與y軸正半軸相交于兩點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的下方)， 且|MN|＝3. (1)求圓C的方程； 解

設(shè)圓C的半徑為r(r>0)，依題意，圓心C的坐標(biāo)為(2，r)．①當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，可知∠ANM＝∠BNM＝0.②當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，可設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋1.所以∠ANM＝∠BNM.綜合①②知∠ANM＝∠BNM.又a2＝b2＋c2，證明

A(－2，0)，B(2，0)．所以kBC＝kBQ，即C，B，Q三點(diǎn)共線．3．(2021·濟(jì)南模擬)已知平面上一動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t2，－2t)．

(1)求點(diǎn)A的軌跡E的方程；解

設(shè)動(dòng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)锳的坐標(biāo)為(2t2，－2t)，當(dāng)t＝±1時(shí)，直線AB的方程為x＝2；所以直線AB過定點(diǎn)(2，0)．②法一因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t2，－2t)，且圓A與直線x＝－2相切，所以圓A的方程為(x－xA)2＋(y－yA)2＝(xA＋2)2，同理圓B的方程為(x－xB)2＋(y－yB)2＝(xB＋2)2，由①可知當(dāng)t≠±1時(shí)直線AB的方程為由題意知H是兩條直線的交點(diǎn)，所以兩個(gè)方程相乘得y2＝－(x－2)(x＋1)，法二由題意知直線x＝－2為圓A與圓B的公切線，設(shè)切點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，兩圓的公共弦交公切線x＝－2于點(diǎn)G，則由切割線定理知G為EF的中點(diǎn)，因?yàn)楣蚕冶嘏c兩圓的圓心的連線垂直，所以公共弦恒過S(－1，0)．由平面幾何的知識(shí)可知，