廣東省中山市2022-2023學(xué)年九年級上學(xué)期數(shù)學(xué)期末試卷（含答案與解析）

中山市2022?2023學(xué)年上學(xué)期期末水平測試試卷

九年級數(shù)學(xué)

注意事項(xiàng):

1.本試卷共4頁，總分120分，考試時間90分鐘。

2.答題前，考生務(wù)必將姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡相應(yīng)位置上。

3.考生務(wù)必將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

4.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項(xiàng)選擇題（共10個小題，每小題3分，滿分30分）

1.下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（）

A.(-4,-1)B.(4,1)C.(4,-1)D.(-4,1)

3.方程(x-3)(x+2)=0根是()

A.X1=3,X,=2B.%=3,=-2

D.%=-3,&=2

C.5=-3,x2=-2

4.已知關(guān)于x的一元二次方程d+3x—2=O,下列說法正確的是（）

A.方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.方程沒有實(shí)數(shù)根D.方程的根為玉=1,X2=-2

5.下列事件中，必然發(fā)生的事件是（）

A.從一個班級中任選13人，至少有兩人的出生月份相同

B.中山市近三天會下雨

C.車開到一個十字路口，遇到綠燈

D.從廣州南站到中山站的動車0137明天正點(diǎn)到達(dá)中山站

6.如圖，AB為。。的直徑，CQ是。。的弦，ZADC=35°,則NCAB的度數(shù)為（）

c

A.35°B.45°C.55°D.65°

7.如圖，用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤中和轉(zhuǎn)盤乙的指針，則哪個轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率大（）

轉(zhuǎn)盤甲轉(zhuǎn)盤乙

A.轉(zhuǎn)盤甲B,轉(zhuǎn)盤乙C.無法確定D.一樣大

8.如圖，在OO中，04=2,NAC8=45。，則圖中陰影部分的面積為（）

兀71

C.一D.

42

9.從底面豎直向上拋出一小球，小球的高度人（單位：m）與小球運(yùn)動時間，（單位：s）之間的關(guān)系式

是：力=30/-5產(chǎn)，這個函數(shù)圖象如圖所示，則小球從第3s到第5s的運(yùn)動路徑長為（）

▲加m

A.15mB.20mC.25mD.30m

10.點(diǎn)。是。。內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)尸的最長弦的長為10,最短弦的長為6,則0P的長為（）

A.8B.2C.5D.4

二、填空題（共5個小題，每小題3分，滿分15分）

11.關(guān)于X的一元二次方程x2—3x+7W=O有一個根是x=l,則團(tuán)=.

12.若點(diǎn)A（3,-5）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

13.已知。。的半徑為6,則。。的內(nèi)接正方形的邊長為.

14.在一個不透明的盒子里裝有除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，其中黑球有5個.將盒子里的

球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，整理數(shù)據(jù)后，制作了

“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里白球有.

，,摸出黑球的頻率

0.4■

0.2——,-■~!_,-._*_?_,_*_—

~O-50100150200250300350400450500的總次數(shù)

15.如圖，在AABC中，NA=54°,點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，則N6OC=度.

三、解答題（共3個小題，每小題8分，滿分24分）

16.解方程：X2-2X-2=0-

17.求函數(shù)y=—f+4x+5最值，并說明是最大值還是最小值.

18.一個鞋柜里放有一雙白色運(yùn)動鞋和一雙黑色皮鞋，如果從中隨機(jī)取出2只鞋子，求取出的鞋子是同一雙

的概率.

四、解答題（共3個小題，每小題9分，滿分27分）

19.如圖，的直徑AB=10,C、。是圓上的兩點(diǎn)，AD=BC，ZACD=3O°,求A,。兩點(diǎn)的距離.

20.如圖，四邊形ABCD是正方形，AADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到AABE,且點(diǎn)E在線段AD上，若

AF=4,ZF=60°.

<1）指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度;

(2)求DE長度和/EBD的度數(shù).

21.如圖，矩形ABCQ是一塊長16米、寬12米荒地，要在這塊荒地上建造一個矩形花園EFG”，在花

園的外圍是寬度相等的小路.要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？

五、解答題(共2個小題，每小題12分，滿分24分)

22.如圖，與等邊&43C的邊AC、A8分別交于點(diǎn)。、E，AE是O。的直徑，過點(diǎn)。作±BC

于點(diǎn)F-

(1)求證：。E是0。的切線：

(2)已知。。半徑為3,連接EF,當(dāng)?shù)冗匒ABC的邊長為多少時，E尸與。。相切？

23.已知拋物線y=at2+Z?x+c關(guān)于丁軸對稱，與x軸交于A、8兩點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為(—1,0)，拋物線還經(jīng)

過點(diǎn)(-3,8).

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)C在），軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題（共10個小題，每小題3分，滿分30分）

1.下列圖形中，是中心對稱圖形，但不是軸對稱圖形的是（

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形與中心對稱圖形的概念求解.

【詳解】解：A、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤;

B、是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤;

C、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)正確;

D、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項(xiàng)錯誤;

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題主要考查中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念：軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分

沿對稱軸折疊后可重合；中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180°后能與原圖重合.

2.拋物線y=—的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(-4,-1)B.(4,1)C.(4,-1)D.(-4.1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)頂點(diǎn)式丁=4(%-獷+女的頂點(diǎn)坐標(biāo)為仇人)求解即可.

【詳解】解：拋物線丁=一(％-4)2-1的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(4,-1)

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x—〃7+%的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(〃M),掌握頂點(diǎn)式求頂點(diǎn)坐標(biāo)是解

題的關(guān)鍵.

3.方程(x-3)(x+2)=0的根是()

A.%=3,4=2B.玉=3,4=-2

芭

C.X1=-3,x2=-2D.=-3,X2=2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)因式分解法解一元二次方程即可

【詳解】??,(x-3)(x+2)=0,

；?x—3=0或x+2=0,

??%!=3，x?——2，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了用因式分解法解一元二次方程，熟練掌握解一元二次方程的方法是解決問題的關(guān)鍵

4.已知關(guān)于x的一元二次方程了2+3%—2=0,下列說法正確的是()

A.方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根B.方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根

C.方程沒有實(shí)數(shù)根D.方程的根為占=1,%=-2

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)一元二次方程根的判別式公=從一4℃的符號判斷即可

【詳解】解：：x2+3x—2=0,

AA=/?2-4;zc=32-4xlx(-2)=17>0,

.??方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)判別式判斷一元二次方程根的情況，熟練掌握判別式是解決問題的關(guān)鍵

5.下列事件中，必然發(fā)生的事件是（)

A.從一個班級中任選13人，至少有兩人的出生月份相同

B.中山市近三天會下雨

C.車開到一個十字路口，遇到綠燈

D.從廣州南站到中山站的動車0137明天正點(diǎn)到達(dá)中山站

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷.

【詳解】A、是必然事件，故此選項(xiàng)符合題意；

B、是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、是隨機(jī)事件，故此選項(xiàng)不符合題意；

故選:A.

【點(diǎn)睛】本題考查了必然事件，解決本題需要正確理解必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事

件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件；不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件；不確定事件即

隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

6.如圖，A8為。0的直徑，C￡＞是。。的弦，ZADC=35°,則NC4B的度數(shù)為（）

A.35°B.450C.55°D.65°

【答案】C

【解析】

【分析】由同弧所對的圓周角相等可知/B=/4DC=35。；而由圓周角的推論不難得知NAC8=90。，則由

ZCAB=90°-ZB即可求得.

【詳解】解：；NAOC=35。，/AOC與N8所對的弧相同，

：.ZB=ZADC=35°,

是。。的直徑，

，ZACB=90°,

AZCAB=90°-ZB=55°,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了同弧所對圓周角相等以及直徑所對的圓周角是直角等知識，解題關(guān)鍵是熟記圓周角

定理.

7.如圖，用力轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙的指針，則哪個轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率大（）

（B?

轉(zhuǎn)盤甲轉(zhuǎn)盤乙

A.轉(zhuǎn)盤甲B.轉(zhuǎn)盤乙C.無法確定D.一樣大

【答案】D

【解析】

【分析】首先分別求出轉(zhuǎn)盤中和轉(zhuǎn)盤乙中白色區(qū)域占各自圓面積的一半，轉(zhuǎn)換成概率即可得出答案.

【詳解】解：轉(zhuǎn)盤甲，白色區(qū)域占該圓總面積的轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率為科；

轉(zhuǎn)盤乙，白色區(qū)域占該圓總面積的轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率為方；

因此轉(zhuǎn)盤甲和轉(zhuǎn)盤乙中轉(zhuǎn)盤的指針停在白色區(qū)域的概率均為g

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了幾何概率，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在OO中，OA=2,ZACB=45°,則圖中陰影部分的面積為（）

【分析】先利用圓周角定理求出度數(shù)，再根據(jù)扇形面積公式求解即可.

【詳解】解；；NACB=45°,

ZAOB=2ZACB=90°,

,90°x^-x22

??陰影——標(biāo)——71'

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，扇形面積，熟知扇形面積公式和圓周角定理是解題的關(guān)鍵.

9.從底面豎直向上拋出一小球，小球的高度/?（單位：m）與小球運(yùn)動時間f（單位：s）之間的關(guān)系式

是：%=30/-5凡這個函數(shù)圖象如圖所示，則小球從第3s到第5s的運(yùn)動路徑長為（）

A.15mB.20mC.25mD.30m

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)小球的高度〃（單位：m）與小球運(yùn)動時間單位：s）之間的關(guān)系式求出/=3,U5時的函

數(shù)值，求其差即可.

【詳解】解：???小球高度〃（單位：m）與小球運(yùn)動時間r（單位：s）之間的關(guān)系式是：h=30t-5t2,

當(dāng)仁3時，〃=30x3-5x32=90-45=45m,

當(dāng)t=5時，/?=30x5-5X52=150-125=25m,

...小球從第3s到第5s的運(yùn)動路徑長為45m-25m=20m.

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查求函數(shù)值，有理數(shù)減法，掌握求函數(shù)值的方法是解題關(guān)鍵.

10.點(diǎn)P是。。內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P的最長弦的長為10,最短弦的長為6,則OP的長為（）

A.8B.2C.5D.4

【答案】D

【解析】

【分析】圓內(nèi)最長的弦為直徑，最短的弦是過點(diǎn)尸且與這條直徑垂直的弦，由勾股定理和垂徑定理求解即

可.

【詳解】解：???圓內(nèi)最長的弦為直徑，最短的弦是過點(diǎn)P且與這條直徑垂直的弦，

AB=10>CD—6,

：.OC=-AB=5,

2

由垂徑定理得：

2

由勾股定理得：OP=doc2-OM2=752-32=4,

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了垂徑定理和勾股定理.解此類題目要注意將圓的問題轉(zhuǎn)化成三角形的問題再進(jìn)行

計算.

二、填空題（共5個小題，每小題3分，滿分15分）

11.關(guān)于工的一元二次方程/一3%+〃?=0有一個根是兀=1,則"?=.

【答案】2

【解析】

【分析】把x=l代入方程，得到關(guān)于m的方程，即可求解.

2

［詳解］：關(guān)于x的一元二次方程x-3x+m=0有一個根是x=1，

I2-3xl+w=0>解得：m=2,

故答案是：2.

【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程的解，理解方程的解的意義，是解題的關(guān)鍵.

12.若點(diǎn)A（3,—5）與點(diǎn)B關(guān)于原點(diǎn)對稱，則點(diǎn)8的坐標(biāo)為.

【答案】（-3,5）

【解析】

【分析】根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)解答.

【詳解】解：?.?點(diǎn)A（3,-5）,點(diǎn)A與點(diǎn)8關(guān)于原點(diǎn)對稱，

.?.點(diǎn)3（-3,5）.

故答案為：（一3,5）.

【點(diǎn)睛】本題考查了關(guān)于原點(diǎn)對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)，熟記“關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，橫、縱坐標(biāo)都變成相反數(shù)”是

解題的關(guān)鍵.

13.已知的半徑為6,則。。的內(nèi)接正方形的邊長為.

【答案】60

【解析】

【分析】如圖見解析，利用正方形的性質(zhì)以及勾股定理即可求得正方形的邊長.

【詳解】解：如圖所示，。。的半徑為6

?..四邊形ABCD為正方形，?B90?

...AC為0。的直徑，AB=BC

AC=2?612

在中，AC2=AB2+BC2

???2AB2=144

解得，AB=6五

即O。的內(nèi)接正方形的邊長為6夜

故答案為：6五

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)和圓內(nèi)接圖形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵.

14.在一個不透明的盒子里裝有除顏色不同外其余均相同的黑、白兩種球，其中黑球有5個.將盒子里的

球攪勻后從中隨機(jī)摸出一個球記下顏色，再把它放回盒子中，不斷重復(fù)上述過程，整理數(shù)據(jù)后，制作了

“摸出黑球的頻率”與“摸球的總次數(shù)”的關(guān)系如圖所示，經(jīng)分析可以推斷盒子里白球有.

，摸出黑球的頻率

0.4■

0.2——,■―.-!~?—.-*—?-?_?_—

~O-50100150200250300350400450500的總次數(shù)

【答案】20個

【解析】

【分析】先根據(jù)黑球個數(shù)和摸出黑球的頻率，求出總球數(shù)，再用總球數(shù)減去黑球的數(shù)量即可得到白球的

數(shù)量.

【詳解】解：根據(jù)圖象可知，摸出黑球的頻率為0.2,

所以總的球數(shù)為：5+0.2=25個，

所以白球數(shù)量為：25—5=20個，

故答案為：20個.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了頻數(shù)和頻率，根據(jù)黑球的頻數(shù)和頻率求出總數(shù)是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在&鉆。中，NA=54。，點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，則度.

A

【答案】117

【解析】

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)進(jìn)行求解即可.

【詳解】解；???NA=54°,

ZABC+NACB=180?！狽A=126。，

點(diǎn)。是AABC的內(nèi)心，

???08、OC分別是NABC,NAQ?的角平分線，

ZOBC=-NABC,ZOCB=-ZACB,

22

ZBOC=180°-NOBC-ZOCB=180°--(ZABC+NACB)=117°,

故答案為；117.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了與角平分線有關(guān)的三角形內(nèi)角和，熟知內(nèi)心是三條角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)

鍵.

三、解答題(共3個小題，每小題8分，滿分24分)

16.解方程：X2-2x-2=0-

【答案】王=1+百,毛=1一百

【解析】

【分析】把方程化成x2=a的形式，再直接開平方，即可得到方程的解.

【詳解】2x—2=0

X2-2%+1-1-2=0

x2-2x+l=3

(x-l)2=3

X=1±百

.??原方程的解為再=1+6，馬=1—6

【點(diǎn)睛】考查了用配方法解一元二次方程，用配方法解一元二次方程的步驟：①把原方程化為一般形式;

②方程兩邊同除以二次項(xiàng)系數(shù)，使二次項(xiàng)系數(shù)為1,并把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊；③方程兩邊同時加上一次

項(xiàng)系數(shù)一半的平方；④把左邊配成一個完全平方式，右邊化為一個常數(shù)；⑤進(jìn)一步通過直接開平方法求出

方程的解，如果右邊是非負(fù)數(shù)，則方程有兩個實(shí)根；如果右邊是一個負(fù)數(shù)，則方程無實(shí)數(shù)根.

17.求函數(shù))；=-/+48+5的最值，并說明是最大值還是最小值.

【答案】當(dāng)》=2時，y=9；是最大值.

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)y=o?+云+。的性質(zhì)，。=—1<0時拋物線開口向下，有最大值，無最小值.用

配方法將其化為頂點(diǎn)式，即可求出最大值.

【詳解】解：在本函數(shù)中

a=-1<0

拋物線開口向下，有最大值，

將y=—f+4x+5進(jìn)行配方，

得y=—*+4x+5=—(x—2)-+9,

.,.當(dāng)x=2時，

y=9,為最大值.

【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)丁=依2+法+。的性質(zhì)，熟練掌握拋物線圖像與系數(shù)的關(guān)系，能正確求出頂

點(diǎn)坐標(biāo)是解本題的關(guān)鍵.

18.一個鞋柜里放有一雙白色運(yùn)動鞋和一雙黑色皮鞋，如果從中隨機(jī)取出2只鞋子，求取出的鞋子是同一雙

的概率.

【答案】-

3

【解析】

【分析】先畫出樹狀圖得到所有的等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩只鞋子是同一雙的結(jié)果數(shù)，最后依據(jù)概率計

算公式求解即可.

【詳解】解：設(shè)白色的兩只鞋子分別用A、B表示,黑色的兩只鞋子分別用C、。表示，

畫樹狀圖如下：

開始

由樹狀圖圖可知一共用12種等可能性的結(jié)果數(shù)，其中兩只鞋子是同一雙的結(jié)果數(shù)有4種,

41

.?.兩只鞋子是同一雙的概率為一=一.

123

【點(diǎn)睛】本題主要考查了樹狀圖法或列表法求解概率，正確畫出對應(yīng)的樹狀圖或列出表格是解題的關(guān)鍵.

四、解答題(共3個小題，每小題9分，滿分27分)

19.如圖，。。的直徑AB=10,C、。是圓上的兩點(diǎn)，AD=BC<ZACZ>=30°,求A,。兩點(diǎn)的距離.

【答案】5

【解析】

【分析】先根據(jù)同弧所對的圓周角相等得到NA8O=30。，再根據(jù)直徑所對的圓周角是直角得到

ZADB=90°，最后根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解即可.

【詳解】解：；乙48=30°,

ZABD=ZACO=30。，

???的直徑AB=10,

二ZADB^9Q0,

：.AD=-AB^5.

2

【點(diǎn)睛】本題主要考查了同弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角含30度角的直角三角形的性

質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識是解題的關(guān)鍵.

20.如圖，四邊形ABCD是正方形，AADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到AABE,且點(diǎn)E在線段AD上，若

AF=4,ZF=60°.

(1)指出旋轉(zhuǎn)中心和旋轉(zhuǎn)角度；

(2)求DE的長度和NEBD的度數(shù).

【答案】(1)90°；(2)15°.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）由于△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,

ZDAB等于旋轉(zhuǎn)角，于是得到旋轉(zhuǎn)角為90°；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AE=AF=4,ZAEB=ZF=60°,則

ZABE=90°-60°=30°,解直角三角形得到AD=46,NABD=45。，所以DE=4石-4,然后利用

ZEBD=ZABD-NABE計算即可.

試題解析：（1）「△ADF旋轉(zhuǎn)一定角度后得到△ABE,

旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)A,NDAB等于旋轉(zhuǎn)角，

二旋轉(zhuǎn)角為90。；

（2）VAADF以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)軸心，順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到△ABE,

；.AE=AF=4,ZAEB=ZF=60°,

ZABE=90°-60°=30°,

?.?四邊形ABCD為正方形，

.*.AD=AB=4A/3,ZABD=45°,

ADE-473-4,

ZEBD=ZABD-ZABE=15°.

考點(diǎn)：旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).

21.如圖，矩形ABCQ是一塊長16米、寬12米的荒地，要在這塊荒地上建造一個矩形花園EFG”，在花

園的外圍是寬度相等的小路.要使花園所占面積為荒地面積的一半，則小路的寬為多少米？

【答案】2（米）

【解析】

【分析】根據(jù)題意列出關(guān)于小路寬x的一元二次方程，解方程即可

【詳解】設(shè)小路的寬為x米，

16-2x>0

矩形花園EFG”的長為（16-2x）米、寬為（12-2力米，且<12—2x>0,即0<%<6,

x>0

（16—2x）（12—2x）=/xl6xl2,即x?—i4x+24=0>

解得：x=2或X=12（舍）,

答：小路的寬為2米

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是要理解題意、列出方程

五、解答題(共2個小題，每小題12分，滿分24分)

22.如圖，與等邊44BC的邊AC、A8分別交于點(diǎn)￡>、E，AE是。。的直徑，過點(diǎn)。作止±BC

于點(diǎn)F.

(1)求證：。尸是。。的切線：

(2)己知的半徑為3,連接所，當(dāng)?shù)冗叀癓BC的邊長為多少時，所與相切？

【答案】(1)證明見解析

(2)當(dāng)?shù)冗?43C的邊長為9時，所與相切

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N8=NA=60°,再證△AOO是等邊三角形，進(jìn)而得到

ZAOD=NB,則OD〃BC,從而可證明OF_L。。；

(2)先根據(jù)切線長定理得到ED=莊，再證明/名得到C￡>=6/，則利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到CD=2CF=6,則AC=AD+8=9.

【小問1詳解】

證明：?.?△ABC是等邊三角形，

ZB=ZA=6()°,

OA-OB,

???△40。是等邊三角形，

ZAOD=60°,

：.ZAOD=NB,

OD//BC,

?；DF1BC,

：.DF1OD,

又：。。為O。的半徑，

。/是的切線：

【小問2詳解】

解：?；FD,FE都是。。的切線，

FD=FE,/CFD=NBEF=90°，

,/MBC等邊三角形，

；.NC=NB=60。，AC=BC,

：.ACDF^ABFE(AAS),

：.CD=BF,

：.CF=AD,

由(1)得/XA?！跏堑冗吶切?，

CF=AD=OA=3,

在Rt^C。尸中，ZCFD=90°,ZC=60°,則NCD尸=30°,

CD=2CF=6,

AC=AD+CD=9,

.?.當(dāng)?shù)冗?4BC的邊長為9時，瓦'與0。相切.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)與判定，切線長定理，等邊三角形的性質(zhì)與判定，全等三角形的性質(zhì)

與判定，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定等等，熟知切線的性質(zhì)與判定以及切線長

定理是解題的關(guān)鍵.

23.已知拋物線y=0f2+法+C關(guān)于y軸對稱，與x軸交于A、B兩點(diǎn),點(diǎn)A坐標(biāo)為(-1,0)，拋物線還經(jīng)

過點(diǎn)(—3,8).

（1）求拋物線的解析式；

（2）已知點(diǎn)C在），軸上，在拋物線上是否存在點(diǎn)。，使以A、B、C、。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊

形？若存在，請求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

【答案】（1）y=x2-l

（2）點(diǎn)。的坐標(biāo)為：（2,3）或（一2,3）或（0,-1）

【解析】

【分析】（1）利用二次函數(shù)的對稱軸》=-《，可得匕=0,然后將點(diǎn)（一1,0）和點(diǎn)（一3,8）代入函數(shù)解析式

即可計算出答案.

（2）根據(jù)平行四邊形性質(zhì)，分兩種情況討論，①定點(diǎn)A、8為邊的平行四邊形；②定點(diǎn)A、8為對角線的

平行四邊形，利用平行四邊的性質(zhì)即可求得答案.

【小問1詳解】

拋物線y=cuc2+bx+c關(guān)于V軸對稱，

/.對稱軸x=一-—=0.

2a

即。=0.

???拋物線y=??+加+c經(jīng)過點(diǎn)（-1,0）和點(diǎn)（一3,8）,

0=a—h+c

?8=9。-3。+?！?/p>

a=1

解得〈,

c=-l

拋物線的解析式為y=

【小問2詳解】

由（1）可知，拋物線的解析式為y=f-1,且函數(shù)圖像關(guān)于y軸對稱，點(diǎn)A坐標(biāo)為（-1,0）,

.??點(diǎn)B坐標(biāo)為（1,0）.

/.AB=l-（-l）=2.

①以A3為邊構(gòu)造平行四邊形時，AB//CD

AB=CD=2，

即CO平行于x軸.

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為",產(chǎn)-1）,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0,——1）,

CD=|z-0|=|/|,

A\t\=2.

解得：f=±2.

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,3）或（一2,3）.

②以A3為對角線構(gòu)造平行四邊形時，

AOA=OB,OC=OD.

又?.?點(diǎn)C在y軸上，對角線A3在X軸上，

...點(diǎn)。在y軸上，

即點(diǎn)。的坐標(biāo)為拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)（0,-1）.

綜上所述，點(diǎn)O的坐標(biāo)為：（2,3）或（—2,3）或（0,-1）.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用以及平行四邊形的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)的知識是解題的關(guān)鍵.

五、解答題（共2個小題，每小題12分，滿分24分）

22.如圖，。。與等邊“3。的邊AC、AB分別交于點(diǎn)。、E,AE是。。的直徑，過點(diǎn)。作OF±BC

于點(diǎn)F-

（1）求證：OR是0。的切線：

（2）已知。。的半徑為3,連接所，當(dāng)?shù)冗匒48C的邊長為多少時，所與。。相切？

【答案】（1）證明見解析

(2)當(dāng)?shù)冗叀癢C的邊長為9時，石戶與。。相切

【解析】

【分析】(1)先根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到N8=NA=60。，再證△AOO是等邊三角形，進(jìn)而得到

ZAOD=NB,則QD〃BC,從而可證明OF_L；

(2)先根據(jù)切線長定理得到紅＞=用，再證明△CDE咨用，得到C￡)=6b,則6=4),利用

含30度角的直角三角形的性質(zhì)得到CD=2CF=6,則AC=A￡＞+CD=9.

【小問1詳解】

證明：???△ABC是等邊三角形，

ZJS=ZA=60°,

OA^OB,

△AQD是等邊三角形，

???NAOD=60°,

ZAOD=ZB,

：.OD//BC,

?：DFA.BC,

/.DF1OD,

又「。。為。。的半