高一第二學(xué)期必修第二冊-正余弦定理綜合（解析版）

高一第二學(xué)期必修第二冊

鞏固提升篇一正余弦定理綜合

一、夯實(shí)基礎(chǔ)

1.在AABC中，AB=y/2,BC=也,4=60。，則角C的值為（）

A.2B.—C.-D.紅或色

64444

【答案】C

【解析】由正弦定理可得器=箋，即巫=&—,解得sinC=",

sinCsinAsinCsin6002

所以。=三或四，由得A>C,所以C=工，故選:C.

444

2.在△ABC中，若a=2bsinA,則6等于（）

A.30°或60°B.45°或60°

C.60°或120°D.30°或150°

【答案】D

3.在AABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,已知（s譏B-s出。產(chǎn)=

sin24-sinBsinC,a=2遍，b=2,貝ijAABC的面積為（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

【答案】B

【解析】

?-,{sinB—sinC）2=sin27l—sinBsinC,

???sin2B+sin2c—2sinBsinC=sin2/l—sinBsinC,

二由正弦定理可得/?2+c2-2bc=a2-be,可得濟(jì)+c2-a2=be,

二由余弦定理可得cosA==牛=1由4G（0,兀），可得4=￡,

2bc2bc2vy3

.4V3

vsinA=—,

2

,:a=2A/3,6=2,

二由正弦定理可得sinB="皿=隼=三，由b<a,8為銳角，可得8=巴,

A2V326

C—Ti—A—B=",

2

1

；.△ABC的面積S=|ab=1x2V3x2=2V3.

故選：B.

4.AABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.已知&=石，c=2,cosA=-,

3

則6=（）

A.近B.5/3C.2D.3

【答案】D

（解析】,:a=舊，c=2，cosA=-，.1由余弦定理可得：

3

cosA=—=+C-——吼=1+4-,整理可得：3。2一8。-3=0,.,.解得：6=3或」（舍

32bc2x0x23

去）,故選。.

5.若三角形三邊長分別是4,5,6,則這個三角形的形狀是（）

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定

【答案】A

【解析】不妨設(shè)a=4,b=5,c=6,-：a<b<c,:.A<B<C,。為最大角,

16+25—3611「、

----------=->0,又。￡（0,乃），

2ab2x4x58

6.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為〃，b,c,已知asinA—Z?sinb=4<?sinC,

cosA=--,則2=（）

4c

A.6B.5C.4D.3

【答案】A

a2-b2=4c2

【解析】：^zsinA—/?sinB=4csinC,b2+c2-a11，解得

cosA=--------=——

2bc4

3c2=—bef—=6,故選A.

2c

7.在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.若3=45。,

2

c=2>/2，b-4G,則A=.

3

【答案】15。或75。

【解析】因?yàn)?=45。，c=20，b=史,

3

由正弦定理一~^=——得：sinC=^^=2=7,

sinBsinCb4032

因?yàn)?<C<180，所以C=60?；颉?。,所以。=75°或15。,故答案為：15?；?/p>

75°.

8.在△A8C中，sinA:sin3:sinC=7:3:5,那么這個三角形的最大角是

【答案】y

【解析】由正弦定理,a:b:c=sinA:sinB:sinC=7:3:5,

^a=lk,b=3k,c=5k(k>0),

顯然該三角形的最大角是角A,

h2+c2-a2942+25人2一49^2

由余弦定理,可得cosA=

2bc2x3kx5k2

因?yàn)锳?0,7t),所以

故選：B.

b=6a=2cB=—

9.△/SC的內(nèi)角AEC的對邊分別為a,"c,若''3,則△ABC

的面積為.

【答案】6A/3

［解析］由余弦定理得=a2+c2—2accos8,所以(2c)2+<?2—2x2cxcx-=62,

即C、2=12,解得c=26,《=-26(舍去)，

3

2=65

所以a=2c=4G,SAASC—acsinB=—x4>/3x2^3x

222

10.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,C,若〃=加2,

sinC=V3sinB>則cosA=

【答案】B

3

b

【解析】rsinC=心sin5,根據(jù)正弦定理:

sinBsinC

根據(jù)余弦定理：a1=b2+c2-2Z?ccosA,又a?=2。"

c=^3b

a2=b2+c2-2bccosA,解得：cosA=^.故答案為：也

故可聯(lián)立方程：

33

a2=2b2

11.已知“L8c的內(nèi)角A6,C的對邊分別是a,dc,且/="+/_a..

(I)求角A的大小;

(II)若a=6/+c=36,求AABC的面積.

【答案】(I)A=|；(II)2百

【分析】

b2+c2-a2—r

(I)將已知條件a2=〃+c2—尻變形，借助于余弦定理cosA=---------可

2bc

求得A的大小;

(II)由/=6+°2—機(jī),與人+c=3?解方程組可求得反=8的值，進(jìn)而利用三

角形面積公式求解即可.

【解析】

T、HK.b+c~—cibe1

(/I)依/-?-題屈：cosA=----------=---=-

2bc2hc2

,71

A=—

3

(ID由余弦定理得：a2^b2+c2-2hc-cosA

4

即：a2=(b+c)2-2bc-bc,

3bc=(b+c)2-a2=24,即8c=8

r.S.ABC=；?sinA=2G

12.在AABC中，角AB,C的對邊分別為a,"c,若

asmBcosC+csinBcosA--b,且c>0.

2

（1）求角5的值;

（2）若A=J,且AAHC的面積為46,求BC邊上的中線AM的長.

6

【答案】（1）?；（2）2幣.

O

【分析】

（1）先由正弦定理邊角互化，計(jì)算求得sinB；（2）由（1）可知AABC是等腰

三角形，根據(jù)面積公式求邊長“，AAMCK再根據(jù)余弦定理求中線A"的長.

【解析】

(1)*.*asinBcosA=—b,

2

由正弦定理邊角互化得sinAsin5cosC+sinCsin8cosA=gsinB,

由于BG(0,7i),sin8wO,/.sinAcosC+sinCcosA=—,即sin(A+C)=—,得

22

sin8」

2

TTjr

又c>b,：.0<B<-：.B=-.

2f6

7TTT

(2)由(1)知8="，若人="，故。=〃，則

66

q?！猘bsinC=—a2sin—=4A/3,

2AA8223

二a=4,a=-A(舍)

又在AAMC中，AM2AC2+MC2-2ACMCCOS—,

3

AM2=AC24-(|AC)2-2-AC-AC-COS^=42+22-2-4-2-(-^)=28,/.

AM=2A/7.

5

二、素養(yǎng)提升

1.在AABC中，已知3=45。，〃是邊上一點(diǎn)，如圖,

ABAD=75°,DC=\,AC=^,則AB=()

A.75B.瓜C.2D.3

【答案】B

【解析】

ZA￡>C=45°+75°=120°,根據(jù)余弦定理

AC2=AD2+DC2-2AD-DCcosl20°,

AD

AD2+AD-6=Q,AD=2,ZAZ）B=60°.根據(jù)正弦定理而

sin45°

A。sin60°

貝ijAB=

sin45°

2

故選：B

2.一船以每小時15初的速度向東航行，船在力處看到一個燈塔8在北偏東

60°,行駛4力后，船到達(dá)。處，看到這個燈塔在北偏東15。，這時船與燈塔的

距離為()km.

A.15B.30cC.15>/6D.3072

【答案】D

【解析】設(shè)根據(jù)題意，可得用ABC。中，設(shè)CD=M,

.-ZCBD=15°,tanZCBD=—=(2-4)x

由此可得BD=8廠=（2+y/3）xkm

2—\J3

6

Rt^ADB中，ZABD=60°AD=拒BD=(273+3)x

因止匕，AC=AD-CD=(273+3)x-x=15x4

即(2G+2)X=60,解之得x=15(6-1)加

CD」5(6—1)由

由此可得用△88中，Sinl5。-幾-夜3,即此時的船與燈塔的距

4

離為30夜加，故選：D.

北了

A；：

西―c：W東

葡

3.在△/a'中，角4B,。滿足sin4cosC—sinBcosC=Q,則三角形的形狀

為?

【答案】直角三角形或等腰三角形

【解析】由已知有cosC(sin4—sin而=0,所以有cos。=0或sinA=sin

B,解得C=90。，或4=3

4.在A4BC中，內(nèi)角1,B,C的對邊分別為a,b,c已知/=以；且cosB=?.

94

(1)則弓7+島7的值為?

、'tanAtanc

(2)設(shè)瓦？.前=；,則a+c的值為.

【答案】(1)#;(2)3

【分析】

本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

先求sinB=FI7二?，再有正弦定理得si/B=sinAsinC,切化弦得

7

cosA,cosC1

----------1----------=--------

tanAtanCsinAsinCsinB

2

由瓦？-BC=I，得QCCOSB=I，再利用余弦定理得(a+c)=9,解得.

【解析】

(1)由cosB=:,BE得sinB—J1—([)=

由/二ac及正弦定理，得siMB=sinAsinC.

十日

J-足--1--1---,--1---=--c--o-s-A--1-,--c-o--s-C=--s-i-n-C--c-o--s-A--+-c--o-s-C--s-i-n-A-=

tanAtanCsinAsinCsinAsinC

sin(i4+C)_sinB_1_4近

■■■■■1■■~?

sin2Bsin2BsinB7

(2)由瓦？?瓦=I，有accosB=|,

???ac=2,

又由/=ac及余弦定理，得a?+c?-/=2accosB,

即a?+c2—2=3,a2+2ac+c2=2ac+5,

得(a+c)2=9,

?*,CL+C—3?

5.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且

b2+(c-b)c-a2.

(1)求A的大小；

(2)若AABC的面積等于5百，b=5,求sinBsinC的值.

兀5

【答案】(1)A=-；(2)

222

【解析】(1)Vb+c-bc=a,由余弦定理得COSA=^￥^=《,

2bc2

71

?:0<A<4,A=一.

3

in

(2)因?yàn)镾=—8csinA=——be-573,

24

所以be=20,又b=5,故c=4,

于是a2=/?2+c2-2/?ccosA=21,

8

cn4y/21匚

?r-2R===2y/l

??，sin9

a=721Asi-n—

3

.n.「be5

所以sinBsinC=G^=1.

6.在△