高考數(shù)學(xué)概率與統(tǒng)計知識點

中學(xué)數(shù)學(xué)之概率與統(tǒng)計

求等可能性事務(wù)、互斥事務(wù)和相互獨立事務(wù)的概率

解此類題目常應(yīng)用以下學(xué)問：

cardgm

(1)等可能性事務(wù)(古典概型)的概率：P(A)=E/)=7；

等可能事務(wù)概率的計算步驟：

計算一次試驗的基本領(lǐng)件總數(shù)〃；

設(shè)所求事務(wù)A,并計算事務(wù)A包含的基本領(lǐng)件的個數(shù)叫

依公式"求值；

答，即給問題一個明確的答復(fù).

(2)互斥事務(wù)有一個發(fā)生的概率：P(A+B)=P(A)+P(B);

特例:對立事務(wù)的概率：P(A)+P(A)=P(A+A)=1.

(3)相互獨立事務(wù)同時發(fā)生的概率：P(A?B)=P(A)-P(B);

特例：獨立重復(fù)試驗的概率：(k)=C，B(>P):其中P為事務(wù)A在一次

試驗中發(fā)生的概率，此式為二項式［(l)］n綻開的第1項.

(4)解決概率問題要留意“四個步驟，一個結(jié)合”：

求概率的步驟是：

'等可能事件

互斥事件

"獨立事件

第一步，確定事務(wù)性質(zhì)卜次獨立重復(fù)試瞼

即所給的問題歸結(jié)為四類事務(wù)中的某一種.

［和事件

其次步，推斷事務(wù)的運算I積事件

即是至少有一個發(fā)生，還是同時發(fā)生，分別運用相加或相乘事務(wù).

等可能事件：尸(同)=彳

.互斥事件：P(A+B)=P(A)+P(B)

獨立事件：P(AB)=P(A)-P(B)

第三步，運用公式In次獨立重復(fù)試驗記(1-”“求解

第四步，答，即給提出的問題有一個明確的答復(fù).

例1.在五個數(shù)字L2,3,4,5中，。

例2.若隨機取出三個數(shù)字，則剩下兩個數(shù)字都是奇數(shù)的概率是

(結(jié)果用數(shù)值表示).

n_c；_3_3

飛；-5x4-10'

［解答過程］0.3提示：F

例2.一個總體含有100個個體，以簡潔隨機抽樣方式從該總體中抽取一

個容量為5的樣本，則指定的某個個體被抽到的概率為

_LP=-L=-L

［解答過程］20,提示：-100-20,

例3.接種某疫苗后，出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為0.80.現(xiàn)有5人接種該疫苗，

至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為.(精確到0.01)

［考查目的］本題主要考查運用組合、概率的基本學(xué)問和分類計數(shù)原理解

決問題的實力，以與推理和運算實力.

［解答提示］至少有3人出現(xiàn)發(fā)熱反應(yīng)的概率為

C；-0.8010.202+C：-0.804-0.20+C；-0.80s=0.94

故填0.94.

離散型隨機變量的分布列

L隨機變量與相關(guān)概念

①隨機試驗的結(jié)果可以用一個變量來表示，這樣的變量叫做隨機變量，常

用希臘字母1、n等表示.

②隨機變量可能取的值，可以按肯定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做

離散型隨機變量.

③隨機變量可以取某區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的隨機變量叫做連續(xù)型隨機變

量.

2.離散型隨機變量的分布列

①離散型隨機變量的分布列的概念和性質(zhì)

一般地，設(shè)離散型隨機變量4可能取的值為為，占,，巧，,自取

簡稱V的分

由概率的性質(zhì)可知，任一離散型隨機

變量的分布列都具有下述兩特性質(zhì):

(1)，=1,2,…；(2)勺+鳥+…刁

②常見的離散型隨機變量的分布列:

(1)二項分布

〃次獨立重復(fù)試驗中，事務(wù)A發(fā)生的次數(shù)4是一個隨機變量，其全部可能的

取值為0,1,2,-n,并且居=PC=)=c)寸,其中為印,q=1-P,隨機

(2)幾何分布

在獨立重復(fù)試驗中，某事務(wù)第一次發(fā)生時所作的試驗的次數(shù)V是一個取值

為正整數(shù)的離散型隨機變量，“<=?”表示在第k次獨立重復(fù)試驗時事務(wù)第

一次發(fā)生.

隨機變量4的概率分布為：

自123???k???

???

PP???

例1.

廠家在產(chǎn)品出廠前，需對產(chǎn)品做檢驗,廠家將一批產(chǎn)品發(fā)給商家時，商家按

合同規(guī)定也需隨機抽取肯定數(shù)量的產(chǎn)品做檢驗，以確定是否接收這批產(chǎn)

品.

(I)若廠家?guī)旆恐械拿考a(chǎn)品合格的概率為0.8,從中隨意取出4件進行

檢驗,求至少有1件是合格的概率；

(II)若廠家發(fā)給商家20件產(chǎn)品中，其中有3件不合格,按合同規(guī)定該商

家從中任取2件.都進行檢驗,只有2件都合格時才接收這批產(chǎn)品.否則拒

收，求出該商家檢驗出不合格產(chǎn)品數(shù)J的分布列與期望并求出該商家

拒收這批產(chǎn)品的概率.

［解答過程］(I)記"廠家任取4件產(chǎn)品檢驗，其中至少有1件是合格

品”為事務(wù)A

用對立事務(wù)A來算，有尸⑷=1-p(可=1-。2'=。9984

(IDJ可能的取值為°，L2.

喉。)喑啜,

r23

P信=2)=4=上

')C?o190

012

136513

p

190190190

3

E〕Ox受+支生+2*二=

190190190io

記”商家任取2件產(chǎn)品檢驗，都合格”為事務(wù)B,則商家拒收這批產(chǎn)品的

概率

P=1-P（B）=1--=—

''19095.

27

所以商家拒收這批產(chǎn)品的概率為女.

例12.

某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一

輪考核，否則即被淘汰.已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的

432

概率分別為入入5,且各輪問題能否正確回答互不影響.

（I）求該選手被淘汰的概率；

（II）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為力求隨機變量4的分布列與

數(shù)學(xué)期望.

（注：本小題結(jié)果可用分?jǐn)?shù)表示）

［解答過程］解法一：（I）記”該選手能正確回答第i輪的問題”的事務(wù)

432

為*=1,2,3）,則尸（小二，尸（&）=丁尸⑷

???該選手被淘汰的概率

尸=尸（耳+47+&&7）=p（不）+P（A）P（W）+P（A）P（4）P（A）

」+，2+久”3

555555125.

（II）4的可能值為123,—嗝此,

——428

P（^=2）=P（AA）=^（A）^（A）=-X-=—

4312

p記=3）=P（A&）=P（A）P（4）=-x-=—

?.4的分布列為

123

812

P

52525

57

￡^=1X-!-+2XA+3X—=

5252525

解法二：（I）記“該選手能正確回答第，輪的問題”的事務(wù)為4（i=123）,

432

則戶⑷F,⑷F尸⑷三

_432_101

,該選手被淘汰的概率P=I-P（A&4）=I-P（A）P（4）P（4）"-WM茂.

（II）同解法一.

（3）離散型隨機變量的期望與方差

隨機變量的數(shù)學(xué)期望和方差

（1）離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望：+…；期望反映隨機變量

取值的平均水平.

⑵離散型隨機變量的方差：小=（X,-EhP,+&-Eg）2小+…+區(qū)-+…；

方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定與波動，集中與離散的程度.

⑶基本性質(zhì)：E（a^+b）=aE^+h.。（喈+?=/”.

（4）若4?B（n,p）,則Eg=np；DJ（這里1）；

E乙=1q

假如隨機變量4聽從幾何分布，P?=S則抽=p2其中1.

例1.甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所

得次品數(shù)分別為￡、n,￡和n的分布列如下：

￡012n012

613532

PioToiopioTolo

則比較兩名工人的技術(shù)水平的凹凸為

思路：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均

值，即期望；二是要看出次品數(shù)的波動狀況，即方差值的大小.

解答過程：工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)￡的期望和方差分別為：

E￡=OXA+］X—+2XA=O,7

101010,

Og=(0-0.7)2x9+(1-o.7)2*J_+(2_0.7)2x—=0.891

101010.

工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)n的期望和方差分別為：

co7S32

E,=0x—+lx—+2x—=0.7Dn=(0-0.7)2x—+(1-0.7)2x—+(2-0.7)2x—=0.664

z101010,101010

由￡￡n知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但D￡>Dn,可

見乙的技術(shù)比較穩(wěn)定.

小結(jié)：期望反映隨機變量取值的平均水平；方差反映隨機變量取值的穩(wěn)定

與波動，集中與離散的程度.

例2.

某商場經(jīng)銷某商品，依據(jù)以往資料統(tǒng)計，顧客采納的付款期數(shù)S的分布列

為

J12345

P0.40.20.20.10.1

商場經(jīng)銷一件該商品，采納1期付款，其利潤為200元；分2期或3期付

款，其利潤為250元；分4期或5期付款，其利潤為300元.〃表示經(jīng)銷

一件該商品的利潤.

(I)求事務(wù)A：“購買該商品的3位顧客中，至少有1位采納1期付款”

的概率P(A)；

(II)求〃的分布列與期望助.

［解答過程］(I)由A表示事務(wù)“購買該商品的3位顧客中至少有1位

采納1期付款”.

知.表示事務(wù)“購買該商品的3位顧客中無人采納1期付款”

2

P(A)=(l-0.4)=0.216，P(A)=1-P(A)=1-0.216=0.784?

(ID〃的可能取值為200元，250元，300元.

P(〃=200)=Pe=l)=0.4,

P(JJ=250)=P您=2)+=3)=0.2+0.2=0.4,

=300)=1一尸①=200)一=250)=1-0.4—0.4=0.2.

〃的分布列為

200250300

P0.40.40.2

Er）=200x0.4+250x0.4+300x0.2=240（元）.

抽樣方法與總體分布的估計

抽樣方法

1.簡潔隨機抽樣：設(shè)一個總體的個數(shù)為N,假如通過逐個抽取的方法從中

抽取一個樣本，且每次抽取時各個個體被抽到的概率相等，就稱這樣的抽

樣為簡潔隨機抽樣.常用抽簽法和隨機數(shù)表法.

2.系統(tǒng)抽樣：當(dāng)總體中的個數(shù)較多時，可將總體分成均衡的幾個部分，

然后依據(jù)預(yù)先定出的規(guī)則，從每一部分抽取1個個體，得到所須要的樣本,

這種抽樣叫做系統(tǒng)抽樣（也稱為機械抽樣）.

3.分層抽樣：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時，常將總體分成幾

部分，然后依據(jù)各部分所占的比進行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣.

總體分布的估計

由于總體分布通常不易知道，我們往往用樣本的頻率分布去估計總體的分

布，一般地，樣本容量越大，這種估計就越精確.

總體分布：總體取值的概率分布規(guī)律通常稱為總體分布.

當(dāng)總體中的個體取不同數(shù)值很少時，其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值

與相應(yīng)的頻率表示，幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.

當(dāng)總體中的個體取值在某個區(qū)間上時用頻率分布直方圖來表示相應(yīng)樣本

的頻率分布.

總體密度曲線：當(dāng)樣本容量無限增大，分組的組距無限縮小，那么頻率分

布直方圖就會無限接近于一條光滑曲線，即總體密度曲線.

典型例題

例1.某工廠生產(chǎn)A、B、C三種不同型號的產(chǎn)品，產(chǎn)品數(shù)量之比依次為2：

3：5.現(xiàn)用分層抽樣方法抽出一個容量為n的樣本，樣本中A種型號產(chǎn)品

有16件.那么此樣本的容量

210

解答過程：A種型號的總體是正，則樣本容量原5=8°.

例2.一個總體中有100個個體，隨機編號0,1,2,…，99,依編號依

次平均分成10個小組，組號依次為1,2,3,…，10.現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣方法

抽取一個容量為10的樣本，規(guī)定假如在第1組隨機抽取的號碼為優(yōu)，那

么在第％組中抽取的號碼個位數(shù)字與"，+4的個位數(shù)字相同，若機=6,則在第

7組中抽取的號碼是

解答過程：第K組的號碼為("A。，…，(&-1H0+9,當(dāng)6時，第

k組抽取的號的個位數(shù)字為的個位數(shù)字，所以第7組中抽取的號碼的個位

數(shù)字為3,所以抽取號碼為63.

正態(tài)分布與線性回來

1.正態(tài)分布的概念與主要性質(zhì)

(1)正態(tài)分布的概念

I..(7尸

假如連續(xù)型隨機變量4的概率密度函數(shù)為后""，xeR其

中八"為常數(shù)，并且。>0,則稱J聽從正態(tài)分布，記為LN（〃，b?）.

（2）期望EJ=u,方差。

（3）正態(tài)分布的性質(zhì)

正態(tài)曲線具有下列性質(zhì)：

①曲線在x軸上方，并且關(guān)于直線x=u對稱.

②曲線在口時處于最高點，由這一點向左右兩邊延長時，曲線漸漸降低.

③曲線的對稱軸位置由H確定；曲線的形態(tài)由b確定，b越大，曲線越“矮

胖”；反之越“高瘦”.

三。原則即為

數(shù)值分布在（口一。，口+0）中的概率為0.6526

數(shù)值分布在（口一2。，u+2。）中的概率為0.9544

數(shù)值分布在（口一3。，口+3。）中的概率為0.9974

（4）標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布

當(dāng)〃=0,。=1時4聽從標(biāo)準(zhǔn)的正態(tài)分布，記作4~N（0,1）

（5）兩個重要的公式

①。（一x）=1—。（x）,②P（a<<^<b）=0S）—。（。）.

（6）M—2）與WM）二者聯(lián)系.

若a則"號小。,】）.

②若,則尸（"。<3"與與一。（于）.

2.線性回來

簡潔的說，線性回來就是處理變量與變量之間的線性關(guān)系的一種數(shù)學(xué)方

法.

變量和變量之間的關(guān)系大致可分為兩種類型：確定性的函數(shù)關(guān)系和不確定

的函數(shù)關(guān)系.不確定性的兩個變量之間往往仍有規(guī)律可循.回來分析就是

處理變量之間的相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)量統(tǒng)計方法.它可以供應(yīng)變量之間相關(guān)

關(guān)系的閱歷公式.

詳細(xì)說來，對n個樣本數(shù)據(jù)(與斗)，(%，%),…，(%>“)，其回來直線方

b=V------,a=y-bx,

程，或閱歷公式為：2汝+%其中自西2-崎尸,其中砂分別為士、

%的平均數(shù).

例1.假如隨機變量&?N(口，。2),且EW=3,D&=1,則P(-KaW

1=等于()

A.20(1)-1B.0(4)