初中數(shù)學(xué)幾何動點問題歸納

最全初中數(shù)學(xué)幾何動點問題專題分類歸納匯總

近幾年有關(guān)“線段最值”的中考試題層出不窮，形式多樣，往往綜合了幾何變

換、函數(shù)等方面的知識，具有一定的難度，具有很強的探索性，通過研究發(fā)現(xiàn)，

這些問題盡管形式多樣、背景復(fù)雜、變化不斷，但都可以通過幾何變換轉(zhuǎn)化為常

見的基本問題.

最值題目類型多：作圖、計算；有求差最大，求和最??；求周長最小、求時間最

短；求最值、已知最值求待定系數(shù)等；對稱載體多：幾乎涉及到初中全部的軸

對稱圖形(角、線段、等腰三角形、等腰梯形、菱形、正方形、拋物線、圓、坐

標(biāo)軸).

我們知道“對稱、平移、旋轉(zhuǎn)”是三種保形變換。通過這三種幾何變換可以實現(xiàn)

圖形在保持形狀、大小不變的前提下而使其位置發(fā)生變化，具有更緊湊的位置關(guān)

系或組合成新的有利論證的基本圖形.通過幾何變換移動線段的位置是解決最值

問題的有效手段，題目是千變?nèi)f化的，但是運用幾何變換把最值問題轉(zhuǎn)化為基本

問題卻是不變的。

數(shù)學(xué)問題是千變?nèi)f化的，幾何變換的應(yīng)用也不是單一的，有些問題需栗多種變換

的組合才能解決，看看以下策略對解決問題能否奏效。

(1)去偽存真。刨去不變的線段，看清楚究竟是幾段和的最小值問題，必須仔

細研究題目的背景，搞清楚哪些是動點、哪些是定點、哪些是定長。

(2)科學(xué)選擇。捕捉題目的信號，探索變換的基礎(chǔ)，選擇變換的手段.平移把

不“連”的線段“接”起來，旋轉(zhuǎn)把“碰頭”的線段“展”開來重“接”，對稱把在同側(cè)的

線段翻折過去重組，因此“不連——平移、碰頭——旋轉(zhuǎn)、同側(cè)——對稱”是一般

的思路；對稱變換的基礎(chǔ)是軸對稱圖形，平移變換的基礎(chǔ)是平行線，旋轉(zhuǎn)變換的

基礎(chǔ)是等線段，所以選擇哪種幾何變換還要看題目中具備何種變換的基礎(chǔ)信息。

(3)怎么變換？對稱變換一般以動點所在直線為對稱軸，構(gòu)建定點(直線)的

對稱點(直線)，如有多個動點就必須作多次變換；平移一般是移動沒有公共端

點的兩條線段中的某一條，與另一條對“接”；旋轉(zhuǎn)變換一般以定點為旋轉(zhuǎn)中心旋

轉(zhuǎn)60?；?0°o

(4)怎么求值？幾何變換成了“兩折線”或“三折線”后，根據(jù)“兩點之間線段最短”

或“垂線段最短”把“折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最短位置，求出最小值。

目錄

一、一條線段最值..............................1

1單動點型.................................1

1.1動點運動軌跡——直線型........................1

1.2動點運動軌跡——圓或圓弧型.....................10

1.2.1定點定長..............................10

1.2.2定弦定角..............................15

1.3動點軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形..................24

2雙動點型................................27

2.1利用等量代換實現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................27

2.2利用和差關(guān)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................28

2.3利用勾股定理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化........................28

2.4利用三角形邊角關(guān)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.....................29

二、兩條線段最值.............................30

1PA+PB型................................30

1.1兩定一動（將軍飲馬）........................30

1.2兩定兩動...............................39

過河拆橋................................39

四邊形周長最??；...........................42

1.3一定兩動...............................44

兩動點不隨動.............................44

1.4三動點................................47

2PA+KPB型.........................................................48

2.1“胡不歸模型”...........................48

2.2阿氏圓...............................65

三、“費馬點''模型............................72

線段極值解題方略.............................76

—?、一條線段最值

1單動點型

所謂的單動點型指：所求線段兩端點中只有一個動點的最值問題.通常解決這類問題的思考

步驟為三步：

（一）分析“源動點”的不變量。

（二）分析“從動點”與“源動點”問關(guān)系。

（三）分析“從動點”的不變量。

1.1動點運動軌跡——直線型

動點軌跡為一條直線，利用“垂線段最短”

例1、如圖1,在AABC中，NC4B=30°,BC=l,D為AB上一動點（不與點A重合），AAED

為等邊三角形，過D點作DE的垂線，F(xiàn)為垂線上任一點，G為EF的中點，則線段CG長的最

小值是o

方法指導(dǎo)：1.當(dāng)動點的運動軌跡是一條直線（射線、線段）時，可運用“垂線段最短”性質(zhì)

求線段最值.2.有時動點軌跡不容易確定，如例1,建議看到“中點”聯(lián)想“三角形的中

位線及直角三角形斜邊上的中線”等性質(zhì).3.試著觀察“動點運動到一些特殊位置時，該

動點與其他定點連結(jié)的線段是否與已知邊有一‘定角’產(chǎn)生”，若成立，則動點軌跡為直線。

如何在動態(tài)問題中找尋“不變量”特征是突破這類問題的關(guān)鍵。

①當(dāng)一個點的坐標(biāo)以某個字母的代數(shù)式表示，若可化為一次函數(shù)，則點的

軌跡是直線；

一_39

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點P的坐標(biāo)為（0,2）,點M的坐標(biāo)為（m-1,——m——）（其

44

中m為實數(shù)），當(dāng)PM的長最小時，m的值為.

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，A（l,4）,B（3,2）,C（m,—4m+20）,若OC恰好平分四

邊形勢典的面積，求點C的坐標(biāo).

②當(dāng)某一動點到某條直線的距離不變時，該動點的軌跡為直線;

d定長

-1

1.如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E在邊AD上，且AE:ED=1:3.動點P從點A

出發(fā)，沿AB運動到點B停止.過點E作EFXPE交射線BC于點F,設(shè)M是線段EF的

中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為.

【變式11如圖，矩形ABCD中，AB=6,AD=8,點E在BC邊上，且BE:EC=1:3.動

點P從點B出發(fā)，沿BA運動到點A停止.過點E作EFLPE交邊AD或CD于點F,

設(shè)M是線段EF的中點，則在點P運動的整個過程中，點M運動路線的長為.

【變式2】如圖，在矩形ABCD中，點P在AD上，AB=2,AP=1,E是AB上的一個動

點，連接PE,過點P作PE的垂線，交BC于點F,連接EF,設(shè)EF的中點為G,當(dāng)點E

從點B運動到點A時，點G移動的路徑的長是.

【變式3］在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,P是AD邊的中點，點E在AB邊上，EP的

延長線交射線CD于F點，過點P作PQXEF,與射線BC相交于點Q.

(1)如圖1,當(dāng)點Q在點C時，試求AE的長；

(2)如圖2,點G為FQ的中點，連結(jié)PG.

①當(dāng)AE=1時，求PG的長；

②當(dāng)點E從點A運動到點B時，試直接寫出線段PG掃過的面積.

2.如圖，C、D是線段AB上兩點，且AC=BD=，AB=1,點P是線段CD上一個動點,

6

在AB同側(cè)分別作等邊4PAE和等邊△PBF,M為線段EF的中點.在點P從點C移動到

點D時，點M運動的路徑長度為.

【變式1］已知AB=10,點C、D在線段AB上且AC=DB=2；P是線段CD上的動點，

分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形APEF和正方形PBGH,點01和02是這兩

個正方形的中心，連接0102,設(shè)0102的中點為Q；當(dāng)點P從點C運動到點D時，則點

Q移動路徑的長是.

【變式2】等邊三角形ABC中，BC=6,D、E是邊BC上兩點，且BD=CE=1,點P是線

段DE上的一個動點，過點P分別作AC、AB的平行線交AB、AC于點M、N,連接MN、

AP交于點G,則點P由點D移動到點E的過程中，線段BG掃過的區(qū)域面積為.

【變式3］如圖，四邊形ABHK是邊長為6的正方形，點C、D在邊AB上，且AC=DB

=1,點P是線段CD上的動點，分別以AP、PB為邊在線段AB的同側(cè)作正方形AMNP和

正方形BRQP,E、F分別為MN、QR的中點，連接EF,設(shè)EF的中點為G,則當(dāng)點P從點

C運動到點D時，點G移動的路徑長為.

3.如圖，已知在四邊形ABCD中，AD/7BC,ABXBC,AD=1,BC=3,P為AB邊上的一動

點，連接PD并延長到點E,使得PD：PE=1：3,以PE,PC為邊作平行四邊形PEFC,連

接PF,貝ijPF的最小值為.

【延伸】在四邊形ABCD中，AB〃CD,BC±CD,AB=3,CD=4,在BC上取點P（P與B、

C不重合），連接PA延長至E,使PE：PA=x：1,連接PD并延長到F,使PF：PD=y：

1（x,y>l）,以PE、PF為邊作平行四邊形，另一個頂點為G,求PG長度的最小值（用x,

y表示）.

DC

【同型練】如圖，已知DOABC的頂點A、C分別在直線x=l和x=4上，0

是坐標(biāo)原點，則對角線0B長的最小值為.

同生琥圖

③當(dāng)某一動點與定線段一個端點連接后成的角度不變，則該動點軌跡是直線。

定直線

1.如圖，Z\ABC和4ADE都是等腰直角三角形，ZBAC=ZDAE=90°,AB=AC=2,0為AC

中點，若點D在直線BC上運動，連接0E,則在點D運動過程中，線段0E的最小值是

為.

【變式】1.如圖，邊長為2a的等邊4ABC中，M是高CH所在直線上的一個動點，連接MB,

將線段BM繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BN,連接HN.則在點M運動過程中，線段HN長

度的最小值是.

A

奏式圖

2.在4ABC中，ZACB=90°,AC=BC=4,M為AB的中點.D是射線BC上一個動點,

連接AD,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE,連接ED,N為ED的中點,

連接AN,MN.

(1)如圖1,當(dāng)BD=2時，AN=,NM與AB的位置關(guān)系是；

(2)當(dāng)4<BD<8時，

①依題意補全圖2；

②判斷(1)中NM與AB的位置關(guān)系是否發(fā)生變化，并證明你的結(jié)論；

(3)連接ME,在點D運動的過程中，求ME的長的最小值？

3.在4ABC中，/BAC=90°,AB=AC=2cm,線段BC上一動點P從C點開始運動，至【JB

點停止，以AP為邊在AC的右側(cè)做等邊AAPa,則Q點運動的路徑長為.

【秒殺訓(xùn)練】

1.如圖，點A的坐標(biāo)為(-1,0),點B在直線y=x上運動，當(dāng)線段AB最短時，點B的

坐標(biāo)為【】

2.如圖，?0的半徑為2,點0到直線1的距離為3,點P是直線1上的一

個動點，PQ切。0于點Q,則PQ的最小值為【】

A.V5B.V5/

Qi

C.3D.2

3.如圖，等腰梯形ABCD中，AD〃BC,AD=AB=CD=2,NC=60°,M是BC的

中點。

(1)求證：AMDC是等邊三角形；

(2)將AMDC繞點M旋轉(zhuǎn)，當(dāng)MD(即MD')與AB交于一點E,MC(即MC')同時

與AD交于一點F時，點E,F和點A構(gòu)成AAEF.試探究4AEF的周長是否存在最小值.如

果不存在，請說明理由；如果存在，請計算出4AEF周長的最小值。

1.2動點運動軌跡——圓或圓弧型

動點軌跡為定圓，利用三點共線

方法指導(dǎo)：L當(dāng)動點的軌跡是定圓時，可利用“一定點與圓上的動點距離最大值為定點到

圓心的距離與半徑和，最小值為定點到圓心的距離與半徑差”性質(zhì)求解.2.試著觀察“動

點與其他定點連結(jié)的線段長是否為‘定值’或動點與兩定點構(gòu)成的角是否為直角”，這是常

見判斷動點軌跡是圓的條件。

1.2.1定點定長

I動點到定點的距離不變，則點的軌跡是圓或圓?。?/p>

1.如圖1,在正方形ABCD中，邊長為2,點E是AB的中點，點F是BC邊

上任意一點，將ABEF沿EF所在直線折疊得到△PEF,連接AP,則CP的最

小值________,AP的最小值是

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2,將長為2的線段QF的兩端放在正方形相鄰的兩邊上

同時滑動.如果點Q從點A出發(fā)，沿圖中所示方向按A-B-C-D-A滑動到點A為止，

同時點F從點B出發(fā)，沿圖中所示方向按A-B-C-D-A-B滑動到點B為止，那么在

這個過程中，線段QF的中點M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為.

【變式1］在矩形ABCD中，已知AB=2cm,BC=3cm,現(xiàn)有一根長為2cm的木棒EF緊貼

著矩形的邊（即兩個端點始終落在矩形的邊上），按逆時針方向滑動一周，則木棒EF的中

點P在運動過程中所圍成的圖形的面積cm2.

【變式2】如圖，在矩形ABCD中，AB=2,AD=3,點E、F分別為AD、DC邊上的點，且

EF=2,點G為EF的中點，點P為BC上一動點，貝UPA+PG的最小值為.

【變式3】如圖，一根木棒AB長為2a,斜靠在與地面0M垂直的墻壁ON上，與地面的

傾斜角/AB0=60°,若木棒沿直線NO下滑，且B端沿直線0M向右滑行，則木棒中點P

也隨之運動，已知A端下滑到K'時,AA，=（6-行）a,則木棒中點P隨之運動到P'

所經(jīng)過的路線長.

￥M

2.如圖，在4ABC中，AC=2,AB=3.當(dāng)NB最大時，BC的長為

3.如圖，在4ABC中，NACB=90°,AB=5,BC=3,P是AB邊上的動點（不與點B重

合），將4BCP沿CP所在的直線翻折，得到CP,連接BzA,則B，A長度的最小值

4.如圖，在DABCD中，ZBCD=30°,BC=4,CD=33,M是AD邊的中點，N是AB邊

上的一動點，將AAMN沿MN所在直線翻折得到AA'MN,連接A'C,則A'C長度的最小

值是.

5.如圖，在四邊形ABCD中，AB=AC=AD,若/BAC=25°,ZCAD=75°,

貝|J/BDC=0,ZDBC=0.

6.如圖，在等腰RtAABC中，AC=BC=22,點P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC

的中點.當(dāng)點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是.

7.如圖，矩形ABCD中，AB=2AB=4,長度為2的動線段AE繞點A旋轉(zhuǎn)，連接EC,取

EC的中點F,連接DF,則DF的取值范圍為o

例2.（15威海）如圖，已知AB=AC=AD,ZCBD=2ZBDC,NBAC=44°,則NCAD的度

數(shù)為.

變式：如圖，四邊形ABCD中，DC/7AB,BC=1,AB=AC=AD=2,則BD的長為

例多圖

例3.如圖，在等腰4ABC中，AC=BC,ZC=70。，點P在4ABC的外

部，且與C點均在AB的同側(cè)，如果PC=BC,那么NAPB=.

例4.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,E為AB邊的中點，F(xiàn)是線段

BC邊上的動點.將AEFB沿EF所在的直線折疊得到AEB'F,連接B'D,則

B'D的最小值為

II.定邊對定角模型

1.2.2定弦定角

II當(dāng)某條邊與該邊所對的角是定值時，該角的頂點的軌跡是圓弧.

見直角一孩斜邊（定長）一卷直徑一定外心一現(xiàn)“圓”形;

見定角一孩對邊（定長）一期周角一帶心角一現(xiàn)“圓”形;

【一般解題步驟】

①讓主動點動一下，觀察從動點的運動軌跡，發(fā)現(xiàn)從動點的運動軌跡是一段弧。

②尋找不變的張角（這個時候一般是找出張角的補角，這個補角一般為45。、60°或者一

個確定的三角函數(shù)的對角等）

③找張角所對的定弦，根據(jù)三點確定隱形圓。

④確定圓心位置，計算隱形圓半徑。

⑤求出隱形圓圓心至所求線段定點的距離。

⑥計算最值：在此基礎(chǔ)上，根據(jù)點到圓的距離求最值（最大值或最小值）。

1.如圖，以G（0,1）為圓心，半徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C、D兩

點，點E為。G上一動點，CF±AE于F,當(dāng)點E從點B出發(fā)順時針運動到點D時，點F

所經(jīng)過的路徑長為.

2.如圖，矩形0ABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點B的坐標(biāo)為（7,3）,點E在

邊AB上，且AE=1,若點P為y軸上一動點，連接EP,過點0作直線EP的垂線段，

垂足為點H,在點P從F（0,二251）運動到原點0的過程中，點H的運動路徑長為.

3.在正方形ABCD中，AD=2,點E從D出發(fā)向終點C運動，點F從C出發(fā)向終點B運

動，且始終保持DE=CF,連接AE和DF交于點P,則P點運動的路徑長是.

4.等腰RtAABC中，NC=90°,AC=BC=4,D為線段AC上一動點，連

接BD,過點C作CHXBD于H,連接AH,則AH的最小值為.

舞9題國

5.如圖，RtAABC中，AB±BC,AB=6,BC=4,P是4ABC內(nèi)部的一個動點，且滿足NPAB

=ZPBC,則線段CP長的最小值為.

6.如圖，在邊長為23的等邊△ABC中，動點D從C向終點B運動，同時點E以相同

的速度從A出發(fā)向終點C運動，連接BE、AD相交于點P,則點P的路徑長為.

7.如圖，的半徑為1,弦AB=1,點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC±AP交直線PB于

點C,則4ABC的最大面積是.

籬7速國

8.如圖，已拋物線y=ax°+bx+c(aWO)與x軸交于A(1,0)、B(4,0)兩點，與y軸

交于C(0,2),連結(jié)AC、BC.

(1)求拋物線解析式；

(2)BC的垂直平分線交拋物線于D、E兩點，求直線DE的解析式；

(3)若點P在拋物線的對稱軸上，且/CPB=/CAB,求出所有滿足條件的

P點坐標(biāo).

9.如圖，在正方形ABCD中，AB=2,動點E從點A出發(fā)向點D運動，同時動點F從

點D出發(fā)向點C運動，點E、F運動的速度相同，當(dāng)它們到達各自終點時停止運動，運動

過程中線段AF、BE相交于點P,則線段DP的最小值為o

變式：直線y=x+4分別與x軸、y軸相交與點M、N,邊長為2的正方形OABC一個頂

點0在坐標(biāo)系的原點，直線AN與MC相交與點P,若正方形繞著點0旋轉(zhuǎn)一周，則點P

到點(0,2)長度的最小值是.

10.如圖，邊長為3的正方形ABCD,兩頂點A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸

的正半軸上滑動，點C點D在第一象限，點E為正方形ABCD的對稱中心，連結(jié)OE,則

OE的長的最大值是.

D

8

變式：如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中，直線y=kx(kWO)經(jīng)過點C(a,3a)(a>0).線段BC

的兩個端點分別在x軸與直線y=kx上(B、C均與原點0不重合)滑動，且BC=2,分

別作BP±x軸，CP,直線y=kx,交點為P,經(jīng)探究在整個滑動過程中，P、0兩點間的距

離為定值.

11.如圖，開口向下的拋物線丁=。(》一2)2+上交x軸于點A,B兩點，交y軸正半軸于

點C,頂點為P,過頂點P作x軸,y軸的垂線，垂足分別為M,N,連結(jié)CP,CM,ZCPM=45°,

tanZCMP=O.8.

(1)求該拋物線的函數(shù)解析式；

(2)若點D為射線PC上動點，BD交4PMD的外接圓于點Q,求PQ的最小值.

【強化訓(xùn)練】

【例1】如圖，AABC中，AC=3,BC=4A/2,NACB=45°,D為AABC內(nèi)一動點，。0為

△ACD的外接圓，直線BD交00于P點，交BC于E點，弧AE=CP,則AD的最小值

為_______

P

?O

【例2】如圖，AC=3,BC=5,且NBAC=90°,D為AC上一動點，以AD

為直徑作圓，連接BD交圓于E點，連CE,則CE的最小值為

【練】如圖，在AABC中，AC=3,BC=40NACB=45°，AM〃BC,點P在射線AM上

運動，連BP交4APC的外接圓于D,則AD的最小值為

［例3］如圖，。0的半徑為2,弦AB的長為，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC±AP交直

線PB于點C,則4ABC的面積的最大值是.

【練】如圖，的半徑為1,弦AB=1,點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC±

AP交直線PB于點C,則4ABC的最大面積是（）

［例4］如圖，邊長為3的等邊AABC,D、E分別為邊BC、AC上的點，且BD=CE,AD、

BE交于P點，則CP的最小值為

例題4例題6圖8

［例5］如圖，A(l,0)、B(3,0),以AB為直徑作。M,射線OF交。M于E、F兩點，C

為弧AB的中點，D為EF的中點.當(dāng)射線繞0點旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為

【練】如圖8,AB是。0的直徑，AB=2,NABC=60°,P是上一動點，D是AP的中點，

連接CD,則CD的最小值為

針對練習(xí)：

1.如圖，在動點C與定長線段AB組成的4ABC中，AB=6,AD±BC于點D,BE±AC于

點E,連接DE.當(dāng)點C在運動過程中，始終有匹=立，則點C到AB的距離的最大

AB2

值是一

2.如圖，已知以BC為直徑的。0,A為弧BC中點，P為弧AC上任意一點，ADXAP交BP

于D,連CD.若BC=8,則CD的最小值為.

1.3動點軌跡為其他曲線，構(gòu)造三角形

方法指導(dǎo)：1.當(dāng)動點軌跡不是“定線”或“定圓”時，不妨將此線段

轉(zhuǎn)化為一個三角形中，其中在該三角形中其他兩條邊位置不定但長度確定,

則所求線段的最大值為其他兩線段長之和，最小值為其他兩線段長之

差.2.在轉(zhuǎn)化較難進行時需要借助于三角形的中位線及直角三角形斜邊上

的中線。

例1、如圖，NM0N=90°,矩形ABCD的頂點A、B分別在邊0M,ON上，當(dāng)B在邊ON上

運動時，A隨之在邊0M上運動,矩形ABCD的形狀保持不變,其中

AB=2,BC=1,求運動過程中，點D到點0的最大距離.

1、如圖，在RtZ\ABC中，ZACB=90°,BC=6,tanZBAC=-,點D在邊AC的三等分點處,

2

將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)，連接BD,F為BD中點，求線段CF長度的最大值.

2.如圖，在4ABC中，ZC=90°,AC=2,BC=1,點A、C分別在x軸、y軸上，當(dāng)點A

在x軸運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，點B到原點0的最大距離為

回

提示：取AC中點D,由BOWOD+BD=l+0,知B0的最大值為

1+

3.如圖，ZM0N=90°,線段AB兩端點分別在邊OM,ON上，當(dāng)A在邊0M上運動時，B隨

之在邊ON上運動，AB=2保持不變，以AB為邊向外作等邊aABC,在運動過程中，四邊形

AOBC的面積的最大值是.

4.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，將含30。的三角尺的直角頂點C落在第二象限.其斜邊兩

端點A、B分別落在x軸、y軸上，且AB=12cm.

（1）若0B=6cm.

①求點C的坐標(biāo)；

②若點A向右滑動的距離與點B向上滑動的距離相等，求滑動的距離；

（2）點C與點0的距離的最大值=cm.

2雙動點型

解決雙動點問題的常用方法是轉(zhuǎn)化為單動點問題，接著再用單動點的方法解決線段最值問

題。有這樣一類雙動點，它是由某一動點所產(chǎn)生的，同樣就可用“源動點”和“從動點”的

分析方法來處理，現(xiàn)總結(jié)思考前三個步驟：（一）分析“源動點”的不變量.（二）分析“雙動

點”與“源動點”間關(guān)系.（三）轉(zhuǎn)化為單動點問題。顯然確定“雙動點”與“源動點”間關(guān)

系是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。

2.1利用等量代換實現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例1.AABC是以AB為斜邊的直角三角形，AC=4,BC=3,P是AB上一動點，且PELAC于E,

PF±BF于F,求EF的最小值.

B

分析：點P帶動點E、F,顯然點P是雙動點E、F的''源動點"。第一步，“源動點”P在

定邊AB上運動.第二步，由條件可知四邊形PECF為矩形，所以雙動點EF與“源動點”

P存在等量關(guān)系EF=CP.第三步，C是定點，P是動點且在一邊上運動，可轉(zhuǎn)化為“動點軌

跡為一條直線的單動點型”。

提示：雙動點線段能否等于圖中“源動點”與某一定點連結(jié)的線段？

2.2利用和差關(guān)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例2、如圖，在AABC中，AB=10,AC=8,BC=6,經(jīng)過點C且與邊AB相切的動圓與CA,CB

分別相交于點P,Q,則線段PQ長度的最小值是.

分析：本題的雙動點P、D可看成由“源動點”E產(chǎn)生.第一步，“源動點”E在定邊上運

動,且保持OELAB,第二步，雙動點PD是圓上的動弦且所對圓周角為直角，因此PD為圓

0直徑.源動點與雙動點滿足PD=CO+OE.第三步，PD長轉(zhuǎn)化為三邊關(guān)系，當(dāng)C、0、

E三點共線時CE最短，可轉(zhuǎn)化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”.當(dāng)CE上AB時PD

長度最小。

提示：雙動點線段能否表示成與“源動點”相關(guān)線段的和（差）？

2.3利用勾股定理實現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例3、如圖，在RtZiAOB中，0A=0B=3V2,圓。的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過

點P作圓0的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為.

分析：PQ為圓0切線，PCUOQ，雙動點PQ與“源動點”P滿足勾股定理PQ?=0y-0Q"

而0Q為定值1,因此要PQ最小只需0P取最小.問題可轉(zhuǎn)化為“動點軌跡為一條直線的單

動點型”

提示：雙動點的線段出現(xiàn)“垂直”信息時能否與“源動點”構(gòu)成“直角三

角形”，從而利用勾股定理實現(xiàn)單一動點的轉(zhuǎn)化。

2.4利用三角形邊角關(guān)系實現(xiàn)轉(zhuǎn)化

例4、如圖，Z\ABC中，ZBAC=60°,ZABC=45°,AB=2,D是線段BC上的一個動點，以

AD為直徑畫0分別交于AB、AC于E、F,連接EF,則線段EF長度的最小值為.

分析：本題的難點就在于確定雙動點EF與“源動點”D的關(guān)系，即EF與AD之間的數(shù)量

關(guān)系.連半徑構(gòu)造等腰△OEF,達到定角圓周角么EAF轉(zhuǎn)化為圓心角NEOF,直徑AD轉(zhuǎn)化

為半徑OE、OF,使EF與AD共存于一個三角形中，解三角形得EF=，.因A是定點,

2

D在線段BC上動，問題最終轉(zhuǎn)化為“動點軌跡為一條直線的單動點型”。

二、兩條線段最值

1PA+PB型

1.1兩定一動(將軍飲馬)

出現(xiàn)一個動點的解題方法

這類試題的解決方法主要是通過軸對稱，將動點所在直線同側(cè)的兩個定點中的其中一

個，映射到直線的另一側(cè)。當(dāng)動點在這個定點的對稱點及另一定點的線段上時，由“兩點

之間線段最短”可知線段和的最小值，最小值為定點線段的長。

引：如圖在直線1上找一點P使AP+BP最短。

Z

I:

R

圖(1)圖⑵

解：(1)如果兩點在直線異側(cè)，如圖(1),連接AB交直線1于點P,則點P為所示作的

點；

(2)如果兩點在直線同側(cè)，如圖(2),可通過軸對稱把問題轉(zhuǎn)化為兩點在直線異側(cè)的情

況。

證明：如下圖所示，從B出發(fā)向河岸引垂線，垂足為D,在BD的延長線上，取B關(guān)于河

岸的對稱點B',連結(jié)AB',與河岸線相交于P,則P點就是所求作的點，只要從A出發(fā),

沿直線到P,再由P沿直線走到B,所走的路程就是最短的。

如果在河邊的另外任一點C,則CB=CB',但是，

AC+CB=AC+CB'>AB'=AP+PB'=AP+PB?？梢?，在P點外任何一點C,它與A、B

兩點的距離和都比AP+PB都長。

本質(zhì)：兩點之間，線段最短。

【小結(jié)】

通過“對稱”及構(gòu)建“兩點間的線段”基本圖形，將動態(tài)變化中的線段通過轉(zhuǎn)換，達到變

化過程中的極限狀態(tài)，得到最小值即“兩點間的距離”。路徑最短問題，基本上運用軸對稱,

將分散的線段集中到兩點之間，從而運用兩點之間線段最短，來實現(xiàn)最短路徑的求解，所以

最短路徑問題需要考慮軸對稱。

兩個關(guān)鍵點：

(1)找準對稱軸。動點所在的直線即為對稱軸。

(2)同側(cè)化異側(cè)。同側(cè)的兩個點，通過作對稱點，轉(zhuǎn)化為對稱軸異側(cè)

的兩個點，連線即與對稱軸相交，交點即是所求。

將軍飲馬口訣：“和最小，對稱找”

例1如圖，拋物線丁=工爐+公一2與x軸交于A,B兩點，與y軸交于C點,

2

且A(—1,0).

(1)求拋物線的解析式及頂點D的坐標(biāo)；

(2)點M是x軸上的一個動點，當(dāng)aDCM的周長最小時，求點M的坐標(biāo).

例題2定義一種變換：平移拋物線耳得到拋物線鳥，使心經(jīng)過耳的頂點A.設(shè)的工對

稱軸分別交耳、工于點D、B,點C是點A關(guān)于直線BD的對稱點。

如圖1,若公：〉=」/一2%+工，經(jīng)過變換后，AC=2百，點P是直線AC上的動點,

1-333

求點P到點D的距離和到直線AD的距離之和的最小值.

分析:如何找對稱點進行變換是本題的難點，注意到點P是直線AC上的動點，所以直線AC

就是對稱軸，從而運用對稱變換把線段PD轉(zhuǎn)化為線段PB進行求解.

解題策略：在不改變線段長度的前提下，運用對稱變換把對稱軸同側(cè)的兩條線段放在了對稱

軸的兩側(cè)，把復(fù)雜的最值問題轉(zhuǎn)化為基本問題.根據(jù)“兩點之間線段最短”或“垂線段最短”

把“兩折線”轉(zhuǎn)“直”，找出最小位置，并求出最小值。變換的奧秘是：動點在哪條直線上，

就以這條直線為對稱軸，構(gòu)建某一定點的對稱點.對稱變換是轉(zhuǎn)化的手段，也是解決問題的

關(guān)鍵.

【牛刀小試】

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2,E為AB的中點，P是AC上一動點.則

PB+PE的最小值是.

2.如圖所示，正方形ABCD的面積為12,AABE是等邊三角形，點E在正方

形ABCD內(nèi)，在對角線AC上有一點P,使PD+PE的和最小，則這個最小值

為.

3.如圖，MN是半徑為1的。0的直徑，點A在。0上，NAMN=30°,B為AN弧的中

點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為.

4.如圖，AB是。0的直徑，AB=8,點M在00上，ZMAB=20°,N是弧MB的中點，P

是直徑AB上的一動點.若MN=1,則APHN周長的最小值為.

5.己知A(—2,3),B(3,1),P點在x軸上，若PA+PB長度最小，則最小值為

6.如圖，在RtAABC中，ZC=90°,ZB=60°，點D是BC邊上的點，CD=1,將AABC

沿直線AD翻折，使點C落在AB邊上的點E處，若點P是直線AD上的動點，則4PEB

的周長的最小值是o

翦6題

7.如圖，有一圓形透明玻璃容器，高15cm,底面周長為24cm,

在容器內(nèi)壁柜上邊緣4cm的A處，停著一只小飛蟲，一只蜘蛛

從容器底部外向上爬了3cm的B處時(B處與A處恰好相對),

發(fā)現(xiàn)了小飛蟲，問蜘蛛怎樣爬去吃小飛蟲最近？它至少要爬多少

路？(厚度忽略不計).

：-B

8.如圖，在RtAABC中，NABC=90°,AB=BC=4,點M在BC上，且BM=1,N是AC

上一動點，則BN+MN的最小值為o

9.如圖，在邊長為2的等邊4ABC中，D為BC的中點，E是AC邊上一點，則BE+DE的

最小值為?

10.如圖，點A,B的坐標(biāo)分別為(8，0)和(0,2),點C是x軸上的一個動點，且A,B,C

三點不在同一條直線上，當(dāng)4ABC的周長最小時，點C的坐標(biāo)是

11.如圖，正方形ABCD的邊長是8,P是CD上的一點，且PD的長為2,M是其對角線

AC上的一個動點，則DM+MP的最小值是.

12.菱形ABCO在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(26,0),NA0C=60°,點P是

對角線OB上一個動點,E(0,-l),問:EP+AP最短是，此時點P的坐標(biāo)為.

霞12短

13.如圖，已知點A(l,1)、B(3,2),且P為x軸上一動點，則4ABP的周長的最小值

為

14.如圖，四邊形ABCD中，NBAD=120°,NB=ND=90°,在BC、CD上分別找一點M、

N,使AAMN周長最小時，則/AMN+/ANM的度數(shù)為【】

A.130°B.120°C.110°D.100°

15.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為了解決抗旱問題，要在某河道建一座水泵站，分別向河的同一側(cè)張村A和李村

B送水。經(jīng)實地勘查后，工程人員設(shè)計圖紙時，以河道上的大橋0為坐標(biāo)原點，以河道所

在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系(如圖)。兩村的坐標(biāo)分別為A(2,3),B(12,7)o

(1)若從節(jié)約經(jīng)費考慮，水泵站建在距離大橋0多遠的地方可使所用輸水管道最短？

(2)水泵站建在距離大橋0多遠的地方，可使它到張村、李村的距離相等？

1.2兩定兩動

過河拆橋

【解決方法】平移變換

平移變換的特征是：對應(yīng)線段平行且相等，它可以改變線段的位置卻不改變其方向和長

度。平移變換是把復(fù)雜的最值問題轉(zhuǎn)化為基本問題的重要手段。

【問題再現(xiàn)】（人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖3,A和B兩地在一條河

的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN,造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假

定河的兩岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）

圖3

在解決這道題題目前，我們先看以下模型：圖3

【模型抽象】

動手操作一：如果把直線n和點A向上運動，而直線12和點B不動，你會

畫嗎？（平移要注意什么？）

問題：A、B為兩村莊之間隔著河流，河流兩岸為直線11、12,若在兩岸建橋CD,橋與河

流兩岸垂直，橋建在何處，可使AC+CD+DB最短。

策略：平移回去，把問題轉(zhuǎn)化為在直線上找一點D,使A'D+DB最短

動手操作二：如果P不動，Q平移a個單位，你會畫嗎？（平移要注意什么？）

尸@?PQ

問題：如圖，若A、B為定點，而線段PQ長為定值，當(dāng)P在何處，AP+PQ+QB

最短。

?B

A

【小結(jié)】

兩動點，其中一個隨另一個動（一個主動，一個從動），并且兩動點間的距離保持不變。用平

移方法，可把兩動點變成一個動點，轉(zhuǎn)化為“兩個定點和一個動點”類型來解。（處理方法:

當(dāng)兩點間有一段固定的距離時，利用平移可將這距離“壓縮為零”，再連接構(gòu)建“兩點間

的線段”這一圖形。）

例1（人教版七年級（下）第五章造橋選址問題）如圖3,A和B兩地在一條河的兩岸，

現(xiàn)要在河上造一座橋MN,造橋在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩

岸是平行的直線，橋MN要與河岸垂直）

圖3圖4（1）圖4《2》

分析：假設(shè)河的兩岸為直線.這個問題要求“路徑AMNB最短”

實際上就是“AM+BN”最短（因為“橋要與河垂直”，橋長是定值，也就是河

兩岸的距離）.怎樣保證“AM+BN”最短呢？如圖4（1