人教新版九年級上學(xué)期《24.1.4圓周角》同步練習(xí)卷

人教新版九年級上學(xué)期《24.1.4圓周角》

同步練習(xí)卷

一.選擇題（共3小題）

1.如圖，已知：點A、B、C、。在。。上，AB=CD,下列結(jié)論：?ZAOC=ZBOD；②

NB0D=2NBAD；③AC=BD；④NCAB=NBDC；⑤ZC40+NCr>0=180°.其中

正確的個數(shù)為（）

D

A.2B.3C.4D.5

2.若在。。上4、8兩處各安裝一臺同樣的攝像裝置恰好可觀察圓上A、B之間的優(yōu)弧部分

（其中攝像裝置在A處所觀察范圍如圖所示），為觀察同樣范圍，改在劣弧A8的任意一

點M或圓心。處安裝同樣的攝像裝置，則在M、。處各需要攝像裝置至少（）

A.2臺，4臺8.2臺，1臺C.I臺，2臺D.1臺，4臺

3.如圖，A8為。。的直徑，C為。。上一點，其中AB=4,ZAOC=120°,P為。。上

的動點，連AP,取AP中點。，連CQ,則線段C。的最大值為（）

C.1+3&D.1+Vr

二.填空題（共10小題）

4.如圖，。。的直徑AB的長12,長度為4的弦。F在半圓上滑動，DELA8于點E,OC

，。尸于點C,連接CE,AF,則sin/AEC的值是,當(dāng)CE的長取得最大值時AF

的長是_______

5.如圖，已知點8(5,2),0P經(jīng)過原點0,交y軸正半軸于點A,點B在。P上，ZBA0

=45°,圓心P的坐標(biāo)為

6.如圖，AB是00的直徑，C,。是。。上的點，且0C〃8。，與BC,0C分別相交

于點E,F,則下列結(jié)論：①②/AOC=/AEC；③CB平分/ABD；④

DF；⑤ACE修ABED.其中一定成立的結(jié)論是.(填序號)

7.如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊48重合，其中量角器0刻度線的端點N

與點A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，C尸與量角器

的半圓弧交于點E,則第20秒點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是

8.如圖，。0的直徑AB=12,點C,。在。0上，連接3C,CD,且8c=8,若直線CZ)

與直線48相交于點E,AE=2,則弦8。的長為

9.己知點P(x,y)在第一象限，且x+y=12,點A(10,0)在x軸上，當(dāng)△。以為直角

三角形時，點P的坐標(biāo)為.

10.如圖，。。是△4BC的外接圓，已知NA8O=40°,則NACB的大小為

11.平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,4),點力為上任意一點,

連接AD,以O(shè)D為直徑的圓交AD于點E,則當(dāng)線段BE的長最短時E的坐標(biāo)為.

12.如圖，ZVIBC中，/8AC=60°,NA8C=45°,AB=4,￡>是線段BC上的一個動點,

以AD為直徑作。。分別交AB、AC于E、F,連結(jié)EF,則線段EF長度的最小值為.

13.如圖，OO的直徑A8為10。*,弦AC為6a〃，NACB的平分線交A8于E,交。。于

14.如圖，點A、B、C在。。上，用無刻度的直尺畫圖.

(1)在圖①中，畫一個與NB互補(bǔ)的圓周角；

(2)在圖②中，畫一個與互余的圓周角.

*0*0

yc

圖①圖②

15.如圖，已知A。是。。的直徑,8c切。。于點E,交A。延長線于點8,過點A作4C

JLBC交。0于點G,交OE于點F.

(1)求證：AD—AF；

(2)若。E=2CF,試說明四邊形OEFG為菱形.

b

Fc

16.如圖，AB是。。的直徑，C。是。。的一條弦，且CCJ_AB于點E.

(1)求證：NBCO=ND；

(2)若C￡)=4&,AE=2,求。0的半徑.

D

17.如圖，。0中，弦CD與直徑AB交于點、H.

(1)當(dāng)N8+/Q=90°時，求證：”是8的中點；

(2)若”為CC的中點，且CQ=2五,BD=M，求/\B的長.

18.如圖，A8是半圓。的直徑，C、。是半圓。上的兩點,OD//BC,0力與AC交于點

E.

(1)若NB=70°,求弧CO的度數(shù)；

(2)若A8=26,DE=S,求AC的長.

19.如圖，AB是。。的直徑，且AB=10,弦CQLAB于點E,G是弧AC上任意一點，延

長AG,與0c的延長線交于點F,連接AC,BC,DG.

(1)求證：NACG=NF；

(2)若tan/BAC=L,AG=BG>求OG的長.

2

20.已知：如圖，AB是。。的直徑,弦CDJ_AB于點E,G是前上一點，AG,DC的延長

線角于點凡求證：ZFGC^ZAGD.

21.如圖，在以A8為直徑的半圓中，將弧8c沿弦8C折疊交AB于點。，若AD=5,DB

=7.

(1)求BC的長；

(2)求圓心到BC的距離.

22.已知圓。的直徑AB=12,點C是圓上一點，且NABC=30°,點尸是弦BC上一動點,

過點P作PD10P交圓0于點D.

題圖2

(1)如圖1,當(dāng)PO〃AB時，求的長；

(2)如圖2,當(dāng)8P平分NOP。時，求PC的長.

23.如圖，AB是半圓。的直徑，E是弧BC的中點，0E交弦BC于點、D,已知8c=8cw7,

DE=2cm,求0￡)與4。的長.

AOB

24.如圖，在。。中，直徑A8與弦CD相交于點P,NCAB=40°,/AP￡>=65°

(1)求的大小；

(2)已知AQ=6,求圓心。到8。的距離.

25.如圖，在△ABC中，ZC=90°,。是BC邊上一點，以。8為直徑的。。經(jīng)過AB的

中點E,交的延長線于點F,連結(jié)E?

(1)求證：DA=DB,Z1=ZF.

26.如圖，已知AABC中，AB=AC,/BAC=90°,。。經(jīng)過點A和點B,與斜邊BC交

于點P(不與B、C重合)，PE是。。的直徑，連接AE,BE.

(1)求證：AP=AE；

(2)若PE=4,求尸d+PB?的值.

27.如圖，A8為半圓。的直徑，弦與A8的延長線相交于點E.

(I)求證：NC0E=2NBDE；

(II)當(dāng)0B=BE=2,且NBDE=60°時,求tanE.

28.已知：如圖，A3為。。的直徑，CE_LA8于E,BF//0C,連接8C,CF.

求證：NOCF=NECB.

29.如圖，點A、B、C是圓0上的三點，AB//OC

(1)求證：AC平分N0A8；

(2)過點。作0E_L48于E,交AC于點P,若48=2,NAOE=30°,求圓。的半徑

0C及PE的長.

c

o-------5

30.如圖，已知AB為OO的直徑，AC為弦，0O〃BC,交AC于O,BC=4cm.

(1)求證：AC_L。。；

(2)求0。的長；

(3)若sinA=L,求OO的直徑.

31.如圖，點C在。。上，連接C。并延長交弦AB于點O,AC=BC，連接AC、OB,若

CD-8,AC=4依.

(1)求弦A8的長；

32.如圖，已知AB為的直徑，4c為弦，OD"BC,交AC于。，BC=4cm.

(1)求證：AC±OD；

(2)求0。的長；

(3)若2siM-l=0,求。。的直徑.

33.如圖，A8是。。的直徑，C、。兩點在。。上，若/C=45°,

(1)求NABO的度數(shù);

,BC=3,求。。的半徑.

34.如圖，48是。。的直徑，點C在圓上，NBA。是△ABC的一個外角，它的平分線交

于點E.不使用圓規(guī)，請你僅用一把不帶刻度的直尺作出NBAC的平分線.并說明理由.

35.已知：如圖，AB為半圓。的直徑，C是半圓。上一點，過點C作AB的平行線交。。

于點E,連接AC、BC、AE,EB.過點C作CGJ_AB于點G,交EB于點、H.

(1)求證：NBCG=NEBG；

(2)若sin/CAB=返，求力的值.

GB

36.如圖，已知△ABC中，AB=AC,NA=45°,AB為。。的直徑，AC交。。于點E,連

接BE

(1)求NEBC的度數(shù);

(2)求證：BD=CD.

37.已知。。的直徑為10,點A、點8、點C在。。上，NCAB的平分線交。。于點D

(1)如圖①，若BC為OO的直徑，AB=6,求AC、BD、8的長;

38.如圖，A8為。。的直徑，48=AC,8C交。。于點。，AC交。。于點E,NBAC=45°.

(1)求/EBC的度數(shù)；

(2)求證：BD=CD.

A

39.如圖，在。。中，AB是直徑，CO是弦(不過圓心)，ABLCD.

(1)E是優(yōu)弧CA。上一點(不與C、。重合)，求證：NCED=NCOB；

(2)點￡在劣弧C￡＞上(不與C、￡＞重合)時，NCE'D與NCOB有什么數(shù)量關(guān)系？請

證明你的結(jié)論.

40.如圖，A8是半圓。的直徑，C、。是半圓。上的兩點，KOD//BC,。。與AC交于點

E.

(1)若/8=70°,求的度數(shù)；

(2)若48=10,AC=8,求DE的長.

D

41.如圖，已知在00中，AB是。0的直徑，4c=8,BC=6.

(1)求。。的面積；

(2)若。為上一點，且△ABD為等腰三角形，求C。的長.

42.如圖，已知AB為圓0的直徑，點C為圓。上一點，弦CDLAB,垂足為點E,48=5,

BC=3,點F為劣弧AC中點，連結(jié)OF.

(1)求4。的長.

(2)求0E的長.

(3)求tanNFDC的值.

(4)求力廠的長.

43.在。。中，直徑AB=6,BC是弦,ZABC=30°,點P在BC上，點。在。。上，且

OPLPQ.

(1)如圖當(dāng)PQ〃A8時;求PQ的長；

(2)當(dāng)點尸在BC上移動時，線段PQ長的最大值為；此時，ZPOQ的度數(shù)

為

人教新版九年級上學(xué)期《24.1.4圓周角》2019年同步練

習(xí)卷

參考答案與試題解析

一.選擇題（共3小題）

1.如圖，已知：點A、B、C、。在00上，AB=CD,下列結(jié)論：①/4OC=NBOO；（2）

NBOD=2NBAD；③AC=BD；④NCAB=NBDC；⑤NC4O+NCDO=180°.其中

正確的個數(shù)為（）

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系逐個判斷

即可.

【解答】解：???4B=C￡>,

.,?CBD=BCA.

???AC=BD.

：.ZAOC=ZBOD,故①正確：

:圓周角/A4Z）和圓心角ZBOD都對著箭，

：.ZBOD=2ZBAD,故②正確；

VAC=BD-

；.AC=B。，故③正確；

?.?圓周角ZCAB和NBOC都對著BC，

D

：.ZCAB=^ZBDC,故④正確;

延長。。交。。于M,連接AM,

；￡＞、C、A、M四點共圓,

：.ZCDO+ZCAM^\SQQ（圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)）,

'：ZCAM>ZCAO,

：.ZCAO+ZCDO<\m°,故⑤錯誤;

即正確的個數(shù)是4個,

故選：C.

【點評】本題考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理和圓心角、弧、弦之間的關(guān)系等

知識點，能靈活運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵.

2.若在OO上4、B兩處各安裝一臺同樣的攝像裝置恰好可觀察圓上A、8之間的優(yōu)弧部分

（其中攝像裝置在A處所觀察范圍如圖所示），為觀察同樣范圍，改在劣弧A2的任意一

點M或圓心。處安裝同樣的攝像裝置，則在M、。處各需要攝像裝置至少（）

A.2臺，4臺B.2臺，1臺C.1臺，2臺D.1臺，4臺

【分析】如圖，連接OC,OB,MC,MB.因為攝像裝置的視角為/C4B,根據(jù)/C4B

=ZCMB,ZC0B=2ZCAB,即可判斷;

【解答】解：如圖，連接OC,OB,MC,MB.

M

???攝像裝置的視角為NC4B,

又,：NCAB=NCMB,NC0B=2NCAB,

...在M、。處各需要攝像裝置至少2臺，4臺;

故選：A.

【點評】本題考查圓周角定理，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會添加常用輔助線，屬于中

考?？碱}型.

3.如圖，A8為。。的直徑，C為。0上一點，其中AB=4,ZAOC=120°,P為。。上

的動點，連AP,取AP中點Q,連CQ,則線段CQ的最大值為（）

B.1+^6C.1+372D.1+VT

【分析】如圖，連接0。，作CH_LA8于H.首先證明點。的運(yùn)動軌跡為以A。為直徑

的OK,連接CK,當(dāng)點。在CK的延長線上時，CQ的值最大，利用勾股定理求出CK

即可解決問題;

【解答】解：如圖，連接0Q,作CHLA8于

?：AQ=QP,

：.OQ±PA,

：.ZAQO=90°,

，點Q的運(yùn)動軌跡為以A0為直徑的OK,連接CK,

當(dāng)點。在CK的延長線上時，CQ的值最大，

在中，：/C0H=6（r,0C=2,

：.OH=1JOC=\,CH=a，

2

在Rt^CK“中，CK=｛（75）2+22=A

.?.CQ的最大值為i+Vr）

故選：D.

【點評】本題考查圓周角定理、軌跡、勾股定理、點與圓的位置關(guān)系等知識，解題的關(guān)

鍵是正確尋找點。的運(yùn)動軌跡，學(xué)會構(gòu)造輔助圓解決問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

二.填空題（共10小題）

4.如圖，。。的直徑AB的長12,長度為4的弦。尸在半圓上滑動，￡>E_LAB于點E,OC

于點C,連接CE,AF,貝！|sin/AEC的值是空2,當(dāng)CE的長取得最大值時

~3~

4尸的長是4遂.

【分析】先求出OC,在判斷出點O,C,D,E是以。力為直徑的圓上，進(jìn)而得出NAEC

的值，再判斷出CE最大時，0C_L4B,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖1,

連接O。，.??。0=工48=6,

2

OC1.DF,

；.N08=90°,CD=CF=1~DF=2,

2

在RtZXOC。中，根據(jù)勾股定理得，℃=而D2-CD2=4&，

sinZ0DC=理=

0D63

'."DE1AB,

：.ZDEO=90°=Z0CD,

...點0,C,D,E是以。。為直徑的圓上,

，ZAEC=ZODC.

：.sin/AEC=sinZODC=2近,

3

如圖2,

；CO是以0。為直徑的圓中的弦，CE要最大，

即：CE是以0。為直徑的圓的直徑，

:.CE=0D=6,ZCOE=90°,

VZOCD=ZO￡D=90°,

四邊形OCDE是矩形，尸〃AB,

過點尸作FG_LAB于G,

易知，四邊形OCFG是矩形，

0G=CF=2,FG=0C=4圾,

：.AG=OA-0G=4

連接AF,

22=4

在RtZ\AFG中，根據(jù)勾股定理得，AF=7AG+FG^,

【點評】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理，判斷

出點O,C,D,E是以A0為直徑的圓上是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，已知點8(5,2),OP經(jīng)過原點0,交y軸正半軸于點A,點B在G)P上，ZBAO

=45°,圓心P的坐標(biāo)為(W,工).

—22―

【分析】連接OP,OB,PB,延長3尸交OP于￡作EF_LOA于R軸于利

用全等三角形的性質(zhì)求出點E坐標(biāo)即可解決問題；

【解答】解：連接OP,OB,PB,延長BP交。產(chǎn)于E,作EFLOA于F,BHLx軸于H.

■:NBPO=2NBAO,N8AO=45°,

：.ZBPO=90°,

?:PO=OB,

???△P3。是等腰直角三角形，

?「BE是直徑，

：.ZBOE=90°,

；?NOBE=NOEB=45°,

：.OE=OB,

???NEOB=NAOH=9(T,

：.ZEOF=ZBOHf

?；NEFO=NBHO=90°,

:.△EFOQXBHO(A4S),

AOF=OH=5,BF=BH=2,

：.E(-2,5),

?:PE=PB,

：.p（W,工）.

22

故答案為（W,工）.

22

【點評】本題考查圓周角定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性

質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

6.如圖，A2是。0的直徑，C,。是00上的點，0C//BD,AO與8C,0C分別相交

于點E,F,則下列結(jié)論：①②NA0C=NAEC；③C8平分NAB。；@AF=

DF；@AC￡F^AB￡￡）.其中一定成立的結(jié)論是①⑶④.（填序號）

【分析】①由直徑所對圓周角是直角，

②由于NA0C是。。的圓心角，NAEC是。。的圓內(nèi)部的角，

③由平行線得到Z0CB=ZDBC,再由同圓的半徑相等得到結(jié)論判斷出N0BC=NDBC；

④用半徑垂直于不是直徑的弦，必平分弦；

⑤得不到和△BE。中對應(yīng)相等的邊，所以不一定全等.

【解答】解：①..SB是。。的直徑，

:.NADB=90°,

：.AD±BD,

故①正確；

@VZAEC=ZABC+ZA,ZAOC=ZABC+ZC,

根據(jù)圖形好已知不能推出NC=NA,

ZAOC^ZAEC,

故②不正確；

（3）'：0C//BD,

：.Z0CB=ZDBC,

'：OC=OB,

：.N0CB=N0BC,

：.ZOBC=ZDBC,

；.BC平分NA8O,

故③正確；

④；AB是。。的直徑，

；.NADB=90°,

:.ADLBD,

'：OC//BD,

/。=90°,

??,點。為圓心，

：.AF=DF,

故④正確；

⑤尸和△BEO中，沒有相等的邊，

/XCEF與△BEQ不全等，

故⑤不正確；

綜上可知：其中一定成立的有①③④，

故答案為：①③④.

【點評】本題主要考查圓周角定理及圓的有關(guān)性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，掌握圓中有關(guān)的線

段、角相等的定理是解題的關(guān)鍵，特別注意垂徑定理的應(yīng)用.

7.如圖，量角器的直徑與直角三角尺ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點N

與點4重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時針方向以每秒3°的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器

的半圓弧交于點E,則第20秒點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是120°.

【分析】首先連接?！?由NACB=90°,易得點E,A,B,C共圓，然后由圓周角定理,

求得點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù).

【解答】解:

連接0E,

；N4CB=90°,AB為半圓的直徑,

...E、A、C、8四點共圓，

AZACP=3°X20=60°,

/.ZAOE-=2ZACP=120°,

即第20秒點E在量角器上對應(yīng)的讀數(shù)是120。，

故答案為：120.

【點評】本題考查的是圓周角定理.此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形

結(jié)合思想的應(yīng)用.

8.如圖，的直徑AB=12,點C,。在。。上，連接BC,CD,且BC=CO,若直線CO

與直線AB相交于點E,AE=2,則弦的長為_

（分析］分兩種情形分別畫出圖形求解即可解決問題；

【解答】解：①當(dāng)BO、BC在直徑AB的同側(cè)時.連接OC、AD.

,/CD=BC，

：.OC±BD,

是直徑，

:.NADB=NOFB=90°,

：.AD//OC,

.AD=EA

"OCEO"

???-A---D_2

68

：.AD=^-,

2_

?，?呷］22吟2哼.

②當(dāng)80，CO在直徑AB兩側(cè)時，連接AD,CO,C。的延長線交BO與尸.

圖2

同法可證：AD//OC,

.AD=EA

"OCEO"

???A,一D—_2-f

64

：.AD=3f

1'*BD=N/fl）2=3V15>

故答案為&ZI或3^15，

2

【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識,

解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，屬于中考?？碱}型.

9.已知點戶G,y）在第一象限，且x+y=12,點A（10,0）在x軸上，當(dāng)△（?%為直角

三角形時，點P的坐標(biāo)為（10,2）、（8,4）、（9,3）.

【分析】分情況討論：①若。為直角頂點，則點尸在y軸上，不合題意舍去；②若A

為直角頂點，則附_Lx軸，所以點尸的橫坐標(biāo)為10,代入y=-x+12中，得），=2,求出

點P坐標(biāo)為（10,2）；③若尸為直角頂點，可得△OPBS^WB,根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)求出P點橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到P點坐標(biāo).

①若。為直角頂點，則點P在)，軸上，不合題意舍去；

②若A為直角頂點，則南軸，所以點P的橫坐標(biāo)為10,代入)，=-x+12中，得尸

2,

所以點P坐標(biāo)(10,2)；

③若P為直角頂點，可得△OPBs△以&

-0B=PB；

?,麗融，

.".PB2=OB-AB.

(-x+12)2—x(10-%).

解得x=8或9,

.,.點尸坐標(biāo)(8,4)或(9,3).

.?.當(dāng)△<?以為直角三角形時，點尸的坐標(biāo)為(10,2)、(8,4)、(9,3),

故答案為：(10,2)、(8,4)、(9,3).

【點評】本題考查了一次函數(shù)綜合題，熟悉一次函數(shù)的性質(zhì)以及三角形的面積公式以及

懂得直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

10.如圖，。。是△ABC的外接圓，已知乙480=40",則/ACB的大小為130°.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出N40B,根據(jù)圓周角定理計算

即可.

【解答】解：,.?。4=08,/48。=40°,

，NAOB=100°,

，NACB=LX(360°-100°)=130°,

2

故答案為：130°.

【點評】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周

角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵.

11.平面直角坐標(biāo)系中，點A、B的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,4),點力為上任意一點,

連接AD,以0。為直徑的圓交AD于點E,則當(dāng)線段BE的長最短時E的坐標(biāo)為

【分析】由。。是直徑，推出NOE￡>=NOE4=90°,推出點E的運(yùn)動軌跡是以O(shè)A為

直徑的圓，設(shè)。4的中點為K,連接BK,當(dāng)點E在8K上時，BE的長最短，作EH_LQ4

于H,由EH〃OB,可得型=旦旦=更，由此即可解決問題；

OBKOBK

【解答】解：如圖,

是直徑，

：.ZOED=ZOEA=90°,

...點E的運(yùn)動軌跡是以O(shè)A為直徑的圓，設(shè)OA的中點為K,連接BK,

當(dāng)點E在BK上時，BE的長最短，

VA(4,0)、B(0,4),

.".OA=PB=4,

'：OK=KA=2,

EK—^-OA2,BK=422+42=2^"^,

作EHLOA于H,

'：EH//OB,

.EH=KH=EK>

"OBKOBK,

?.?-E---H--H--K-------2,，

422A/5

55

：.OH=2-

5_

：.E（2-2返）.

55

【點評】本題考查圓周角定理，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，直角三角形斜邊中線的

性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找點E的運(yùn)動軌跡，屬于中考?？碱}型.

12.如圖，ZVIBC中，ZBAC=60°,乙4BC=45°,AB=4,。是線段BC上的一個動點,

以AD為直徑作。。分別交AB.AC于E、F,連結(jié)EF,則線段E尸長度的最小值為

【分析】由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)AQ為△ABC的邊BC上的高時，直徑最短，此時

線段EF=2EH=2O『sinNEOH=2OE?sin60°,當(dāng)半徑OE最短時，EF最短，連接。E,

OF,過。點作凡垂足為“，在中，解直角三角形求直徑AZ）,由圓周

角定理可知/￡：?！?上/《。廣=/區(qū)4。=60°,在RtZkE。"中，解直角三角形求￡7/,

2

由垂徑定理可知EF=2￡”，即可求出答案.

【解答】解：由垂線段的性質(zhì)可知，當(dāng)A。為aABC的邊BC上的高時，直徑AQ最短，

如圖，連接OE,OF,過0點作OHLEF,垂足為H,

?.,在RtZ\4OB中，ZABC=45°,AB=4,

:.AD=BD=2a,即此時圓的直徑為2&,

由圓周角定理可知NE。H=/E。F=NBAC=60°,

.,.在RtZiE。，中，EH=OE,sinNEOH=■與=零,

由垂徑定理可知EF=2EH=?

故答案為：Vs-

A

【點評】本題考查了垂徑定理，圓周角定理，解直角三角形的綜合運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)運(yùn)

動變化，找出滿足條件的最小圓，再解直角三角形.

13.如圖，的直徑AB為10cm,弦AC為6c/n,NACB的平分線交AB于E,交。。于

D.則弦A力的長是5出C7”.

【分析】連接BQ,由圓周角定理得N8C4=90°,再由已知得NACQ=45°,從而得出

△ABO為等腰直角三角形，由勾股定理求解即可.

【解答】解：連接B。，

???A8為。。的直徑，.?.NBCA=90°,

：CO平分/ACS,AZACD=45°,

；./A8O=45°,

...△ABO為等腰直角三角形，

：.AD1+BD2=AB2,

?；4B=10cm,.'.AD—5y[2/:m.

故答案為572，

【點評】本題考查了圓周角定理和勾股定理，是基礎(chǔ)知識要熟練掌握.

三.解答題（共30小題）

14.如圖，點A、B、C在。。上，用無刻度的直尺畫圖.

(1)在圖①中，畫一個與N8互補(bǔ)的圓周角;

(2)根據(jù)90。的圓周角所對的弦是直徑進(jìn)行畫圖即可.

(2)如圖2,NCBQ即為所求.

【點評】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖：復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，

一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖

形的性質(zhì)，結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.熟練掌握

圓周角定理是解決此題的關(guān)鍵.

15.如圖，已知AO是。。的直徑，8C切。。于點E,交AZ)延長線于點8,過點A作AC

交。。于點G,交OE于點F.

(1)求證：AD=AF；

(2)若DE=2CF,試說明四邊形OEFG為菱形.

【分析】(1)連接OE,根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)證明即可;

（2）連接0G,利用等邊三角形的性質(zhì)和菱形的判定解答即可.

【解答】證明：（1）如圖，連接OE,

???3。是。0的切線，OE是半徑,

:.OELBC,

：.ZBEO=90°,

VZACB=90°,

OE//AC,

：,/OED=NF,

,:OD=OE,

：.ZOED=ZODE,

：.ZODE=ZF,

：.AD=AF；

(2)連接OG,

VOE//AF,OD=OA,

：.DE=EF,

\'DE=2CF,

:?EF=2CF,

VZACB=90°,

.,.ZF=60°,

9：AD=AF,

???△AO/是等邊三角形，

???NA=60°,

?：OA=OG,

：.ZOGA=60°,

：.ZOGA=ZF,

，OG//EF,

'JOE//AF,

???四邊形OEFG是平行四邊形，

,:OE=OG,

，平行四邊形OEFG是菱形.

【點評】此題考查圓周角定理，關(guān)鍵是根據(jù)切線的性質(zhì)和平行線的判定和性質(zhì)解答.

16.如圖，4B是00的直徑，CD是。0的一條弦，且CDLA8于點￡

(1)求證：NBCO=ND；

【分析】(1)由OB=OC,利用等邊對等角得到一對角相等，再由同弧所對的圓周角相

等得到一對角相等，等量代換即可得證；

(2)由弦C。與直徑48垂直，利用垂徑定理得到E為CO的中點，求出CE的長，在

直角三角形OCE中，設(shè)圓的半徑。C=r,OE=OA-AE,表示出OE,利用勾股定理列

出關(guān)于「的方程，求出方程的解即可得到圓的半徑r的值.

【解答】(1)證明：如圖.

,:OC=OB,

NBCO=NB.

；NB=ND,

NBCO=ZD；

(2)TAB是。0的直徑，且CDJ_A8于點E,

：.CE=^CD=-Lx45/2=25/2-

在RtZXOCE中，OC^nC^+OE2,

設(shè)O。的半徑為r,則OC=r,OE=OA-AE=r-2,

J=(2&)2+(r-2)2,

解得：r=3,

???0。的半徑為3.

【點評】此題考查了垂徑定理，勾股定理，以及圓周角定理，熟練掌握定理是解本題的

關(guān)鍵.

17.如圖，中，弦C/)與直徑AB交于點H.

(1)當(dāng)/8+/。=90°時，求證：”是CQ的中點；

(2)若”為C。的中點，且CO=2&,BD=M，求A8的長.

【分析】(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出/BHO=90°,根據(jù)垂徑定理得出即可；

(2)根據(jù)垂徑定理求出。H,根據(jù)勾股定理求出B”，根據(jù)勾股定理得出關(guān)于R的方程,

求出R即可.

【解答】(1)證明：VZB+ZD=90°,

：.ZBHD^\80°-90°=90°,

即ABVCD,

過O,

：.CH=DH,

即”是CO的中點；

為CO的中點，CD=2?4B過。,

Z.DH=CH=1-CD=V2>ABLCD,

:.NBHD=90°,

由勾股定理得：BH^7BD2-DH2=7(V3)2-(V2)2=1,

設(shè)。。的半徑為R,則AB=2R,OB=OD=R,

在RtA。，。中，由勾股定理得：。，2+。，2=。。2,

BP(R-1)2+(a)2=R2,

解得：R=3,

2

，AB=2xW=3.

2

【點評】本題考查了圓周角定理、垂徑定理和勾股定理，能靈活運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推理

是解此題的關(guān)鍵.

18.如圖，AB是半圓。的直徑，C、。是半圓。上的兩點，且0￡>〃BC,0。與AC交于點

E.

(1)若/8=70°,求弧CO的度數(shù)；

(2)若AB=26,DE=8,求AC的長.

【分析】(1)根據(jù)直徑所對的圓周角是直角求出/8AC的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出

/AOO的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到答案；

(2)根據(jù)三角形中位線定理求出3c的長，根據(jù)勾股定理求出答案.

【解答】解：(1)是半圓。的直徑，

.*.ZC=90°,又NB=70°,

：.ZBAC=20°,

\'OD//BC,

，NAOO=NB=70°,又

：.ZOAD=55°,

：.ZDAC=35°,

；.質(zhì)的度數(shù)是70°；

(2)U：AB=26,

A00=13,又DE=8,

：.OE=5,

V0D//BC,0A=0Bf

：.BC=2OE=\0f

.,.AC=^AB2_BC2=24,

【點評】本題考查的是圓周角定理、垂徑定理和圓心角、弧、弦的關(guān)系，掌握直徑所對

的圓周角是直角、圓的半徑相等、三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

19.如圖，AB是。。的直徑，且4B=10,弦C￡>_LAB于點E,G是弧AC上任意一點，延

長AG,與OC的延長線交于點尸，連接AC,BC,DG.

(1)求證：NACG=NF；

(2)若tan/BAC=L,AG=BG-求OG的長.

2

【分析】(1)首先證明/FGC=NAOC=NAC。，由/Z)CG=NGCA+/ACD=/FGC+

NF,即可推出NACG=NF；

(2)如圖2中，連接。G,作G"_LOF于”.想辦法求出?！?，GH,利用勾股定理即可

解決問題；

【解答】(1)證明：是直徑，ABLCD,

???AD=AC)

ZADC=ZACD,

'：ZFGC+ZAGC=\SO0,N4OC+N4GC=180°,

ZFGC=ZADC=ZACD,

'：4DCG=ZGCA+ZACD^ZFGC+ZF,

：.NACG=NF.

(2)解：如圖2中，連接0G,作GH_LDF于

V4B=10,tanNBAC=^=L

AC2

'JABVCD,

：.DE=C￡=AC"BC=4)

AB

；.8E={BC2_EC2=2,0E=3,

VAG=BG，

OG±AB,

：.NGOE=/OEH=ZGHE=90°,

四邊形OEHG是矩形，

GH=OE=3,OG=EH=5,DH=9,

在RtADG77中，DG—DH^+GH^~V9+3VTO-

【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)

鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造特殊四邊形解決問題，屬于中考?？碱}型.

20.已知：如圖，AB是。0的直徑，弦C￡)_LA8于點E,G是前上一點，AG,OC的延長

線角于點F,求證：NFGC=NAGD.

【分析】連接AQ,如圖，先根據(jù)垂徑定理由得益=孩，再根據(jù)圓周角定理得

ZAGD=ZADC,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得NFGC=NAOC,所以/FGC=NAG￡).

【解答】解：連接AD

VCD1AB,

???AD=AC.

ZAGD=ZADC,

?：2FGC=4ADC,

：.NFGC=ZAGD

【點評】本題考查了圓周角定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都

等于這條弧所對的圓心角的一半.也考查了垂徑定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì).

21.如圖，在以AB為直徑的半圓中，將弧8c沿弦BC折疊交AB于點。，若4。=5,DB

=7.

(1)求BC的長；

(2)求圓心到BC的距離.

【分析】(1)根據(jù)折疊的性質(zhì)知：CB=BDC;若連接CD、AC,則N￡>BC+NBC￡>=N

CAD,即NC4Q=NCQA；過C作AB的垂線，設(shè)垂足為E,則。E=L。，由此可求出

2

BE的長，進(jìn)而可在RtaABC中，根據(jù)射影定理求出BC的長.

(2)設(shè)圓心到BC的距離為人利用勾股定理解答即可.

【解答】解：(1)連接C4、CD；

根據(jù)折疊的性質(zhì)，得：CB=BDC；

，NCAB=NCBD+NBCD；

:NCDA=/CBD+NBCD(三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和),

：.ZCAD^ZCDA,即△C4O是等腰三角形；

過C作CELAB于E,則AE=DE=2.5；

：.BE=BD+DE=9.5i

在Rt^ACB中，CEYAB,根據(jù)射影定理，得：

Bd=BE?AB=95X12=114；

故

(2)設(shè)圓心到BC的距離為〃，圓的半徑為r=6,

由(1)知，RtZ\ECB中，BE=9.5,BC=VT14-

?*-CE=7BC2-BE2=7114-9-52'

chCE

.s】心隹

仁叵,

2_

故圓心到BC的距離為叵.

【點評】此題考查的是折疊的性質(zhì)、圓周角定理、以及相似三角形的判定和性質(zhì)；能夠

根據(jù)圓周角定理來判斷出△ACD是等腰三角形，是解答此題的關(guān)鍵.

22.已知圓0的直徑AB=12,點C是圓上一點，且NA8C=30°,點P是弦2C上一動點,

(1)如圖1,當(dāng)尸Z)〃A8時，求PO的長;

(2)如圖2,當(dāng)8尸平分NOPQ時，求PC的長.

【分析】(1)先判斷出NPO8=90°,進(jìn)而求出OP=OB?tan30°=2、石最后用勾股定理

即可得出結(jié)論；

(2)先求出OH*1B=3,BH=0B'COS30°;短,進(jìn)而求出CH=BH=3b，即可得出結(jié)

論.

【解答】解：如圖1,聯(lián)結(jié)?！?gt;

???直徑A8=12

JOB=OD=6

*：PDLOP

JZDPO=90°

9：PD//AB

：.ZDPO+ZPOB=1SO°

：.NPOB=90°

XVZABC=30°,OB=6

.?.OP=OB'tan3Q0=2/3

「在Rt/XPO。中，PO2+PD1=OD1

,**(2V3)2+PD2=62

，PD=2遍

(2)如圖2,過點0作OHL8C,垂足為//

\'OH±BC

；.NOHB=NOHP=90°

VZABC=30°,OB=6

0H=^0B=31BH=0B，cos30°=373

?.,在O。中，OHLBC

，CH=BH=3F

,：BP平分/OPO

'-ZBP0=yZDP0=45

：.PH=OH'CQ^5°=3

/.PC=CH-PH=3V3-3.

【點評】此題主要考查了圓周角定理，垂徑定理，銳角三角函數(shù)，利用銳角三角函數(shù)求

出線段是解本題的關(guān)鍵.

23.如圖，48是半圓。的直徑，E是弧BC的中點，0E交弦BC于點、D,己知BC=8cm,

DE=2cm,求。。與的長.

【分析】連接AC,設(shè)。。的半徑為R.在RtZ\0Q8中，利用勾股定理求出R,再利用三

角形的中位線定理求出AC,在RtZ\AC￡＞中，利用勾股定理求出AQ即可；

【解答】解：連接AC,設(shè)。。的半徑為R.

?/CE=EB，

OEVBC,

：?CD=DB=4cm,

在RtAODB中，OCP+BD1=OB1,

(R-2)2+42=7?2,

??.R=5,

:.OD=OE-DE=3,

???A0=03,CD=DB,

?二4(7=20。=6,

TAB是直徑，

???NC=90°,

,'MD=；VAC2+CD2=V62+42=2^-

【點評】本題考查圓周角定理、垂徑定理、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參

數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型.

24.如圖，在。。中，直徑43與弦C。相交于點P,NC48=40°,ZAPD=65°

(1)求的大??；

(2)已知A￡>=6,求圓心。到B。的距離.

【分析】(1)先依據(jù)三角形的外角的性質(zhì)求得NC的度數(shù)，然后再根據(jù)圓周定理求解即

可；

(2)利用三角形中位線的性質(zhì)得出E0=L。，即可得出答案.

2

【解答】解：(1)VZAPD=ZC+ZCAH,

：.ZC=65°-40°=25°,

；./B