廣州省惠陽市惠城區(qū)2022年中考考前最后一卷數(shù)學試卷含解析

2021-2022中考數(shù)學模擬試卷

考生請注意：

1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.）

1.下列說法正確的是（）

A.負數(shù)沒有倒數(shù)B.-1的倒數(shù)是-1

C.任何有理數(shù)都有倒數(shù)D.正數(shù)的倒數(shù)比自身小

2.如圖，△ABC中，AB=3,AC=4,BC=5,D、E分別是AC、AB的中點，則以DE為直徑的圓與BC的位置關系

是（）

A.相切B.相交C.相離D.無法確定

3.某居委會組織兩個檢查組，分別對“垃圾分類”和“違規(guī)停車”的情況進行抽查.各組隨機抽取轄區(qū)內某三個小區(qū)中的

一個進行檢查，則兩個組恰好抽到同一個小區(qū)的概率是（）

1112

A.-B.-C.-D.一

9633

4.將下列各選項中的平面圖形繞軸旋轉一周，可得到如圖所示的立體圖形的是（）

5.下列判斷正確的是（

A.任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上

B.天氣預報說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時間都在降雨

C.“籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機事件

D.“a是實數(shù)，|a|NO"是不可能事件

6.在平面直角坐標系中，點A的坐標是（-1,0）,點B的坐標是（3,0）,在y軸的正半軸上取一點C,使A、B、

C三點確定一個圓，且使AB為圓的直徑，則點C的坐標是（）

A.（0,B.（百，0）C.（0,2）D.（2,0）

7.如圖，兩個轉盤A,B都被分成了3個全等的扇形，在每一扇形內均標有不同的自然數(shù)，固定指針，同時轉動轉盤

A,B,兩個轉盤停止后觀察兩個指針所指扇形內的數(shù)字（若指針停在扇形的邊線上，當作指向上邊的扇形）.小明每

轉動一次就記錄數(shù)據(jù)，并算出兩數(shù)之和，其中“和為7”的頻數(shù)及頻率如下表：

轉盤總次數(shù)10203050100150180240330450

“和為7”出現(xiàn)頻

27101630465981110150

數(shù)

“和為7”出現(xiàn)頻

0.200.350.330.320.300.300.330.340.330.33

率

如果實驗繼續(xù)進行下去，根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，估計出現(xiàn)“和為7”的概率為（）

A.0.33B.0.34C,0.20D.0.35

8.如圖，在△ABC中，點D是AB邊上的一點，若NACD=NB,AD=1,AC=2,AADC的面積為1,則4BCD的面積為（）

A.132°B.134°C.136°D.138°

10.如圖，已知線段AB,分別以A,B為圓心，大于‘AB為半徑作弧，連接弧的交點得到直線1,在直線1上取一點

2

C,使得NCAB=25。，延長AC至點M,則NBCM的度數(shù)為（）

C.60°D.70°

11.如圖，點A,B為定點，定直線1//AB,P是1上一動點.點M,N分別為PA,PB的中點，對于下列各值:

①線段MN的長；

②APAB的周長；

③aPNIN的面積；

④直線MN,AB之間的距離；

⑤NAPB的大小.

其中會隨點P的移動而變化的是（）

A.②③B.②⑤C.①③④D.④⑤

12.改革開放40年以來，城鄉(xiāng)居民生活水平持續(xù)快速提升，居民教育、文化和娛樂消費支出持續(xù)增長，已經成為居民

各項消費支出中僅次于居住、食品煙酒、交通通信后的第四大消費支出，如圖為北京市統(tǒng)計局發(fā)布的2017年和2018

年我市居民人均教育、文化和娛樂消費支出的折線圖.

教育、文化和娛樂消費支出折線圖

說明：在統(tǒng)計學中，同比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上一年同期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2017年第二季度

相比較；環(huán)比是指本期統(tǒng)計數(shù)據(jù)與上期統(tǒng)計數(shù)據(jù)相比較，例如2018年第二季度與2018年第一季度相比較.

根據(jù)上述信息，下列結論中錯誤的是（）

A.2017年第二季度環(huán)比有所提高

B.2017年第三季度環(huán)比有所提高

C.2018年第一季度同比有所提高

D.2018年第四季度同比有所提高

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13.如圖，在RtAABC中，NACB=90。，NA=30。，BC=2,點D是邊AB上的動點，將AACD沿CD所在的直線

折疊至ACDA的位置，CA，交AB于點E.若△A，ED為直角三角形，則AD的長為.

15.計算：cos2450-tan30°sin60°=.

16.如圖，四邊形ABCD中，E,F,G,H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點.若四邊形EFGH為菱形，則對角

線AC、BD應滿足條件.

17.如圖所示，一個寬為2cm的刻度尺在圓形光盤上移動，當刻度尺的一邊與光盤相切時，另一邊與光盤邊緣兩個交

點處的讀數(shù)恰好是“2”和“10”（單位：cm）,那么該光盤的半徑是—cm.

18.如圖，在A45C中力瓊AC.。f分別為邊A34C上的點.AC=3A，43=3AE,點尸為5C邊上一點,添加一個條件:

可以使得AFDB與AADE相似.（只需寫出一個）

三、解答題：（本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19.（6分）為落實黨中央“長江大保護”新發(fā)展理念，我市持續(xù)推進長江岸線保護，還洞庭湖和長江水清岸綠的自然

生態(tài)原貌.某工程隊負責對一面積為33000平方米的非法砂石碼頭進行拆除，回填土方和復綠施工，為了縮短工期,

該工程隊增加了人力和設備，實際工作效率比原計劃每天提高了20%,結果提前11天完成任務，求實際平均每天

施工多少平方米？

20.（6分）在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)丫=h+6的圖象與丫軸交于點8（（）,1）,與反比例函數(shù)丫=巴的圖

X

象交于點A（3,-2）.

（1）求反比例函數(shù)的表達式和一次函數(shù)表達式；

（2）若點C是y軸上一點，且BC=BA,直接寫出點C的坐標.

VA

5-

4-

3-

2-

1-

!III1IIII,

-5-4-3-2-1012345x

-1-

-2-

?3-

-4-

-5-

21.（6分）先化簡，再求值：a（a-3b）+（a+b）2-a（a-b）,其中a=Lb=--

2

22.（8分）某市對城區(qū)部分路段的人行道地磚、綠化帶、排水管等公用設施進行全面更新改造，根據(jù)市政建設的需要,

需在35天內完成工程.現(xiàn)有甲、乙兩個工程隊有意承包這項工程，經調查知道，乙工程隊單獨完成此項工程的時間是

甲工程隊單獨完成此項工程時間的2倍，若甲、乙兩工程隊合作，只需10天完成.甲、乙兩個工程隊單獨完成此項工

程各需多少天？若甲工程隊每天的工程費用是4萬元，乙工程隊每天的工程費用是2.5萬元，請你設計一種方案，既

能按時完工，又能使工程費用最少.

23.（8分）圖1和圖2中，優(yōu)弧AB紙片所在。。的半徑為2,A8=2百，點尸為優(yōu)弧上一點（點尸不與

A,B重合），將圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A'.

-A'

A'

發(fā)現(xiàn)：

(1)點。到弦A8的距離是,當BP經過點0時，ZABA'=；

(2)當&V與。。相切時，如圖2,求折痕的長.

拓展：把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁，得到半圓形紙片，點P(不與點M,N重合)為半圓上一點，將圓

形沿NP折疊，分別得到點M,0的對稱點A',O',設NMNP=a.

(1)當a=15。時，過點4,作A'C//MN,如圖3,判斷A'C與半圓0的位置關系，并說明理由；

(2)如圖4,當＜1=。時，N4,與半圓0相切，當a=。時，點0,落在NP上.

(3)當線段N。，與半圓0只有一個公共點N時，直接寫出。的取值范圍.

24.(10分)如圖1,菱形ABCD,AB=4,ZADC=120°,連接對角線AC、BD交于點O,

(1)如圖2,將AAOD沿DB平移，使點D與點O重合，求平移后的△A，BO與菱形ABCD重合部分的面積.

(2)如圖3,將AA，BO繞點O逆時針旋轉交AB于點E，，交BC于點F,

①求證：BE'+BF=2,

②求出四邊形OE，BF的面積.

25.(10分)嘉淇同學利用業(yè)余時間進行射擊訓練，一共射擊7次，經過統(tǒng)計，制成如圖12所示的折線統(tǒng)計圖.這組

成績的眾數(shù)是；求這組成績的方差；若嘉淇再射擊一次(成績?yōu)檎麛?shù)環(huán))，得到這8次射擊成績的中位數(shù)恰好

就是原來7次成績的中位數(shù)，求第8次的射擊成績的最大環(huán)數(shù).

26.（12分）如圖1,矩形ABCD中，E是AD的中點，以點E直角頂點的直角三角形EFG的兩邊EF,EG分別過

點B,C,ZF=30°.

（1）求證：BE=CE

（2）將AEFG繞點E按順時針方向旋轉，當旋轉到EF與AD重合時停止轉動.若EF,EG分別與AB,BC相交

于點M,N.（如圖2）

①求證：ABEM^ACEN；

②若AB=2,求ABMN面積的最大值；

27.（12分）綜合與探究

如圖，拋物線y=-叵x+G與*軸交于A,B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C,直線I經過

33

B,C兩點，點M從點A出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，連接CM,將線段MC繞點M順時針旋轉

90。得到線段MD,連接CD,BD.設點M運動的時間為t(t>0),請解答下列問題：

(1)求點A的坐標與直線1的表達式；

(2)①直接寫出點D的坐標(用含t的式子表示)，并求點D落在直線1上時的t的值；

②求點M運動的過程中線段CD長度的最小值；

(3)在點M運動的過程中，在直線I上是否存在點P,使得ABDP是等邊三角形？若存在，請直接寫出點P的坐標;

參考答案

一、選擇題(本大題共12個小題，每小題4分，共48分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.)

1、B

【解析】

根據(jù)倒數(shù)的定義解答即可.

【詳解】

A、只有0沒有倒數(shù)，該項錯誤；B、-1的倒數(shù)是-1,該項正確；C、0沒有倒數(shù)，該項錯誤；D、小于1的正分數(shù)

的倒數(shù)大于1,1的倒數(shù)等于1,該項錯誤.故選B.

【點睛】

本題主要考查倒數(shù)的定義：兩個實數(shù)的乘積是1,則這兩個數(shù)互為倒數(shù)，熟練掌握這個知識點是解答本題的關鍵.

2、B

【解析】

首先過點A作根據(jù)三角形面積求出AM的長，得出直線BC與OE的距離，進而得出直線與圓的位置關系.

【詳解】

解：過點A作AM_L3C于點M,交OE于點N,：.AMxBC=ACxAB,.?.AM=彳-=二=2.1.

,:D、E分別是AC、AB的中點，：.DE//BC,DE=-BC=2.5,：.AN=MN=-AM,：.MN=i.2.

22

,以。E為直徑的圓半徑為1.25,...r=L25>L2,...以OE為直徑的圓與5c的位置關系是：相交.

故選B.

【點睛】

本題考查了直線和圓的位置關系，利用中位線定理得出BC到圓心的距離與半徑的大小關系是解題的關鍵.

3、C

【解析】

分析：將三個小區(qū)分別記為A、B、C,列舉出所有情況即可，看所求的情況占總情況的多少即可.

詳解：將三個小區(qū)分別記為A、B、C,

列表如下：

ABc

A(A,A)(B,A)(C,A)

B(A,B)(B,B)(C,B)

C(A,C)(B,C)(C,C)

由表可知，共有9種等可能結果，其中兩個組恰好抽到同一個小區(qū)的結果有3種，

31

所以兩個組恰好抽到同一個小區(qū)的概率為

故選：C.

點睛：此題主要考查了列表法求概率，列表法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結果，適合于兩步完成的事件；樹

狀圖法適用于兩步或兩步以上完成的事件；解題時還要注意是放回實驗還是不放回實驗.用到的知識點為：概率=所求

情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

4、A

【解析】

分析：面動成體.由題目中的圖示可知：此圓臺是直角梯形轉成圓臺的條件是：繞垂直于底的腰旋轉.

詳解：A、上面小下面大，側面是曲面，故本選項正確；

B、上面大下面小，側面是曲面，故本選項錯誤；

C、是一個圓臺，故本選項錯誤；

D、下面小上面大側面是曲面，故本選項錯誤；

故選A.

點睛：本題考查直角梯形轉成圓臺的條件：應繞垂直于底的腰旋轉.

5、C

【解析】

直接利用概率的意義以及隨機事件的定義分別分析得出答案.

【詳解】

A、任意擲一枚質地均勻的硬幣10次，一定有5次正面向上，錯誤；

B、天氣預報說“明天的降水概率為40%”，表示明天有40%的時間都在降雨，錯誤；

C、“籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中”為隨機事件，正確；

D、“a是實數(shù)，|a|KT是必然事件，故此選項錯誤.

故選C.

【點睛】

此題主要考查了概率的意義以及隨機事件的定義，正確把握相關定義是解題關鍵.

6、A

【解析】

直接根據(jù)4AOC^ACOB得出OC2=OA?OB,即可求出OC的長，即可得出C點坐標.

【詳解】

依4AOC^ACOB的結論可得：OC2=OA.OB,

即OC2=1X3=3,

解得：OC=g或-石(負數(shù)舍去)，

故C點的坐標為(0,G).

故答案選：A.

【點睛】

本題考查了坐標與圖形性質，解題的關鍵是熟練的掌握坐標與圖形的性質.

7、A

【解析】

根據(jù)上表數(shù)據(jù)，出現(xiàn)“和為7”的頻率將穩(wěn)定在它的概率附近，估計出現(xiàn)“和為7”的概率即可.

【詳解】

由表中數(shù)據(jù)可知，出現(xiàn)“和為7”的概率為0.33.

故選A.

【點睛】

本題考查了利用頻率估計概率：大量重復實驗時，事件發(fā)生的頻率在某個固定位置左右擺動，并且擺動的幅度越來越

小，可以用頻率的集中趨勢來估計概率，這個固定的近似值就是這個事件的概率.用頻率估計概率得到的是近似值，

隨實驗次數(shù)的增多，值越來越精確.

8、C

【解析】

VZACD=ZB,NA=NA,

/.△ACD^AABC,

?,?SABCD=SAABC-SAACD=4-1=1.

故選C

考點：相似三角形的判定與性質.

9、B

【解析】

過E作EF〃AB,求出AB〃CD〃EF,根據(jù)平行線的性質得出NC=NFEC,ZBAE=ZFEA,求出NBAE,即可求出

答案.

解：

過E作EF〃AB,

VAB/7CD,

，AB〃CD〃EF,

.?.NC=NFEC,NBAE=NFEA,

VZC=44°,NAEC為直角，

J.ZFEC=44°,ZBAE=ZAEF=90°-44。=46。，

，Z1=180°-ZBAE=180°-46°=134°,

故選B.

“點睛”本題考查了平行線的性質的應用，能正確作出輔助線是解此題的關鍵.

10、B

【解析】

解：\?由作法可知直線/是線段A8的垂直平分線，

：.AC=BC,

：.ZCAB=ZCBA=25°,

：.ZBCM=ZCAB+ZCBA=25o+25°=50°.

故選B.

11、B

【解析】

試題分析：

①、MN=-AB,所以MN的長度不變；

2

②、周長CAPAB=，(AB+PA+PB),變化；

2

③、面積SAPMN=—SAPAB=1xAB,h,其中h為直線I與AB之間的距離，不變;

442

④、直線NM與AB之間的距離等于直線1與AB之間的距離的一半，所以不變；

⑤、畫出幾個具體位置，觀察圖形，可知NAPB的大小在變化.

故選B

考點：動點問題，平行線間的距離處處相等，三角形的中位線

12、C

【解析】

根據(jù)環(huán)比和同比的比較方法，驗證每一個選項即可.

【詳解】

2017年第二季度支出948元，第一季度支出859元，所以第二季度比第一季度提高，故A正確：

2017年第三季度支出1113元，第二季度支出948元，所以第三季度比第二季度提高，故3正確；

2018年第一季度支出839元，2017年第一季度支出859元，所以2018年第一季度同比有所降低，故C錯誤;

2018年第四季度支出1012元，2017年第一季度支出997元，所以2018年第四季度同比有所降低，故。正確

故選C.

【點睛】

本題考查折線統(tǒng)計圖，同比和環(huán)比的意義；能夠從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據(jù)，按要求對比數(shù)據(jù)是解題的關鍵.

二、填空題：（本大題共6個小題，每小題4分，共24分.）

13、3-百或1

【解析】

分兩種情況:情況一：如圖一所示，當NA，DE=90。時；

情況二：如圖二所示，當NA，ED=90。時.

【詳解】

解：如圖，當NA，DE=90。時，AA'ED為直角三角形，

VZA'=ZA=30°,

:.ZA'ED=60°=ZBEC=ZB,

/.△BEC是等邊三角形，

.*.BE=BC=1,

又「RtAABC中，AB=1BC=4,

/.AE=1,

設AD=A'D=x,貝!|DE=1-x,

VRtAADEA，D=6DE,

：.x=6(1-x),

解得x=3-5/3,

即AD的長為3-V3;

如圖，當NA'ED=90。時，AAED為直角三角形,

此時NBEC=90°,ZB=60°,

:.NBCE=30°,

/.BE=-BC=1,

2

又YRtAABC中，AB=1BC=4,

AE=4-1=3,

DE=3-x,

設AD=A，D=x,則

RSA'DE中，A,D=1DE,即x=l(3-x),

解得x=l,

即AD的長為1,

綜上所述，即AD的長為3-6或1.

故答案為3-百或1.

【點睛】

本題考查了翻折變換，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性質等知識，添加輔助線，構造直角三角形，學會運用分

類討論是解題的關鍵.

14>a(a+b)(a-b).

【解析】

分析：本題考查的是提公因式法和利用平方差公式分解因式.

解析:原式=a(a+b)(a?b).

故答案為a(a+b)(a-b).

15、0

【解析】

直接利用特殊角的三角函數(shù)值代入進而得出答案.

【詳解】

cos245°-tan30°sin60°=(―)2--x—=---=0.

23222

故答案為0.

【點睛】

此題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，正確記憶相關數(shù)據(jù)是解題關鍵.

16、AC=BD.

【解析】

試題分析：添加的條件應為：AC=BD,把AC=BD作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，HG平行且等于AC

的一半，EF平行且等于AC的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到HG和EF平行且相等，

所以EFGH為平行四邊形，又EH等于BD的一半且AC=BD,所以得到所證四邊形的鄰邊EH與HG相等，所以四

邊形EFGH為菱形.

試題解析：添加的條件應為：AC=BD.

證明：TE,F,G,H分別是邊AB、BC、CD,DA的中點，

二在4ADC中,HG為^ADC的中位線，所以HG〃AC且HG=』AC；同理EF〃AC且EF=-AC,同理可得EH=-BD,

222

貝!JHG〃EF且HG=EF,

二四邊形EFGH為平行四邊形，又AC=BD,所以EF=EH,

二四邊形EFGH為菱形.

考點：1.菱形的性質；2.三角形中位線定理.

17、5

【解析】

本題先根據(jù)垂徑定理構造出直角三角形，然后在直角三角形中已知弦長和弓形高，根據(jù)勾股定理求出半徑，從而得解.

【詳解】

解：如圖，設圓心為O,弦為AB,切點為C.如圖所示.則AB=8cm,CD=2cm.

連接OC,交AB于D點.連接OA.

?尺的對邊平行，光盤與外邊緣相切，

AOCXAB.

/.AD=4cm.

設半徑為Rem,則R2=42+(R-2)2,

解得R=5,

???該光盤的半徑是5cm.

故答案為5

【點睛】

此題考查了切線的性質及垂徑定理，建立數(shù)學模型是關鍵.

18、DF//AC或ZBFD=ZA

【解析】

因為AC=3AO,AB=3AE,ZA^ZA,所以AM坦?AACB，欲使AFDB與AME相似，只需要A/DB與

A4CB相似即可，則可以添加的條件有：NA=NBDF,或者NC=NBDF,等等，答案不唯一.

【方法點睛】在解決本題目，直接處理與A3,無從下手，沒有公共邊或者公共角，稍作轉化，通過

得AFD8與八4cB相似.這時，柳暗花明，迎刃而解.

三、解答題：(本大題共9個小題，共78分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

19、1平方米

【解析】

設原計劃平均每天施工x平方米，則實際平均每天施工1.2x平方米，根據(jù)時間=工作總量+工作效率結合提前11天完

成任務，即可得出關于x的分式方程，解之即可得出結論.

【詳解】

解：設原計劃平均每天施工x平方米，則實際平均每天施工1.2x平方米，

根據(jù)題意得：當獨―33*0=u,

x1.2x

解得：x=500,

經檢驗，x=500是原方程的解，

.,.1.2x=l.

答：實際平均每天施工1平方米.

【點睛】

考查了分式方程的應用，解題的關鍵是找準等量關系，正確列出分式方程.

20、(1)y=--,y=-x+l;(2)C(0,3夜+1)或C(0,1-372).

x

【解析】

JJ7

(1)依據(jù)一次函數(shù)y="+匕的圖象與〉’軸交于點8(0,1),與反比例函數(shù)y=—的圖象交于點43,-2),即可得到反

x

比例函數(shù)的表達式和一次函數(shù)表達式；

(2)由A(3,-2),8(0,1)可得：AB=^32+(1+2)2=30，即可得到8C=3及，再根據(jù)8。=1,可得CO=3五+1

或30-1，即可得出點。的坐標.

【詳解】

YYIin

(1)???雙曲線))=—過43,-2),將A(3,-2)代入y=—,解得：m=-6.

xx

二所求反比例函數(shù)表達式為：y=--.

X

???點A(3,-2),點3(0,1)在直線y="+b上，???—2=3%+/?,〃=1,???%=一1,???所求一次函數(shù)表達式為丫=-元+1.

(2)由A(3,-2),8(0,1)可得：=+(1+2>=3夜,:?BC=3叵.

又「BO=1,；.CO=30+1或3立一1，3&+1)或C(0,1一3夜).

【點睛】

本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)、一次函數(shù)的解析式和反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.此題難度適中，注意

掌握數(shù)形結合思想的應用.

21、-

4

【解析】

原式去括號合并得到最簡結果，把a與b的值代入計算即可求出值；

【詳解】

解:原式=M-3ab+a2+2ab+b2-a2+ab

=a2+b2,

當a=l、b=-』時，

2

原式=12+(-1)2

2

1

=1+-

4

二>

4

【點睛】

考查了整式的加減-化簡求值，以及非負數(shù)的性質，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵.

22、(1)甲工程隊單獨完成該工程需15天，則乙工程隊單獨完成該工程需30天；(2)應該選擇甲工程隊承包該項工

程.

【解析】

(D設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需2x天.再根據(jù)“甲、乙兩隊合作完成工程需要

10天”，列出方程解決問題；

(2)首先根據(jù)(1)中的結果，從而可知符合要求的施工方案有三種：方案一：由甲工程隊單獨完成；方案二：由乙

工程隊單獨完成；方案三：由甲乙兩隊合作完成.針對每一種情況，分別計算出所需的工程費用.

【詳解】

(1)設甲工程隊單獨完成該工程需x天，則乙工程隊單獨完成該工程需2x天.

根據(jù)題意得：“+?=1

x2x

方程兩邊同乘以2x,得2x=30

解得：x=15

經檢驗，x=15是原方程的解.

.?.當x=15時，2x=30.

答：甲工程隊單獨完成該工程需15天，則乙工程隊單獨完成該工程需30天.

(2)因為甲乙兩工程隊均能在規(guī)定的35天內單獨完成，所以有如下三種方案：

方案一：由甲工程隊單獨完成.所需費用為：4x15=60(萬元)；

方案二：由乙工程隊單獨完成.所需費用為：2.5x30=75(萬元)；

方案三：由甲乙兩隊合作完成.所需費用為：(4+2.5)x10=65(萬元).

V75>65>60...應該選擇甲工程隊承包該項工程.

【點睛】

本題考查分式方程在工程問題中的應用.分析題意，找到關鍵描述語，找到合適的等量關系是解決問題的關鍵.

23、發(fā)現(xiàn)：(1)1,60°s(2)2^3;拓展：(1)相切，理由詳見解析；(2)45。；30°；(3)(TVaV30。或45°<a<90°.

【解析】

發(fā)現(xiàn):(1)利用垂徑定理和勾股定理即可求出點O到AB的距離;利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對稱性就可求出NABA，.

(2)根據(jù)切線的性質得到NOBA，=90。，從而得到NABA，=120。，就可求出NABP,進而求出NOBP=30。.過點O作

OG±BP,垂足為G,容易求出OG、BG的長，根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長.

拓展：(1)過A\O作A，H_LMN于點H,OD_LA'C于點D.用含30。角的直角三角形的性質可得

OD=A'H=-A'N=-MN=2可判定X'C與半圓相切；

22

(2)當NA，與半圓相切時，可知ONJ_A，N,則可知a=45。，當。在23時，連接MO，，則可知NO，=；MN,可求得

ZMNOr=60°,可求得a=30。；

(3)根據(jù)點A，的位置不同得到線段NO,與半圓O只有一個公共點N時01的取值范圍是0YaV30?；?5°<a<90°.

【詳解】

發(fā)現(xiàn)：(1)過點O作OH_LAB,垂足為H,如圖1所示，

圖1

?.?(DO的半徑為2,AB=26,

二OH=^OB2-HB2=匯―(后=1

在△BOH中，OH=1,BO=2

:.ZABO=30°

V圖形沿BP折疊，得到點A的對稱點A\

:.ZOBA,=ZABO=30°

:.NABA，=60。

(2)過點O作OGJ_BP,垂足為G,如圖2所示.

：BA，與。O相切，；.OBJ_A，B.NOBA，=90。.

VZOBH=30°,，NABA'=120°.

二NA'BP=NABP=60°.

/.ZOBP=30°.，OG=；OB=L:.BG=日

VOG±BP,；.BG=PG=G

.,.BP=26.折痕的長為

拓展：(1)相切.

分別過A\O作A，H_LMN于點H,OD_LA'C于點D.如圖3所示,

VA'C/7MN

???四邊形A，HOD是矩形

/.A'H=O

Va=15o.".ZA'NH=30

11

:.OD=A'H=-A'N=-MN=2

22

AA'C與半圓

(2)當NA，與半圓O相切時，貝！JONJ_NA，，

二NONA'=2a=90°,

/.a=45

當。在上時，連接MO。則可知NO，=；MN,

:.ZOrMN=0°

:.ZMNOr=60°,

Aa=30°,

故答案為：45°；30。.

(3)?.,點P,M不重合,Aa>0,

由(2)可知當a增大到30。時，點O,在半圓上，

.,.當0。<0!<30。時點O,在半圓內，線段NO,與半圓只有一個公共點B；

當a增大到45。時NA，與半圓相切，即線段NO,與半圓只有一個公共點B.

當a繼續(xù)增大時，點P逐漸靠近點N,但是點P,N不重合，

.,.a<90°,

.?.當45。%<90。線段BO,與半圓只有一個公共點B.

綜上所述0。Va<30。或45°<a<90°.

【點睛】

本題考查了切線的性質、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30。角所對的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知

識，正確的作出輔助線是解題的關鍵.

24、（1）石；（2）①2,②石

【解析】

分析：⑴重合部分是等邊三角形，計算出邊長即可.

⑵①證明：在圖3中，取A3中點E,證明△OEE&AOB尸，即可得到在'=3產，

BE'+BF=BE,+EE'=BE=2,

②由①知，在旋轉過程60。中始終有AOEEgAOBE四邊形OEBE的面積等于S.OEB=6.

詳解：（1：?四邊形為菱形，ZADC=120°,

AZADO=60°,

二為等邊三角形

:.ADAO=30°,ZABO=60°,

'：ADHA!O,

：.ZA'OB=60°,

△瓦出為等邊三角形，邊長=2,

二重合部分的面積：^X22=V3

4

（2）①證明：在圖3中，取A8中點E,

由上題知，NEOB=60°,ZE'OF=60°,

/.NEOE'=ZBOF,

又VEO=OB=2,NOEE'=ZOBF=60°,

:"OEE'義AOBF,

：.EE'=BF,

:.BE+BF=BE+EE=BE=2,

②由①知，在旋轉過程60。中始終有AOEEQAOBF,

...四邊形OE'BF的面積等于S.OEB=G.

點睛：屬于四邊形的綜合題，考查了菱形的性質，全等三角形的判定與性質等，熟練掌握每個知識點是解題的關鍵.

8

25、(1)10；(2)-；(3)9環(huán)

7

【解析】

(1)根據(jù)眾數(shù)的定義，一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，結合統(tǒng)計圖得到答案.

(2)先求這組成績的平均數(shù)，再求這組成績的方差；

(3)先求原來7次成績的中位數(shù)，再求第8次的射擊成績的最大環(huán)數(shù).

【詳解】

解：(1)在這7次射擊中，10環(huán)出現(xiàn)的次數(shù)最多，故這組成績的眾數(shù)是10;

(2)嘉淇射擊成績的平均數(shù)為：g(10+7+10+10+9+8+9)=9,

方差為：1[(10-9)2+(7-9)2+(10-9)2+(10-9)2+(9-9)2+(8-9)2+(9-9)2]=1.

(3)原來7次成績?yōu)?899101010,

原來7次成績的中位數(shù)為9,

當?shù)?次射擊成績?yōu)?0時，得到8次成績的中位數(shù)為9.5,

當?shù)?次射擊成績小于10時，得到8次成績的中位數(shù)均為9,

因此第8次的射擊成績的最大環(huán)數(shù)為9環(huán).

【點睛】

本題主要考查了折線統(tǒng)計圖和眾數(shù)、中位數(shù)、方差等知識.掌握眾數(shù)、中位數(shù)、方差以及平均數(shù)的定義是解題的關鍵.

26、(1)詳見解析；(1)①詳見解析；②1；③"+

4

【解析】

(1)只要證明△BAEgZ\CDE即可；

(1)①利用(1)可知AEBC是等腰直角三角形，根據(jù)ASA即可證明；

②構建二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質即可解決問題；

③如圖3中，作EH_LBG于H.設NG=m,貝！JBG=lm,BN=EN=&m,EB="m.利用面積法求出EH,根據(jù)三

角函數(shù)的定義即可解決問題.

【詳解】

.*.AB=DC,NA=ND=90。,

YE是AD中點，

/.AE=DE,

.,.△BAE^ACDE,

/.BE=CE.

(1)①解：如圖1中，

由(1)可知，△EBC是等腰直角三角形,

；.NEBC=NECB=45。，

VZABC=ZBCD=90°,

.,.ZEBM=ZECN=45°,

VZMEN=ZBEC=90°,

/.ZBEM=ZCEN,

VEB=EC,

A△BEMCEN；

?VABEM^ACEN,

.?,BM=CN,設BM=CN=x,則BN=4-x,

SABMN=—,x(4-x)="—(x-1),+1,

22

I

.,--<0,

2

.?.x=l時，ABMN的面積最大，最大值為1.

③解：如圖3中，作EH1.BG于H.設NG=m,貝！JBG=lm,BN=EN=6m,EB=#m.

圖3

EG=m+5/3m=(1+百)m,

VSABEG=-?EG?BN=-?BG?EH,

22

.也m?+\Tm3+-J3

??EH=-----------------------=---------m,

2m2

3+^3

在RtAEBH中，sinZEBH=EH__2_后+夜.

EBx/bm4