高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽真題分類匯編函數(shù)B輯(解析版)

備戰(zhàn)2021年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽之歷年真題匯編(1981-2020)

專題03函數(shù)B輯

施鎏鷹用題品

I

1.【2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)a>0,函數(shù)f(x)=x+詈在區(qū)間(0,?上的最小值為mi，在區(qū)間口,+

8)上的最小值為zu?.若加1巾2=2020,則a的值為.

【答案】1或100

【解析】注意到f(x)在(0,10］上單調(diào)減，在口0,+8)上單調(diào)增.

當(dāng)ae(0,10］時(shí),m1=f(a),m2=/(10);

當(dāng)Q6［10,+8)時(shí),叫=/(10),m2=/(a).

因此總有f(a)/(10)=mm2=2020,

即Q+—=史K—101解得Q=1或Q=100.

a20

2.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)a,b>0,滿足:關(guān)于x的方程加+爐西=8恰有三個(gè)不同的實(shí)

數(shù)解%月<x2<x3=b,則a+b的值為.

【答案】144

【解析】令￡=x+泉?jiǎng)t關(guān)于t的方程JEl+=b恰有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解ti=Xi+^(i=1,2,3).

由〃t)=+戶|偶函數(shù)，故方程/'(t)=b的三個(gè)實(shí)數(shù)解關(guān)于數(shù)軸原點(diǎn)對稱分布，從而必有b=/(0)=

房以下求方程f(t)=丘的實(shí)數(shù)解.

當(dāng)|t|《；時(shí),f(t)=夠-t+甘+t=Va+y/a^-4t2<2a,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)t=0;

當(dāng)t>朋J(t)單調(diào)增，且當(dāng)t=凈寸f(t)=癡.

2o

當(dāng)t<一三時(shí),f(t)單調(diào)減，且當(dāng)￡=-凈寸f(t)=岳.

28

從而方程/(￡)=恰有三個(gè)實(shí)數(shù)解4=一Ja,J=。，￡3=

OO

_=

由條件知b=x3=t3~2,結(jié)合b=得a=128.

28

于是Q+b=—

8=144.

3.[2020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】若實(shí)數(shù)x滿足logzx=log4(2x)+log8(4x)jijx=

【答案】128

1]21

【解析】由條件知log2X=log42+log4r+log84+log8x=-+-log2x+-+-log2x,

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解得logzX=7,故x=128.

4.12020高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】已知首項(xiàng)系數(shù)為1的五次多項(xiàng)式f(x)滿足:/?(“)=8%n=1,2,…,5,則

f(x)的一次項(xiàng)系數(shù)為.

【答案】282

【解析】令g(x)=/(x)-8x,則g(x)也是一個(gè)首項(xiàng)系數(shù)為1的五次多項(xiàng)式，且g(n)=f(n)-8n=0,n=1,2,…,5,

故g(x)有5個(gè)實(shí)數(shù)根1,2,…,5,所以g(x)=(x-l)(x-2)-(x-5),于是f(x)=(x-l)(x-2)-(x-5)+8x,

所以f(%)的一次項(xiàng)系數(shù)等于(1+：+#；+》?5!+8=282.

5.12019高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)］己知正實(shí)數(shù)a滿足a。=(9a)8%貝也咤其3。)的值為.

【答案】看

【解析】由條件知9a=成，故3a=>9a?a=a高,所以loga(3a)=工

16

6.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè);(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間［0,1］上嚴(yán)格遞

減，且滿足人加)=1,八2#=2,則不等式組I;的解集為.

【答案】［7T-2,8-2捫

【解析】由五x)為偶函數(shù)及在［0,1］上嚴(yán)格遞減知，穴力在［-1,0］上嚴(yán)格遞增，再結(jié)合#x)以2為周期可知，

［1,2］是./(x)的嚴(yán)格遞增區(qū)間

注意到/'(兀-2)=/(7T)=1,/(8-2兀)=f(-2rc)=/(27T)=2.

所以1</(x)&2=/(乃一2)&/(X)</'(8-2n),

而1<n■-2<8-2兀<2,故原不等式組成立當(dāng)且僅當(dāng)xG［TT-2,8-2TT］.

7.12018高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)y(x)是定義在R上的以2為周期的偶函數(shù)，在區(qū)間［1,2］上嚴(yán)格遞

減，且滿足〃兀)=1)(2兀)=0,則不等式組的解集為.

【答案】［2兀-6,4-n］

【解析】由/U)為偶函數(shù)及在U，2］上嚴(yán)格遞減知，火x)在［-2,-1］上嚴(yán)格遞增，再結(jié)合?x)以2為周期可知，

［0,1］是｛x)的嚴(yán)格遞增區(qū)間.

注意到/1(4一亢)=/(7T-4)=f(7t)=l,/(27r-6)=f(2n)=0,

所以0</(x)41=f(2n-6)</(x)</(4-TT),

而0<2兀-6<4—乃<1,故原不等式組成立旦當(dāng)僅當(dāng)xe［2n—6,4—n］.

8.12017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】設(shè)7U)是定義在R上的函數(shù)，對任意實(shí)數(shù)》有/(尤+3)-/0-4)=一

1.又當(dāng)0夕<7時(shí)，/(x)=log2(9-x),則1一1()0)的值為.

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【答案】-i

【解析】由條件知，/(x+14)=--=/(x),

/十')

所以/?(-100)=/(-100+14X7)=/(-2)=-焉=-康=心

IOg24/

9.【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽A卷(第01試)】若實(shí)數(shù)x、y滿足％2+2cosy=1,則％-cosy的取值范圍是

【答案】[-1,百+1]

【解析】由于/=1-2cosyE[—1,3],故無W[一百,遮].

由cosy=可知，x—cosy=x-1(%4-1)2—1.

因此當(dāng)x=-1時(shí)，x—cosy有最小值1(這時(shí)y可以取今；

當(dāng)％=73時(shí)，入一cosy有最大值b+1(這時(shí)y可以取乃).

由于"％+I)2-1的值域是[-1,75+1],

從而x-cosy的取值范圍是[-1,+1].

10.【2017高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽B卷(第01試)】設(shè)/U)是定義在R上的函數(shù)，若凡中“2是奇函數(shù)，40+2*是偶函數(shù)，

則式1)的值為.

【答案】一

4

【解析】由條件知，/(I)+1=-[/(-I)+(-1)2]=-/(-I)-1./-(l)+2=/(-l)+i,

兩式相加消去犬T),可得2/?⑴+3=一點(diǎn)即"1)=一￡

11.【2016高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】正實(shí)數(shù)均不等于1,若log/w+logpW=5,logu+logwU=3,則

logwU的值為.

【答案】g

【解析】令log”=a,logvw=b,則log》=\10gwv=p

條件化為a+ab+b=5j+2=3,由此可得ab=

ab4

因此10gw”=10gwV-10gvlt=*=

12.12015高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)a,。為不相等的實(shí)數(shù)，若二次函數(shù)兀0=r+"+匕滿足f(a)=f(b),則

12)的值為.

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【答案】4

【解析】由已知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性，可得手=一|,即2a+b=0,所以f（2）=4+2a+b=4.

13.12014高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】若正數(shù)a,。滿足2+log2a=3+/og3b=/og6（a+?，則5+1的值為

【答案】108

k2k-3k

［解析】設(shè)2+log2a=3+log3b=log6（a+b）=k,則a=2~,b=3,a+b=6,

從而2+；=岑=?k；＞-3=x33=108.

abab2*2x3*3

14.12014高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】若函數(shù)門＞）=乂2+。區(qū)一1|在10,+8］上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍

是.

【答案】［-2,0］

【解析】在［1,+8）上，風(fēng)r）=F+ar—。單調(diào)遞增，等價(jià)于一；41,即位一2.

在［0,1］上，人工）=/一“工+。單調(diào)遞增，等價(jià)于］（0，即aWO.

因此實(shí)數(shù)a的取值范圍是［-2,0］.

15.12012高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】設(shè)/U）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)它0時(shí)，.若對任意的xW［a,,

+2］,不等式_/（x+a心賀x）恒成立，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

【答案】［夜,+8）

【解析】由題設(shè)知f（x）=,則2f（x）=f（&x）,

因此原不等式等價(jià)17（%+a）＞〃伍），

因?yàn)槿藙裨赗上是增函數(shù)，所以x+a》/x,即a）（&-l）x.

又xd［a,a+2］,所以當(dāng)ka+2時(shí)，（四一l）x取得最大值為（四一l）（a+2）.

因此a》（魚—l）（a+2）,解得a》夜.

故a的取值范圍是［a,+8）.

16.12011高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽（第01試）】函數(shù)f（x）=與胃的值域?yàn)?

【答案】（一8,-當(dāng)U（l,+8）

【解析】設(shè)x=tan仇一巳＜9＜工，且。力工，

224

則f（X）=晶片=品』=

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設(shè)u=&sin(?—彳)，則一企(u<1且u中0.

所以/'(x)=；€(―8,—乎]U(1,4-oo).

17.12010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】函數(shù)f(x)=77^-724-3x的值域是.

【答案】[-3,何

【解析】易知4x)的定義域是[5,8],且大x)在[5,8]上是增函數(shù),從而可知火x)的值域?yàn)?/p>

18.12010高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】函數(shù)f(x)=a2*+3ax-2(a>0,aH1)在區(qū)間xC[—1,1]上的最大值為

8,則它在這個(gè)區(qū)間上的最小值是.

【答案】

4

【解析】令a"=y,則原函數(shù)化為g(y)=y2+3y-2,

四)在(V，+8)上是遞增的.

當(dāng)0<〃<1時(shí)yG[a,a-1],g(y)max=a~2+3a-1-2=8.

則QT=2,因此Q=(.

2

所以g(y)min=G)+3xi-2=-i

當(dāng)a>l時(shí)，y6[a-1,a]，g(y)max=a2+3a-2=8,

則a=2,所以g(y)min=2-2+3x2-1-2=一(.

綜上/U)在xe[—1,lj上的最小值為一a

19.[2009高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若函數(shù)f(x)=備，且-2(x)=則/出)⑴=

【答案】]

【解析】由題意知產(chǎn)l)(X)=f(X)=7==.尸%乃=f[f(x)]=小亍…，尸99)(乃=^

\1?ATv】十￡1XY1+”，尤

故產(chǎn)叫1)=看

20.12009高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】使不等式」-+二-+…+一一<a-2007澗一切正整數(shù)”都成立的最小

n+1n+22n+l3

正整數(shù)a的值為.

【答案】2009

【解析】設(shè)f(n)=」-+—+…+士，顯然加。單調(diào)遞減.

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則由仙)的最大值/'⑴<a-20071,

且。為正整數(shù)，可得。=2009.

21.12009高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若方程lgkx=21g(x+l)僅有一個(gè)實(shí)根，那么人的取值范圍是

【答案】&<0或上4

(kx>0

【解析】由題意得%+1>0,當(dāng)且僅當(dāng)

｛kx=(%+I)2

fcx>0①

%4-1>0②

%2+(2-k)x+1=0③

對式③，由求根公式得看,3=|[fc-2±Vfc2-4k]④

2J=fc2-4fc>0,所以仁0或后4.

⑴當(dāng)時(shí),由式③得戶+不="12<0,所以和了?同為負(fù)根.

又由式④知｛：；：：：；,所以原方程有一個(gè)解功

(2)當(dāng)上4時(shí)，原方程有一個(gè)解x=g—1=1.

(3)當(dāng)k>4時(shí)，由式③得｛^°，

所以M，也同為正根，且修片小，不合題意，舍去.

綜上可得R0或A=4即為所求.

22.12008高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)./U尸QK+A,其中小b為實(shí)數(shù),fn+iM=/(/n(x)),n=\,

2,3,…，若方(x)=128x+381,則〃+/?=.

【答案】5

【解析】由題意知啟(%)=anx+(a"T+an-24---Fa+l)b=anx+-b,

由/7(乃=128%+381得。7=128,b=381,

因此a=2,b=3則a+b=5.

23.12006高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】方程(％2。。6+1)(1+%2+x4+...+/004)=2006/。。5的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)為

【答案】1

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【解析】由題意得(x2006+i)(i+M+犬+…+x2004)=2006x200S

0卜+(1+/+/+…+^2004)=2006

1111

?>x+x3+xs+-+X2005++FAT++-+-=2006

%/UUJ%

o2006=x+)*3+*+...+X2OO5+嬴”1003=2006,

要使等號成立，必須X=(,/=*，…,M°°5=或％,即彳=±1,

但是當(dāng)爛0時(shí)，不滿足原方程.所以ml是原方程的全部解.因此原方程的實(shí)數(shù)解個(gè)數(shù)為1.

24.12005高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知危)是定義在(0,+8)上的減函數(shù)，若/'(2。2+a+1)<f(3a2一4a

+1)成立，則a的取值范圍是.

【答案】0<a<：或1<"5

【解析】因?yàn)?U)在(0,+oo)上定義，

由2a2+a+l=2(a+()+：>0得”>［或①

3a2-4a4-1>0

因?yàn)?U)在(0,+oo)上是減函數(shù)，所以2a2+Q+I>3Q2-4Q+L解得0VaV5.

結(jié)合式①知0<a<：或l<fl<5.

25.【2004高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】設(shè)函數(shù)/：R-R,滿足的)=1,且對任意x,y^R,都有小丫+1)或叨00一

fiy)-x+2,則7(x)=.

【答案】x+1

【解析】因?yàn)閷σ?，日，?'(xy+1)=f(x)f(y)-f(y)-x+2,

所以有f(xy+1)=f(y)f(x)-f(x)-y+2,

所以f(x)f(y)-f(y)-X+2=f(y)f(x)-f(x)-y+2,

即f(x)+y=f(y)+x,

令)=0,得f(x)=x+l.

26.12003高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且log的=|，logcd=：,若a—c=9,則b

-d=.

【答案】93

【解析】由已知可得應(yīng)=b,<5=d,從而a=(，)，c=(B)，因此a|b,c|d,

又由于a-c=9,故a=伊-鼠,即C+SC)=9，

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但+貯―9(-~5

故得彳二J所以丁4,所以｛一賓,｛浮;’所以1=93.

匕一萬=1泛-4

27.12002高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】已知.")是定義在R上的函數(shù)，川)=1且對任意xCR都有加+5巨”)+5,

兀計(jì)l)g(x)+l.若g(x)Yx)+l-x,則g(2002)=.

【答案】1

【解析】由g(x)=/(x)+1-xW/(x)=g(x)+x-1,

所以9(x+5)+(x+5)—1》9(x)+(x-1)+5,g[x+1)+(1+1)—149(x)+(x-1)+1>

即g(x+5)>g(x),g(x+1)<g(x),

所以g(x)<g(x+5)<g(x+4)<g(x+3)《g(x+2)《g(x+1)<g(x),

所以g(x+1)=g(x),

即g(x)是周期為1的周期函數(shù)，

又g(l)=1,故g(2002)=1.

28.【2001高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】函數(shù)y=x+V*一3^+2的值域?yàn)?

【答案】,|)U[2,+8)

【解析】先平方去掉根號.

由題設(shè)得(y-刈2=/-3%+2,則工=占，

2y-3

由y>x得y>

解得1<y<(或y>2,

由于，x2—3x+2能達(dá)到下界0,所以函數(shù)的值域?yàn)椤?|)U[2,+oo).

1

29.11998高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】若八x)(xGR)是以2為周期的偶函數(shù)，當(dāng)xe[0,1]時(shí)，f(x)=xl旃，則/

Gl)，f(詈)"%)由小到大的排列是-

【答案”(有“償)<，(詈)

【解析】/筒哨J管);

/偌)=)(6—1)=/(-《)=」(3)(巖)="6—3=/(與)=/%),

又f(x)=x嬴在[0,1]是嚴(yán)格遞增的,而e<蔡<,所以f(瑞)</偌)</(%).

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3?！?97高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第。I試)】設(shè)x,y為實(shí)數(shù)，且滿邱二??。耗鸽?；,則"尸-

【答案】2

【解析】原方程組化為〉1&上y1，

1(1—yY+1997(1-y)=-1

因?yàn)閒(t)=￡3+1997t在(-8,+oo)單調(diào)增加，

用f(x-1)=/(I-y),所以x-1=1-y,即x+y=2.

31.11995高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】用㈤表示不大于實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，方程lg2%—［lgx|—2=0的實(shí)根個(gè)數(shù)

是.

【答案】3

【解析】由［Igx］<Igx得lg2*-Igx-2<0,即一14Igx<2.

當(dāng)一1<Igx<0時(shí)，有［Igx］=-1.

代入原方程得Igx=±1.但I(xiàn)gx=1不符，所以Igx=-1,與=*

當(dāng)04lgx<1時(shí)，有［Igx］=0.

代入原方程得Igx=±VL均不符.

當(dāng)1<Igx<2時(shí)，有［Igx］=1,代入原方程得IgK=±V3.

但lgx=-V5不符，所以lgx=V5,x2=10^.

當(dāng)Igx=2時(shí)，得孫=100.

所以原方程共有3個(gè)實(shí)根.

32.11990高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】在坐標(biāo)平面上，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)，對任意自然數(shù)

n,聯(lián)結(jié)原點(diǎn)。與點(diǎn)4(“，"+3),用人〃)表示線段。4上除端點(diǎn)外的整點(diǎn)個(gè)數(shù)，則4)優(yōu)2)+…41990)=

【答案】1326

【解析】易見，，與〃+3的最大公約數(shù)(n,n+3)=，

當(dāng)(n,n+3)=l時(shí)，0A“內(nèi)無整點(diǎn)，否則，設(shè)(孫/)為。4“內(nèi)部的整點(diǎn)，

\<m<n,1</</?+3,則由m(n+3)=In推知n|zn,

這與m<幾矛盾.

當(dāng)(弭工+3)=3時(shí),設(shè)n=3k.

則04,內(nèi)有兩個(gè)整點(diǎn)(火，*+1)，(2鼠2k+2),所以渭。f⑴=2x［詈］=1326.

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其中㈤代表不超過實(shí)數(shù)X的最大整數(shù).

33.[1989高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】(l)^logaV2<1,則a的取值范圍是.

(2)已知直線/：2x+產(chǎn)10,過點(diǎn)(-10,0)作直線?/,則/與/的交點(diǎn)坐標(biāo)為.

(3)設(shè)函數(shù)/>(x)=R,6(x)=|/o(x)-1|,/2(x)=|A(x)-2|,則函數(shù)y》(x)的圖像與x軸所圍成圖形中的封閉

部分的面積是.

(4)一個(gè)正數(shù)，若其小數(shù)部分、整數(shù)部分和其自身構(gòu)成等比數(shù)列，則該數(shù)為.

(5)如果從數(shù)1,2,…，14中,按由小到大的順序取出的,。2，。3，使同時(shí)滿足。2:3與。3-。2>3,那么所

有符合上述要求的不同取法有種.

(6)當(dāng)s和f取遍所有實(shí)數(shù)時(shí)，則(s+5—3|cos/|)2+(s-2|si"|)2所能達(dá)到的最小值是.

【答案】答案見解析

【解析】或a>V2.

(2)由己知「的斜率為點(diǎn)則，'的方程是y=1(x+10).

解方程組產(chǎn)：？得交點(diǎn)坐標(biāo)為(2,6).

(3)依次作出函數(shù)y=/o(x),y=/!(x),y=心。)的圖像，所求面積為7.

(4)設(shè)該數(shù)為乂則其整數(shù)部分為四，小數(shù)部分為八一田，由己知得x=(x-[刈)=氏]2.

其中[8>0,0<x-[x]<l,解得％=萼[幻.

由0Vx—[%]<1知0V1[x]<1,0<[x]<~~V2.

即[制=l,x=笠叵.

(5)設(shè)S={1,2,-,14},S'={1,2,-JO),

T={(%,。2，@3)1%，。2，。3WS，a2->3,a3-a2>3},

T'={(dpa.2,a'3€a：,a]eS',a[<a'2<ag}，

=a1to,2=a22,6zj—434,(a1,a?,a?)€T.

易證/是T和T'之間的一個(gè)一一對應(yīng)，所以所求的取法種數(shù)，恰好等于從S中任意取出三個(gè)不同數(shù)的所有不同

的種數(shù)，共120種.

第10頁共19頁

引申這里用到的是化歸思想，即把問題轉(zhuǎn)化成我們熟知的，已經(jīng)解決r的簡單問題.對于本問題，如果僅要求

ar<a2<<23就可以很快的給出結(jié)果C-

做替換瓦=avb2=a2-2,b3=a3-4,則條件a?->3與<23-a2>3就相當(dāng)于瓦<b2<b3,化歸成功.

化歸是一種很重要的數(shù)學(xué)思想方法.它的本質(zhì)就是把不熟悉的問題轉(zhuǎn)化成已經(jīng)熟悉，已經(jīng)解決的問題.化歸就是化

簡.

(6)考慮直線二5和橢圓弧:黑雷，

Iy—s—乙isinq

如圖所示，則原式表示直線上任意一點(diǎn)與橢圓弧上任意一點(diǎn)之間的距離的平方，顯然點(diǎn)4到直線的垂直距離最

短，即點(diǎn)(3,0)到直線的距離的平方最小，為2.

34.11987高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】己知集合〃=｛心外，值如)｝及心｛0,|x|,y],并且M=N,那么(x+；)+

(公+錄)+(爐+點(diǎn))+…+①?！?贏)的值等于.

【答案】-2

【解析】由集合相等知，兩個(gè)集合的元素相同.這樣，M中必有一個(gè)元素為0,

又由對數(shù)的定義知外翔，故x,y不為零，所以lg(xy)=0,xy=1,M=(x,1,0｝,N=｛o,

(X=|x|(x=-

再由集合相等知11或X.

l1=；11=|x|

但當(dāng)戶1時(shí)，將與同一個(gè)集合中元素的相異性矛盾，故只有戶一1,從而y=-1.

2k

于是/k+1+^T=-2(k=0,1,2,-??)>x+^=2(k=1,2,-).

故所求代數(shù)式的值為-2.

引申利用的是集合相等的基本定義：M=NoM的元素可以和N建立一個(gè)一一相等的關(guān)系.這里我們是局部的看兩

個(gè)集合相等.有時(shí)我們則利用集合相等考慮集合的整體性質(zhì).

比如，如果％,。2,…，即是1,2....”的一個(gè)排列，

則必有的+。2---FQn=1+2+…+幾，a1a2…Qn=1?2...n等關(guān)系.

35.11985高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽(第01試)】對任意實(shí)數(shù)x,y,定義運(yùn)算為x*)=ar+〃y+c町，其小b,c為常數(shù)，

第11頁共19頁

等式右端中的運(yùn)算是通常的實(shí)數(shù)加法、乘法運(yùn)算.現(xiàn)己知1*2=3,2*3=4并且有一個(gè)非零實(shí)數(shù)d,使得對于任意實(shí)

數(shù)x都有x*d=x,貝!Jd=.

【答案】4

【解析】因?qū)θ我粚?shí)數(shù)心有x*d=ax+bd+cdx=x(dH0).

所以0*d=bd=0.

因?yàn)榄偂?，所以go,于是，由HI二為"二,

則所以

又由l*d=Q+bd+cd=1,所以得d=4.

醺解限題遢頌0國

1.設(shè)f(x)=|x+l|+|x|-|K-2|,則f(f(乃)+1=0有個(gè)不同的解.

【答案】3

【解析】

—x—3,x<一1

X—1,-1<x<0

因?yàn)閒(x)=忱+1|+田一氏一2|={

3x—1,0<x<2

x+3,x>2

由f(/(x))+1=。得到f(x)=-2,或f(x)=0.

由/'(x)=-2,得一個(gè)解x=-l；由/'(x)=0得兩個(gè)解x=-3,x=：,共3個(gè)解?

2.設(shè)a、b為不相等的實(shí)數(shù).若二次函數(shù)=x2+ax+b滿足f(a)=f(b),則f(2)的值為.

【答案】4

【解析】

由已知條件及二次函數(shù)圖像的軸對稱性得

=/(2)=4+2a+b=4.

故答案為：4

3.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x),它的圖象關(guān)于直線x=2對稱.當(dāng)0<xW2時(shí)，f(x)=x+l,則f(-100)+

/(-101)=.

第12頁共19頁

【答案】2

【解析】

由f(x)為奇函數(shù)，且其圖象關(guān)于直線％=2對稱，

知f(_x)=_f(x),且f(2-x)=f(2+x),

所以fQ+4)=/(-%)=-/(x),f(x+8)=-f(x+4)=/(x).

f(x)是以8為周期的周期函數(shù).

又〃3)=f(l)=2,/(4)=/(0)=0,

所以-100)+/(-101)=/(4)+/'(3)=0+2=2.

4.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，f(l)=2,當(dāng)時(shí)x>0時(shí)，f(x)是增函數(shù)，且對任意的久、ye/?,都有fQr+y

)=f(x)+f(y).則函數(shù)f(x)在區(qū)間［-3,-2］上的最大值是.

【答案】-4

【解析】

因?yàn)?'(久)是奇函數(shù)，且在(0,+8)上是增函數(shù)，所以，f(x)在(-8,0)上也是增函數(shù).

于是，/(-3)</(x)</(-2).

又f(2)=/(1)+f⑴=4,則f(-2)=-/(2)=-4.

故函數(shù)f(x)在「一3,-2］上的最大值為-4.

故答案為：-4

5.設(shè)函數(shù)/Xx)=與￡一“，則不等式/(1一/)+〃5萬-7)<0的解集為.

【答案】(2,3)

【解析】

因?yàn)?'(一X)=+X=+x=-f(x),所以/■(%)是奇函數(shù)。

xXxx

f(x)=與黃-x=(^)-2-xf由于y=(1),y=-2,y=一》都是定義域上的減函數(shù)，

所以函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，(減函數(shù)+減函數(shù)二減函數(shù)).

由/(I一％2)+/(5%-7)V0,得/X5x-7)</(二-1),所以5%-7>/-1即%2—5%+6<0,解之得：2

<x<3.

故答案為：(2,3)

6.若x、yER,且2x=18y=6xy,則％+y=

【答案】0或2

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【解析】

若x=0或y=0,則必有x=y=O.從而，x+y=0.

若x*0且y*0,對2*=18y=6劃取以6為底的對數(shù)，得X|°g62=ytog618=xy.

則y=log62,久=log618,

236

故x+y=|<母18+lOg6=log6=2-

綜上x+y=?；?.

7.若xe(-8,-1],不等式(租一小2)#+2、+1>0恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

【答案】-2Vm<3

【解析】

由已知不等式，得小一巾2>一冬1.

4X

設(shè)t=(滬

因?yàn)椋(-8,-1],則tN2.于是，有

_袈=T2T=_(t+》2+三-6.

由小一小2>一6,解得一2On<3.

8.若定義在R上的奇函數(shù)y=/(%)的圖像關(guān)于直線％=1對稱，且當(dāng)OVxWl時(shí)，X〃=pn+q(pW0),則方程

f(x)=-3+/(0)在區(qū)間(0,10)內(nèi)的所有實(shí)根之和為.

【答案】30

【解析】

由函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=1對稱，以及/'(久)為奇函數(shù)知f(x+2)=/(-X)=

因此，f(x+4)=-/(x+2)=f(x),即/'(X)是周期函數(shù)，4是它的一個(gè)周期.

由/1乃是定義在R上的奇函數(shù)知/'(0)=0.

于是，方程了(乃=一；+-0)化為“為=一也

結(jié)合圖像可知，f(x)=-(在(0,1)、(L2)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，且這兩根之和為2；f(x)=一(在(4,5)、(5,6)內(nèi)各有

一個(gè)實(shí)根，且這兩根之和為10；〃久)=一：在(8,9)、(9,10)內(nèi)各有一個(gè)實(shí)根，且這兩根之和為18.

故原方程在區(qū)間(0,10)內(nèi)有六個(gè)不同的實(shí)根，其和為30.

9.若關(guān)于x的方程2%田-a|x|=1有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

(答案】a<—2\/2

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【解析】

由已知得y-2x-a與y=百0tzit0)的圖像恰有三個(gè)交點(diǎn)，考慮極端情形，y-7.x-a與y=±(x<0)相切，

知a<-2V2-

10.已知a、b為方程Iog3x3+log273x=一1的兩個(gè)根.則a+b=.

【答案】K

【解析】

原方程變形為

l+log3*33

令l+bg3%=亡?

則:+g=—；=t=-1或-3=1+iog3x=-1或-3.

于是，方程的兩根分別為宗?

故a+b=?

o1

11.設(shè)函數(shù)f：RTR,滿足f(0)=1,且對任意的X、丫6/?都有/(町/+1)=〃；0/8)-/(7)-％+2.則/(久)=

【答案】x+1

【解析】

對于任意的x、yeR有

f(.xy+1)=/(x)/(y)-/(y)-x+2=>f(xy+1)=/(y)f(x)-/(x)-y+2.

故(y)-f(y)-x+2=/(y)/(x)-fM-y+2,

即/'(x)+y=f(y)+x.令y=0,得/'(x)=x+1.

12.函數(shù)/'(x)=(后導(dǎo)+Ml-x-3)(41-X2+1)的最小值為m,最大值為M,則3=.

【答案】2

2

【解析】

設(shè)t=Vl+x+V1-%>則/>0且t2=2+2V1-x2，所以t€[>/2,2].

/(x)=(t-3)-p令g(t)=-3),te[V2,2],

令g，(t)=0得r=2,5(V2)=V2-3,g(2)=-2.

第15頁共19頁

所以M=g(t)max=近-3,巾=g(t)mm=-2.

所以上=Ng

m2

故答案為：0

2

13.設(shè)於)是定義在(0,+oo)上的單調(diào)函數(shù)，對任意x>0有心0>-：/(/(%)+》=3,則.48)=.

【答案】:

【解析】

由題意知存在而>0使兒10)=3.又因/U)是(0,+8)上的單調(diào)函數(shù)，所以這樣的x()>0是唯一的，

再由f(f(X。)+7)=3得a=f(X。)+/=3+f，

x0XOXO

解得%o=4或%o=-1(舍).所以/(%)=4--,/(8)=4-3=：.

XoZ

故答案為：|?

14.已知函數(shù)/(外二-/+田川+2,若關(guān)于x的不等式/(x)，|x|的解集中有且僅有1個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)〃2的取值范圍

為.

【答案】［-2,-1)

【解析】

/(x)>|x|<=>2—|x|>%2—x—m.

2

令g(')=2-|x|,h(x)=x-x—mf

在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)作出兩個(gè)函數(shù)的圖象，

由圖象可知，整數(shù)解為戶o,故0泊;一？一！

J^1)L—1—171

解得

故答案為：［-2,-1).

15.函數(shù)f(%)=V2x—x2+%的值域?yàn)?/p>

【答案】［0,a+1］

第16頁共19頁

【解析】

解法一：/(X)=-(%-1)2+X.

設(shè)x—1=sincr(一<a<^),則f(x)=cosa+(1+sina)=V2sin(a+：)+1.

由一^4a4M得一三<a4--<—《sin(a+-)<1.

22444‘2'4y

所以yu)的值域?yàn)椋踥,加+1］.

，

解法二