2019寧波市慈溪市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷含答案

2018-2019學(xué)年浙江省寧波市慈溪市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（每題4分，共48分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)尸（0,1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P,的坐標(biāo)為（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,1）

2.（4分）下列四條圓弧與直角三角板的位置關(guān)系中，可判斷其中的圓弧為半圓的是（）

3.（4分）下列事件是隨機(jī)事件的是（）

A.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°時(shí)沸騰

B.小明購(gòu)買1張彩票，中獎(jiǎng)

C.在一個(gè)裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍(lán)球

D.一名運(yùn)動(dòng)員的速度為30米/秒

4.（4分）如圖，0。是正六邊形A8CQEF的外接圓，P是弧AB上一點(diǎn)，則NCPQ的度數(shù)

5.（4分）將拋物線＞=27平移得到拋物線y=2（x+2）2,則這個(gè)平移過(guò)程正確的是（）

A.向上平移2個(gè)單位B.向下平移2個(gè)單位

C.向左平移2個(gè)單位D.向右平移2個(gè)單位

6.（4分）下列命題：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②三角形的外心到三邊的距離相等；③相等的

圓周角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

7.（4分）關(guān)于拋物線y=/-2x-3,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）

B.對(duì)稱軸是直線x=l

C.若x>2,則y隨x的增大而增大

D.當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0

8.（4分）如圖，A,B,C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則sinNACB的值為

9.（4分）如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC,BD=2AD,下

列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

DE1SA4DE1

A.一=-B.=-

BC3S△力BC4

CE2

C.—=一D.AD?BC=AB?DE

AC3

10.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=近,NACB=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心,

以AC的長(zhǎng)為半徑畫弧交A8于。，E兩點(diǎn)，則陰影部分的面積是（）

11.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x,y）和。（x,<）,給出如下定義：若<

fy+1（x>0）

=,，則稱點(diǎn)Q為點(diǎn)P的“親密點(diǎn)”.例如：點(diǎn)（1，2）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)

（-y（x<0）

（1,3）,點(diǎn)（-1,3）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)（-1,-3）.若點(diǎn)P在函數(shù)）=/一右-3的

圖象上，則其“親密點(diǎn)”。的縱坐標(biāo)y'關(guān)于x的函數(shù)圖象大致正確的是（）

yv

O,B三點(diǎn)作圓，點(diǎn)C在第一象限部分的圓上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CO,過(guò)點(diǎn)。作CO的垂線交

CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡）,下列說(shuō)法：①/AOC=N8O￡>；@sinZ￡>=③C。的最大值為

A.①②B.②③C.①③D.①②③

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）若/A為銳角，且tanA=l,則乙4的度數(shù)為.

14.（4分）如圖，顯示的是用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒卧囼?yàn)的結(jié)果.小明根據(jù)

試驗(yàn)結(jié)果推斷：隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯

示出一定的穩(wěn)定性，就可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618.你認(rèn)為小明的推斷是

（填寫“正確”或“錯(cuò)誤”）的.

0.620

0.61S

0500100015002000250030003500400045005000投擲次數(shù)

15.（4分）矩形的兩邊長(zhǎng)分別為x和6（x<6）,把它按如圖方式分割成三個(gè)全等的小矩形,

每一個(gè)小矩形與原矩形相似，則'=

6

x

16.（4分）如圖，在△A8C中，NACB=90°,AC=3,sinB==r,點(diǎn)G是△ABC的重心,

連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,則CG=.

17.（4分）如圖，A,B,C是。0上三點(diǎn)，若NABC=120°,。0的半徑為2,則劣弧AC

的長(zhǎng)為.

18.（4分）如圖，拋物線），="（x-4）（x+1）（a>0）與x軸交于A,8兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左邊）與y軸交于點(diǎn)C,連接8C,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)E,

三、解答題（第19-20每題7分，第21題8分，第22-24題每題10分，第25題12分，第

26題14分，共78分）

19.（7分）（1）計(jì)算：2sin30°+V3tan60°—V2cos45°；

（2）已知----=求x與y的比.

y5

20.（7分）在三個(gè)完全相同的小球上分別寫上-2,-1,2三個(gè)數(shù)字，然后裝入一個(gè)不透明

的布袋內(nèi)攪勻，從布袋中取出一個(gè)球，記下小球上的數(shù)字為m,放回袋中再攪勻，然后

再?gòu)拇腥〕鲆粋€(gè)小球，記下小球上的數(shù)字為〃，組成一對(duì)數(shù)（"，〃）.

（1）請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，表示出數(shù)對(duì)（%,〃）的所有可能的結(jié)果；

（2）求直線〃不經(jīng)過(guò)第一象限的概率.

21.（8分）某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一豎起的建筑物CD,高為10米，

數(shù)學(xué)小組為了測(cè)量假山的高度。E,在公園找了一水平地面，在A處測(cè)得建筑物點(diǎn)。（即

山頂）的仰角為35°,沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為

45°,求假山的高度OE.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°?g,cos35°?|,tan35°

22.（10分）如圖，A,B,C是。0上三點(diǎn)，其中油=2優(yōu)，過(guò)點(diǎn)8畫BOLOC于點(diǎn)D

（1）求證：AB=2BD；

(2)若A8=26，CO=1,求圖中陰影部分的面積.

23.(10分)如圖，已知CO是Rtz^ABC斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)。作4c的平行線，過(guò)點(diǎn)

C作CD的垂線，兩線相交于點(diǎn)E.

(1)求證：△ABCs△￡)口?；

(2)若CE=2,CD=4,求△ABC的面積.

24.(10分)某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利

潤(rùn)V與投資金額x成正比例關(guān)系，如圖1所示：種植花卉的利潤(rùn)戶與投資金額x成二次

函數(shù)關(guān)系，如圖2所示(注：利潤(rùn)與投資金額的單位均為萬(wàn)元)

(1)分別求出利潤(rùn)戶與”關(guān)于投資金額x的函數(shù)關(guān)系式；

(2)如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，設(shè)他投入種植花卉的金額是x

萬(wàn)元，求這位專業(yè)戶能獲取的最大總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

圖1圖2

25.(12分)四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似

但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”.

(1)如圖1,在四邊形A8CZ)中，ZABC=100",ZADC=130°,BDWBC,對(duì)角線

平分NA8c.求證：3。是四邊形ABC。的“相似對(duì)角線”；

(2)如圖2,已知格點(diǎn)△4BC,請(qǐng)你在正方形網(wǎng)格中畫出所有的格點(diǎn)四邊形ABC。，使

四邊形4B8是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形；(注：頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)處的多邊

形稱為格點(diǎn)多邊形)

(3)如圖3,四邊形AOBC中，點(diǎn)A在射線OP：y=VIx(x2O)上，點(diǎn)2在x軸正半

軸上，對(duì)角線OC平分乙4。8,連接AB.若0C是四邊形A08C的“相似對(duì)角線”，SA

AOB=6內(nèi)求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖3

4

26.(14分)如圖1,拋物線y=+以+c交x軸于點(diǎn)A(10)和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C(0,

4),一次函數(shù)丫="+根的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)8,C,點(diǎn)P是拋物線上第二象限內(nèi)一點(diǎn).

(1)求二次函數(shù)和一次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)過(guò)點(diǎn)P作x軸的平行線交BC于點(diǎn)力，作BC的垂線PM交BC于點(diǎn)M,設(shè)點(diǎn)尸的

橫坐標(biāo)為f,的周長(zhǎng)為/.

①求/關(guān)于f的函數(shù)表達(dá)式；

②求的周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,連接PC,是否存在點(diǎn)P,使得以P,M,C為頂點(diǎn)的三角形與△CB。相似？

若存在，直接寫出點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

2018-2019學(xué)年浙江省寧波市慈溪市九年級(jí)（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（每題4分，共48分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）

1.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，將點(diǎn)P（0,1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,所得到

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'的坐標(biāo)為（）

A.（1,0）B.（-1,0）C.（0,-1）D.（1,1）

【分析】利用平面直角坐標(biāo)系，畫出圖形即可判斷.

【解答】解：???點(diǎn)P（0,1）繞坐標(biāo)原點(diǎn)。順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得到的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P',

:.P'（1,0）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查旋轉(zhuǎn)變換，解題的關(guān)鍵是理解題意畫出圖形解決問(wèn)題.

【分析】根據(jù)90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑求解即可求得答案.

【解答】解：???90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑，

.?.其中的圓弧為半圓的是8.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了圓周角定理.注意90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑.

3.（4分）下列事件是隨機(jī)事件的是（）

A.在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°時(shí)沸騰

B.小明購(gòu)買1張彩票，中獎(jiǎng)

C.在一個(gè)裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍(lán)球

D.一名運(yùn)動(dòng)員的速度為30米/秒

【分析】根據(jù)事件發(fā)生的可能性大小判斷相應(yīng)事件的類型即可.

【解答】解：A、在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水加熱到100°時(shí)沸騰是必然事件；

B、小明購(gòu)買1張彩票，中獎(jiǎng)是隨機(jī)事件；

C、在一個(gè)裝有紅球和黃球的袋中，摸出藍(lán)球是不可能事件；

。、一名運(yùn)動(dòng)員的速度為30米/秒是不可能事件，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念.必然事件指在一定條

件下，一定發(fā)生的事件.不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事

件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件.

4.（4分）如圖，。0是正六邊形A8CDEF的外接圓，P是弧AB上一點(diǎn)，則NCPO的度數(shù)

【分析】構(gòu)造圓心角，利用同弧所對(duì)的圓周角是圓心角的一半求得答案即可.

【解答】解：連接OC,OD,

,六邊形是正六邊形，

ZCOD=平=60°

1

：?NCPD="COD=30。,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正多邊形和圓以及圓周角定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造圓

心角，難度不大.

5.（4分）將拋物線y=2?平移得到拋物線y=2（x+2）2,則這個(gè)平移過(guò)程正確的是（〉

A.向上平移2個(gè)單位B.向下平移2個(gè)單位

C.向左平移2個(gè)單位D.向右平移2個(gè)單位

【分析】直接利用平移規(guī)律“上加下減，左加右減”解答.

【解答】解：將拋物線>=〃向左平移2個(gè)單位后得到拋物線y=2（x+2）2,

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是二次函數(shù)的圖象與幾何變換，熟知“上加下減，左加右減”

的規(guī)律是解答此題的關(guān)鍵.

6.（4分）下列命題：①三點(diǎn)確定一個(gè)圓；②三角形的外心到三邊的距離相等；③相等的

圓周角所對(duì)的弧相等；④平分弦的直徑垂直于弦.其中假命題的個(gè)數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【分析】分別利用確定圓的條件、三角形的外心的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及切線

的判定分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng).

【解答】解：①不在同一直線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓，錯(cuò)誤；

②三角形的外心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等，錯(cuò)誤；

③在同圓或等圓中相等的圓周角所對(duì)的弧相等，錯(cuò)誤；

④平分弦（弦不是直徑）的直徑垂直于弦，錯(cuò)誤；

故假命題的個(gè)數(shù)是4個(gè)，

故選：D

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解確定圓的條件、三角形的外

心的性質(zhì)、圓周角定理、垂徑定理及切線的判定等知識(shí)，難度不大.

7.（4分）關(guān)于拋物線y=7-2x-3,下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1,-4）

B.對(duì)稱軸是直線x=l

C.若x>2,則y隨x的增大而增大

D.當(dāng)-l<x<3時(shí)，y>0

【分析】將一般式化為頂點(diǎn)式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，即可判斷A；把x=0代入y=/-2r-3,

求出y的值，即可判斷&根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出對(duì)稱軸，即可判斷C；把y=0代入

y=7-2x-3,求出x的值,即可判斷D

【解答】解：A、?.，=/-2x-3=（x-1）2-4,.,.頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1,-4）.故說(shuō)法正確；

Bsx1-lx-3=（x-1）n-4,.,.對(duì)稱軸是直線x=1,故說(shuō)法正確；

C、有選項(xiàng)8可得x>2,則），隨x的增大而增大，故說(shuō)法正確；

D、?.,當(dāng)）=0時(shí)，？-2x-3=0,解得x=-1或3,.?.與無(wú)軸的交點(diǎn)是（-1,0）和（3,

0）,則當(dāng)-l<x<3時(shí)，y<0,故說(shuō)法錯(cuò)誤.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y^ax^+bx+c（a^O）的頂點(diǎn)式為y=a

（x+與）2+券頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一女，4g"）,對(duì)稱軸直線—柒.同時(shí)考查了

拋物線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)的求法.

8.（4分）如圖，A,B,C是正方形網(wǎng)格中的格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)），則sin/ACB的值為

（）

1V3

C."D.

23

【分析】由勾股定理可求AC,8C的長(zhǎng)，由三角形的面積公式可求8。的長(zhǎng)，即可求sin

NAC3的值.

【解答】解：設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,過(guò)點(diǎn)8作BDA.AC于D,過(guò)點(diǎn)B作BFLAE于點(diǎn)F,

111

V5A^C=2X7-1X1X3-1X1X7-|X2X4=5

由勾股定理可知：AC=Vl+49=5V2,

1

?.?一AC?8O=5,

2

:.BD=V2,

由勾股定理可知：BC=V1T9=Vio,

?-/Km—BD_笈_(tái)75

??sinNAC8=_57T=r——=~r~

BC7105

故選：A.

c

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，熟練運(yùn)用面積法求B。的長(zhǎng)是本題的關(guān)鍵.

9.（4分）如圖，在△ABC中，D,E分別是邊AB,AC上的點(diǎn)，DE//BC,BD=2AD,下

列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

ADE1S“DE1

BC3^LABC4

CE2

C.—=-D.AD*BC=AB?DE

AC3

【分析】由力E〃BC得到△AOEs/VlBC,根據(jù)8O=24D,可知這兩個(gè)相似三角形的面

積比等于1：3,據(jù)此判斷A、C、。答案，根據(jù)面積比等于相似比的平方判斷8答案.

【解答】解：

：./\ADE^/\ABC.

DEAD

：.—=—,即AD'BC^AB-DE,

CBAB

?.?BD=2A。，...兩個(gè)相似三角形的相似比是1：3,

.?.A、C、。所給式子均正確，不符合題目要求；

由相似三角形的面積比等于相似比的平方，可知這兩個(gè)三角形的面積比等于1：9,：.B

答案符合題意選項(xiàng).

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查學(xué)相似三角形的判定和性質(zhì)，正確找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊，正確計(jì)算比值是

解題的關(guān)鍵.

10.（4分）如圖，在△ABC中，AC=BC=y[2,NACB=90°,分別以點(diǎn)A和點(diǎn)8為圓心,

以AC的長(zhǎng)為半徑畫弧交A8于￡>,E兩點(diǎn),則陰影部分的面積是（）

【分析】根據(jù)已知求出NA、的度數(shù)，根據(jù)扇形和三角形的面積即可求出答案.

【解答】解：?.?在△4BC中，AC=BC=V2,N4C8=90°,

...△ACB是等腰直角三角形，

AZA=ZB=45°,

，陰影部分的面積S=SAACB-（S扇形CAE+S扇形CBD-S^ACB）

145-7tx（V2）2n

=2X[-xVr2xVr2-------------]=2-^,

23602

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰直角三角形、扇形的面積和三角形的面積計(jì)算等知識(shí)點(diǎn)，能把

求不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化成求規(guī)則圖形的面積是解此題的關(guān)鍵.

11.（4分）在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于點(diǎn)P（x,y）和。（x,y'）,給出如下定義：若y'

（y+1（x>0）

=,,則稱點(diǎn)。為點(diǎn)P的“親密點(diǎn)”.例如：點(diǎn)（1，2）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)

（―y（x<0）

（1,3）,點(diǎn)（-1,3）的“親密點(diǎn)”為點(diǎn)（-1,-3）.若點(diǎn)P在函數(shù)y=/-2x-3的

圖象上，則其“親密點(diǎn)”。的縱坐標(biāo)y'關(guān)于x的函數(shù)圖象大致正確的是（）

%y

A.B.

yy

V/XJo\\X

C.ID.

【分析】根據(jù)函數(shù)y=7-2x-3的圖象，依據(jù)“親密點(diǎn)”的定義找出<關(guān)于x的函數(shù)

圖象，由此即可得出結(jié)論.

【解答】解：由函數(shù)y=/-2x-3=（x-3）（x+1）可知：拋物線開(kāi)口向上，與x軸有

兩個(gè)交點(diǎn)，交y軸與負(fù)半軸，所以將y軸左側(cè)的圖象關(guān)于x軸顛倒過(guò)來(lái)，將），軸右側(cè)的

圖象向上平移1個(gè)單位，即可得出〈關(guān)于x的函數(shù)圖象.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了二次函數(shù)的圖象以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，利用親密點(diǎn)的

定義得出函數(shù)解析式是解題關(guān)鍵.

12.（4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A,8的坐標(biāo)分別為（2,0）,（0,4）,過(guò)4,

O,B三點(diǎn)作圓，點(diǎn)C在第一象限部分的圓上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)CO,過(guò)點(diǎn)。作C。的垂線交

CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。，下列說(shuō)法：①NAOC=NB。。；@sinZ￡>=i；③CZ）的最大值為

10.其中正確的是（）

A.①②B.②③C.①③D.①②③

【分析】過(guò)A,O,B三點(diǎn)作圓，4B是直徑，所以于是把△OOC中的

相關(guān)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)移到△BOA中解決，從而排除②，得到①③正確.

【解答】解：連接48,如下圖所示

D

S

①：/￡>0C=/80A=90。

AZAOC^ZBOD,于是①正確；

ZBAO=ZC,NDOC=NBOA

:.△BOksXDOC

：./D=/OBA

.?.sinQ=sin/°BA=然=親=

，②錯(cuò)誤.由排除法可以確定選擇C.

③由②知sinZD=熬=雪

，當(dāng)OC取最大值時(shí)，DC就取最大值，

而OC最大值為直徑2近，所以知此時(shí)DC=10

...③正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是圓的性質(zhì)與相似三角形的性質(zhì)的綜合，一方面可以用排除法選出

正確答案，另一方面可以根據(jù)相似具體判斷每一個(gè)選項(xiàng).

二、填空題（每題4分，共24分）

13.（4分）若NA為銳角，且tanA=l,則N4的度數(shù)為4為.

【分析】直接根據(jù)tan45°=1進(jìn)行解答即可.

【解答】解：；乙4為銳角，且tanA=l,tan45°=1,

AZA=45°.

故答案為：45°.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值，熟記各特殊角度的三角函數(shù)值是解答此題

的關(guān)鍵.

14.（4分）如圖，顯示的是用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒卧囼?yàn)的結(jié)果.小明根據(jù)

試驗(yàn)結(jié)果推斷：隨著重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，顯

示出一定的穩(wěn)定性，就可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618.你認(rèn)為小明的推斷是工

確（填寫“正確”或“錯(cuò)誤”）的.

個(gè)“釘尖向上”的頻率

【分析】結(jié)合給出的圖形以及在同樣條件下，大量反復(fù)試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐

漸穩(wěn)定在概率附近，解答即可.

【解答】解：由圖象可知隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動(dòng)，

顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618.

故小明的推斷是正確的，

故答案為：正確.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用頻率估計(jì)概率.大量反復(fù)試驗(yàn)下頻率穩(wěn)定值即概率.用到的知

識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

15.（4分）矩形的兩邊長(zhǎng)分別為x和6（x<6）,把它按如圖方式分割成三個(gè)全等的小矩形，

每一個(gè)小矩形與原矩形相似，則

6

【分析】根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：???原矩形的長(zhǎng)為6,寬為x,

小矩形的長(zhǎng)為無(wú)，寬為*

；小矩形與原矩形相似，

.X_2

,6X

Ax=2V3

故答案為：2W.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似多邊形的性質(zhì)，注意分清對(duì)應(yīng)邊是解決本題的關(guān)鍵.

16.（4分）如圖，在△ABC中，ZACB=90°,AC=3,sinB=點(diǎn)G是△ABC的重心,

4

連接CG并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)M,則CG=一.

-3-

【分析】根據(jù)正弦的定義求出AB,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出CM,根據(jù)重心的性質(zhì)計(jì)

算即可.

【解答】解：在RCACB中，sinB=%T，即三=3

解得，AB=4t

:點(diǎn)G是△A8C的重心，

...點(diǎn)M是AB的中點(diǎn),

在RtZ\ACB中，點(diǎn)”是AB的中點(diǎn)，

1

：.CM=^AB=2f

??,點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，

24

JCG=冢加=不

4

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是三角形的重心的概念和性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)

的定義，掌握重心的性質(zhì)即三角形三邊中線的交點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離等于它到對(duì)邊中點(diǎn)距離

的兩倍是解題的關(guān)鍵.

17.（4分）如圖，A,B,。是O。上三點(diǎn)，若NA3C=120°,OO的半徑為2,則劣弧AC

47r

的長(zhǎng)為7.

【分析】在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)。，連接AO,CD,根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到/ADC

=60°,根據(jù)圓周角定理得到NAOC=2N4OC=120°,根據(jù)弧長(zhǎng)的公式計(jì)算即可.

【解答】解：在優(yōu)弧AC上取一點(diǎn)O,連接4。，CD,

VZABC=nO0,

ZADC=60°,

/.ZAOC=2ZADC=\20°,

**.劣弧AC的長(zhǎng)=I2鬻loUx2=卻o,

、..4

故答案為：-IT.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了弧長(zhǎng)的計(jì)算，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

18.(4分)如圖，拋物線y=a(%-4)(x+1)(a>0)與x軸交于4,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B

的左邊)與y軸交于點(diǎn)C,連接BC,過(guò)點(diǎn)A作直線BC的平行線交拋物線于另一點(diǎn)E,

【分析】解方程a(x-4)(x+1)=0得A(-1,0),B(4,0),再確定C(0,-4a),

利用待定系數(shù)法表示出直線BC的解析式為)，=辦-4a,利用兩直線平行問(wèn)題設(shè)AE的解

析式為y=ar+，"，把A(-1,0)代入得,"=a,則直線AE的解析式為y=ar+a,接著解

方程組?=a(XJ4)(X*°得E(5,6a),作軸于H,如圖，然后根據(jù)平行線分

(y=ax+a

AH

線段長(zhǎng)比例定理可計(jì)算出工:的值.

【解答】解：當(dāng)y=0時(shí)，a(x-4)(x+1)=0,解得xi=-1,%2=4,則A(-1,0),

B(4,0),

當(dāng)x=0時(shí)，y=a(x-4)(x+1)=-4〃，則C(0,-4o),

設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b,

把B(4,0),C(0,-4a)代入得｛:上乙；°，解得｛k‘=a

b=—4a

直線BC的解析式為y—ax-4a,

■:AE//BC,

??AE的解析式可設(shè)為y=ax+nif

把A(-1,0)代入得-。+機(jī)=0,解得〃

直線AE的解析式為y=ax+a,

解方程組&+阿：”%：3則E(5,6〃),

作E〃_Lr軸于從如圖，

,/OD//EH,

tADOA1

?,DE~OH~5'

1

故答案為g.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與X軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)y=a8法+c(mb,。是常數(shù)，

。20)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于x的一元二次方程.也考查了平行線分線段

成比例定理.

三、解答題(第19-20每題7分，第21題8分，第22-24題每題10分，第25題12分，第

26題14分，共78分)

19.(7分)(1)計(jì)算：2sin30°+V3tan60°—V2cos45°；

(2)已知----=求x與y的比.

y5

【分析】(1)根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，依據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序進(jìn)行計(jì)算即可:

(2)根據(jù)比例的性質(zhì)，即可得出x與y的比.

【解答】解：(1)2sin30°+V3tan60°—V2cos45°

=2x2+V3xy/3-V2x

=1+3-1

=3；

x-2y2

(2)???一-=

y5

：.5x=12yf

?x__1_2

??.

y5

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及比例的性質(zhì)的運(yùn)用，特殊角的三角函數(shù)值應(yīng)用

廣泛，一是它可以當(dāng)作數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，二是具有三角函數(shù)的特點(diǎn)，在解直角三角形中應(yīng)用

較多.

20.(7分)在三個(gè)完全相同的小球上分別寫上-2,-1,2三個(gè)數(shù)字，然后裝入一個(gè)不透明

的布袋內(nèi)攪勻，從布袋中取出一個(gè)球，記下小球上的數(shù)字為m,放回袋中再攪勻，然后

再?gòu)拇腥〕鲆粋€(gè)小球，記下小球上的數(shù)字為〃，組成一對(duì)數(shù)("，〃).

(1)請(qǐng)用列表或畫樹(shù)狀圖的方法，表示出數(shù)對(duì)(m,〃)的所有可能的結(jié)果；

(2)求直線)，=爾+”不經(jīng)過(guò)第一象限的概率.

【分析】(1)根據(jù)題意畫出樹(shù)狀圖，表示出數(shù)對(duì)(〃?，〃)的所有可能的結(jié)果即可；

(2)由樹(shù)狀圖求得所有等可能的結(jié)果與所得到的直線y^nvc+n不經(jīng)過(guò)第一象限的情況,

再利用概率公式求解即可求得答案.

【解答】解：(1)樹(shù)狀圖如圖所示，

數(shù)對(duì)(相，”)的所有可能的結(jié)果為(-2,-2),(-2,-1),(-2,2),(-1,-2),

(-1,-1),(-1,2),(2,-2),(2,-1),(2,2)；

(2)當(dāng)機(jī)<0,〃<0時(shí)，直線不經(jīng)過(guò)第一象限，

二直線y=fwc+n不經(jīng)過(guò)第一象限的概率P=*

【點(diǎn)評(píng)】此題考查的是用列表法或樹(shù)狀圖法求概率與一次函數(shù)的性質(zhì).注意樹(shù)狀圖法與

列表法可以不重復(fù)不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件；樹(shù)狀

圖法適合兩步或兩步以上完成的事件；注意概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比.

21.（8分）某公園的人工湖邊上有一座假山，假山頂上有一豎起的建筑物CZ）,高為10米，

數(shù)學(xué)小組為了測(cè)量假山的高度OE,在公園找了一水平地面，在A處測(cè)得建筑物點(diǎn)。（即

山頂）的仰角為35°,沿水平方向前進(jìn)20米到達(dá)B點(diǎn)，測(cè)得建筑物頂部C點(diǎn)的仰角為

45°,求假山的高度。E.（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：sin35°?cos35°?|,tan35°

【分析】過(guò)點(diǎn)。作水平線的垂線，利用直角三角形中的三角函數(shù)解答即可.

【解答】解：過(guò)點(diǎn)。作水平線的垂線，即（QELAB）,垂足為E,則C、D、E在一條直

線上，

設(shè)OE的長(zhǎng)為x米，

在Rt^BCE中，ZCBE=45°,

：.CE=BE=CD+DE=(10+x)米,

在Rt/SAOE中，ZA=35°,

AE=AB+BE=20+10+x=30+x,

,DE

taM=AE'

tan350=57^—?-X,

30+x10

解得：x=70,

答：假山的高度。E約為70米.

【點(diǎn)評(píng)】此題是解直角三角形的應(yīng)用——仰角和俯角，解本題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)

解答.

22.（10分）如圖，A,B,C是OO上三點(diǎn)，其中通=2Z，過(guò)點(diǎn)B畫BDJ_OC于點(diǎn)￡>.

（1）求證：AB=2BD；

（2）若AB=2禽,CD=1,求圖中陰影部分的面積.

【分析】（1）如圖，延長(zhǎng)BD交00于E,根據(jù)垂徑定理得到BE=28￡>,BE=2BC,求

得福=的,于是得到結(jié)論；

（2）如圖，連接設(shè)。。的半徑為r,根據(jù)勾股定理列方程得到r=2,根據(jù)三角函

數(shù)的定義得到N8OC=60°,根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：（D如圖，延長(zhǎng)80交。。于E,

,：BDL0C,

：.BE=2BD,BE=2BC,

"：AB=2就,

：.AB=BE,

：.AB=BE,

：.AB=2BD；

（2）如圖,連接02,

設(shè)O。的半徑為r,

,:AB=2?,CD=1,

：.BD=V3,

在Rt408。中，/=（r-1）2+（V3）2,

解得：r=2,

VsinZBOC=黑=導(dǎo),

：.ZBOC=60a,

陰影部分的面積=嗤苔-1xV3xl=^-^.

□OULDL

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓周角定理，垂徑定理，扇形的面積，勾股定理，正確的作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

23.（10分）如圖，已知CQ是RtaABC斜邊AB上的中線，過(guò)點(diǎn)。作AC的平行線，過(guò)點(diǎn)

C作CD的垂線，兩線相交于點(diǎn)E.

（1）求證：XABCs△DEC：

（2）若CE=2,CD=4,求△ABC的面積.

【分析】（1）已知兩個(gè)直角線相等，再借助平行線及直角三角形斜邊的中線性質(zhì)得出/A

=NCDE,從而△ABCs/^.OEC；

（2）先利用勾股定理計(jì)算出DE長(zhǎng)度，再根據(jù)CD是Rt^ABC斜邊AB上的中線，求出

AB長(zhǎng)度，最后根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】證明：（1）：C￡>是RtZXABC斜邊AB上的中線，

：.CD=^AB=AD,

.,.NA=/ACD

'：DE//AC,

：.ZCDE=ZACD=NA,

又?.?/4C8=N￡）CE=90°,

，/\ABC^/\DEC.

1

（2）在RtaQEC中，DE=V22+42=2>/5,△CDE的面積為一x2X4=4.

2

*.?CD是Rt^ABC斜邊AB上的中線，

：.AB=2CD=S.

,?/XABC^/XDEC,

???I：*?，即■=（柴產(chǎn)

S&DECDE42V5

64

/\ABC的面積為g.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，以及直角三角形斜邊上的中線特征，

找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵.

24.（10分）某園林專業(yè)戶計(jì)劃投資種植花卉及樹(shù)木，根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查與預(yù)測(cè)，種植樹(shù)木的利

潤(rùn)yi與投資金額x成正比例關(guān)系，如圖1所示：種植花卉的利潤(rùn)X與投資金額x成二次

函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤(rùn)與投資金額的單位均為萬(wàn)元）

（1）分別求出利潤(rùn)V與"關(guān)于投資金額x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）如果這位專業(yè)戶以8萬(wàn)元資金投入種植花卉和樹(shù)木，設(shè)他投入種植花卉的金額是x

萬(wàn)元，求這位專業(yè)戶能獲取的最大總利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？

【分析】（1）可根據(jù)圖象利用待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式；

（2）根據(jù)總利潤(rùn)=樹(shù)木利潤(rùn)+花卉利潤(rùn)，列出函數(shù)關(guān)系式，再求函數(shù)的最值.

【解答】解：（1）設(shè)戶=依，由圖1所示，函數(shù)＞1=履的圖象過(guò)（1,2）,

所以2=Z7,k=2,

故利潤(rùn)川關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是yi=2r（x20）；

???該拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，

工設(shè)"二加，

由圖2所示，函數(shù)的圖象過(guò)（2,2）,

：.2=a^f

解得：a=

故利潤(rùn)”關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式是：尸系（x20）；

（2）因?yàn)榉N植花卉x萬(wàn)元（0WxW8）,則投入種植樹(shù)木（8-x）萬(wàn)元

w=2(8-x)+0.5/=#-Zx+16另(x-2)2+14

Va=0.5>0,04W8

...當(dāng)x=2時(shí)，w的最小值是14

；a=0.5>0

...當(dāng)x>2時(shí)，w隨尤的增大而增大

...當(dāng)x=8時(shí)，卬的最大值是32.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用；求函數(shù)解析式通常用待定系數(shù)法；掌握函數(shù)

的圖象的特點(diǎn)是解決本題的關(guān)鍵.

25.(12分)四邊形的一條對(duì)角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形，如果這兩個(gè)三角形相似

但不全等，我們就把這條對(duì)角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對(duì)角線”.

(1)如圖1,在四邊形ABC。中，Z/1BC=100",/AOC=130°,BDWBC,對(duì)角線

8。平分NABC.求證：8。是四邊形ABC。的“相似對(duì)角線”；

(2)如圖2,已知格點(diǎn)△A8C,請(qǐng)你在正方形網(wǎng)格中畫出所有的格點(diǎn)四邊形48C2使

四邊形ABC。是以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形；(注：頂點(diǎn)在小正方形頂點(diǎn)處的多邊

形稱為格點(diǎn)多邊形)

(3)如圖3,四邊形AOBC中，點(diǎn)A在射線OP：y=gx(x>0)上，點(diǎn)B在x軸正半

軸上，對(duì)角線OC平分NA08,連接A8.若OC是四邊形A08C的“相似對(duì)角線”，丸

AOB=6V3,求點(diǎn)C的坐標(biāo).

圖3

【分析】(1)NADB=180°-ZABD-ZX=130°-NA,ZBDC=ZADC-ZADB=

130°-(130°-NA)=ZA,即可求解；

(2)如圖所示，根據(jù)兩個(gè)三角形夾角相等，夾邊成比例，則三角形相似，即可求解；

2

(3)利用△AOCs/sCOB,貝I」OA'OB=OC,而SMOB=|xOBXyA=|xOBXOAsin60。

=6百，即可求解.

【解答】解：(1)如圖1,；對(duì)角線8。平分NABC,51IJNAB￡)=NDBC=5O°,

NA￡>8=180°-AABD-ZA=130°-NA,

ZBDC^ZADC-ZA￡>B=130°-(130°-NA)=NA,又NABD=NDBC=50°,

△ABDs^DBC,

即8。是四邊形ABC。的''相似對(duì)角線”；

(2)如下圖所示：

ABBC

VZABC=ZACDi=90°,—=——，.?.△ABCs△AS,

ACCD1

故：以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形有：ABCD\,

同理可得：以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形還有：ABCD2、ABCD3.ABCD4；

故：以AC為“相似對(duì)角線”的四邊形有：ABCDt.ABCDi.ABCDi,ABCDA-.

(3)ZOAC^ZOCB,:.△AOCs[\COB,

則：OA-OB=OC2,

』AOB=|xOBXyA=|xOBXOAsin60。=*xOAXOB=6百，

即：0A?O8=24,即：0C=2在,

yc=OCsin30°=V6,同理可得：xc=3V2,

即點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3V2,V6).

【點(diǎn)評(píng)】本題是閱讀理解型一次函數(shù)綜合題，此類題目通常要弄清楚題意，逐次求解，

一般難度不是很大.